中考数学总复习 基础讲练 第5讲 一次方程组(含答案点拨) 新人教版

第5讲一次方程（组）及应用【回顾与思考】例1解方程：x- - 12亠22 3【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、二.掌握二兀一次方程组的解法例2 （2006年枣庄市）已知方程组'ax by2,的解为4x 2'，求2a-3b的值y 1.x 2【点评】将代入原方程组后利用加减法解关于a, b的方程组.y 1.三.一次方程的应用例3 （2006年吉林省）据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市，一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水城市有多少座？系数化为1,五步进行【例题经典】一•掌握一元一次方程的解法步骤【点评】一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题.【基础训练】1若代数式3a4b2x与0.2a4b3x-1能合并成一项，则x的值是（）1 1A. B . 1 C . - D . 02 32. 如果2005-200.5=x-20.05 ，那么x 等于（）A . 1814.55B . 1824.55C . 1774.45D . 1784.453. （2006年盐城市）已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是（）A. 1 B . 0 C . 0 或1 D . 0 或-14. （2006年青岛市）某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，？若你想买下标价为360元的这种商品，最多降低多少元，商店老板才能出售（）A . 80 元B.100 元C . 120元 D . 160元5.若方程组ax by1的解是x 1那么a，b的值是（）bx ay2y 2A .a=2，b=1B a=1，b=0 C . a=1，b=1 D . a=0，b=06.足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.？某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（）A . 4 场B . 5 场C . 6 场D . 13 场7. （2006年随州市）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题, ? “鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露, 看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x只, 兔为y只，所列方程组正确的是（）x y 36 x y 36 A . y D.'x 2y 100 4x 2y 100 B.x y 362x 4y 100C. x y 362x 2y 100y=ax+b和y=kx的图象交于点P，?则根据图像可得, y ax b, j•次方程组的解是（关于的二兀）y kxx4x4A . B.y2y2x4x4C.D.y2y2& （2006年重庆市）如图，已知函数9.把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有___________ 种换法.11 .解方程:12. (2006年泰州市)？扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.果长方体盒子的长比宽多4cm,求这种药品包装盒的体积.13. (2006年重庆市)？农科所向农民推荐渝江I号和渝江H号两种新型良种稻谷. 在田间管理和土质相同的条件下，n号稻谷单位面积的产量比I号稻谷低20%但n号稻谷的米质好，价格比I号高，已知I号稻谷国家的收购价是 1.6元/千克.(1 )当^号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植I 号、n号稻谷的收益相同？(2 )去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植I号、n号稻谷，？且进行了相同的田间管理•收获后，小王把稻谷全部卖给国家•卖给国家时，n号稻谷的收购价定为2.2元/千克，I号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖n号稻谷比卖I号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？14 •某酒店客房部有三人间，双人间客房，收费数据如下表:【能力提升】10.解方程: (1)0.2x 30.50.01X 20.2(1)y 2x,3y 2x 8.(2)x 4y 1,2x y 16.50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房•若每间客房正好住满，？且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？【应用与探索】15. ( 2005年岳阳市)？某体育彩票经售商计划用45000?元从省体彩中心购进彩票20扎,每扎1000张，已知体彩中心有A, B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A?种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元.(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；(2)若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元•在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？(3)若经销商准备用45000元同时购进A，B, C三种彩票20扎，请你设计进票方案.答案与参考例题经典例 1 : x=1 例 2: 2a-3b=6 例 3: 102 座 考点精练 1. B 2.B 3 .A 4 . C5 . B6 . B7 . B8 . C9. 六种 10 . (1)100 (2): x=59x 1x 711 .(1)(2)12.90cm 3y 2y 21.613.(1)-=2 (元) 1 20%(2)设卖给国家的I 号稻谷x 千克，？则x (1-20%)X 2.2=1.6x+1040，解得 x=6500,所以 x+( 1-20%) x=1.8x=11700 (千克)，答：略 14.三人间8间，两人间13间 15•解：可设经销商从体彩中心购进 A 种彩票x 张，？B 种彩票y 张，C 种彩票z 张, 则可分以下三种情况考虑：(1) 只购进A 种彩票和B 种彩票，依题意可列方程组 解得x<0,所以无解•只购进 A 种彩票和C 种彩票， x z 1000 20, x 5000,解得1.5x2.5z 45000z 15000C 种彩票15扎或B 种彩票与C 种彩票各10扎.(2) 若购进A 种彩票5扌L ，C 种彩票15扌L ，销售完后获手续费为 15000=8500 (元)；若购进B 种彩票与C 种彩票各10扎，销售完后获手续费为 0.3 X 10000+0.5 X 10000=8000 (元)，•••为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为 A 种彩票5扎，C 种彩票15扎.(3) 若经销商准备用 45000元同时购进 A, B ，C 三种彩票20扎.设购进 A 种彩票x 扎，B 种彩票y 扎，C 种彩票z 扎，x y z 20,1.5 1000x 2 1000y2.5 1000z• 1< x<5,又••• x 为正整数，共有4种进票方案，即 A 种1 扎, 扎，B 种6扎，C 种12扎，或A 种3扎，B 种4 扎,x y 1000 20,1.5x 2y 45000依题意可列方程组 只购进B 种彩票和C 种彩票，依题可列方程组综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票,y z 1000 20,解得 y 10000 2y 2.5z 4500, 得 z 10000 '共有两种方案可行，即A 种彩票5扎, 0.2 X 5000+0.5 X 45000’y 2x 10 z x 10B 种8扎，C 种11扌L,或A 种2 C 种13扌L,或A 种4扎，B 种2扎，C种14扎.。

1 / 28第五节 一次方程【知识点梳理】1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果a b =，那么a c ±= ；② 如果a b =，那么ac = ；如果()0a b c =≠，那么a c= . 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0a ≠.3. 解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1.4．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.5. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个 合在一起，就组成了一个二元一次方程组.6．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程2 / 28 有 个解.7．二元一次方程组的解： 二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解.8. 解二元一次方程的方法：消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种.答案：1．相等关⑵ b c ±；② =ac bc ； =c a b c .2. ⑴等式，未知数的值，⑵ ，一，1 ， ax +b =0 、3.①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.4两个，25.二元一次方程6．一组，无数7．公共解8.代入消元和加减 消元法两种.【课堂练习】一．选择题（共8小题）1．设x，y，c是实数，（）A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc C．若x=y，则D．若，则2x=3y 【考点】83：等式的性质．【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；B、两边都乘以c，故B符合题意；C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；故选：B．2．x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．13 / 28【考点】85：一元一次方程的解．【分析】根据方程的解的概念即可求出a的值．【解答】解：将x=1代入2x﹣a=0中，∴2﹣a=0，∴a=2故选（B）3．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×16x=22（27﹣x）D．2×22x=16（27﹣x）【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，4 / 28∴可得2×22x=16（27﹣x）．故选D．4．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（）A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=330【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可．【解答】解：设上个月卖出x双，根据题意得（1+10%）x=330．故选D．5 / 285．某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折销售后仍获利50%，则x为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据利润=售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：根据题意得：200×﹣80=80×50%，解得：x=6．故选B．6 / 286．为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（）A．140元B．150元C．160元D．200元【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．【解答】解：设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，则有：20+0.8x=x﹣10解得：x=1507 / 28即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元．故选：B．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设第一天走了x里，则第二天走了x里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．【解答】解：设第一天走了x里，依题意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．8 / 289 / 28故选：C ．8．把()0mn pq mn =≠写成比例式，写错的是（ ）A ．m q p n =B ．p n m q =C ．q n m p= D ．m p n q= 【考点】83：等式的性质．【分析】利用等式的基本性质即可解决问题． 【解答】解：A 、把mn=pq （mn ≠0）两边同时除以np 得， =，所以A 正确； B 、把mn=pq （mn ≠0）两边同时除以mq 得， =，B 正确；C 、把mn=pq （mn ≠0）两边同时除以mp ，得=，所以C 正确；利用排除法可知D 错误．故选D ．二．填空题（共5小题）9．若23ab=，则a bb+=．【考点】83：等式的性质．【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．【解答】解：根据等式的性质：两边都加1，，则=，故答案为：．10．已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为．【考点】85：一元一次方程的解．【分析】把x=1代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把x=1代入方程得：2+a+5=0，解得：a=﹣7，故答案为：﹣7．10 / 2811．某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为元．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设该商品每件销售利润为x元，根据进价+利润=售价列出方程，求解即可．【解答】解：设该商品每件销售利润为x元，根据题意，得80+x=120×0.7，解得x=4．答：该商品每件销售利润为4元．故答案为4．12．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）11 / 28【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可．【解答】解：设有x人，依题意有7x+4=9x﹣8，解得x=6，7x+4=42+4=46．答：所分的银子共有46两．故答案为：46．13．已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为岁．12 / 28【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，根据再过5年派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入36﹣x﹣x中可求出二者的年龄差，再用40减去该年龄差即可求出当派派的妈妈40岁时派派的年龄．【解答】解：设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，根据题意得：36﹣x+5=4（x+5）+1，解得：x=4，∴36﹣x﹣x=28，∴40﹣28=12（岁）．故答案为：12．三．解答题（共9小题）14．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？13 / 28译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可．【解答】解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3=7x+4．解得x=7，∴8x﹣3=53，答：共有7人，这个物品的价格是53元．15．解方程：305 64x x--=．【考点】86：解一元一次方程．【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去分母得：2x﹣3（30﹣x）=60，14 / 28去括号得：2x﹣90+3x=60，移项合并得：5x=150，解得：x=30．16．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．（1）请直接写出第5节套管的长度；15 / 28（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）根据“第n节套管的长度=第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；（2）同（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度=每节套管长度相加﹣（10﹣1）×2×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）．（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm），设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311，即：320﹣9x=311，解得：x=1．16 / 28答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．17．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元（1）甲种商品每件进价为元，每件乙种商品利润率为；（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：优惠措施打折前一次性购物总金额少于等于450元不优惠超过450元，但不超过按售价打九折17 / 28600元超过600元其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设甲的进价为x，根据甲的利润率为50%，求出x的值；（2）设甲x件，则乙（50﹣x）件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可；（3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可．【解答】解：（1）设甲的进价为x，则（60﹣x）÷x=50%，解得：x=40．故甲的进价为40元/件；乙商品的利润率为（80﹣50）÷50=60%．（2）设甲x件，则乙（50﹣x）件，18 / 28由题意得，40x+50（50﹣x）=2100，解得：x=40．即购进甲商品40件，乙商品10件．（3）设小华打折前应付款为y，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，由题意得，0.9y=504，解得：y=560，②打折前购物金额超过600元，600×0.82+（y﹣600）×0.3=504，解得：y=640，综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．19 / 2818．我区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B28）的教师人数是阅A卷第18题（简称A18）教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人，求阅B28和阅A18原有教师人数各多少人？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设阅A18原有教师x人，则阅B28原有教师3x人，结合“从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后月B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人”列出方程并解答．【解答】解：设阅A18原有教师x人，则阅B28原有教师3x人，依题意得：3x﹣12=x+3，解得x=6．所以3x=18．答：阅A18原有教师6人，则阅B28原有教师18人．20 / 2819．小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的日期数之和是84天，你知道我们几号出去的么？”小王说“我暑假去舅舅家住了7天，日历数再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回的家？试试看列出方程，解决小赵、小王的问题．（提示：7月1日﹣9月1日暑假）【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据题意设小赵是x号出去的那么建立等量关系x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）=84，小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得，同上建立等量关系y+（y﹣1）+（y﹣2）+（y﹣3）+（y﹣4）+（y﹣5）+（y﹣6）=84．【解答】解：设小赵是x号出去的，那么列出方程式x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）=84，简化7x+21=84，21 / 28解得x=9．答：小赵是9号出去的．设小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得：7y+7=84，解得y=11；回来的日期是：11+3=14（号）．或7y+8=84，解得y=10，不合题意舍去．答：小赵是9号出去的，小王是7月14号回来的．22 / 2820．A、B两城相距600千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A城，车速为毎小时100千米，设客车出时间为t．探究若客车、出租车距B城的距离分别为y1、y2，写出y1、y2关于t的函数关系式，并计算当y1=200千米时y2的値．发现设点C是A城与B城的中点，（1）哪个车会先到达C？该车到达C后再经过多少小时，另一个车会到达C？（2）若两车扣相距100千米时，求时间t．决策己知客车和出租车正好在A，B之间的服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案：方案一：继续乘坐出租车，到达A城后立刻返回B城（设出租车调头时间忽略不计）；方案二：乘坐客车返回城．试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】探究：根据路程=速度×时间，即可得出y1、y2关于t的函数关系式，根据关系式算出y1=200千米时的时间t，23 / 28将t代入y2的解析式中即可得出结论；发现：（1）根据出租车的速度大于客车的速度可得出出租车先到达C点，套用（1）中的函数关系式，令y=300即可分别算出时间t1和t2，二者做差即可得出结论；（2）两车相距100千米，分两种情况考虑，解关于t的一元一次方程即可得出结论；决策：根据时间=路程÷速度和，算出到达点D的时间，再根据路程=速度×时间算出AD、BD的长度，结合时间=路程÷速度，即可求出两种方案各需的时间，两者进行比较即可得出结论．【解答】解：探究：由已知，得y1=﹣80t+600，令y1=0，即﹣80t+600=0，解得t=，故y1=﹣80t+600（0≤t≤）．y2=100t，令y2=600，即100t=600，解得t=6，故y2=100t（0≤t≤6）．当y1=200时，即200=﹣80t+600，解得t=5，当t=5时，y2=100×5=500．故当y1=200千米时y2的値为500．24 / 28发现：（1）∵100＞60，∴出租车先到达C．客车到达C点需要的时间：600﹣80t1=，解得t1=；出租车到达C点需要的时间：100t2=，解得t 2=3．﹣3=（小时）．所以出租车到达C 后再经过小时，客车会到达C．（2）两车相距100千米，分两种情况：①y1﹣y2=100，即600﹣80t﹣100t=100，解得：t=；②y2﹣y1=100，即100t﹣=100，解得：t=．综上可知：两车相距100千米时，时间t为或小时．决策：两车相遇，即80t+100t=600，解得t=，此时AD=80×=（千米），BD=600﹣=（千米）．方案一：t1=（+600）÷100=（小时）；25 / 28方案二：t2=÷80=（小时）．∵t1＞t2，∴方案二更快．21．列方程解应用题：我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，26 / 28问良马多少天能够追上驽马？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设良马x天能够追上驽马．根据题意得：240x=150×（12+x），解得：x=20．答：良马20天能够追上驽马．22．小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多12元，5台A 型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A，B两种型号计算器的单价分别是多少元？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据题意可以设出未知数，列出相应的方程，从而可以求得A，B两种型号计算器的单价．【解答】解：设某品牌A型号计算器的单价为x元，27 / 285x=7（x﹣12），解得，x=42，∴x﹣12=30，答：A，B两种型号计算器的单价分别是42元，30元．28 / 28。

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—一次方程（组）及其应用（含解析）1、掌握等式的基本性质掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组．2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.3、经历用一次方程组解应用题的过程，提高分析问题和解决问题的能力【题型1：等式的性质】【典例1】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝bC．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2【答案】A【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；故选：A．1．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（）A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2【答案】B【解答】解：将等式I＝，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．故选：B．2．（2021•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b＝a+c，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．a﹣b＝4（b﹣c）D．a﹣c＝5（a﹣b）【答案】D【解答】解：∵b＝a+c，∴5b＝4a+c，在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．故选：D．【题型2：一次方程（组）的相关概念】【典例2】（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（）A．3B．﹣3C．7D．﹣7【答案】A【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，∴2×1+m＝5，∴m＝3，故选：A．【典例3】（2023•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为，①﹣②，得：2x﹣2y＝2m+6，∴x﹣y＝m+3，∵x﹣y＝4，∴m+3＝4，∴m＝1．故选：B．1．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【答案】D【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D．2．（2021•聊城）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（）A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5【答案】A【解答】解：x+a＝2，x＝﹣a+2，∵﹣3＜a≤3，∴﹣3≤﹣a＜3，∴﹣1≤﹣a+2＜5，∴﹣1≤x＜5，故选：A．3．（2020•重庆）解一元一次方程（x+1）＝1﹣x时，去分母正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3xC．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x【答案】D【解答】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故选：D．4．（2023•朝阳）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为2．【答案】2．【解答】解：，①﹣②得：x﹣y＝a+2，又∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，∴a+2＝4，∴a＝2．故答案为：2．【题型3：一次方程（组）的解法】【典例4】（2021•广元）解方程：+＝4．【答案】x＝7．【解答】解：+＝4，3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，3x﹣9+2x﹣2＝24，3x+2x＝24+9+2，5x＝35，x＝7．【典例5】（2023•乐山）解二元一次方程组：．【答案】．【解答】解：，①×2得：2x﹣2y＝2③，②+③得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，解得：y＝1，∴原方程组的解为：．1．（2023•河南）方程组的解为．【答案】．【解答】解：，①+②，得4x+4y＝12，∴x+y＝3③．①﹣③，得2x＝2，∴x＝1．②﹣①，得2y＝4，∴y＝2．∴原方程组的解为．故答案为：．2．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【答案】见试题解答内容【解答】解：4x﹣1＝2x+5，4x﹣2x＝5+1，2x＝6，x＝3．3．（2023•常德）解方程组：．【答案】．【解答】解：①×2+②得：5x＝25，解得：x＝5，将x＝5代入①得：5﹣2y＝1，解得：y＝2，所以原方程组的解是．4．（2023•衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：解：2×7x＝（4x﹣1）+1，…（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．（2）写出你的解答过程．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】解：（1）如图：（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，去括号：14x＝4x﹣1+6，移项：14x﹣4x＝﹣1+6，合并同类项：10x＝5，系数化1：x＝．【题型4：一次方程（组）的应用】【典例6】（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．（1）求A，B玩具的单价；（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？【答案】（1）A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）100个．【解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，根据题意得：2（x+25）+x＝200，解得：x＝50，可得x+25＝50+25＝75，则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）设商场可以购置A玩具y个，根据题意得：50y+75×2y≤20000，解得：y≤100，则最多可以购置A玩具100个．1．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．【答案】该客车的载客量为40人．【解答】解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40．答：该客车的载客量为40人．2．（2023•陕西）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？【答案】学校这次共买了81棵树苗．【解答】解：设学校这次共买了x棵树苗，则：＝，解得：x＝81，答：学校这次共买了81棵树苗．3．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．【解答】解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，根据题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，解得x＝4，答：边的宽为4cm，天头长为24cm．4．（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．【答案】调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．【解答】解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，由题意得：，解得：，答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．5．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B 种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，依题意得：，解得：．答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，∴购买B种跳绳（45﹣m）根．依题意得：，解得：23≤m≤25.4，又∵m为整数，∴m可以取23，24，25，∴共有3种购买方案，方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．∵﹣5＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．1．（2023•青县校级模拟）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（）A．x+y＝0B．＝C．x﹣2＝y﹣2D．x+7＝y﹣7【答案】C【解答】解：A、由x＝y，得到x﹣y＝0，原变形错误，故此选项不符合题意；B、由x＝y，得到＝，原变形错误，故此选项不符合题意；C、由x＝y，得到x﹣2＝y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；D、由x＝y，得到x+7＝y+7，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．2．（2022秋•昆都仑区校级期末）为做好疫情防控工作，学校把一批口罩分给值班人员，如果每人分3个，则剩余20个；如果每人分4个，则还缺25个，设值班人员有x人，下列方程正确的是（）A．3x+20＝4x﹣25B．3x﹣25＝4x+20C．4x﹣3x＝25﹣20D．3x﹣20＝4x+25【答案】A【解答】解：由题意得3x+20＝4x﹣25．故选：A．3．（2023秋•瓦房店市校级期中）若x＝﹣4是方程a+3x＝﹣15的解，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣3【答案】D【解答】解：把x＝﹣4代入方程得：a﹣12＝﹣15，解得：a＝﹣3．故选：D．4．（2023秋•南宁期中）一元一次方程2x+1＝5的解为（）A．x＝3B．x＝4C．x＝2D．x＝0【答案】C【解答】解：移项和合并同类项，可得：2x＝4，系数化为1，可得：x＝2．故选：C．5．（2022秋•乐亭县期末）解方程，去分母正确的是（）A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1）B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）【答案】C【解答】解：，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．故选：C．6．（2022秋•丰宁县校级期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．0【答案】B【解答】解：解2x＝8，得x＝4．由同解方程，得4a+2×4＝4．解得a＝﹣1，故选：B．7．（2022秋•凤翔县期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（）A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m＝2【答案】A【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，所以m＝1．故选：A．8．（2023春•莒南县期末）已知是方程组的解，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】B【解答】解：∵是方程组的解∴将代入①，得a+2＝﹣1，∴a＝﹣3．把代入②，得2﹣2b＝0，∴b＝1．∴a+b＝﹣3+1＝﹣2．故选：B．9．（2023春•西城区校级期中）已知是二元一次方程y﹣kx＝7的解，则k的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】D【解答】解：根据题意得，﹣1﹣2k＝7，解得：k＝﹣4．故选：D．10．（2023•江山市模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，∴x﹣y＝4.5；∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，∴．∴所列方程组为．故选：B．11．（2023春•天元区校级期末）若解得x，y的值互为相反数，则k的值为（）A．4B．﹣1C．2D．﹣5【答案】D【解答】解：由题意可知：x+y＝0，∴，解得：，将代入2x﹣ky＝6，得2×（﹣2）﹣2k＝6，解得：k＝﹣5．故选：D．二．解答题（共5小题）12．（2023•渝北区校级自主招生）解下列方程：（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）；（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x），去括号得：2x﹣3x+3＝5﹣5x，移项得：2x﹣3x+5x＝5﹣3，合并同类项得：4x＝2，把系数化为1得：x＝．（2）1﹣＝，去分母得：15﹣3（x﹣3）＝5（4﹣x），去括号得：15﹣3x+9＝20﹣5x，移项得：﹣3x+5x＝20﹣15﹣9，合并同类项得：2x＝﹣4，把系数化为1得：x＝﹣2．13．（2023秋•靖江市校级期中）已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．（1）求k的值；（2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，∴k＝﹣3；（2）3x＝4﹣5x，3x+5x＝4，x＝，原方程为：6x+2m+1＝0，把x＝代入：3+2m+1＝0，m＝﹣2．14．（2022秋•莲池区校级期末）解下列方程组：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）②﹣①得：4y＝16，解得：y＝4，把y＝4代入②得：x+4＝6，解得：x＝2，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，②×2﹣①得：5x＝12，解得：x＝，把x＝代入②得：﹣y＝8，解得：y＝，则方程组的解为．15．（2022秋•榆阳区校级期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）求调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【答案】（1）调入6名工人；（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．【解答】解：（1）设调入x名工人，根据题意得：16+x＝3x+4，解得x＝6，∴调入6名工人；（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10，∴22﹣y＝22﹣10＝12，答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．16．（2023春•铁锋区期末）列方程（组）或不等式（组）解应用题：学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？【答案】（1）每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元；（2）最多能购买20支羽毛球拍．【解答】解：（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，依题意得：，解得：．答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元．（2）设购买m支羽毛球拍，则购买3m支乒乓球拍，依题意得：80m+60×3m≤5300，解得：m≤．又∵m为整数，∴m的最大值为20．答：最多能购买20支羽毛球拍．1．（2023秋•秦淮区期中）如果方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝9是关于x的一元一次方程，则a的值为（）A．0B．2C．6D．0或2【答案】A【解答】解：由题意得：|a﹣1|＝1且a﹣2≠0，解得a＝0．故选：A．2．（2023秋•工业园区校级期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（）A．4B．5C．21D．5或21【答案】B【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5；若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）．综上，x＝5，故选：B．3．（2022秋•颍州区校级期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有x名工人生产螺钉，可列方程为（）A．2×600x＝1000（22﹣x）B．2×1000x＝600（22﹣x）C．600x＝2×1000（22﹣x）D．1000x＝2×600（22﹣x）【答案】A【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则（22﹣x）人生产螺母，由题意得：2×600x＝1000（22﹣x），故选：A．4．（2023秋•洛龙区期中）下列运用等式变形错误的是（）A．由a＝b，得a+6＝b+6B．由a＝b，得C．由，得a＝b D．由﹣2a＝﹣2b，得a＝﹣b【答案】D【解答】解：A．∵a＝b，∴a+6＝b+6，故本选项不符合题意；B．∵a＝b，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵＝，∴a＝b，故本选项不符合题意；D．∵﹣2a＝﹣2b，∴a＝b，故本选项符合题意．故选：D．5．（2023秋•新市区校级期中）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（）A．49B．60C．84D．105【答案】D【解答】解：设中间的数为x，则上一行3个数分别是x﹣8，x﹣7，x﹣6，下一行3个数分别是x+8，x+7，x+6，则这7个数的和为x﹣8+x﹣7+x﹣6+x+x+8+x+7+x+6＝7x，A．若7x＝49，则x＝7，不符合题意；B．若7x＝60，则，不符合题意；C．若7x＝84，则x＝12，不符合题意；D．若7x＝105，则x＝15，符合题意；故选：D．6．（2023秋•蔡甸区期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率恰好为10%，则该商品可以打（）折（利润率＝×100%）A．7B．7.5C．8D．8.8【答案】D【解答】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为（5×0.1x）元，那么利润为（5×0.1x﹣4）元，所以相应的关系式为5×0.1x﹣4＝4×10%，解得：x＝8.8．答：该商品可以打8.8折，故选：D．7．（2023•九龙坡区校级开学）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟，∴甲的速度是，乙的速度是，由题意得．故选：A．8．（2023秋•雁塔区校级期中）若关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1的一组解为x＝3，y＝1，则a的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【答案】A【解答】解：把x＝3，y＝1代入关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1得：2a﹣1＝3+2×1，2a﹣1＝5，2a＝6，a＝3，故选：A．9．（2023秋•深圳期中）关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设m+n＝x'，m﹣n＝y'，则关于m，n的二元一次方程组可以转化为，∵关于x、y的二元一次方程组的解为，∴关于x'、y'的二元一次方程组的解，∴，①+②得：2m＝6，解得m＝3，将m＝3代入①得：n＝﹣2，∴．故选：D．10．（2022秋•溧阳市期末）完全相同的4个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n 的大长方形则图中阴影部分的周长是（）A．4n B．2m+n C．2m+2n D．3m﹣n【答案】A【解答】解：设白色小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝m，∵大长方形的长、宽分别为m、n，∴左边阴影部分的长为（m﹣2y），宽为（n﹣2y），右边阴影部分的长为2y，宽为（n﹣x），∴阴影部分的周长＝2[（m﹣2y）+（n﹣2y）]+2[2y+（n﹣x）]＝2（m+n﹣4y）+2（2y+n﹣x）＝2（m+n﹣4y+2y+n﹣x）＝2（m+2n﹣2y﹣x）＝2[m+2n﹣（2y+x）]＝2（m+2n﹣m）＝4n，故选：A．11．（2023春•富县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（）A．k≤1B．k≤2C．k≤﹣1D．k≤﹣2【答案】A【解答】解：两方程相加，得3x+3y＝5k﹣1，∴，∵，∴，解得：k≤1，故选：A．12．（2022春•朝天区期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（）①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则y＝﹣；A．①②B．②③C．②③④D．①③④【答案】D【解答】解：关于x，y的二元一次方程组，①+②得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确，（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确，（3）方程组，解得，∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，因此③是正确的，（4）方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），即；y＝﹣+因此④是正确的，故选：D．13．（2022秋•成都期末）已知关于x，y的二元一次方程组为，则3x+2y的值为7．【答案】7．【解答】解：，①+②得：3x+2y＝7．14．（2023春•海林市校级期中）已知方程组和有相同的解，求a、b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：先解方程组，解得：，将x＝2、y＝3代入另两个方程，得方程组：，解得：．15．（2023春•兖州区期末）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元．求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，根据题意得：，解得：．答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨．（2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）．16．（2023春•罗山县期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每辆小客车能坐m名学生，每辆大客车能坐n名学生根据题意，得，解得，m+n＝20+45＝65，答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．（2）①由题意得：20a+45b＝400，∴b＝，∵a、b为非负整数，∴或或，∴租车方案有三种：方案一：小客车20车、大客车0辆，方案二：小客车11辆，大客车4辆，方案三：小客车2辆，大客车8辆；②方案一租金：200×20＝4000（元），方案二租金：200×11+380×4＝3720（元），方案三租金：200×2+380×8＝3440（元），∵3720＞3440，∴方案三租金最少，最少租金为3440元．答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元．17．（2023春•围场县期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；（2）当销售总收入为16760元时，①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值．【答案】（1）a的值为20；（2）①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮；②b的值为9或18．【解答】解：（1）由题意，得160a+270a＝8600，解得：a＝20，答：a的值为20．（2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y篮，由题意，得，解得：，答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮．②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，则，解这个关于m和n的方程组，可得：，∵n为正整数，∴＞0，且b应为9的倍数，解得：，又∵b＞0，∴b的值为9或18．答：b的值为9或18．1．（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8，∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意；B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8，∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意；C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8，∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意；D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8，∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．故选：A．2．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7【答案】C【解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，合并同类项得：x＝7．故选：C．3．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（）A．3B．C．2D．【答案】D【解答】解：由题意可得，解得：，则﹣2xy+1＝﹣2××+1＝﹣+1＝﹣+1＝﹣+1＝﹣+≤，∵3＞＞2＞，∴A，B，C不符合题意，D符合题意，故选：D．4．（2021•重庆）若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为3．【答案】3．【解答】解：把x＝2代入方程+a＝4得：+a＝4，解得：a＝3，故答案为：3．5．（2021•枣庄）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为1．【答案】1．【解答】解：依题意，得：6+m+8＝15，解得：m＝1．故答案为：1．6．（2023•连云港）解方程组．【答案】．【解答】解：，①+②得：5x＝15，解得：x＝3，将x＝3代入①得：3×3+y＝8，解得：y＝﹣1，故原方程组的解为：．7．（2022•荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．【答案】k＜2．【解答】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，①﹣②得：2y＝2，∴y＝1，代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，∴k＜2．答：k的取值范围为：k＜2．8．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？【答案】（1）A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．（2）至多可以购买B种跳绳20根．【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．根据题意得：，解得：，答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，由题意得：30（46﹣a）+50a≤1780，解得：a≤20，答：至多可以购买B种跳绳20根．9．（2023•河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下：投中位置A区B区脱靶一次计分（分）31﹣2在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次．脱靶4次．（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k 的值．【答案】（1）6分；（2）k的值为6．【解答】解：（1）由题意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），答：珍珍第一局的得分为6分；（2）由题意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，解得：k＝6．∴k的值为6．10．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？【答案】（1）参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租用14辆45座客车更合算．【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．根据题意，得，解得．答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），∵2800＜3000，∴租用14辆45座客车更合算．。

第5讲 一次方程(组)考标要求考查角度1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题. 一元一次方程在中考试题中体现的不突出，仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.知识梳理一、等式及方程的有关概念 1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程． 二、一元一次方程1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x ＝______.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.三、二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)．(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；(4)把x (或y )的值代入y ＝a x ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值． 2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．五、列方程(组)解应用题的一般步骤审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x ，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．列：根据题意寻找等量关系列方程(组)． 解：解方程(组)．验：检验方程(组)的解是否符合题意． 答：写出答案(包括单位)．六、常见的几种方程类型及等量关系 1．行程问题中的基本量之间的关系 路程＝速度×时间；相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程； 流水问题：v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水． 2．工程问题中的基本量之间的关系工作效率＝工作总量工作时间.(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率． (2)通常把工作总量看作“1”． 自主测试1．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1 2．(重庆)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(山东临沂)关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则|m －n |的值是( ) A ．5 B ．3 C ．2 D ．14．(甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为( )A ．x (x －10)＝200B ．2x ＋2(x －10)＝200C ．2x ＋2(x ＋10)＝200D ．x (x ＋10)＝2005．(广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.6．受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？考点一、一元一次方程的解法【例1】 解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1.解：去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝6，去括号，得4x ＋2－10x －1＝6，移项，得4x－10x ＝6－2＋1，合并同类项，得－6x ＝5，系数化为1，得x ＝－56.方法总结 解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．考点二、二元一次方程组的有关概念【例2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2C ． 2D ．±2解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.∴2m －n ＝2×3－2＝4＝2. 答案：B方法总结 方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．触类旁通1已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a －1)＋7的值．考点三、二元一次方程组的解法【例3】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝5，5x ＋2y ＝23.①② 解：方法一：用加减消元法解方程组． ①×2得6x －2y ＝10，③ ②＋③得11x ＝33，解得x ＝3. 把x ＝3代入①得9－y ＝5，解得y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.方法二：用代入消元法解方程组． 由①得y ＝3x －5，③把③代入②得5x ＋2(3x －5)＝23，即11x ＝33，解得x ＝3.把x ＝3代入③得y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.方法总结 解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．触类旁通2解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝11，①2x ＋y ＝13.②考点四、列方程(组)解决实际问题【例4】 (湖南株洲)在学校组织的游艺晚会上，掷飞镖游艺区游戏规则如下：如图，掷到A 区和B 区的得分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分(掷中一次记一个点)．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：(1)求掷中A 区、B 区一次各得多少分； (2)依此方法计算小明的得分为多少分．分析：(1)观察图形，可知题中相等关系是：小华A 区得分＋小华B 区得分＝77分，小芳A 区得分＋小芳B 区得分＝75分，由此列方程组，即可求出掷中A 区、B 区一次各得多少分；(2)分别算出小明A 区得分，B 区得分可得小明总得分．解：(1)设掷中A 区和B 区一次分别得x 分，y 分．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝77，3x ＋5y ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝9. 答：掷中A 区、B 区一次分别得10分、9分． (2)由(1)可知：4x ＋4y ＝4×10＋4×9＝76. 答：小明的得分为76分．方法总结 对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．1．(湖南郴州)一元一次方程3x －6＝0的解是__________．2．(湖南怀化)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－5，7x －2y ＝13的解是__________．3．(湖南常德)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，①2x －y ＝1.②4．(湖南长沙)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内合作项目共348个，其中境外合作项目个数的2倍比省外境内合作项目多51个．(1)求湖南省签订的境外、省外境内的合作项目分别有多少个；(2)若境外、省外境内合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元．5．(湖南娄底)体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元.篮球 排球 进价(元/个) 80 50 售价(元/个) 95 60(1)购进篮球和排球各多少个？(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？1．已知3是关于x 的方程2x －a ＝1的解，则a 的值是( ) A ．－5 B ．5 C ．7 D ．22．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，2x ＋y ＝4的解是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝03．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，12x ＋16y ＝400 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，16x ＋12y ＝400C ．⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400D ．⎩⎪⎨⎪⎧ 16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝4004．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34B ．34C ．43D ．－435．湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为__________．6．方程|4x －8|＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，m 的取值范围是__________．7．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为__________．8．若关于x ，y 的二元一次方程组2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是__________．9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．参考答案【知识梳理】二、1.一个 1 整式 ax ＋b ＝0(a ≠0) －ba2．(2)去括号 (4)合并同类项 三、1.(1)两个 1 (3)相等 2．(1)两个 (3)公共解 四、消元 代入 加减 导学必备知识 自主测试1．B 把A 项代入方程左边＝0－2×⎝⎛⎭⎫－12＝右边，把B 项代入方程左边＝1－2×1＝－1≠右边，把C 项代入方程左边＝1－2×0＝右边，把D 项代入方程左边＝－1－2×(－1)＝右边．2．D ∵方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2， ∴2×2＋a －9＝0，解得a ＝5.故选D.3．D 把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3－1＝m ，1＋m ＝n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，则|m －n |＝1. 4．D 设宽为x 米，则长为(x ＋10)米，根据长×宽＝矩形面积，列方程为x (x ＋10)＝200.5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3(答案不唯一) 6．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x ，y 亩，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝10，1 200x ＋1 500y ＝13 800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩．探究考点方法触类旁通1.解：把x ＝2，y ＝3代入方程得23＝3＋a ，解得a ＝ 3. ∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝a 2＋6＝(3)2＋6＝9. 触类旁通2.解：②×2得4x ＋2y ＝26，③ ③－①得5y ＝15，解得y ＝3，把y ＝3代入②得2x ＋3＝13，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.品鉴经典考题1．x ＝2 移项，得3x ＝6，系数化为1，得x ＝2.2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3 两方程相加得8x ＝8，x ＝1，把x ＝1代入第一个方程，得y ＝－3. 3．解：①＋②得，3x ＝6，x ＝2， 把x ＝2代入①得，y ＝3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.4．解：(1)解法一：设湖南省签订的境外合作项目有x 个，则湖南省签订的省外境内的合作项目有(348－x )个，由题意得2x －(348－x )＝51，解得x ＝133，∴348－x ＝348－133＝215.答：湖南省签订的境外合作项目有133个，省外境内合作项目有215个．解法二：设湖南省签订的境外合作项目有x 个，省外境内的合作项目有y 个，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝348，2x －y ＝51，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝133，y ＝215.答：湖南省签订的境外合作项目有133个，省外境内合作项目有215个． (2)133×6＋215×7.5＝798＋1 612.5＝2 410.5(亿元)．答：在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2 410.5亿元． 5．解：(1)设购进篮球x 个，排球y 个，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，15x ＋10y ＝260，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝8.答：购进篮球12个，排球8个．(2)销售6个排球的利润为60元，60÷15＝4(个)， 所以与销售4个篮球的利润相等．研习预测试题1．B 把x ＝3代入方程，得6－a ＝1，所以a ＝5.2．D 两方程相加，得3x ＝6，x ＝2，把x ＝2代入x －y ＝2，得y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．B 购买甲种奖品x 件，每件16元，共花了16x 元，购买乙种奖品y 件，每件12元，共花了12y 元．相等关系为：甲奖品件数＋乙奖品件数＝30件，甲花的钱＋乙花的钱＝400元．4．B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7k ，y ＝－2k ，代入2x ＋3y ＝6，得到14k －6k ＝6，所以k ＝34.5．8x ＋38＝50 相等关系为8个莲蓬的价格＋找回的38元＝50元．6．m ＜2 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －8＝0，x －y －m ＝0，解得y ＝2－m ，∵y ＞0，∴2－m ＞0，∴m ＜2.7．－1 因为把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以a －b ＝－1.8．k ＞29．解：(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝18，2x ＋5y ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.答：每支钢笔3元，每本笔记本5元． (2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋5(48－a )≤200，48－a ≥a .解得20≤a ≤24.所以，一共有5种方案，即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.。

第二单元方程(组)与不等式(组)
第5讲一次方程(组)
(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．
(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．例：若(a-2)0
x a
+=是关于元一次方程，则a的值为
：解一元一次方程和二元一次方程组
解一元一(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；
(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；
(3)移项：移项要变号；
失分点警示：方程去分母时，
分子用括号括起来，然后再去括号，。

考点05. 一次方程（组）（精讲）【命题趋势】一次方程（组）在中考数学中较为简单，每年考查2-3题左右，分值为10分左右。

各地中考中，对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查。

预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。

【知识清单】1：等式的基本性质（☆☆）1）等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式 ，所得的结果仍是等式； 2）等式两边都乘以（或除以） 同一个不等于零的数 ，所得的结果仍是等式； 3）若a =b ，b =c ，则 a=c （传递性）。

2：一元一次方程（☆☆）1）方程：含有 未知数 的 等式 叫做方程．2）方程的解：使方程左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 解方程 。

3）一元一次方程：只含有 一个 未知数，并且未知数的次数为 1 ，这样的 整式 方程叫做一元一次方程。

它的一般形式为0(0)ax b a +=≠。

注意：x 前面的系数不为0。

4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元一次方程的解 。

5）一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤31）二元一次方程：含有 2个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。

2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 未知数的值 叫做二元一次方程的解。

3）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。

方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩。

4）解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是 消元 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。

5）二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

第二单元 方程与不等式 第5讲 一次方程(组)一元一次方程及解法二元一次方程组及解法一次方程(组)的应用1．解二元一次方程组时，若方程组其中一个方程中的未知数系数为1或－1，则直接采用代入消元法求解；若相同未知数的系数相等或互为相反数时，则直接采用加减消元法求解．2．列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)画线段图或列表格；(4)运用数学公式．命题点1 一次方程(组)的解法(2019·成都)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，①3x －2y ＝－1.②【思路点拨】 观察方程组的结构，未知数y 的系数互为相反数，直接将两式相加即可消去y ，再解关于x 的一元一次方程求出x 的值，最后将x 的值代入任一方程求出y 的值．【解答】解二元一次方程组的基本思想是消元，即是化“二元”为“一元”．其方法有代入消元法与加减消元法两种．(1)当方程组中的某一个未知数的系数为1或－1时，通常用代入消元法；(2)当方程组中的某一个未知数的系数相同或互为相反数或成倍数关系时，通常用加减消元法．1．(2019·梧州)一元一次方程4x ＋1＝0的解是()A ．x ＝14B ．x ＝－14C ．x ＝4D ．x ＝－42．(2019·巴中)若单项式2x 2ya ＋b与－13x a －b y 4是同类项，则a ，b 的值分别为()A ．a ＝3，b ＝1B ．a ＝－3，b ＝1C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝－13．(2019·甘孜)已知关于x 的方程3a －x ＝x 2＋3的解为2，则代数式a 2－2a ＋1的值是________．4．(2019·南充)已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝k ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则k 的值是________．5．(2019·无锡)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，①x －1＝12（2y －1）.②命题点2 一次方程(组)的应用(2019·连云港)小林在某商店购买商品A 、B 共三次，只有一次购买时，商品A 、B 同时打折，其余两次均按标价购买．三次购买商品A 、B 的数量和费用如下表：(1)小林以折扣价购买商品A 、B 是第________次购物； (2)求商品A 、B 的标价；(3)若商品A 、B 的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？【思路点拨】 (2)设商品A 、B 的标价分别为x 元、y 元，根据图表列出方程组求出x 和y 的值．(3)设商店是打a 折出售这两种商品．根据折后费用1 062元，列出方程求解．【解答】构建方程(组)解决实际问题的关键是弄清题意，找出题中的相等关系，当题中含有多种关系时，列方程组可降低思维难度．但一般情况是一个相等关系只能用一次．1．(2019·内江)植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，下列方程组正确的是()A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝523x ＋2y ＝20B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝522x ＋3y ＝20 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝202x ＋3y ＝52D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝203x ＋2y ＝522．(2019·南充)学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是()A ．25台B ．50台C ．75台D ．100台3．(2019·嘉兴)公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19.”此问题中“它”的值为________．4．(2019·泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A 、B 两种花草，第一次分别购进A 、B 两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A 、B 两种花草12棵和5棵．两次共花费940元(两次购进的A 、B 两种花草价格均分别相同)．求A 、B 两种花草每棵的价格分别是多少元．1．(2019·咸宁)方程2x －1＝3的解是()A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝1D ．x ＝2 2．(2019·无锡)方程2x －1＝3x ＋2的解为()A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝3D ．x ＝－33．(2019·广州)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5b ＝12，3a －b ＝4，则a ＋b 的值为()A ．－4B ．4C ．－2D ．24．(2019·淄博)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的平方根为()A ．±2 B. 2 C ．± 2 D ．25．(2019·杭州)某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x 公顷旱地改为林地，则可列方程()A ．54－x ＝20%×108B ．54－x ＝20%×(108＋x)C ．54＋x ＝20%×162D ．108－x ＝20%×(54＋x) 6．(2019·泰安)小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x 千克，乙种水果y 千克，则可列方程组为()A.⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝28x ＝y ＋2B.⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋6x ＝28x ＝y ＋2 C.⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝28x ＝y －2D.⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋6x ＝28x ＝y －2 7．(2019·郴州)一元一次方程3x －6＝0的解是________．8．(2019·泉州)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，2x ＋y ＝－1的解是________．9．(2019·潜江)清明节期间，七(1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈．若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有________名同学．10．(2019·北京)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两”．设每头牛值金x ，每只羊各值金y 两，可列方程组为________． 11．解方程(组)：(1)(2019·广州)5x ＝3(x －4)；(2)(2019·东营)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，①2x －y ＝9；②(3)(2019·威海)⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，①x 2－y 3＝1.②12．(2019·绵阳改编)已知a ＋b ＋5＋|2a －b ＋1|＝0，求(b －a)2 015的值．13．(2019·徐州)某超市为促销，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要54元，买3件A 商品和4件B 商品需要32元；打折后，买50件A 商品和40件B 商品仅需364元．这比打折前少花多少钱？14．(2019·广东)某电器商场销售A ，B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元．商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．求商场销售A ，B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元．(利润＝销售价格－进货价格)15．(2019·绍兴)某校规划在一块长AD 为18 m ，宽AB 为13 m 的长方形场地ABCD 上，设计分别与AD ，AB 平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮．如图，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？16．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＋z ＝1，z ＋x ＝－3的解中，y 的值为()A ．－1B ．－2C ．－3D ．317．(2019·武汉)定义运算“*”，规定x*y ＝ax 2＋by ，其中a 、b 为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝________．18．(2019·崇左)4个数a 、b 、c 、d 排列成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd＝ad －bc.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋3 x －3x －3 x ＋3＝12，则x ＝________．19．(原创)有一种用来画圆的工具板(如图所示)，工具板长21 cm ，上面依次排列着大小不等的五个圆(孔)，其中最大圆的直径为3 cm ，其余圆的直径从左到右依次递减x cm ，最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5 cm ，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5 cm ；且相邻两圆的间距d 均相等．(1)用含x 的代数式表示出其余四个圆的直径长；(2)若最大圆是最小圆的直径的1511，求相邻两圆的间距．20．(2019·日照)如图，长青化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，且这两次运输共支出公路运输费15 000元，铁路运输费97 200元．求：(1)该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？参考答案考点解读考点1 ①整式 ②等式 ③等式 ④相等 ⑤一 ⑥1 ⑦括号 ⑧同类项考点2 ⑨两 ⑩1 ○11相同 ○12两 ○13公共解 ○14一元一次 ○15代入 ○16加减 考点3 ○17间接 ○18等量关系 各个击破例1 ①＋②，得4x ＝4，解得x ＝1.将x ＝1代入第一个式子，解得y ＝2.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.题组训练 1.B 2.A 3.1 4.15.由②，得2x －2y ＝1，③ ①－③，得y ＝4.把y ＝4代入①，得x ＝92.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝4.例2 (1)三(2)设A 、B 两种商品的标价分别为x 元，y 元．根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝1 140，3x ＋7y ＝1 110.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝90，y ＝120.答：A 、B 两种商品的标价分别为90元，120元． (3)设商店是打a 折出售的，则a10(90×9＋8×120)＝1 062，解得a ＝6. 答：商店是打6折出售商品A 、B 的． 题组训练 1.D 2.C 3.13384.设A 种花草每棵的价格x 元，B 种花草每棵的价格y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋15y ＝675，12x ＋5y ＝940－675.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝5. 答：A 种花草每棵的价格是20元，B 种花草每棵的价格是5元．整合集训 基础过关1．D 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.x ＝2 8.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－3 9.5910.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝102x ＋5y ＝811.(1)去括号，得5x ＝3x －12.移项，得5x －3x ＝－12.合并同类项，得2x ＝－12.系数化为1，得x ＝－6.(2)①＋②，得3x ＝15，∴x ＝5.将x ＝5代入①，得5＋y ＝6， ∴y ＝1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.(3)②×6，得3x －2y ＝6.③ ③－①，得3y ＝3.∴y＝1.把y ＝1代入①，得3x －5＝3. ∴x＝83.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝1.12．∵a ＋b ＋5＋|2a －b ＋1|＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－5，2a －b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3. ∴(b －a)2 015＝(－3＋2)2 015＝－1.13.设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝54，3x ＋4y ＝32. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2.则50×8＋40×2＝480(元)，480－364＝116(元)．答：这比打折前少花116元．14.设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，得⎩⎪⎨⎪⎧5（x －30）＋（y －40）＝76，6（x －30）＋3（y －40）＝120.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42，y ＝56. 答：A ，B 两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元．15.设通道的宽为x m ，AM ＝8y m ． ∵AM ∶AN ＝8∶9， ∴AN ＝9y.∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋24y ＝18，x ＋18y ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝23. 答：通道的宽是1 m. 能力提升16．D 17.10 18.119.(1)其余四个圆的直径长分别为(3－x)cm ，(3－2x)cm ，(3－3x)cm ，(3－4x)cm.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1511（3－4x ）＝3，2×1.5＋[3＋（3－x ）＋（3－2x ）＋（3－3x ）＋（3－4x ）]＋4d ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.2，d ＝1.25.答：相邻两圆的间距为1.25 cm.20.(1)设工厂从A 地购买了x 吨原料，制成运往B 地的产品y 吨，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1.5（20y ＋10x ）＝15 000，1.2（110y ＋120x ）＝97 200.整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋x ＝1 000， 11y ＋12x ＝8 100. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝400，y ＝300.答：工厂从A 地购买了400吨原料，制成运往B 地的产品300吨．(2)300×8 000－400×1 000－15 000－97 200＝1 887 800(元)． 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在1x ,12,212x +,3xy π,3x y +,1a m +中分式的个数有（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C 的度数为A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°3．用配方法把一元二次方程2x +6x+1=0，配成2()x p +=q 的形式，其结果是（ ） A.2(3)x +=8B.2(3)x -=1C.2(3)x -=10D.2(3)x +=44．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBA ＝30°，AE 平分∠CAB 交BC 于D ，BE ⊥AE 于E ，给出下列结论：①BD ＝2CD ；②AE ＝3DE ；③AB ＝AC+BE ；④整个图形（不计图中字母）不是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5．下列函数中，对于任意实数x ，y 随x 的增大而减小的是( ). A.y=xB.y=C.y=－x+2D.y=2x 26．如图，,,AB AC BD 是O 的切线，切点分别是,,P C D ．若5,3AC BD ==，则AB 的长是( )A ．2B ．4C ．6D ．87．若2是关于x 的方程()2120x m x m --++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC ∆的两条边的长，则ABC ∆的周长为A ．7或10B ．9或12C ．12D ．98．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直x 轴，顶点A 在函数y 1＝1k x（x ＞0）的图象上，顶点B 在函数y 2＝2kx （x ＞0）的图象上，∠ABO ＝30°，则12k k ＝（ ）A ．﹣12B ．﹣13C ．﹣14D ．﹣159．港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（ ） A ．1.269×1010B ．1.269×1011C ．12.69×1010D ．0.1269×101210．如图，直线y=-x+2分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，点D 在BA 的延长线上，OD 的垂直平分线交线段AB 于点C ．若△OBC 和△OAD 的周长相等，则OD 的长是()A ．2B ．C．2D ．411．如图，在△ABC 中，EF//BC ，AB=3AE 。