幂函数的图像性质和应用

幂函数图像是数学中最常见的图像之一，它以指数形式表示，其标准形式为y = ax^n，其中a和n为实数。

幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。

首先，幂函数图像的定义域和值域都是实数，因此它们的图像可以是任何实数的函数。

其次，幂函数图像的图像具有指数性质，其图像的斜率随着x的增加而增加。

此外，当a>0时，幂函数图像具有单调性，当a<0时，其图像具有双曲线形状，并且具有极值点。

此外，幂函数图像的x轴和y轴的对称性也是一个重要的性质。

如果a>0，则图像具有y 轴对称性；如果a<0，则图像具有x轴对称性。

最后，幂函数图像的图像具有不变性，即当x和y满足y = ax^n时，它们的图像具有相同的形状。

总之，幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。

它们的定义域和值域都是实数，它们的图像具有指数性质，它们的图像具有单调性和双曲线形状，它们的图像具有y轴和x轴对称性，它们的图像具有不变性。

幂函数九个基本图像幂函数的图像和性质图表幂函数的图像：幂函数的性质：一、正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；二、负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。

利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。

其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

三、零值性质当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。

它的图像不是直线。

扩展资料一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

参考资料：百度百科—幂函数幂函数的图像和性质幂函数是基本初等函数之一。

一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时，定义域为(0，+∞) ），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。

特别，当n=1时为整数指数幂。

正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。

幂函数的性质与变化规律幂函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和变化规律。

本文将介绍幂函数的定义和图像特点，并探讨幂函数的性质及其变化规律。

一、幂函数的定义和图像特点幂函数是形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数，且a ≠ 0。

特别地，当n为正整数时，我们称其为正整数幂函数；当n为负整数时，我们称其为负整数幂函数。

幂函数的图像特点主要体现在以下几个方面：1. 当n为正整数时，幂函数的图像呈现出两种不同的变化规律：（1）当a > 0时，幂函数图像从第三象限的原点出发，向右上方逐渐拉长，经过第一象限，逐渐趋近于x轴正半轴。

（2）当a < 0时，幂函数图像同样从第三象限的原点出发，但在第二、四象限经过x轴正半轴的点，逐渐趋近于x轴负半轴。

2. 当n为负整数时，幂函数的图像呈现出另一种变化规律：幂函数的图像在x轴正半轴的点(x, 0)上，有n个切点（n为负整数的绝对值），即幂函数的图像与x轴的交集点为x1, x2, ..., xn，其中xi < xi+1。

在切点x = xn的左侧，幂函数的图像在x轴上是增函数，在切点x = xn的右侧，幂函数的图像在x轴上是减函数。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为全部实数集，即Df = (-∞, +∞)。

对于正整数幂函数和负整数幂函数，其值域均为正实数集R+。

2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，为偶函数；当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，为奇函数。

3. 单调性：当指数n为正时，幂函数在定义域内是单调递增的；当指数n为负时，幂函数在定义域内是单调递减的。

4. 渐近线：当指数n大于1时，幂函数的图像与x轴无交点，且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋于正无穷或负无穷，没有水平渐近线或斜渐近线。

只有当指数n小于1时，幂函数的图像与x轴有一个或多个交点，并且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋近于x轴正半轴，即有水平渐近线。

幂函数图像及性质总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它是指形式为f(x)=ax^k的函数，其中a 为非零实数，k为实数。

幂函数在数学中具有广泛的应用，在图像的研究中，掌握幂函数的图像及其性质是非常重要的。

首先，我们来看幂函数的图像特点。

当k为正数时，幂函数的图像呈现出“增长”或“递减”的趋势。

当k>1时，曲线会明显上升，形成类似于指数函数的图像特征。

而当0<k<1时，曲线则会下降，但下降的速率逐渐减慢。

特别地，当k=1时，幂函数成为一次函数，即f(x)=ax，其图像为一条直线。

此外，当k为负数时，幂函数的图像则出现在第二、第四象限，并且具有对称轴。

接下来，我们来讨论幂函数的性质。

首先，我们来看函数的定义域和值域。

由于幂函数的底数a不能为零，函数的定义域为除以0的集合，即R-{0}。

而幂函数的值域则依赖于指数k的正负情况。

当k为正数时，函数的值域为正实数集(0,+∞)。

当k为负数时，函数的值域为(0, +∞)的实数集。

由于底数a的正负情况也会影响函数的关系，故在具体分析时需要考虑a的取值范围。

其次，我们来讨论幂函数的奇偶性。

当指数k为偶数时，幂函数f(x)=ax^k是一个偶函数，即满足f(x)=f(-x)。

这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=x^k，从而f(x)=ax^k=f(-x)。

相应地，当指数k为奇数时，幂函数f(x)=ax^k是一个奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。

这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=-x^k，从而f(x)=ax^k=-ax^k=-f(-x)。

进一步地，我们来讨论幂函数的增减性和极值点。

当指数k为正数时，幂函数在定义域上是递增的。

当a>1时，函数的增长速度更快；当0<a<1时，函数的增长速度更慢。

而当指数k为负数时，幂函数在定义域上是递减的。

在图像上，幂函数具有一个最小值或最大值，该点称为极值点。

当k为偶数时，函数的极值点出现在定义域的最小值点，当k为奇数时，函数的极值点出现在定义域的最大值点。

幂函数的图像与性质【知识整理】1、幂函数的定义一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：y xα=中，前面的系数为1，且没有常数项。

2、幂函数的图像（1）y x=（2）12 y x =（3）2y x=（4）1y x-=（5）3y x=3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x ）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴。

基础训练：1. 下列函数是幂函数的是( )A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)32.已知函数y＝(m2＋2m－2)x m＋2＋2n－3是幂函数，则m=________，n=_________.3.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，则f(100)＝________．4. 下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( )A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3D．y＝x 1 25. 下列函数中，定义域为R的是( )A．y＝x－2B．y＝x 12C．y＝x2D ．y ＝x －16. 函数y ＝x 53的图象大致是( )7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 138. 函数y ＝x －2在区间[12，2]上的值域为________．9. 设α∈{－1，1，12，3}，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．例题精析：例1.如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为______________变式训练：幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是___________.例2．比较下列各组数的大小： (1)和－52； (2)－8－78和－(19)78；(3)(－23)－23和(－π6)－23； (4)，－23和(－－35.变式训练：用“>”或“<”填空：(1)(23)12________(34)12； (2)(－23)－1________(－35)－1；(3)(－37________(－－37.例3已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 12(1－4t －t 2)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数解析式．变式训练：若函数f (x )＝(m 2－m －1)x －m ＋1是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围.课后作业：1. 若幂函数f (x )的图象经过点(2，14)，则f (12)＝________．2.设α∈{－1，1，12，3}，则使幂函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为_________.3. 幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，18)，则满足f (x )＝－27的x 值等于________．4. 函数y＝a x－2(a＞0且a≠1，－1≤x≤1)的值域是[－53，1]，则实数a＝__________5. 比较下列各组中两个值的大小：(1)与； (2)与；(3)－23与－23； (4)－与－.6. 设a＝(25)35，b＝(25)25，c＝(35)25，则a，b，c的大小关系是_______________7. 已知函数y＝x 2 3.(1)求定义域；(2)判断奇偶性；(3)图象确定单调区间．8.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的取值范围．9. 点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x为何值时，有(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )?【题目】如果幂函数y=f （x ）的图像经过点（2，4），则f （3）=【题目】下列命题中，正确命题的题号为 ①幂函数的图像都经过点（1，1）②图像经过点（?1，1）的幂函数是偶函数 ③幂函数的图像不经过第四象限④当n=0时，函数y=x n 的图像是一条直线 ⑤当n<0时，函数y=x n 在定义域内为减函数【题目】研究幂函数23()f x x =的性质 （1）指出f （x ）的定义域和值域；（2）指出并证明f （x ）的奇偶性和单调性； （3）画出f （x ）的图像。

幂函数知识点1. 幂函数定义幂函数是形如 \(y = x^n\) 的函数，其中 \(n\) 是实数。

当 \(n\) 为正整数时，幂函数的图像是一系列经过原点的点，且随着 \(n\) 的增加，曲线逐渐趋于平坦。

2. 幂函数的图像特征- 当 \(n > 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递增。

- 当 \(0 < n < 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递减。

- 当 \(n\) 为负整数时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内表现为周期函数，周期为 \(4\pi\)。

- 当 \(n = 0\) 时，函数退化为常数函数 \(y = 1\)。

3. 幂函数的性质- 奇次幂函数是奇函数，即 \(y(-x) = -y(x)\)。

- 偶次幂函数是偶函数，即 \(y(-x) = y(x)\)。

- 幂函数的导数是 \(y' = n \cdot x^{n-1}\)。

- 幂函数的积分是 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。

4. 幂函数的应用- 在物理学中，幂函数常用于描述物体的速度与加速度的关系。

- 在经济学中，幂函数可以用来模拟市场需求与价格的关系。

- 在工程学中，幂函数用于描述材料的强度与应力的关系。

5. 特殊幂函数- 指数函数 \(y = a^x\) 是幂函数的一种特殊形式，其中 \(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。

- 对数函数 \(y = \log_a x\) 也是幂函数的一种特殊形式，其中\(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。

6. 幂函数的运算法则- 幂的乘法：\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)- 幂的除法：\(x^m / x^n = x^{m-n}\)- 幂的幂：\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)7. 幂函数的极限- 当 \(x \to 0\) 时，\(x^n\) 的极限取决于 \(n\) 的值。