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二项分布及其应用教案定稿第一章：引言1.1 教学目标了解二项分布的背景和意义，理解二项分布的概念及其在实际问题中的应用。
1.2 教学内容1.2.1 二项分布的定义通过具体案例引入二项分布的概念，讲解二项分布的基本性质。
1.2.2 二项分布的概率质量函数推导二项分布的概率质量函数，讲解影响二项分布概率的因素。
1.3 教学方法采用案例分析法，通过具体案例引导学生理解二项分布的概念及其应用。
1.4 教学评估通过小组讨论和课堂练习，检查学生对二项分布的理解程度。
第二章：二项分布的概率质量函数2.1 教学目标掌握二项分布的概率质量函数的推导和运用。
2.2 教学内容2.2.1 二项分布的概率质量函数推导讲解二项分布的概率质量函数的推导过程，引导学生理解各个参数的含义。
2.2.2 二项分布的概率质量函数的应用通过具体案例，讲解如何运用二项分布的概率质量函数解决实际问题。
2.3 教学方法采用讲解法，结合具体案例，引导学生理解和运用二项分布的概率质量函数。
2.4 教学评估通过课堂练习和小组讨论，检查学生对二项分布概率质量函数的掌握程度。
第三章：二项分布的期望和方差3.1 教学目标掌握二项分布的期望和方差的计算方法及其应用。
3.2 教学内容3.2.1 二项分布的期望讲解二项分布的期望的计算方法，引导学生理解期望的含义。
3.2.2 二项分布的方差讲解二项分布的方差的计算方法，引导学生理解方差的概念。
3.3 教学方法采用讲解法，结合具体案例，引导学生理解和运用二项分布的期望和方差。
3.4 教学评估通过课堂练习和小组讨论，检查学生对二项分布的期望和方差的掌握程度。
第四章：二项分布的应用4.1 教学目标了解二项分布在不同领域的应用，提高学生解决实际问题的能力。
4.2 教学内容4.2.1 生物学领域的应用讲解二项分布在生物学领域的应用，如基因遗传等。
4.2.2 医学领域的应用讲解二项分布在医学领域的应用，如药物疗效等。
4.2.3 社会科学领域的应用讲解二项分布在社会科学领域的应用，如民意调查等。
二项分布及其应用
20130513
一、教材分析
互相独立事件、n次独立重复试验的概率及二项分布是高考重点考察的内容，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查，属中档题目.在此之前，学生已学习了互斥事件，对立事件，分布列，两点分布，超几何分布，条件概率等知识，因此要加强“二项分布”与前面知识的区别与联系，构建知识网络.
二、学情分析
在最近的一次月考中，曾出现了“二项分布”的考题，学生答题情况并不理想，曾经出现各种的错误.这说明学生对该“二项分布”的特点理解不深刻，换一个背景，学生就不
C，从而造成失分.因此，在复习过程中，应充分知道考核什么知识点了，或者公式中缺少k
n
调动学生的积极性，通过学生自身的探究学习、互相合作，还有教师的适当引导之下复习好本节知识.
三、教学目标
1、知识目标：了解两个事件互相独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分
布，并能解决一些简单的实际问题.
2、能力目标：在探究的过程中，培养学生使用概率知识分析和解决实际问题的能力，
体会分类讨论，转化等数学思想，增强数学的应用意识，提高学习数学的兴趣.
3、情感目标：通过学生的讨论探究，主动学习，培养他们勇于探索的治学精神.
四、重点难点
教学重点：理解n次独立重复试验及二项分布模型.
教学难点：利用互相独立事件和二项分布模型解决实际问题.
五、教学基本流程
六、教学设计。
二项分布及其应用教案定稿第一章：引言1.1 教学目标：了解二项分布的定义及意义。
掌握二项分布的概率质量函数和累积分布函数。
1.2 教学内容：引入二项分布的概念。
讲解二项分布的概率质量函数和累积分布函数的推导过程。
1.3 教学方法：采用讲授法，结合实例进行讲解。
引导学生通过小组讨论，探究二项分布的性质。
1.4 教学准备：PPT课件。
相关实例和练习题。
1.5 教学过程：1. 引入实例，让学生了解二项分布的实际应用背景。
2. 讲解二项分布的定义及数学表达式。
3. 引导学生推导二项分布的概率质量函数和累积分布函数。
4. 通过小组讨论，让学生探究二项分布的性质。
5. 布置练习题，巩固所学知识。
第二章：二项分布的概率质量函数2.1 教学目标：能够运用概率质量函数解决实际问题。
2.2 教学内容：讲解二项分布的概率质量函数的推导过程。
举例说明如何运用概率质量函数解决实际问题。
2.3 教学方法：采用讲授法，结合实例进行讲解。
引导学生通过小组讨论，探究概率质量函数的性质。
2.4 教学准备：PPT课件。
相关实例和练习题。
2.5 教学过程：1. 回顾上一章的内容，让学生复习二项分布的定义。
2. 讲解二项分布的概率质量函数的推导过程。
3. 通过实例，让学生了解如何运用概率质量函数解决实际问题。
4. 引导学生进行小组讨论，探究概率质量函数的性质。
5. 布置练习题，巩固所学知识。
第三章：二项分布的累积分布函数3.1 教学目标：掌握二项分布的累积分布函数的推导过程。
能够运用累积分布函数解决实际问题。
3.2 教学内容：举例说明如何运用累积分布函数解决实际问题。
3.3 教学方法：采用讲授法，结合实例进行讲解。
引导学生通过小组讨论，探究累积分布函数的性质。
3.4 教学准备：PPT课件。
相关实例和练习题。
3.5 教学过程：1. 回顾前两章的内容，让学生复习二项分布的概率质量函数和累积分布函数。
2. 讲解二项分布的累积分布函数的推导过程。
二项分布及其应用教案定稿第一章：二项分布的概念及性质1.1 二项分布的定义引导学生回顾概率论的基础知识，引入随机变量的概念。
解释二项分布的定义，即在固定次数n的独立实验中，每次实验成功或失败的概率为p的随机变量的分布。
1.2 二项分布的性质引导学生了解二项分布的概率质量函数（PMF）及其表达式。
解释二项分布的期望、方差等统计量，并引导学生理解其含义。
第二章：二项分布的概率计算2.1 概率质量函数的推导引导学生使用二项分布的概率质量函数公式进行计算。
解释公式中各项的物理意义，如n次实验中成功k次的概率。
2.2 特定概率下的成功次数的计算引导学生使用概率质量函数计算特定概率下的成功次数。
举例说明如何计算概率质量函数的积分。
第三章：二项分布的应用3.1 抛硬币实验引导学生进行抛硬币实验，观察并记录实验结果。
引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析实验结果的概率分布。
3.2 药物有效性测试引导学生了解药物有效性测试的背景和目的。
引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析药物有效性测试的结果。
第四章：二项分布的参数估计4.1 参数估计的概念引导学生了解参数估计的概念和方法。
解释使用样本数据来估计总体参数的过程。
4.2 二项分布的参数估计方法引导学生使用样本均值和样本方差来估计二项分布的参数np和n(1-p)。
解释估计的准确性和可靠性，并引导学生了解置信区间的概念。
第五章：二项分布的假设检验5.1 假设检验的概念引导学生了解假设检验的概念和方法。
解释使用样本数据来对总体分布的假设进行检验的过程。
5.2 二项分布的假设检验方法引导学生使用二项分布的检验统计量进行假设检验。
解释检验的显著性水平和拒绝域的概念，并引导学生了解p值的计算方法。
第六章：二项分布与正态分布的关系6.1 正态分布的概念引导学生回顾正态分布的定义和性质。
解释正态分布与二项分布的关系，即当n足够大时，二项分布近似正态分布。
6.2 二项分布到正态分布的转换引导学生了解二项分布到正态分布的转换方法。
223独立重复试验与二项分布一、教学目标知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。
二、重难点教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算三、教学过程复习引入：1.事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2•随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。
4.概率的性质：必然事件的概率为1 ,不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0 _P(A) _1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。
5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
讲授新课：1独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
2独立重复试验的概率公式：般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率它是〔(1 - P)甘展开式的第k1项。
3离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数E是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是Pn — kHCnW，(心0, 1, 2，•••」「=—).于是得到随机变量E的概率分布如下：k k n _k由于C n p q -恰好是二项展开式(q p)n =C 0p °q n C ：p 1q n—C ：p k q n 「 C ：p n q 0(1) 恰有8次击中目标的概率；(2) 至少有8次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.)解：设X 为击中目标的次数，则X 〜B (10,0o 8 ) o(1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为 P (X = 8 ) = G 8。
二项分布教案教案标题：二项分布教案教案目标：1. 理解二项分布的概念和特点；2. 掌握二项分布的计算方法；3. 能够应用二项分布解决实际问题。
教学重点：1. 二项分布的定义和参数；2. 二项分布的计算公式；3. 二项分布的应用。
教学难点：1. 理解二项分布的概念和特点；2. 熟练运用二项分布的计算方法。
教学准备：1. 教师准备：教案、黑板、粉笔、计算器；2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师引导学生回顾频率分布和概率分布的概念；2. 提出问题：“在进行多次独立重复试验时，如何计算某个事件发生的概率？”引出二项分布的概念。
步骤二：概念讲解（10分钟）1. 教师简要介绍二项分布的定义和特点，即在n次独立重复试验中，成功事件发生k次的概率分布；2. 引导学生理解二项分布的参数：n（试验次数）和p（单次试验成功的概率）；3. 通过示例解释二项分布的应用场景，如硬币的正反面、产品的合格率等。
步骤三：计算方法（15分钟）1. 教师详细讲解二项分布的计算公式：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数；2. 通过示例演示如何计算二项分布的概率，包括使用计算器计算组合数；3. 引导学生进行练习，巩固计算方法。
步骤四：应用实例（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，如某产品的合格率为0.8，进行10次质量检验，求合格品数的概率；2. 学生自主或小组讨论，运用二项分布的知识解决问题；3. 学生展示解题过程和结果。
步骤五：总结（5分钟）1. 教师对本节课内容进行总结，强调二项分布的重要性和应用；2. 学生提出问题和疑惑，教师进行解答。
教学延伸：1. 学生可以进一步探究二项分布的期望和方差的计算方法；2. 学生可以通过实际问题，拓展应用二项分布的能力。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度；2. 布置作业，要求学生运用二项分布解决实际问题；3. 针对作业情况进行评价和反馈。
2.2.3 独立重复试验与二项分布一、教学目标知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。
二、重难点教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算三、教学过程复习引入：1. 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作()P A。
3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。
4．概率的性质：必然事件的概率为1 ，不可能事件的概率为0 ，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。
5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
讲授新课：1 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
2 独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(。
它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项。
3离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0，1，2，…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 01 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．例题讲解：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 。
二项分布及应用的教学设计教学设计：二项分布及应用一、教学目标：1.了解二项分布的概念和特点；2.能正确地应用二项分布进行问题解答；3.培养学生的数据分析能力和问题解决能力。
二、教学准备：教师：教学课件、二项分布的实例问题、计算器或电脑。
学生：教材、笔记本。
三、教学流程：1.导入（15分钟）教师通过引发学生对概率的兴趣，设计一个猜硬币正反面的活动。
引导学生讨论概率事件、样本空间等相关概念。
然后，通过对学生回答正反面次数的统计，引导学生思考是否存在一个固定的概率值。
2.讲解（30分钟）（1）概念引入通过对实际问题的引入，如赌场掷骰子、制药公司药效测试等例子，引入二项分布。
简单介绍二项分布的概念和定义，并强调二项分布的两个特点：1) 进行一定次数的独立重复实验；2) 实验结果只有两个可能的结果。
（2）公式推导教师通过一个硬币实验的具体例子，引导学生推导出二项分布的公式P(X=k)=C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)。
（3）应用举例通过实际问题的演算，如考试中某位学生答对题目的概率、投篮命中率等，引导学生理解和应用二项分布。
将问题转化为二项分布的形式，利用公式计算概率。
（4）二项分布图像呈现通过计算机软件，绘制并展示不同参数下的二项分布图像。
引导学生分析图像，理解参数对二项分布的影响。
3.练习（35分钟）（1）个别练习教师布置一些个别练习题，让学生通过计算实际问题，巩固对二项分布的理解和应用。
（2）团体练习将学生分成小组，设计一道与二项分布相关的问题，要求小组成员通过讨论合作，找出解题思路，利用二项分布解决问题，并向全班呈现解题过程和结果。
4.总结（10分钟）教师对本节课进行总结，强调二项分布的概念和特点，以及如何应用二项分布解决实际问题。
回顾学生在练习中的表现，激励学生相信自己的潜力并坚持学习。
四、教学反思：通过上述教学设计，学生在学习中可以通过引入真实问题的方法，培养他们对二项分布的兴趣和应用能力。
第8讲 二项分布及其应用【20XX 年高考会这样考】1．考查条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．考查n 次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题． 【复习指导】复习时要把事件的独立性、事件的互斥性结合起来，会对随机事件进行分析，即把一个随机事件分拆成若干个互斥事件之和，再把其中的每个事件分拆成若干个相互独立事件之积，同时掌握好二项分布的实际意义及其概率分布和数学期望的计算方法．基础梳理1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P ABP A.在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n ABn A.(2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1；② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．一种关系可先定义条件概率P (B |A )＝P ABP A，当P (B |A )＝P (B )即P (AB )＝P (A )P (B )时，事件B 与事件A 独立．但是要注意事件A 、B 、C 两两独立，但事件A 、B 、C 不一定相互独立． 两种算法计算条件概率有两种方法． (1)利用定义P (B |A )＝P ABP A；(2)若n (C )表示试验中事件C 包含的基本事件的个数，则P (B |A )＝n ABn A.双基自测1．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． A.34 B.23 C.35 D.12解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.答案 A2．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．A.49B.29C.427D.227解析 所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.答案 A3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )．A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 解析 P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864. 答案 B4．如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( )． A ．3 B ． 4 C ．5 D ．3或4 解析 采取特殊值法．∵P (X ＝3)＝C 315⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412，P (X ＝4)＝C 415⎝ ⎛⎭⎪⎫144·⎝ ⎛⎭⎪⎫3411，P (X ＝5)＝C 515⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭⎪⎫3410，从而易知P (X ＝3)＝P (X ＝4)>P (X ＝5)． 答案 D5．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( )．A.12B.14C.16D.18 解析 法一 P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12.法二 A 包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB 包括的基本事件为{正，正}，因此P (B |A )＝12. 答案 A考向一 条件概率【例1】►(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12 [审题视点] 利用条件概率的计算公式P (B |A )＝P ABP A计算．解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P A ∩BP A ＝110410＝14.答案 B(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P ABP A.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.【训练1】 (2011·湖南高考)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则 (1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.解析 圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算公式得P (A )＝2π，根据条件概率的公式得P (B |A )＝P ABP A ＝12π2π＝14.答案2π 14考向二 独立事件的概率【例2】►(2011·全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．[审题视点] 准确把握“至少”与“恰”等字眼的意义，从而借助于独立事件的的概率知识求解．解 (1)设“购买甲种保险”事件为A ，“购买乙种保险”事件为B 由已知条件P (A )＝0.5，P (B A )＝0.3，∴P(B)P(A)＝0.3，P(B)＝0.3P A＝0.6，因此，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为1－P(A B)＝1－P(A)P(B) ＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)一位车主两种保险都不购买的概率为P＝P(A B)＝0.2，因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为C13×0.2×0.82＝0.384.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．【训练2】(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知DE F，D E F，D EF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：因此E (ξ)考向三 独立重复试验与二项分布【例3】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[审题视点] 首先判断分布的类型，再根据X ，Y 的取值所对应的事件意义求解．解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13. 所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k，k ＝0,1,2,3,4,5,6. (2)由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．P (Y ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13(k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为P (Y ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236，因此Y 的分布列为：(3){X ≥1}＝{X ＝1或X ＝2或…或X ＝6}， 所以其概率为P (X ≥1)＝∑k ＝16P (X ＝k )＝1－P (X ＝0)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫236＝665729.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．【训练3】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．解 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A )＝0.6，P (B )＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P (A B )＝P (A )·P (B )＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1.∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X 服从二项分布X ～B (3,0.9)，P (X ＝k )＝C k 30.9k ×0.13－k，k ＝0,1,2,3， ∴X 的分布列是X 0 1 2 3 P0.0010.0270.2430.729阅卷报告18——对二项分布理解不准致误问题诊断】 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况.【防范措施】 要记住二项分布概率模型的特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决.【示例】► 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．错因 解本题容易出错的地方，一是对“恰有2次”、“至少有2次”理解错误，误用二项分布；二是对随机事件“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的意义理解错误，不能把问题归结为只要在第1,2,4,5次预报中预报1次准确即可，出现仍然用5次独立重复试验二项分布模型解决问题的错误．实录 设“5次预报中恰有2次准确”为事件A ，“5次预报中至少有2次准确”为事件B ，“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C . (1)P (A )＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453≈0.05，(2)P (B )＝1－C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫450·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－455－C 15×45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－454≈0.99；(3)P (C )＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453·45≈0.04.正解 设“5次预报中恰有2次准确”为事件A ，“5次预报中至少有2次准确”为事件B ，“5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C . (1)P (A )＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)P (B )＝1－C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫450⎝ ⎛⎭⎪⎫1－455－C 15×45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－454≈0.99. (3)P (C )＝C 14×45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453×45≈0.02.【试一试】 某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23.(1)求比赛三局甲获胜的概率； (2)求甲获胜的概率．解 记甲n 局获胜的概率为P n ，n ＝3,4,5， (1)比赛三局甲获胜的概率是：P 3＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. (2)比赛四局甲获胜的概率是：P 4＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝827； 比赛五局甲获胜的概率是：P 5＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1681. ∴甲获胜的概率是：P 3＋P 4＋P 5＝6481.1.（20XX 年课标全国卷）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。
