第5讲 一次方程(组)(讲练)(原卷版)

第5讲含参数的一元“一次”方程【讲义解析】1、含参数的方程的概念：当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫参数方程，字母系数叫参数．2、一元“一次”参数方程的解法：关于x 的一元“一次”方程总可以化为ax b 的形式，方程的解由a 、b 确定．(1)当0a 时，原方程有唯一解，且b xa；(2)当0a 且0b时，原方程有无数个解，且原方程的解为全体数；(3)当0a且0b时，原方程无解．【专题精讲】一、一元“一次”参数方程的解法【例1】已知a 是有理数，下面的4个命题：（1）方程0ax 的解是0x ；（2）方程ax a 的解是1x ；（3）方程1ax的解是1xa；（4）方程(||1)||1a x a 的解是1x中，结论正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例2】（1）讨论关于x 的方程1axbx 的解的情况；（2）解关于x 的方程：2623mx mx m .【练习】（1）讨论关于x 的方程1mx nxp 的解的情况；（2）解关于x 的方程：15256m xmx .二、参数的确定1．根据方程解的具体数值来确定【例3】若3x是方程1|2|13x b 的一个解，求b 的值．【例4】已知关于x 的方程22()mx m x 的解满足方程1||02x，求m 的值．【练习】（1）已知方程24(1)2x ax 的解为3x，则a．（2）如果关于x 的方程(2)4||80m x m 的解是0x，则m．2．根据方程解的个数情况来确定【例5】关于x 的方程43mx x n ，分别求m 、n 为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多个解；（3）无解．【例6】若关于x 的方程(2)125a x b x 有无穷多个解，求a b 值．【练习】(1)已知关于x 的方程1(12)326x x mnx 有无数多个解，则m．(2)已知关于x 的方程2(1)()3a x b a x b 有唯一解，则a 、b 之间的关系为．(3)已知关于x 的方程3(2)(21)a xb xc 有无解，则432a b =．3．根据方程定解的情况来确定【例7】若a 、b 为定值，关于x 的方程22236x ka bx ，无论k 为何值时，它的解总有1x，求23a b 的值．【例8】若a 、b 为定值，关于x 的方程2236kx ax bk ，无论k 为何值时，它的解总有2x，求23a b 的值．【练习】（1）若a 、b 为定值，关于x 的方程12132ka x bx ，无论k 为何值时，它的解总有2x，则23ab =．（2）若a 、b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk ，无论k 为何值时，它的解总有1x，则23ab =．4．根据方程整数解的情况来确定【例9】m 为整数，关于x 的方程6x mx 的解为正整数，求m 的值．【例10】若关于x 的方程917x kx 的解为整数，求整数k 的值．【练习】(1)已知关于x 的方程315x kx 有整数解，求正整数k 的值．(2)已知关于x 的方程504152x kx 有整数解，求满足条件的所有整数k 的和．(3)已知a 是非零整数，并且关于x 的方程43223456axaaaa 有整数解，则满足条件的a 的值共有多少个．5．根据方程间解的关系来确定【例11】若()40km x 和(2)10k m x 是关于x 的同解方程，求2k m的值．【例12】已知关于x 的方程5x m 的解比方程231x m 的解大4，求m 的值．【练习】(1) 若4mxn 和0nx m是关于x 的同解方程，求224m nn 的值．(2) 已知关于x 的方程25x m 的解比方程31x m 的解的3倍大4，求m 的值．。

第二单元 方程(组)与不等式(组)第5讲 一次方程(组)考纲要求命题趋势1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题.一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.知识梳理一、等式及方程的有关概念 1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程． 二、一元一次方程1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x ＝______.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.三、二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)．(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；(4)把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值． 2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．五、列方程(组)解应用题的一般步骤审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x ，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．列：根据题意寻找等量关系列方程(组)． 解：解方程(组)．验：检验方程(组)的解是否符合题意． 答：写出答案(包括单位)．六、常见的几种方程类型及等量关系 1．行程问题中的基本量之间的关系 路程＝速度×时间；相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程； 流水问题：v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水． 2．工程问题中的基本量之间的关系工作效率＝工作总量工作时间.(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率． (2)通常把工作总量看作“1”． 自主测试1．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1 2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝5的解是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1 3．若x ＝2是关于x 的方程2x ＋3m －1＝0的解，则m 的值为__________．4．受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？考点一、一元一次方程的解法【例1】解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1.解：去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝6，去括号，得4x ＋2－10x －1＝6，移项，得4x－10x ＝6－2＋1，合并同类项，得－6x ＝5，系数化为1，得x ＝－56.方法总结 解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．考点二、二元一次方程组的有关概念【例2】已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2C ． 2D ．±2解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.∴2m －n ＝2×3－2＝4＝2. 答案：B方法总结 方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．触类旁通1 已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a－1)＋7的值．考点三、二元一次方程组的解法【例3】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝5，5x ＋2y ＝23.①②解：方法一：用加减消元法解方程组． ①×2得6x －2y ＝10，③②＋③得11x ＝33，解得x ＝3.把x ＝3代入①得9－y ＝5，解得y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.方法二：用代入消元法解方程组． 由①得y ＝3x －5，③把③代入②得5x ＋2(3x －5)＝23，即11x ＝33，解得x ＝3.把x ＝3代入③得y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.方法总结 解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．触类旁通2 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝11，①2x ＋y ＝13.②考点四、列方程(组)解决实际问题【例4】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A ，B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A ，B 两种饮料共100瓶，问A ，B 两种饮料各生产了多少瓶？分析：可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决．解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了(100－x )瓶，依题意，得2x ＋3(100－x )＝270.解得x ＝30,100－x ＝70.解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，2x ＋3y ＝270，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝70. 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶．方法总结 对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．1．(2012重庆)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．(2012山东临沂)关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则|m －n |的值是( )A ．5B ．3C ．2D ．13．(2012浙江杭州)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4－a ，x －y ＝3a ，其中－3≤a ≤1.给出下列结论：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1是方程组的解；②当a ＝－2时，x ，y 的值互为相反数；③当a ＝1时，方程组的解也是方程x ＋y ＝4－a 的解；④若x ≤1，则1≤y ≤4.其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④4．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为( )A ．x (x －10)＝200B ．2x ＋2(x －10)＝200C ．2x ＋2(x ＋10)＝200D ．x (x ＋10)＝2005．(2012广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.6．(2012湖南长沙)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元．1．已知3是关于x 的方程2x －a ＝1的解，则a 的值是( ) A ．－5 B ．5 C ．7 D ．22．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，2x ＋y ＝4的解是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0 3．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，12x ＋16y ＝400B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，16x ＋12y ＝400 C ．⎩⎪⎨⎪⎧ 16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400 D ．⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400 4．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C ．43 D ．－435．湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为__________．6．方程|4x －8|＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，m 的取值范围是__________．7．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为__________．8．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是__________．9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．参考答案导学必备知识 自主测试1．B 把A 项代入方程左边＝0－2×⎝⎛⎭⎫－12＝右边，把B 项代入方程左边＝1－2×1＝－1≠右边，把C 项代入方程左边＝1－2×0＝右边，把D 项代入方程左边＝－1－2×(－1)＝右边．2．D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，①2x －y ＝5，②①＋②得3x ＝6，故x ＝2，把x ＝2代入①得y ＝－1，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 3．－1 因为把x ＝2代入方程，得4＋3m －1＝0，解得m ＝－1.4．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x ，y 亩，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，1 200x ＋1 500y ＝13 800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩． 探究考点方法触类旁通1．解：把x ＝2，y ＝3代入方程得23＝3＋a ，解得a ＝ 3. ∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝a 2＋6＝(3)2＋6＝9. 触类旁通2．解：②×2得4x ＋2y ＝26，③ ③－①得5y ＝15，解得y ＝3，把y ＝3代入②得2x ＋3＝13，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.品鉴经典考题1．D ∵方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2， ∴2×2＋a －9＝0，解得a ＝5.故选D.2．D 把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3－1＝m ，1＋m ＝n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，则|m －n |＝1. 3．C 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝4－a ，x －y ＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2a ，y ＝1－a .∵－3≤a ≤1，∴－5≤x ≤3,0≤y ≤4，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1不符合－5≤x ≤3,0≤y ≤4，结论错误； ②当a ＝－2时，x ＝1＋2a ＝－3，y ＝1－a ＝3，x ，y 的值互为相反数，结论正确； ③当a ＝1时，x ＋y ＝2＋a ＝3,4－a ＝3，方程x ＋y ＝4－a 两边相等，结论正确；④当x ≤1时，1＋2a ≤1，解得a ≤0，y ＝1－a ≥1，已知0≤y ≤4，故当x ≤1时，1≤y ≤4，结论正确．故选C.4．D 设宽为x 米，则长为(x ＋10)米，根据长×宽＝矩形面积，列方程为x (x ＋10)＝200.5．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3(答案不唯一) 6．(1)解法一：设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，则湖南省签订的省外境内投资合作项目有(348－x )个，由题意得2x －(348－x )＝51，解得x ＝133，∴348－x ＝348－133＝215.答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．解法二：设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，省外境内投资合作项目有y 个，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝348，2x －y ＝51，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝133，y ＝215. 答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个． (2)解：133×6＋215×7.5＝798＋1 612.5＝2 410.5(亿元)．答：在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2 410.5亿元． 研习预测试题1．B 把x ＝3代入方程，得6－a ＝1，所以a ＝5.2．D 两方程相加，得3x ＝6，x ＝2，把x ＝2代入x －y ＝2，得y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．B 购买甲种奖品x 件，每件16元，共花了16x 元，购买乙种奖品y 件，每件12元，共花了12y 元．相等关系为：甲奖品件数＋乙奖品件数＝30件，甲花的钱＋乙花的钱＝400元．4．B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7k ，y ＝－2k ，代入2x ＋3y ＝6，得到14k －6k ＝6，所以k ＝34.5．8x ＋38＝50 相等关系为8个莲蓬的价格＋找回的38元＝50元．6．m ＜2 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －8＝0，x －y －m ＝0，解得y ＝2－m ，∵y ＞0，∴2－m ＞0，∴m ＜2.7．－1 因为把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以a －b ＝－1.8．k ＞29．解：(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝18，2x ＋5y ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.答：每支钢笔3元，每本笔记本5元． (2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋5(48－a )≤200，48－a ≥a .解得20≤a ≤24.所以，一共有5种方案，即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.。

第二章方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程与方程组A组基础题组一、选择题1.在如图所示的2016年6月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是( )A.27B.51C.69D.722.(2017泰山一模)某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地面积占林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地,则可列方程( )A.54-x=20%×108B.54-x=20%(108+x)C.54+x=20%×162D.108-x=20%(54+x)二、填空题3.(2017长沙)方程组的解是.三、解答题4.(2017岱岳一模)解方程组5.市政府建设一项水利工程,某运输公司承担运送总量为106 m3的土石方任务,该公司有甲、乙两种型号的卡车共100辆,甲型号的卡车平均每天可以运送土石方80 m3,乙型号的卡车平均每天可以运送土石方120 m3,计划100天完成运输任务.(1)该公司甲、乙两种型号的卡车各有多少辆?(2)如果该公司用原有的100辆卡车工作了40天后,由于工程进度的需要,剩下的所有运输任务必须在50天内完成,在甲型号的卡车数量不变的情况下,公司至少应增加多少辆乙型号的卡车?B组提升题组一、选择题1.(2017滨州)某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16个或螺栓22个.若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下面所列方程中正确的是( )A.22x=16(27-x)B.16x=22(27-x)C.2×16x=22(27-x)D.2×22x=16(27-x)二、解答题2.解方程:-=5.3.威海市时代服装店2017年四月份用 6 000元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获毛利润3 800元(毛利润=售价-进价),这两种服装的进价、标价如下表所示:类型 A B进价(元/件) 60 100标价(元/件) 100 160(1)求这两种服装各购进的件数;(2)如果A种服装按标价的八折出售,B种服装按标价的七折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入多少元?第二章方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程与方程组A组基础题组一、选择题1.D 设第一个数为x,则第二个数为(x+7),第三个数为(x+14).故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21.当x=16时,3x+21=69;当x=10时,3x+21=51;当x=2时,3x+21=27.故任意框出表中竖列上相邻的三个数的和不可能是72.故选D.2.B 根据题意可得方程:54-x=20%(108+x).故选 B.二、填空题3.答案解析①+②得4x=4,解得x=1,将x=1代入①中得y=0.所以方程组的解为三、解答题4.解析①+②得3x=9,解得x=3,把x=3代入①中得y=-2,所以方程组的解为5.解析(1)设该公司甲种型号的卡车有x辆,乙种型号的卡车有y辆,依题意有解得答:该公司甲型号的卡车有50辆,乙型号的卡车有50辆.(2)设公司增加z辆乙型号的卡车,依题意有40×(80×50+120×50)+50×[80×50+120×(50+z)]≥106,解得z≥16,∵ｚ为整数,∴公司至少应增加17辆乙型号的卡车.B组提升题组一、选择题1.D x名工人可生产螺栓22x个,(27-x)名工人可生产螺母16(27-x)个,由于螺栓数目的2倍与螺母数目相等,因此2×22x=16(27-x).二、解答题2.解析去分母得2x-3(30-x)=60,去括号得2x-90+3x=60,移项合并同类得5x=150,解得x=30.3.解析(1)设购进A种服装x件,B种服装y件,则解得答:购进A种服装50件,B种服装30件.(2)由题意得(100×80%-60)×50+(160×70%-100)×30-3 800=1 000+360-3 800=-2 440(元). 答:这批服装打折全部售完后,服装店比按标价出售少收入 2 440元.。

整式方程（组）1．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或142．若一个直角三角形的两条直角边长之和为14，面积为24，则其斜边的长是（）A．2B．4C．8D．103．已知菱形的两条对角线长是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根，则此菱形的边长是（）A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，则方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0的根为（）A．x1＝3，x2＝5B．x1＝﹣1，x2＝0C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝11，x2＝155．若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（）A．（x+3）（x﹣5）B．（x﹣3）（x+5）C．2（x+3）（x﹣5）D．2（x﹣3）（x+5）6．实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2+1）＝2，则x2+y2的值为（）A．1B．2C．﹣2或1D．2或﹣17．已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定8．如果的解都是正数，那么a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞﹣C．﹣2＜a＜D．a＜﹣9．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m 的值的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个10．阅读：关于x方程ax＝b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x＝；（2）当a＝0，b＝0时有无数解；（3）当a＝0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程•a＝﹣（x﹣6）无解，则a的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．a≠111．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是．12．已知关于x，y的二元一次方程（2m﹣1）x+（m+1）y﹣m+2＝0，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是．13．关于x、y的方程2x+ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为．14．如图，两个正方形的边长分别为4，3，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则a﹣b等于．15．如图，用如图①中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒，若295＜a+b＜305，用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a＝，b＝．16．已知方程组的解x、y满足x+y＜1，且m为正数，求m的取值范围．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止．点P，Q分别从点A，B同时出发．（1）求出发多少秒时PQ的长度等于5cm；（2）出发秒时，△BPQ中有一个角与∠A相等．整式方程（组）参考答案与试题解析1.【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，当三角形的三边为5，2，2时，2+2+＜5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当三角形的三边为5，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为5+4+4＝13，故选：B．\2．【解答】解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边为（14﹣x），根据题意得：x （14﹣x）＝24，整理得：x2﹣14x+48＝0．解得x1＝6，x2＝8，所以斜边长为：＝10．故选：D．3．【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0，分解得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得：x＝1或x＝2，∵菱形的对角线互相垂直∴根据勾股定理得：＝，故选：C．4【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，∴方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0中2x+5＝3或2x+5＝5，解得：x＝﹣1或x＝0，即x1＝﹣1，x2＝0，故选：B．5【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）＝2（x+3）（x﹣5），故选：C．6．【解答】解：（x2+y2）（x2+y2+1）＝2，设x2+y2＝a，则原方程化为：a（a+1）＝2，即a2+a﹣2＝0，解得：a＝﹣2或1，∵不论xy为何值，x2+y2不能为负数，所以x2+y2只能等于1，故选：A．7．【解答】解：∵当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，∴k＞0，∵x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0，∴△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＝8k+8＞0，∴关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．8．【解答】解：，①×2+②得：5x＝2a+4，解得：x＝，①×3﹣②得：﹣5y＝3a﹣4，解得：y＝，即方程组的解是，∵方程组的解都是正数，∴＞0，＞0，解得：﹣2＜a＜，故选：C．9．【解答】解：m2x2﹣8mx+12＝0，解法一：△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，∴x1＝，x2＝，∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，∴＞0，＞0，∴m＝1或2或3或6，则满足条件的m的值的个数是4个，故选：B．10．【解答】解：去分母得：2ax＝3x﹣（x﹣6），去括号得：2ax＝2x+6移项，合并得，x＝，因为无解；所以a﹣1＝0，即a＝1．故选：A．11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴k≠0且△＝（﹣4）2﹣4•k•3＝16﹣12k≥0，解得：k≤且k≠0，故答案为：k≤且k≠0．12【解答】解：将方程（2m﹣1）x+（m+1）y﹣m+2＝0整理得：（2x+y﹣1）m﹣x+y+2＝0∵无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解∴解得：故答案为：．13．【解答】解：2x+ay＝7，ay＝7﹣2x，①当x＝1时，7﹣2x＝5，∴ay＝5，∴a＝1，y＝5（舍）或a＝5，y＝1，②当x＝2时，7﹣2x＝3，∴ay＝3，∴a＝1，y＝3（舍）或a＝3，y＝1，③当x＝3时，7﹣2x＝1，∴ay＝1，∴a＝1，y＝1（舍），综上，满足条件的正整数a的值为5或3，故答案为：5或3．14．【解答】解：设空白出图形的面积为x，根据题意得：a+x＝16，b+x＝9，则a﹣b＝7．故答案为：7．15．【解答】解：设横式纸盒x个，则竖式纸盒为（x+30）个，a＝4（x+30）+3x，b＝（x+30）+2x，∵295＜a+b＜305，∴295＜4（x+30）+3x+（x+30）+2x＜305，解得：14.5≤x≤15.5，∵x为整数，∴x＝15当x＝15时，a＝225，b＝75，故答案为：225，75．16．【解答】解：①×2﹣②，得3x＝1+7mx＝，把x＝代入①得+y＝1+3m，y＝，∵x+y＜1，m．∵m＞0，∴0．17．【解答】解：（1）设出发t秒时PQ的长度等于5cm，PQ＝5，则PQ2＝25＝BP2+BQ2，即25＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝0（舍）或2．故2秒后，PQ的长度为5cm．（2）设出发x秒时，△BPQ中有一个角与∠A相等．∵AB＝5cm，BC＝7cm∴PB＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm当∠BPQ＝∠A时，又∵∠B＝∠B∴△ABC∽△PBQ∴＝∴＝解得：x＝；当∠BQP＝∠A时，又∵∠B＝∠B∴△ABC∽△QBP∴＝∴＝解得：x＝故答案为：或．。

第5讲 函数的周期性知识与方法函数的周期性与单调性，奇偶性一样，是函数的重要性质．在高中所学的基本初等函数中，只有三角函数具备周期性，能体现出周期性的独特魅力．除了三角函数，分段函数与抽象函数也往往是考查周期函数的载体． 一、三角函数恒等变形的基本策略 1．常值代换：特别是“1”的代换．2．项的分拆与角的配凑：如()2222αααβαβααβββββ-⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＝＋＝＋，＝等． 3．降次与升次：利用升幂和降幂公式，注意遇无理变有理．4．转化法：遇切化弦、化同角(或同边)、复角化单角、异名化同名、高次化低次等． 5．合一变形：化为()sin y A x ωϕ＝＋(一角一名一次)的形式． 二、函数周期性的几个重要结论1．()()()f x a f x b y f x ⇔＋＝＋＝的周期为T b a -＝． 2．若()f x 满足以下条件，则均可得到()f x 周期为2a ： (1)()()f x a f x a -＋＝； (2)()()f x a f x -＋＝； (3)()()1f x a f x ＋＝； (4)()()1f x a f x -＋＝； (5)()()()11f x f x a f x -＋＝＋．3．()()()()11f x f x a y f x f x ⇔-＋＋＝＝的周期为4T a ＝． 4．()()()()2f x a f x a f x y f x -⇔＋＝＋＝的周期为6T a ＝． 5．双轴双心两倍距，单轴单心四倍距．三、易错警示图象平移和【解析】式变换之间的关系有两个易错点，一是移动的起点和目标的顺序，二是移动的量．平时所说的“左加右减、上加下减”的单位数是特指“一个正的x 或y ”的变化率．典型案例：()2212y f x ----＝的图象可由()2231y f x --＝＋＋的图象通过“向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度”的平移得到．典型例题【例1】 下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝的单调递增区间是（ ）A ．02π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．322ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【例2】 (多选题)已知函数()()02f x x πωϕωϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＞，＜的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移()0a a ＞个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若对于任意的()24x g x g π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭R ，，则a 的值可以为（ ）A ．12π B ．4πC ．512πD ．1112π【例3】 (多选题)已知函数()sin 23f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋，将()f x 图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则（ ） A ．当724x π＝时，()g x 取最小值 B ．()g x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 C ．()g x 的图象向左平移24π个单位长度后对应的函数是偶函数D ．直线12y ＝与()302g x x π⎛⎫⎪⎝⎭＜＜图象的所有交点的横坐标之和为194π【例4】设函数()e 2x f x x a =+-(a ∈R ,e 为自然对数的底数),若曲线sin y x =上存在点()00,x y ,使得()()0f f y y=,则a 的取值范围是（ ）A.1e 1,e 1-⎡⎤-+⎣⎦B.[1,e 1]+C.[e,e 1]+D.[1,e]【例5】(多选题)已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>图象上相邻的最高点之间的距离为2π,则下列结论中正确的是（ ） A.()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B.()f x 的图象关于直线12x π=对称C.()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]D.将()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,然后向左平移4π个单位长度,所得图象对应函数72sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【例6】设函数()()2cos sin 2f x x a x a a R =-+++∈ (1)求函数()f x 在R 上的最小值; (2)若不等式()0f x <在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求a 的取值范围; (3)若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根,求a 的取值范围.【例7】（多选）设函数()cos2cos2=22xxf x --（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.()f x 的一个周期为πD.4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 【例8】若tan 2θ=-,则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（ ）A.65-B.25-C.25D.65【例9】（多选）已知曲线()sin 04y x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞在区间()0,1恰有一条对称轴和一个对称中心,则下列结论中正确的是（ ） A.存在ω,使2sin 42ωπ+⎛⎫>⎪⎝⎭ B .存在ω,使2sin 42ωπ+⎛⎫=⎪⎝⎭ C.有且仅有一个0(0,1)x ∈,使04sin 45x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D.存在0(0,1)x ∈,使0sin 04x πω⎛⎫+< ⎪⎝⎭【例10】(多选题) 已知函数 ()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象与 x 轴交于点 ,A B , 与 y 轴交于点 C , 如图, 2,3BC BD OCB π=∠=,221||2,||3OA AD ==. 则下列说法中正确的为（ ） A.()f x 的最小正周期为12B.6πϕ=-C.()f x 的最大值为163D.()f x 在(14,17)上单调递增【例11】(多选题)已知函数()sin |||cos |f x x x =-,则下列结论中正确的是（ ） A.()f x 是偶函数B.()f x 是周期函数C.()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的最大值为1【例12】已知函数()sin()0,0,,()2f x A x A f x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示, ,P Q 分别为该图象的最高点和最低点, 点P 的坐标为,4A π⎛⎫⎪⎝⎭, 点R 的坐标为,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 且 2tan 2PRQ π∠=-.(1)求()f x 解析式;(2)若方程sin cos 1()(1)x x af x a +=在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个根,求实数a 的取值范围.【例13】在等腰Rt OAB ∆中,90,,AOB M N ∠=︒在线段AB 上,且30MON ∠=︒,求MON AOBS S ∆∆的最小值.【例14】已知a ∈R ,函数211(1),0,()sin 2,0,22x x x a x x f x x π--+⎧++<⎪⎪=⎨⎪>⎪+⎩若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称,则a 的取值范围是 （ ）。

学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第5讲—列方程解应用题（一）学习目标1、学会列方程解应用题；2、学会数字问题和年龄问题以及和差倍类问题的应用题解题方法。

教学内容1、上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

2、上节课预习内容，教师检查正确率，根据学生做题情况，有适当的积分激励，并且进行讲解。

案例：如图，天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问该从A盘内拿出多少盐到B盘内，才能使两者所盛盐的质量相等？【分析】方法：列方程关键：设未知数、找等量关系（1）设应从A盘拿出xg放到B盘（2）分析数量盘A盘B原有盐（g）5145现有盐（g）51－x45＋x【解答】解：设应从A盘拿出xg放到B盘内则根据题意得51－x＝45＋x解方程得x＝3经检验符合题意答：应从A盘拿出3g放到B盘列方程解应用题的一般步骤是：（1）审：审请题意，弄清题目中的数量关系；（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；（3）找：找出题目中的等量关系；（4）列：根据所设未知数和找出的等量关系列方程；（5）解：解方程，求未知数；（6）答：检验所求解，写出答案。

实际问题中，设未知数的方法可能不唯一，要寻找最简捷的设法；解题时，检验过程不可少，但可不写在书面上。

用列方程解应用题的几个注意事项：（1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理.（2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等.（3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义.（4）不要漏写“答”，“设”和“答”都不要丢掉单位名称.（5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真.【知识梳理1】数字问题数字问题是常见的数学问题。

这种列方程解应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：两位数＝10a＋b；三位数帽一样多说明男孩数目比女孩多一个，以此设未知数。

当堂训练评价单
必做题：
1.若关于x 的方程2x-a=x-2的解为x=3,则a 的值为 ( ) A.-5
B.5
C.-7
D.7
2.运用等式性质进行的变形,正确的是( ) A.如果a=b,那么a+c=b-c
B.如果 那么a=b
C.如果a=b,那么
D.如果a 2
=3a,那么a=3
3.(2013·孝感模拟)方程1＋ ＝3的解是( )
A.x=2
B.x=-2
C.x=-1
D.x=3
4用换元法解方程x 2
-2x- =1时，如设y=x 2-2x ，则将原方程化为关于y
的整式方程是_____.
5.若分式方程 有增根，则m ＝_____.
选做题：
1.(2013·天津模拟)当x 为何值时，代数式 与 的值相等？
a b
,c c =a b c c
=4
x 1
-22
x 2x
-5m 11x 2x 2
++=--()
2x 1x 123
-++2x 3
6
+
2.对于非零的两个实数a,b ，规定a ⊕b= 若2⊕(2x-1)=1，则x 的值为？
选做题
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.
例如：解方程 时可以把_____看作一个整体，设为y ，则原方程变
形为_____. 求方程的解
11
b a -，2x x
()5()60x 1x 1++=++。