《平行线的有关证明》全章复习与巩固(基础)知识讲解

第七章平行线的证明（基础）命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠3＝∠2∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠1＝∠2∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠4＋∠2＝180°∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1．请说出下列名词的定义：（1）无理数 （2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）如果,>>a b b c ，那么>a c ；（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：,>>a b b c ；结论：>a c .它是真命题.（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）.A m =，则a m =B ．若a ＞b ，则am ＞bmC ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形【答案】D 类型二、公理、定理及证明3．证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（ ）.A ．定义B ．定理C ．公理D ．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4. （2019•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB ∥AC ，根据同旁内角互补，两直线平行【答案与解析】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．举一反三：【变式】（2018•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；故选：C．5.（2018•日照期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．【答案与解析】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．命题、证明及平行线的判定定理（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列命题中，属于定义的是（）.A、两点确定一条直线B、同角的余角相等C、两直线平行，内错角相等D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度2．下列真命题的个数是().①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．A．0个B．1个C．2个D．3个3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是().A．平行的性质B．等量代换C．平行于同一直线的两条直线平行.D．以上都不对4．（2019•来宾）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是().A．∠1=∠2B．∠2=∠3C．∠3=∠5D．∠3+∠4=180°5．如图所示，给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是().A．同位角相等，两直线平行. B．内错角相等，两直线平行.C．同旁内角互补，两直线平行. D．以上都不对.6．（2018•金华）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD二、填空题7.（2019春•南和县期末）如图所示，请你填一个适当的条件：使AD∥BC .8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．9．如图，直线a和b被直线c所截，∠1＝110°，当∠2＝________时，有直线a∥b成立．10．（2018春•台州）长方形ABCD中，∠ADB=20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使AB′∥BD，则折痕AF与AB的夹角∠BAF应为．11．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．12.已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________．三、解答题13.求证：邻补角的角平分线互相垂直.14．（2018春•邵阳）如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC=90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．15．如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；2.【答案】A；【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强调在同一平面内，如图①中的AB与CC′不相交，但也不平行．③如图②中，射线AB与射线CD既不相交，也不平行．3．【答案】C；【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论．4. 【答案】C；【解析】根据平行线的判定即可得出C选项不符合.5. 【答案】A；【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行．6. 【答案】C；【解析】解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确；C、测得∠1=∠2，∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，∴不一定能判定两直线平行，故错误；D、在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD，∴∠CAO=∠DBO，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确．故选：C．二、填空题7. 【答案】∠ADC=∠DBC(答案不唯一)【解析】内错角相等，两直线平行.8．【答案】平行；【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.9．【答案】70°；10.【答案】55°；【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∠ADB=20°，∴∠ABD=70°．∵AB′∥BD，∴∠BAB′=110°．∵△AB′F由△ABF翻折而成，∴∠BAF=∠BAB′=55°．故答案为：55°．11.【答案】平行；【解析】平行公理的推论12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；【解析】这是平行公理的具体内容.三、解答题13.【解析】已知：如下图，∠AOD与∠DOB互为邻补角，且射线OC是∠AOD的角平分线，射线OE是∠DOB的角平分线.求证：OC⊥OE证明：∵∠AOD与∠DOB互为邻补角，∴∠AOD＋∠DOB＝180°.又∵射线OC是∠AOD的角平分线，射线OE是∠DOB的角平分线，∴∠COD＝12∠AOD，∠DOE＝12∠DOB，（角平分线的定义）∴∠COE＝∠COD＋∠DOE＝12∠AOD＋12∠DOB＝12（∠AOD＋∠DOB）＝1180902︒︒⨯=.（等量代换）所以OC⊥OE.14．【解析】解：∵∠EDC+∠ECD+∠DEC=180°，∠DEC=90°，∴∠EDC+∠ECD=90°．∵由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠ADC+∠BCD=2（∠EDC+∠ECD）=180°，∴AD∥BC．15. 【解析】解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°，∠2＝60°，∴∠1＝∠2．∴AB∥CD．又∵∠3＝∠4＝100°，∴CD∥EF．∴AB∥EF．平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角 相等）.因为a ∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁 内角互补).因为a ∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°. 321cba要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、∠3、∠4的度数．【答案与解析】解：∵ DE∥BC，∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF∥AB(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∴∠3＝115°(等量代换)．【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．举一反三：【变式】（2018•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°．故答案为：120°2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．【答案与解析】解：过点B作直线BE∥CD．∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．又∵BF∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°．【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．求证：∠B+∠D=180°【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．【答案与解析】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵BE∥FD（已知），∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠D=180°（等量代换）．【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．举一反三【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．【答案】解：∵CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠ECD=∠1=25°，∵AB∥CD，∴∠ECD+∠2=180°，∴∠2=180°-∠ECD=155°．4.（2019春•秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．【答案与解析】如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；（4）∵AB∥CD，∴∠POB=∠PCD，∵∠POB是△AOP的外角，∴∠APC+∠PAB=∠POB，∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．5. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．（1）求证：∠A=∠B；（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．【答案与解析】解：（1）∵BC∥AD，∴∠B=∠DOE，又∵BE∥AF，∴∠DOE=∠A，∴∠A=∠B．（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°又∠DOB=135°，∴∠A=45°．【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．举一反三【变式】已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．6、如图所示，AB ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝( )A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C【解析】过点C 作CD ∥AB ，∵ CD ∥AB ，∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF ∥AB∴ EF ∥CD ．∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE ＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF ＝360°【巩固练习】一、选择题1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是 ( ) A．① B．②和③ C．④ D．①和④2．（2018•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122° B．151°C．116°D．97°3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( )4．（2019•陕西一模）直线a、b、c、d的位置如图，如果∠1=100°，∠2=100°，∠3=125°，那么∠4等于（）A．80°B．65°C．60°D．55°5．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为( )A．60° B．70° C．80° D．120°6．如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于( )A．55° B．30° C．65° D．70°二、填空题7．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= _______．8. 如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= ________度．9.如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．10．（2018•云南）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α=．11．（2019春•冷水江市期末）如图，下列推理是否正确，请写出你认为是正确推理的编号．①因为AB∥DC，所以∠ABC+∠C=180°②因为∠1=∠2，所以AD∥BC③因为AD∥BC，所以∠3=∠4④因为∠A+∠ADC=180°，所以AB∥DC．12．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．三.解答题13．如图，已知AB ∥CD ，MG 、NH 分别平分∠BMN 与∠CNM ，试说明NH ∥MG?14. 如图，a ∥b ∥c ，∠1＝60°，∠2＝36°，AP 平分∠BAC ，求∠PAQ 的度数．15．（2018春•晋安）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF（1）求∠EOB 的度数；（2）若平行移动AB ，那么∠OBC：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】两直线平行角的关系. 2. 【答案】B ；【解析】∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG 平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，−−−→←−−−性质判定∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B．3. 【答案】B；【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.4. 【答案】D；【解析】∵∠1=100°，∠2=100°，∴∠1=∠2，∴直线a∥直线b，∴∠4=∠5，∵∠3=125°，∴∠4=∠5=180°﹣∠3=55°，故选D．5. 【答案】B【解析】注意到CD∥OE∥AB，由“两直线平行，同位角相等”可知∠AOE＝∠D＝30°，∠EOC＝∠B＝40°．故∠AOC＝∠EOC+∠AOE＝40°+30°＝70°．6. 【答案】C；【解析】∠3＝180°－40°－75°＝65°.二、填空题7.【答案】115°；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．故答案为：115°．8.【答案】36°；【解析】∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△CDE中，∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°．故答案为：36．9.【答案】60；【解析】由已知得：∠2＝2∠1＝60°.10．【答案】64°；【解析】由已知可得：AD∥BC，由平行的性质可得：∠D+∠C＝180°.如图，∵∠1+56°=120°，∴∠1=120°﹣56°=64°，又∵直线l1∥l2，∴∠α=∠1=64°．故答案为：64°．11. 【答案】①②④【解析】①∵AB∥DC，∴∠ABC+∠C=180°，此结论正确；②∵∠1=∠2，∴AD∥BC，此结论正确；③∵AD∥BC，∴∠1=∠2，而∠3≠∠4，此结论错误，④∵∠A +∠ADC=180°，∴AB ∥DC ，此结论正确．故答案为①②④．12.【答案】15°；【解析】由图可知：∠APC ＝∠BAP+∠PCD ，即有45°+a ＝60°-a+30°-a ， 解得：a ＝15°.三、解答题13.【解析】证明：∵AB ∥CD(已知)，∴ ∠BMN ＝∠MNC(两直线平行，内错角相等)． ∵MG 、NH 分别平分∠BMN 、∠CNM(已知)．∴∠MNH ＝∠MNC ，∠NMG ＝∠BMN(角平分线定义)． ∴∠MNH ＝∠NMG ，∴ NH ∥MG(内错角相等，两直线平行)．14.【解析】解：∵a ∥b ∥c ，∴∠BAQ ＝∠1＝60°，∠CAQ ＝∠2＝36°，∠BAC ＝60°+36°＝96°， 又AP 平分∠BAC ，∠BAP ＝×96°＝48°， ∴∠PAQ ＝∠BAQ-∠BAP ＝60°-48°＝12°．15.【解析】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∵OE 平分∠COF，∴∠COE=∠EOF，∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC，∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；（3）在△COE 和△AOB 中，∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，∴OB、OE 、OF 是∠AOC 的四等分线，∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．三角形的内角和（基础）知识讲解 121212【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE ∥AB （已作）．所以∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线，过B 点作∥，过C 点作∥，因为∥（已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∥（已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．1l 2l 1l 3l 1l 1l 3l 1l 2l又∠2+∠3=∠ACB，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.（2019春•宜兴市校级月考）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【思路点拨】首先根据三角形的内角和定理，求出∠1+∠2=40°，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出∠3+∠4=30°，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出∠5+∠6=30°；最后根据三角形的内角和定理，用180°减去∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数，求出∠A为多少度即可．【答案与解析】解：如图，∵∠BDC=140°，∴∠1+∠2=180°﹣140°=40°，∵∠BGC=110°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°﹣110°=70°，∴∠3+∠4=70°﹣40°=30°，∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6，又∵∠3+∠4=30°，∴∠5+∠6=30°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（∠1+∠2+∠3+∠4）+（∠5+∠6）=70°+30°=100°∴∠A=180°﹣100°=80°．故选：C．【总结升华】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角3.（1）如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】（2018春•龙口市）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为度．【答案】如图连接CE，根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．类型三、三角形的内角外角综合4.（2018春•绿园）如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．【思路点拨】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，由两角互补的性质即可得出结论．【答案与解析】解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）．又∵AD平分∠BAC（己知），∴∠BAD=21°，∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）．又∵AE 是BC 边上的高，即∠E=90°，∴∠DAE=90°﹣59°=31°．【总结升华】此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，P 为内角平分线AD 、BE 、CF 的交点，过点P 作PG ⊥BC 于G ，试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD ＝∠CPG ．理由如下：∵ AD 、BE 、CF 分别是∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∴ ∠1＝∠ABC ，∠2＝∠BAC ，∠3＝∠ACB ． ∴ ∠1+∠2+∠3＝(∠ABC+∠BAC+∠ACB )＝90°． 又∵ ∠4＝∠1+∠2，∴ ∠4+∠3＝90°．又∵ PG ⊥BC ，∴ ∠3+∠5＝90°．∴ ∠4＝∠5，即∠BPD ＝∠CPG ．【巩固练习】一、选择题1．已知在△ABC 中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．（2018•滨州）在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°3．(云南昆明)如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，∠A ＝80°，∠ACB ＝60°，12121212。

平行线的证明复习与巩固【学习目标】1．了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.【知识网络】【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.要点进阶：（1）命题一般由条件和结论组成.（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.（3）公认的真命题叫做公理.(4) 经过证明的真命题称为定理.3.证明:除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理的过程叫做证明.要点进阶：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点进阶：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点进阶：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点进阶：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.【典型例题】类型一、定义、命题及证明例1.我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,•如果我们把一个命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明.举一反三：【变式】下列命题中,真命题有( ) .①若x＝a，则x2－(a+b)x+ab＝0②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离③如果242xx--＝0,那么x＝±2④如果a＝b,那么a3＝b3A.1个B.2个C.3个D.4个例2.如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC 与∠BOD是对顶角．类型二、平行线的性质与判定例3.将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．例4.如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°．举一反三：【变式1】如图：AD∥BC，∠DAC=60°，∠ACF=25°，∠EFC=145°，则直线EF与BC的位置关系是．【变式2】已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3.求证：AB∥DC.类型三、三角形的内角和定理及推论例5.如图，P 是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A 和∠BPC 的大小，再计算一下，∠ABP ＋∠ACP ＋∠A 是多少度？这三个角的和与∠BPC 有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC 和∠A 的大小吗？举一反三：【变式1】如图,△ABC 的两外角平分线交于点P,易证∠P ＝90°-12∠A ；△ABC•两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC ＝90°+12∠A ；那么△ABC 的内角平分线BM 与外角平分CM•的夹角 ∠M ＝_____∠A.M QP CB A【变式2】如图,E 是BC 延长线上的点,∠1＝∠2.求证:∠BAC ＞∠B.21E DC BA类型四、实际应用例6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB ＝30°，你能说出∠EGF的度数吗？【巩固练习】一、选择题1．下列命题中，真命题是（）.A．任何数的绝对值都是正数 B．任何数的零次幂都等于1C．互为倒数的两个数的和为零D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) .A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°3．如图，如果∠1=∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（）（1）FG∥DC；（2）∠AED=∠ACB；（3）CD平分∠ACB；（4）∠1+∠B=90°；（5）∠BFG=∠BDC．A．1个B．2个C．3个D．4个4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（）.A．同位角B．同旁内角C．内错角 D. 同位角或内错角5.如图，将△ABC 沿DE ，EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠CDO +∠CFO=98°，则∠C 的度数为（ ）A ．40°B ．41°C ．42°D ．43°6. 如图，已知∠A ＝∠C ，如果要判断AB ∥CD ，则需要补充的条件是（ ）．A ．∠ABD ＝∠CEFB ．∠CED ＝∠ADBC ．∠CDB ＝∠CEFD ．∠ABD+∠CED ＝180°7.如图，1753DE //AB,CAE CAB,CDE ,∠=∠∠=65B ∠=，则∠AEB ＝（ ）． A ．70 B ．65 C ．60 D ．558. 把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若∠EFB ＝32°，则下列结论不正确的有（ ）．A.32='∠EF C B. ∠AEC ＝148° C. ∠BGE ＝64° D. ∠BFD ＝116° A B FE D CA BC D E A B C 'D ' C DEF G二、填空题9．如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ECD＝110°，则∠ABE的度数为________．10.如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝．11.如图所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是．12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=．13．如图所示，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADE=∠EDF，∠CED=∠FEG．则∠F=．14. 我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°＝2×180°,五边形的内角和等于540°＝3×180•°，……”试猜想十边形的内角和等于度．15. 五角形的五个内角的和是________.16. 如图，下面四个条件：（1）AD AE =，（2）AC AB =，（3）OC OB =，（4）C B ∠=∠， 请你以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题：如果，那么 ．（只填序号即可）三、解答题17．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AQ ，BN ，CN ，DQ 分别是∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）18. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a ∥b ，b ∥c ，d ∥e ，a ∥c ．19. 如图所示，已知AB ∥CD ，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x 的大小．DA B CE O20.已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．（1）∠ABC+∠ADC=；（2）如图1，若DE平分∠ABC的外角，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明．（3）如图2，若BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=∠CDN，∠CBE=∠CBM），试求∠E的度数．。

八上第七章《平行线的证明》复习回顾一.基本概念（一）定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，这就是定义。

在表示定义的句子中常有“叫…，称为…，是…”等关键字眼。

（二）命题：判断一件事情的句子，叫做命题 1.它包含两层含义：①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； ②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断； 2. 每个命题都由条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出来的事项。

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。

3.命题有真命题、假命题、逆命题之分。

（三）公理：公认的真命题称为公理；公理是不需要经过推理证实的真命题。

（四）定理：经过证明的真命题称为定理；公理和定理都可以作为判断其他命题真假的依据。

（五）证明：推理的过程称为证明 例1．下列命题是真命题的是（ ）A ．若直角三角形其中两边为3和4，则第三边为5B ．﹣1的立方根是它本身C ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D ．内错角相等 例2.下列四个命题中,真命题有（ ）①两条直线被第三条直线所截,内错角相等；②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2；③ 三角形的最大角不小于60°；④如果，＞02x 那么.0＞x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3.下列命题中，真命题的是( ) A. 同旁内角互补 B. 相等的角是对顶角 C. 同位角相等，两直线平行 D. 直角三角形两个锐角互补 二.基本性质（一）平行线的性质与判定1.性质①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补； ④平行于同一直线的两直线平行； 2.判定①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行；④在同一平面内，不相交的两直线平行；（定义判别） ⑤平行于同一直线的两直线平行；⑥在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；例4．在下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB ∥CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．例5.如图,直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F,EG 平分∠BEF,AB ∥CD.若∠1=72°,则∠2的度数为（ ） A.54° B.59° C.72° D.108°例6.将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为_________.例7.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作BC 的平行线交AB 于点E ，交AC 于点F ，已知∠BED +∠CFD =240∘，则∠BDC =______． 例8.如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF =ED ，连CF ．(1)求证：CF//AB(2)若∠ABC =50∘，连接BE ，BE 平分∠ABC ，AC 平分∠BCF ，求∠A 的度数．练习：1.如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________.2、如图，写出两个能推出直线AB ∥CD 的条件________________________. 3.如图，AD=CD ，AC 平分∠DAB ，求证DC ∥AB .例5图32例6图第2题第1题CAB DE4.已知：如图，AB∥CD，∠BPF与∠CGE是一对内错角，PQ平分∠BPF，GH平分∠CGE．求证：PQ∥GH．5.如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C.求证：∠1=∠2.6．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，求∠FGB的度数7．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE＝60°，求∠ECD的度数AB GD F CE132（二）复杂图形中平行线的构造和应用解题关键：遇到拐点处作已知平行线的平行线，然后根据同位角、内错角和同旁内角的关系求角的度数。

“平行线的证明”知识回顾“平行线的证明”一章是证明的初步，主要涉及命题、公理、定理的有关概念，以及与平行线、三角形的内角和等有关的简单的证明．通过本章的复习，要掌握证明的格式，能利用学过的公理、定理等进行简单问题的证明或计算．一、定义与命题1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.3.真命题、假命题与反例真命题：正确的命题称为真命题.假命题：不正确的命题称为假命题.反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.4.公理、定理、证明公理：人们公认的真命题称为公理.定理：经过证明了的真命题称为定理.证明：推理的过程称为证明.例1在下列命题中，真命题是（）．A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似析解：本题是和三角形相似的有关命题的识别，真命题就是条件成立，结论正确的命题．两个三角形是否相似，主要看是否满足下列相似的条件之一：①有两组对应角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．所给的选项中只有两个等边三角形满足以上条件．所以选（D ）．说明：和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要形式．二、平行线的判定和性质1.平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.2.平行线的判定定理1：同旁内角互补，两直线平行.3.平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行.平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.4.平行线的性质定理1：两直线平行，内错角相等.平行线的性质定理2：两直线平行，同旁内角互补.注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条件和结论，平行线的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由平行线的位置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言，“两直线平行”是结论，对平行线的性质而言，“两直线平行”是条件.因此，不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.例2 如图1，AB CD ∥，EF 分别交AB CD ，于M N ，，50EMB =∠，MG 平分BMF ∠，MG 交CD 于G ．求∠1的度数．分析：要求∠1的度数，根据两直线平行可得1BMG =∠∠，所以只要根据已知条件求出BMG ∠的度数即可．解：因为AB CD ∥，所以1BMG =∠∠（两直线平行，内错角相等）． 又50EMB =∠，MG 平分BMF ∠，所以11(18050)6522BMG FMB ==-=∠∠． 所以165=∠．说明：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等或同旁内角互补）解决问题，有时还要用到三角形的外角性质等．三、三角形内角和定理探究三角形内角和定理时，将三角形的三个内角“凑”在一起，拼成一个平角，从而得到三角形的内角和等于180°，这里体现了一种重要的数学思想——转化思想.三角形内角和定理的证明方法较多，除了转化为平角证明外，还可以利用“构造周角”的方法以及“两直线平行，同旁内角互补”的方法解析证明. 例3 如图2，已知ABC △中，90BAC =∠，AD BC ⊥于D ，E 是AD 上一点．求证：BED C >∠∠．分析：BED ∠与C ∠没有直接的联系，但BED ∠、C ∠都与BAC ∠有关，因此可以用BAC ∠作中间量进行过渡．证明：在ABC △中，90ABC C +=∠∠，因为AD BC ⊥，所以90ADB =∠，在ABD △中，90ADB =∠，所以90ABC BAD +=∠∠，所以C BAD =∠∠．因为BED BAD >∠∠（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， 所以BED C >∠∠．说明：证明角的不等关系式时一般用到三角形的外角与三角形的内角的关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．四、三角形的外角三角形内角和定理的两个推论是：推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2 三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角.关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了一个外角与它不相邻的两个的相等关系，应用在证明或计算内角与外角的大小问题中；第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系，用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.例4 如图3，点P 是△ABC 内的一点，连接BP 、CP.求证：∠BPC>∠BAC.分析：要求证明∠BPC>∠BAC ，通常有两种方法：一是找到第三个角，利用不等式的传递性得证；二是将∠BPC 和∠BAC 都分成两个角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立来证明.证法一：如图3（1）所示，延长BP 交AC 于点D.由于∠BPC 是△DPC 的外角，所以∠BPC>∠CDP.由于∠CDP 是△ABD 的外角，所以∠CDP>∠BAC.所以∠BPC>BAC.证法二：如图3（2）所示，连接AP 并延长AP.因为∠1是△ABP 的外角，所以∠1>∠3.因为∠2是△APC 的外角，所以∠2>∠4.所以∠1+∠2>∠3+∠4.又因为∠1+∠2=∠BPC ，∠3+∠4=∠BAC ，所以∠BPC>∠BAC.点评：要证角的不等关系，一般地将大角转化为某三角形的外角，将小角转化为某三角形的内角.解决本题的关键是通过添加辅助线以达到此目的. 练习1、写出下列命题的条件和结论.（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.（2）对顶角相等.2、如图，在△AFD 和△BEC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面4个论断：①AD=CB ；②BE=DF ；③∠B=∠D ；④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.AC P D（1） （2） 图3 B4 1 323、在△ABC 中，∠B-∠C=40°，∠A=80°，求∠A 、∠B 、∠C 的度数，并判断△ABC 的形状？4、如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______.参考答案1、解析：（1）命题一般写成“如果A ，那么B”的形式，A 部分为条件，B 部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”.（2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”.2、分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简单的，这样解答起来也较容易.解：如，已知：BE=DF ，∠B=∠D ，AD=CB.求证：AD//BC.证明：因为AD=CB ，∠B=∠D ，BE=DF ，所以△ADF ≌△CBE.所以∠A=∠C ，所以AD//BC.3、分析：利用隐含条件：三角形的三个内角和等于180°.构造方程求解.解：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，所以∠B+∠C=100°，又∠B-∠C=40°，所以∠B=70°，∠C=30°，所以△ABC为锐角三角形4、分析：观察图形可知，欲求∠3的度数，可先求∠4的度数，这只要利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可.解：因为∠1=100°，所以∠4=1800°-∠1=70°.又∠2=∠3+∠4.所以∠3=∠2-∠4=140°-70°=70°.。