江苏省盐城中学2019-2020学年高二4月阶段性考试数学试题

第二学期高二年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知复数11z i i=++(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 2．某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取 ▲ 人.3．命题“1x ∃<使得21x ≥”是 ▲ 命题. （选填“真”或“假”）4．从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为 ▲ ．5．设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，若A 为线段12F F 的一个三等分点，则该双曲线离心率的值为 ▲ ． 6．执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为 ▲ ．（第6题图）7．若变量x，y满足约束条件10,280,0,x yx yx-+⎧⎪+-⎨⎪⎩则3z x y=+的最大值为▲．8．若函数2243,0,(),0x x xf xax bx c x⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩为偶函数，则(1)(1)f f'-+-的值为▲．9．(理科学生做)若6(x展开式中的常数项为60，则实数a的值为▲．(文科学生做) 函数2232018()1xf xx+=+的值域为▲．10．(理科学生做)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为▲种．（用数字作答）(文科学生做) 若tan(2)2αβ+=，tan()3αβ+=，则tanα=▲．11．已知对任意正实数1a，2a，1b，2b都有22212121212()b b b ba a a a++≥+，类比可得对任意正实数1a，2a，3a，1b，2b，3b都有▲．12．若函数2346)1(43)(axxaxxf++-=在0=x和1=x时取极小值，则实数a的取值范围是▲．13．若方程m x =有实根，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．若0,0x y >>，且149x y x y +++≤，则14x y+的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X ,其概率分布如下表，数学期望()2E X =. （1）求a 和b 的值；（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X 大于0的次数为Y ，求Y 的概率分布与数学期望.（文科学生做）已知集合)}12lg(|{2+--==x x y x A ，2{|280}B x x x =+-≤，{|6}C x x a =-<. （1）求 A B ；（2）若“C x ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．(本小题满分14分)（理科学生做）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点M 是BC 的中点． （1）求异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值； （2）求直线1AC 与平面1A DM 所成角的正弦值．MB 1C 1D 1A 1DCB A（第16题理科图） （第16题文科图）（文科学生做）已知函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的部分图象如图所示.（1）求,,A ωϕ的值；（2）设函数()()()4g x f x f x π=+，求()g x 在[0,]2π上的单调递减区间.17．(本小题满分14分)（理科学生做）已知数列{}n a 满足11a =，1(1)2nn n na a n a +=++（n ∈*N ）．（1）求2a ，3a ，并猜想{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想． （文科学生做）已知数列{}n a 满足652n nn a +=.（1）求1a ，2a ，3a 的值，猜想并证明{}n a 的单调性；（2）请用反证法证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．18．(本小题满分16分)直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，过点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点)1,2(P ，直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，且线段AB 被直线OP 平分.①求直线l 的斜率；②若0=⋅PB PA ，求直线l 的方程.19． (本小题满分16分)如图是一个路灯的平面设计示意图，其中曲线段AOB 可视为抛物线的一部分，坐标原点O 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y 轴，灯杆BC 可视为线段，其所在直线与曲线AOB 所在的抛物线相切于点B .已知2AB =分米，直线ABx 轴，点C 到直线AB 的距离为8分米.灯杆BC 部分的造价为10元/分米；若顶点O 到直线AB 的距离为t 分米，则曲线段AOB 部分的造价为203t元. 设直线BC 的倾斜角为 ，以上两部分的总造价为S 元. （1）①求t 关于 的函数关系式；②求S 关于 的函数关系式； （2）求总造价S 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()f x 的导函数为()f x '.若不等式()()f x f x '≥对任意实数x 恒成立，则称函数()f x 是“超导函数”.（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；（2）若函数()g x 与()h x 都是“超导函数”，且其中一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，求证：函数()()()F x g x h x =是“超导函数”；（3）若函数()y x ϕ=是“超导函数”且方程() ()x x ϕϕ'=无实根，(1)e ϕ=（e 为自然对数的底数），判断方程ln (ln )x x x x e ϕ----=的实数根的个数并说明理由.xOy A BC2019-2020学年度第二学期高二年级期终考试数学试题数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.222.2203. 真4.235.36.107. 98.29. （理）4 （文）(3,2018]10. （理）288 （文）17-11. 2222312312123123()b b b b b b a a a a a a ++++≥++ 12. (0,1) 13. [7]- 14. 9352+二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(理科)解：(1)因为()2E X =，所以103622a b ⨯+⨯+⨯=， 即362a b +=．① …………………………………………………………………2分 又112a b ++=，得12a b +=．② …………………………………………………………………4分联立①，②解得13a =，16b =． …………………………………………………………………6分(2)1(0)2P X >=，依题意知1(3,)2Y B ，故311(0)()28P Y ===，123113(1)()()228P Y C ==⨯=，223113(2)()228P Y C ==⨯=，311(3)()28P Y ===． …………………………………………………………………10分 故Y 的概率分布为Y 的数学期望为13313()012388882E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………14分(文科)解：(1){}{}212043A x x x x x =--+>=-<<, …………………………………………………2分{}{}228042B x x x x x=+-=-． …………………………………………………4分 则{}42A B x x=-< …………………………………………………6分(2){}{}666C x x a x a x a =-<=-<<+， 因为“x C ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件，所以()A B C ⊆且()AB C ≠． ……………………………………………………10分由()A B C ⊆，得6462a a --⎧⎨+>⎩，解得42a-<．……………………………………………………12分经检验，当42a -<时，()A B C ≠成立， 故实数a 的取值范围是(4,2]-． ……………………………………………………14分16．(理科)解：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz -．因为(1,2,0)M ，(2,0,0)A ，1(0,2,4)C ， 所以(1,2,0)DM =，1(2,2,4)AC =-， ……………………………………………………………2分所以11222222130cos ,120(2)24DM AC DM AC DM AC ⋅==++⨯-++⨯ 所以异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值为． ……………………………………………………6分 (2)1(2,0,4)DA =，设平面1A DM 的一个法向量为(,,)n x y z =．则100DA n DM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得24020x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1y =，得2x =-，1z =，故平面1A DM 的一个法向量为(2,1,1)n =-． ………………………………………10分于是1115cos ,6(n AC n AC n AC ⋅===-⨯， 所以直线1AC 与平面1A DM 所成角的正弦值为56． ………………………………………………14分 (文科)解：(1)由图形易得4A =，254()126πππω=⨯-，解得2ω=， …………………………………………………………………2分此时()4sin(2)f x x ϕ=+．因为()f x 的图象过(,4)6π，所以()46f π=，得sin()13πϕ+=． …………………………………………………………………4分因为22ππϕ-<<，所以5636πππϕ-<+<，所以32ππϕ+=，得6πϕ=．综上4A =，2ω=，6πϕ=． …………………………………………………………6分(2)由(1)得()4sin(2)4sin[2()]646g x x x πππ=+⋅++16sin(2)cos(2)66x x ππ=++8sin(4)3x π=+． (10)分 由3242232k x k πππππ+++，解得7242242k k xππππ++，其中k Z ∈． 取0k =，得72424xππ， 所以()g x 在[0,]2x π∈上的单调递减区间为7[,]2424ππ．……………………………………………………14分17（理科）（1）2311,49a a ==，猜想21n a n =. ………………………………………………6分（2）当1=n 时，命题成立； ………………………………………………8分 假设当)(*N k k n ∈=时命题成立，即21ka k =， ………………………………………………10分 故当1+=k n 时，212221111(1)221(1)(1)2k k k k ka k a k a k k k k k +⨯====+++++++， 故1+=k n 时猜想也成立. ………………………………………………12分综上所述，猜想成立，即21na n =. ………………………………………………14分（文科）（1）计算得823,417,211321===a a a ，猜想该数列为单调递减数列. ………………………2分 下面给出证明：11126125625)1(6+++-=+-++=-n nn n n nn n a a ， 因为1≥n ，故061<-n ，所以01<-+n n a a 恒成立，即数列为单调递减数列. ………………………6分（2）假设{}n a 中存在三项成等差数列，不妨设为,,p q r a a a ()p q r <<这三项，………………………8分由（1）证得数列{}n a 为单调递减数列，则r p q a a a +=2，即6565652222q pr q p r +++⨯=+， 两边同时乘以r 2，则等式可以化为)56(2)56(2)56(1++⋅+=⋅+-+-r p q p r q r ，（※） ……………12分因为r q p <<，所以p r q r -+-,1均为正整数，故1(65)2r q q -++⋅与(65)2r p p -+⋅为偶数， 而65r +为奇数，因此等式（※）两边的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立， 所以假设不成立，故数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列． ………………………14分18．（1）由23=e 可得21=a b ， ………………………2分 设椭圆方程为142222=+by b x ，代入点)23,1(，得1=b ，故椭圆方程为：1422=+y x . ………………………4分 （2）①由条件知2:x y OP =， 设),(),,(2211y x B y x A ，则满足142121=+y x ，142222=+y x ， 两式作差得：0422212221=-+-y y x x ， ………………………6分 化简得0)(421212121=--+++x x y y y y x x ， 因为AB 被OP 平分，故22121x x y y +=+， 所以212121-=--x x y y ，即直线l 的斜率21-=k . ………………………10分②设直线l 为t x y +-=21，代入椭圆方程1422=+y x 可得0)1(2222=-+-t tx x ，（＃） 所以122x x t +=，2122(1)x x t =-，121212111()()()2222y y x t x t x x t t +=-++-+=-++=，22121212121111()()()(1)22422t y y x t x t x x x x t t =-+-+=-++=-， ………………………12分故1212(2)(2)(1)(1)PA PB x x y y ⋅=--+--21212121252()4()1(21)02x x x x y y y y t t =-+++-++=-+= ………………………14分解得1=t ，此时方程（＃）中0>∆， 故所求直线方程为121+-=x y . ………………………16分19.解：（1）①设曲线段AOB 所在的抛物线的方程为2(0)y ax a =>，将(1,)B t 代入2(0)y ax a =>得t a =，故抛物线的方程为2y tx =，求导得2y tx '=，故切线BC 的斜率为1|2x k y t ='==，而直线BC 的倾斜角为 ，故2tan t θ=，t 关于 的函数关系为1tan (0)22t πθθ=<<.………………………………2分 ②因为1tan (0)22t πθθ=<<，所以曲线段AOB 部分的造价为2010tan 33t θ=元， 因为点C 到直线AB 的距离为8分米，直线BC 的倾斜角为 ，故8sin BC θ=，BC 部分的造价为80sin θ， 得两部分的总造价为10ta 3s n n 80i S θθ+=，(0)2πθ<<. ………………………………6分（2）sin 10(3cos 8)sin S θθθ+=，3222221cos 10(108cos sin 24))sin si (3cos n 3cos S θθθθθθθ-'=-= …………………8分33222222222cos cos cos cos 10(10(3cos 31cos 2424cos 110(31)(8co cos 3co s 31)))sin sin sin s θθθθθθθθθθθθθ--+---++==-=，其中2co 8cos 310s θθ++>恒成立，令0S '=得1cos 3θ=，设01cos 3θ=且0θ为锐角， (10)分 列表如下：…………………………………12分故当0θθ=时S 有最小值，此时1cos 3θ=，sin θ==sin 10(3co 8)sin 3s S θθθ=+=， …………………………………14分故总造价S 的最小值为3元. ……………………………16分 20.解：（1）举例：函数()1f x =是“超导函数”，因为()1f x =，()0f x '=，满足()()f x f x '≥对任意实数x 恒成立，故()1f x =是“超导函数”. (4)分注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分. （2）∵()()()F x g x h x =，∴()()()()()F x g x h x g x h x '''=+， ∴()()()()()()()()F x F x g x h x g x h x g x h x '''-=--[()()][()()]()()g x g x h x h x g x h x ''''=--- ……………………………………………………………6分因为函数()g x 与()h x 都是“超导函数”，所以不等式()()g x g x '≥与()()h x h x '≥对任意实数x 都恒成立，故()()0g x g x '-≥，()()0h x h x '-≥，① ………………………………………………………8分而()g x 与()h x 一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，故()()0g x h x ''≤，② 由①②得()()0F x F x '-≥对任意实数x 都恒成立，所以函数()()()F x g x h x =是“超导函数”. ……10分（3）∵(1)e ϕ=，所以方程ln (ln )x x x x e ϕ----=可化为ln 1(ln )(1)x xx x eeϕϕ----=，设函数()()xx G x e ϕ=，x R ∈，则原方程即为()(1)ln x x G G =--，③ ……………………………12分因为()y x ϕ=是“超导函数”， ∴()()x x ϕϕ'≥对任意实数x 恒成立， 而方程() ()x x ϕϕ'=无实根，故()()()0xx x G x e ϕϕ'-'=<恒成立，所以()G x 在R 上单调递减，故方程③等价于ln 1x x --=，即1ln 0x x ++=， ……………………………14分设()H x 1ln x x =++，(0,)x ∈+∞，则1()10H x x'=+>在(0,)+∞上恒成立， 故()H x 在(0,)+∞上单调递增， 而2211()10H e e =-<，11()0H e e =>，且函数()H x 的图象在211[,]e e上连续不断， 故()H x 1ln x x =++在211[,]e e上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根. ……………………………16分注：发现ln 1x x --=但缺少论证过程的扣4分.。

江苏省盐城市2019—2020学年高二下学期期终考试数学试题一､单项选择题1.设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p （ ）A. 0x ∃>，sin x x ≤B. 0x ∀>，sin x x ≤C. 0x ∃≤，sin x x ≤D. 0x ∀≤，sin x x ≤2.已知复数2311z i i i i =++++，则z =（ ）A-1B. 1D. 113.在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则n =（ ） A. 6B. 8C. 7或9D. 104.低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：由此得出正确结论是（ ）A. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”B. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”C. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”D. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” 5.著名斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+.人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：记黄金分割比10.6182k =≈，若1n n a k a +>，则12n n a k a ++<；反之亦然.现记1n n n a b a +=，若从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为（ ） A.47B.17C.57D. 276.若平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1AA ⊥底面ABCD ，11AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A.13B. C.15D. 15-7.A 、B 、C 、D 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生A 不参加甲社团，B 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（ ） A. 14B. 18C. 12D. 48.下列实数m 的取值范围中，能使关于x 的不等式ln()x m mx +≤恒成立的是（ ） A. (1,1)-B. (0,2)C. 2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D.二､多项选择题9.设点F ､直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点､右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则2||d PF >的充分不必要条件有（ ）A. e ∈(0,12) B. e ∈(18,14) C. e ∈(14,12)D. e ∈(12,1) 10.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强11.设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A. 当15n =时，n S 取最大值 B. 当30n =时，0n S = C. 当0d >时，10220a a +>D. 当0d <时，1022a a >12.设命题p ：若()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数，下列函数中能说明命题p 为假命题的有（ ） A. ()sin f x x = B. 2()f x x =C. 321()13f x x x x =-++ D. ()e 2ln(1)xf x x =-+三､填空题13.已知随机变量X 服从正态分布()210,N σ，0σ>，且()160.76P X ≤=，则()410P X <≤的值为____________.14.在二项式10的展开式中，有理项的个数为____________. 15.若正实数x ，y 满足1()y x y -=，则2x+y 的最小值为____________.16.设过双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点F (c ，0)的直线l 与其一条渐近线垂直相交于点A ，则点A 的横坐标可用a ，c 表示为____________；若l 与另一条渐近线交于点B ，且4FB FA =，则C 的离心率为____________.四､解答题17.设函数2()ln 2f x x mx x =-+-(m ∈R ).（1）当1m =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当32m =时，求函数()f x 的单调增区间. 18.①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，____________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n an b =+，求数列{}n b 的前n 项的和.19.如图，在斜三棱柱111—ABC A B C 中，AB=1，AC=2，13AC =，AB ⊥AC ，1A C ⊥底面ABC .（1）求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值； （2）求平面11ACC A 与平面1AB C 所成锐二面角的余弦值.20.我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献，广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动，活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查，其中关于4项子活动的赞同情况统计如下： 班级代码ABCDE合计 4项子活动全部赞同的人数 3 4 8 3 2 20 4项子活动不全部赞同的人数 1 1 0 2 1 5 合计问卷调查人数 4585325现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研，每项子活动采访1名学生.（1）若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访，求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率；（2）若从A 班和E 班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象，记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X .21.如图，平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与抛物线C ：24y x =切于点P (0x ,0y )，00x ≠.（1）用0y 表示直线l 的斜率；（2）若过点P 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于另一点Q ，且OP ⊥OQ ，求0x 的值. 22.设函数()()1221x f x eax a x -=+-+（其中a 为实数）.（1）若0a >，求()f x 零点的个数；（2）求证：若1x =不是()f x 的极值点，则()f x 无极值点.江苏省盐城市2019—2020学年高二下学期期终考试数学试题一､单项选择题1.设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p 为（ ） A. 0x ∃>，sin x x ≤ B. 0x ∀>，sin x x ≤ C. 0x ∃≤，sin x x ≤ D. 0x ∀≤，sin x x ≤【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式，即可得出结论. 【详解】命题p ：0x ∀>，sin x x >， 则⌝p ：0x ∃>，sin x x ≤. 故选：A.【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词之间的转换，属于基础题. 2.已知复数2311z i i i i =++++，则z =（ ）A. -1B. 1D. 11【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式及i 的性质求解即可. 【详解】1112432311(1)()111111i i i i i i i z i i i i i i i i----=++++=====-----,1z ∴==,故选：B【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的性质，等比数列的求和公式，复数的除法运算，属于容易题. 3.在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则n =（ ）A. 6B. 8C. 7或9D. 10【答案】B 【解析】 【分析】由二项式系数的对称性得知二项式()12nx +的展开式的项数，进而可求得n 的值.【详解】在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则该二项式的展开式中共有9项，所以，19n +=，解得8n =. 故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的对称性，确定二项展开式的项数是解题的关键，属于基础题.4.低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：由此得出的正确结论是（ ）A. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”B. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”C. 有90%把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”D. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” 【答案】C 【解析】根据列联表计算出2K ，然后借助于临界值表可得结论．【详解】由已知22100(1217863)8.4435 6.63575252080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，由临界值表知选项C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查独立性检验，解题关键是计算出2K 的值，然后与临界值表对照即可得．5.著名的斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+.人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：0.618k =≈，若1n n a k a +>，则12n n a k a ++<；反之亦然.现记1n n n a b a +=，若从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为（ ） A.47B.17C.57D. 27【答案】D 【解析】 【分析】先确定数列{}n b 的前7项中大于k 的项数，再根据古典概型概率公式求结果. 【详解】因为112=1a b k a =>，所以根据题中提供的性质得 1234567,,,,,,,b k b k b k b k b k b k b k ><><><>即数列{}n b 的前7项中大于k 的项数有4个，因此从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为242762217C C == 故选：D【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.6.若平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1AA ⊥底面ABCD ，11AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A.13B. C.15D. 15-【分析】设,AC BD 交于O ，1111,AC B D 交于1O ，连1OO ，可得1,,AB CD OO 两两互相垂直，以点O 为原点建立空间直角坐标系，确定11,,,A B C C 坐标，进而得到11,AC B C 的坐标，求出其夹角余弦，即可得出结论. 【详解】连,AC BD 交于O ，1111,AC B D 交于1O ，连1OO ，则11//OO AA ，1AA ⊥底面ABCD ，1OO ∴⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ∴⊥， 60,2,23BAD BD AC ∠=︒∴==，以点O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，11(3,0,0),(0,1,1),(3,0,0),(3,0,1),A B C C -- 11(23,0,1),(3,1,1)AC B C =-=---，11111165cos ,13||||135AC B C AC B C AC B C ⋅<>===⨯，所以异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为6513. 故选：A.【点睛】本题考查空间向量法求异面直线所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.7.A 、B 、C 、D 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生A 不参加甲社团，B 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（ ） A. 14B. 18C. 12D. 4【分析】对学生A 是否参加乙社团进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：①若学生A 参加乙社团，则其他三人的选择无限制，此时不同的报名方法种数为336A =；②若学生A 不参加乙社团，则学生A 有两种选择，则学生B 也有两种选择，其他两人的选择无限制，此时不同的报名方法数为22228A ⨯⨯=. 综上所述，不同的报名方法种数为6814+=. 故选：A.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 8.下列实数m 的取值范围中，能使关于x 的不等式ln()x m mx +≤恒成立的是（ ） A. (1,1)- B. (0,2)C. 2⎛⎤⎥ ⎝⎦D.【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数()ln()f x x m mx =+-，利用导数求出它的最大值，由这个最大值0≤得出题设不等式恒成立的m 的范围，然后确定选项中集合是这个范围的子集即可．【详解】由题意ln()0x m mx +-≤恒成立，设()ln()f x x m mx =+-，则1()f x m x m'=-+，易知 若0m ≤，则()0f x '>恒成立，()f x 递增，()1()0f e m m e m -=-->，不合题意．所以0m >，()f x '在0x m +>时是减函数，由1()0f x m x m '=-=+得1x m m =-，当1m x m m-<<-时，()0f x '>，()f x 递增，当1x m m>-时，()0f x '<，()f x 递减， 所以1x m m =-时，()f x 取得极大值也是最大值2211()ln 1ln 1f m m m m m m-=-+=--，令2()ln 1g m m m =--，则22(12122()2m m m g m m m mm-+-'=-==，因为0m >，所以当02m <<时，()0g m '<，()g m 递减，当2m >时，()0g m '>，()g m 递增，由于(1)0g =，所以02g <，所以存在0(0,2m ∈，使得()0g m =，当01m m ≤≤时，()0g m ≤，原不等式成立，对照各选项，只有C 满足， 故选：C ．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，可把问题转化为研究函数的最值，由这个最值满足相应的条件得出参数取值范围，注意本题中要选的是这个范围的子集，而不一定是这个范围本身．二､多项选择题9.设点F ､直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点､右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则2||d PF >的充分不必要条件有（ ）A. e ∈(0,12) B. e ∈(18,14) C. e ∈(14,12)D. e ∈(12,1) 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆第二定义可得2||d PF >充要条件是102e <<，根据充分不必要条件关系，逐项判断即可. 【详解】依题意，||12||,2PF d PF d ><，即102e <<， 选项A ，是充要条件，所以不满足； 选项B ，C 中e 的范围均是1(0,)2的真子集， 所以满足充分不必要条件；选项D ，既不是充分条件也不是必要条件. 故选：B ，C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，掌握椭圆第二定义是解题的关键，属于基础题. 10.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误； 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD.【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.11.设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A. 当15n =时，n S 取最大值 B. 当30n =时，0n S =C. 当0d >时，10220a a +>D. 当0d <时，1022a a >【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据1020S S =，得到1292a d =-，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性， 所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭， 故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭，故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-， 22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了前n 项和n S 的计算，属于简单题.12.设命题p ：若()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数，下列函数中能说明命题p 为假命题的有（ ） A. ()sin f x x = B. 2()f x x =C. 321()13f x x x x =-++ D. ()e 2ln(1)xf x x =-+【答案】A 【解析】 【分析】可根据初等函数的单调性，或利用导数先找到满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立的函数，再分析函数在x ∈(0,2]上的单调性得到结论即可.【详解】因为()sin f x x =当x ∈(0,2]时，都有()(0)f x f >，但因为22π>，所以()sin f x x =在x ∈(0,2]上不单调，故A 可以；因为2()f x x =满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，2()f x x =在x ∈(0,2]上单调递增，故B 不可以；由321()13f x x x x =-++知22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥， 所以函数321()13f x x x x =-++在R 上单调递增，当x ∈(0,2]时()(0)f x f >成立，即()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，()f x 在[0,2]上是增函数，故C 不可以，因为()e 2ln(1)xf x x =-+，所以2()1xf x e x '=-+为增函数，因为(0)10,(1)10f f e ''=-<=->， 所以存在0(0,1)x ∈使0()0f x '=，故函数在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上单调递增，不满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，故D 不可以. 故选：A.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，考查了利用导数求函数的值域，单调性，正弦函数的单调性、值域，属于难题.三､填空题13.已知随机变量X 服从正态分布()210,N σ，0σ>，且()160.76P X ≤=，则()410P X <≤的值为____________. 【答案】0.26 【解析】 【分析】根据随机变量X 服从正态分布()210,N σ，可得对称轴为10x =，再利用对称性即可得到答案. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()210,N σ，所以对称轴为10x =.所以()()1016160.50.26P X P X <≤=≤-=. 所以()()41010160.26P X P X <≤=<≤=. 故答案为：0.26【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于简单题.14.在二项式10的展开式中，有理项的个数为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据二项展开式通项公式确定有理项取法，再确定有理项个数. 【详解】35104110104()()2,0,1,2,,10r r rr r rr T C x C x r x--+==⋅⋅=所以当35,0,4,84rZ r -∈=时，为有理项，因此有理项的个数为3， 故答案为：3【点睛】本题考查二项展开式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.15.若正实数x ，y 满足1()y x y -=，则2x+y 的最小值为____________.【答案】【解析】 【分析】先消去x ，再利用基本不等式求最值. 【详解】11()y x y x y y-=∴=+223x y y y ∴+=+≥=,当且仅当y =时取等号 因此2x+y的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16.设过双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点F (c ，0)的直线l 与其一条渐近线垂直相交于点A ，则点A 的横坐标可用a ，c 表示为____________；若l 与另一条渐近线交于点B ，且4FB FA =，则C 的离心率为____________.【答案】 (1). 2a c(2). 3【解析】 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为： b y x a =，根据直线l 与之垂直，设直线方程为()ay x c b=-- ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得A 的坐标，联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得B 的坐标，然后根据4FB FA =求解. 【详解】设双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线方程为： b y x a =，因为过右焦点F (c ，0)的直线l 与之垂直，设直线为 ()ay x c b=-- ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得 2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22222a c x a b abc y a b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，所以22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B a b a b ， 因为4FB FA =，所以22224⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭a ca c c abc ，化简得：422431180-+=c a c a ， 所以4231180-+=e e ， 解得283=e 或21e =（舍去），解得=e 故答案为：①2a c；②3【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四､解答题17.设函数2()ln 2f x x mx x =-+-(m ∈R ).（1）当1m =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当32m =时，求函数()f x 的单调增区间. 【答案】（1）0x y +=.（2）(1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）由2()ln 2=-+-f x x x x ，求导， 求出(1)f ，(1)'f ，写出切线方程. （2）当32m =时，23()ln 22f x x x x =-+-，求导，然后由()0f x '>求解. 【详解】（1）当1m =时，2()ln 2=-+-f x x x x ，1()22'=-+-f x x x(1)=1∴-f ， (1)1'∴=-f()f x ∴在1x =处的切线方程为(1)(1),y x --=--即0x y +=. （2）当32m =时，23()ln 22f x x x x =-+-， 21321()32(0)x x f x x x x x'--∴=-+-=>令()0f x '>，得23210x x x-->0x ，23210∴-->x x ，解得13x <-(舍去)或1x >，()f x ∴的单调增区间是(1,)+∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，____________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n an b =+，求数列{}n b 的前n 项的和.【答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）212233n n ++-.【解析】【分析】（1）选①，根据条件4516a a +=得出12716a d +=，由2d ≥且d N *∈，1a *∈N ，可求得d 和1a 的值，进而可求得等差数列{}n a 的通项公式；选②，由39S =得出13a d +=，由2d ≥且d N *∈，1a *∈N ，可求得d 和1a 的值，进而可求得等差数列{}n a 的通项公式；选③，由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，求得数列{}n a 的公差，由该数列为等差数列求得r 的值，进而可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求得2121n n b -=+，然后利用分组求和法可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由等差数列{}n a 各项均为正整数，且公差1d >，知2d d N *≥∈，，1a *∈N .选①，由4516a a +=得12716a d +=，由2d d N *≥∈，，1a *∈N ，得11a =，2d =，()1121n a a n d n ∴=+-=-；选②，由31339S a d =+=得13a d +=，由2d d N *≥∈，，1a *∈N ，得11a =，2d =，()1121n a a n d n ∴=+-=-；选③，由2n S n r =+得()()2112n S n r n -=-+≥，()()221121n n n a S S n r n r n -⎡⎤∴=-=+--+=-⎣⎦，则()()1211212n n a a n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，且23a =， 又111a S r ==+，且数列{}n a 是等差数列，则()213122a a r r -=-+=-=，得0r =，21n a n ∴=-；（2）由（1）知21n a n =-，212121n a n n b -∴=+=+， ()()()()32132112212121222n n n b b b n --∴+++=++++++=++++()21214221433n n n n +⨯-=+=+--，所以{}n b 的前n 项的和为212233n n ++-.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解以及分组求和法，涉及基本量法以及利用n S 求n a ，考查计算能力，属于中等题.19.如图，在斜三棱柱111—ABC A B C 中，AB=1，AC=2，13AC =，AB ⊥AC ，1A C ⊥底面ABC .（1）求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值； （2）求平面11ACC A 与平面1AB C 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）1010.（2）310【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB AC ，分别为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量1B C 的坐标，再根据1A C ⊥底面ABC ，得到1A C AB ⊥，又AB AC ⊥，由线面垂直的判定定理得到AB ⊥平面11ACC A ，从而(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，然后由111cos ,||||⋅<>=B C ABB C AB B C AB 求解.（2）由（1）知(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，再求得平面1AB C 的一个法向量(,,)n x y z =，然后由cos ,||||⋅<>=n ABn AB n AB 求解.【详解】（1）以A 为原点，AB AC ，分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,2,3)A ，1(1,2,3)B ，则1(1,0,3)BC =--， ∵1A C ⊥底面ABC ，AB 底面ABC ，∴1A C AB ⊥，又∵AB AC ⊥，1AC C AC ⋂=， AC ⊂平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ， ∴AB ⊥平面11ACC A ，∴(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，∴111cos ,||||10B C AB B C AB BC AB ⋅<>===故所求直线1B C 与平面11ACC A （2）(0,2,0)AC =，1(1,2,3)AB =， 设(,,)n x y z =为平面1AB C 的一个法向量，则120230n AC y n AB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 令1z =，得30x y =-=，，得平面1AB C 的一个法向量为(3,0,1)n =-，又由（1）得(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量， ∴cos ,10||||10n AB nAB n AB ⋅<>===-，故所求面11ACC A 与平面1AB C . 【点睛】本题主要考查线面角和二面角的向量求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 20.我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献，广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动，活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查，其中关于4项子活动的赞同情况统计如下：现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研，每项子活动采访1名学生.（1）若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访，求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率；（2）若从A 班和E 班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象，记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）256625.（2）分布列答案见解析，数学期望：176【解析】 【分析】（1）先求出事件“任选1人对4项子活动不全部赞同”的概率，问题就是求4次试验中这个事件恰好发生一次的概率，由此可计算概率；（2）A 班中4项子活动全部赞同的人数共有3人，不全部赞同的有1人，E 班中4项子活动全部赞同的人数共有2人，不全部赞同的有1人，因此X 的可能值为2，3，4，分别计算出概率可得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）设4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”为事件A ， ∵25名同学中4项子活动全部赞同的人数为20人，不全部赞同的人数为5人， ∴从中任选1人对4项子活动不全部赞同的概率为51255=， ∴所求事件的概率为113411256()()(1)55625P A C =-= （2）2,3,4X =，1111312122431(2)3C C C C P X C C ==⨯=，2011112031312121222243431(3)2C C C C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=，2020312122431(4)6C C C C P X C C ==⨯=， 故X 的分布列为X 2 3 4P131216则X 的数学期望为11117()2343266E X =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查独立重复试验恰好发生k 次概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定随机变量的所有可能取值．21.如图，平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与抛物线C ：24y x =切于点P (0x ,0y )，00x ≠.（1）用0y 表示直线l 的斜率；（2）若过点P 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于另一点Q ，且OP ⊥OQ ，求0x 的值.【答案】（1）02y .（2）2 【解析】 【分析】（1）首先设直线l 的方程为2004y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立24y x =，得到2200440ky y y ky -+-=，再利用0∆=即可得到答案.（2）首先设直线PQ 的方程为200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，联立24y x =解得008Q y y y =--. 再利用OP OQ ⊥解得022y =±24y x =即可得到0x 的值.【详解】（1）因直线l 与抛物线相切于点()00,P x y ，2004y x =，00x ≠，所以直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为()2004y y y k x x k x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，联立24y x =，得220044y y y y k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简得2200440ky y y ky -+-=， 显然0k ≠，由()()22004440k y ky ∆=---=，整理得：()200440ky ky -+=，解得02k y =. （2）由（1）知02PQy k =-，所以直线PQ 的方程为200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，将24y x =代入得22000244y y y y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 整理得23000880y y y y y +--=，2008Q y y y ∴=--，008Q y y y =--， 由OP OQ ⊥，得0OP OQ ⋅=，则220000016QQ Q Q y y x x y y y y +=+=，显然00Q y y ≠，从而016Q y y =-， 即0008()16y y y --=-，解得0y =± 所以20024y x ==，所以当OP OQ ⊥时，0x 的值为2 .【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题. 22.设函数()()1221x f x eax a x -=+-+（其中a 为实数）.（1）若0a >，求()f x 零点的个数；（2）求证：若1x =不是()f x 的极值点，则()f x 无极值点. 【答案】（1）有2个零点；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，利用导数分析函数()y f x =的单调性，结合零点存在定理判断出函数()y f x =在区间(),1-∞和[)1,+∞上的零点个数，由此可得出结论；（2）分析出当0a ≥时，1x =是函数()y f x =的极值点，在0a <时，求得()f x ''，可知函数()y f x ''=在R 上单调递增，令()0f x ''=得()1ln 2x a =+-，对()1ln 2a +-与1的大小进行分类讨论，利用导数分析函数()y f x =的单调性，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意得()()()()11221121x x f x eax a e a x --'=+-+=-+-，所以()10f '=，又()12x f x e a -''=+，且0a >，所以()0f x ''>恒成立，从而函数()y f x '=在R 上单调递增，所以当(),1x ∈-∞时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>. 则函数()y f x =在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因为()10f a =-<，()100f e=>，函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减且图象连续不断， 所以函数()y f x =在(),1-∞上恰有1个零点，因为()10f a =-<，()220f e =->，函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增且图象连续不断， 所以函数()y f x =在[)1,+∞上恰有1个零点， 综上所述，当0a >时，函数()y f x =有2个零点；（2）由（1）知，当0a >时，函数()y f x '=在R 上单调递增， 又()10f '=，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以，1x =是函数()y f x =的极小值点.同理当0a =时，1x =也是函数()y f x =的极小值点. 当0a <时，由()120x f x ea -''=+=得()1ln 2x a =+-，且()y f x ''=在R 上单调递增.所以当()1ln 2x a <+-时，()0f x ''<；当()1ln 2x a >+-时，()0f x ''>，从而函数()y f x '=在()(),1ln 2a -∞+-上单调递减；在()()1ln 2,a +-+∞上单调递增. 若()1ln 21a +-<，即102a -<<，则当()()1ln 2,1x a ∈+-时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则1x =是函数()y f x =的极值点； 同理若()1ln 21a +->，即12a <-，则1x =也是函数()y f x =的极值点；若()1ln 21a +-=，即12a =-，()0f x '≥，则函数()y f x =在R 上单调递增，此时1x =不是函数()y f x =的极值点.综上可知，若1x =不是函数()y f x =的极值点，则12a =-，函数()y f x =在R 上单调递增，从而函数()y f x =无极值点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，考查分类讨论思想的应用，属于难题.。

江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．请把答案涂写在答题卡相应位置． 1.已知命题:p ：“2,0x R x ∀∈>”，则p ￢是（ ）A. 2,0x R x ∀∈≤B. 2,0x R x ∃∈>C. 2,0x R x ∃∈<D.2,0x R x ∃∈≤【答案】D 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题p ⌝是2,0x R x ∃∈<，故选D.考点：命题的否定.2.抛物线24y x =的准线方程为（ ） A. 1x =- B. 1y =- C. 1x = D. 1y =【答案】A 【解析】 【分析】利用22y px =的准线方程为2p x =-，能求出抛物线24y x =的准线方程. 【详解】24,24,2y x p p =∴==，∴抛物线24y x =的准线方程为2p x =-， 即1x =-，故选A .【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.3.两个数4和16的等比中项为（ ） A. 8 B. ±8 C. 4 D. ±4【答案】B 【解析】 【分析】由等比中项的定义，即可求出结果.【详解】4和16的等比中项为8=±. 故选:B【点睛】本题考查等比中项的定义，属于基础题4.已知双曲线22194x y -=的渐近线方程为（ ）A. 23y x =±B. 94y x =±C. 32y x =±D.49y x =±【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的的方程，可直接得出结果.【详解】令22094x y -=，得23y x =±，即双曲线双曲线22194x y -=的渐近线方程为23y x =±. 故选A【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型. 5.设x ，y 均为正数，且x +4y ＝4，则xy 的最大值为（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 16【答案】A 【解析】 【分析】x +4y 为定值，由基本不等式，即可求出积xy 的最大值.【详解】44x y =+≥=1,1xy ≤≤,当且仅当12,2x y ==时，等号成立.故选:A【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题.6.ac 2＞bc 2是a ＞b 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若22ac bc >成立，则20,c a b >∴>成立；若a b >成立，而2c ≥0，则有22ac bc ≥，故22ac bc >不成立；22ac bc ∴>是a b >的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决问题的关键，属于基础题.7.求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ） A. ﹣2020 B. ﹣1010C. ﹣505D. 1010【答案】B 【解析】 【分析】分组求和，奇数项和相邻的偶数和均为-2，即可求出结果. 【详解】135720172019-+-++-(13)(57)(20172019)(2)5051010=-+-+-=-⨯=-.故选:B【点睛】本题考查分组并项求和，考查计算能力，属于基础题.8.若∃x ∈[0，3]，使得不等式x 2﹣2x +a ≥0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ﹣3≤a ≤0 B. a ≥0C. a ≥1D. a ≥﹣3【答案】D 【解析】 【分析】等价于二次函数2()2,[0,3]f x x x a x =-+∈的最大值不小于零，即可求出答案. 【详解】设2()2,[0,3]f x x x a x =-+∈，[0,3]x ∃∈，使得不等式220x x a -+≥成立，须max ()0f x ≥，即(0)0f a =≥，或(3)30f a =+≥， 解得3a ≥-. 故选:D【点睛】本题考查特称命题成立求参数的问题，等价转化是解题的关键，属于基础题. 9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6+a 7＞0，a 6+a 8＜0，则S n 最大时n 的值为（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】当10,0n n a a +≥≤时，则有n S 最大，即可求出答案. 【详解】687720,0a a a a +=<∴<,6760,0a a a +>∴>,6n ∴=,n S 最大.故选:C 【点睛】本题考查等差数列的前n 和的最值，以及等差数列的性质，属于基础题.10.若点P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的一个动点，B （3，2），则|PB|+|PF|的最小值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义||PF 等于P 到准线的距离，数形结合即可求出答案.【详解】抛物线24y x =的准线l 方程为1x =-，过点P 做PD l ⊥，垂直为D ，||||||||||4PB PF PB PD BD +=+≥=，当且仅当，,,P B D 三点共线时，等号成立. 故选:B【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是基础题．11.已知正数x ，y 满足log 2（x +y +3）＝log 2x +log 2y +1，则x +y 的取值范围是（ ） A. [6，+∞）B. （0，6]C. )17⎡+∞⎣，D.(017+，【答案】C 【解析】 【分析】根据已知等式，确定出,x y 的等量关系，再用基本不等式，即可求出结果. 【详解】2222log (3)log log 1log 2x y x y xy ++=++=,232,0,0,()2x y x y xy x y xy +∴++=>>∴≤, 2232(),()2()602x y x y x y x y +∴++≤⨯+-+-≥, 解得17,17x x ≥≤（舍去）.故选:C【点睛】本题考查对数的运算性质及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题. 12.在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n +a n +1+a n +2为定值（n ∈N *），且a 2＝4，a 3＝3，a 7＝2，则此数列{a n }的前100项的和S 100＝（ ） A. 296B. 297C. 298D. 299【解析】 【分析】根据递推公式可得{}n a 是周期为3的周期数列，有472a a ==，求得一个周期和，进而可求出前100项和.【详解】因为对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n ∈N *）， 所以12n n n a a a ++++1233,n n n n n a a a a a ++++=++∴=,472a a ∴==,122349n n n a a a a a a ++++=++=， 100123456979899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++3392299=⨯+=.故选:D【点睛】本题考查用分组并项求和，解题的关键是递推公式的灵活应用，属于中档题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．13.已知方程22112x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是____．【答案】（322，） 【解析】 【分析】根据焦点在x 轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于m 的不等式，即可求得结果.【详解】根据题意，方程22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆， 则必有1220m m m --⎧⎨-⎩＞＞，解可得：32＜m ＜2，即m 的取值范围是3(2)2，. 故答案为:3(2)2，） 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题. 14.已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则4a bab+的最小值为_____．【解析】 【分析】化简4a bab+，由已知等式，结合基本不等式，即可求出最小值. 【详解】根据题意，4441a b a b ab ab ab b a+=+=+， 又由正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则4a b ab +=（41b a +）（a +b ）＝54a bb a ++，又由4a b b a +≥2=4， 当且仅当b ＝2a 23=时等号成立， 则有4a b ab +=54a bb a ++≥9， 即4a b ab+的最小值为9.【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题的关键是“1”的代换，属于中档题. 15.已知数列{a n }满足a 1＝21，a n +1﹣a n ＝2n ，则na n的最小值为__． 【答案】415【解析】 【分析】根据已知条件用累加法求出{}n a 的通项，再构造函数，利用函数单调性，求出数列{}na n的单调性，即可求na n的最小值. 【详解】12,2n n a a n n +-=∴≥时12(1)n n a a n --=-，2n ∴≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+22[(1)(2)1]21(1)2121,n n n n n n =-+-+++=-+=-+121a =，也满足上式，∴n a n =n 211n+-， ∵()21f x x x=+在（0+∞）上单调递增，∴n an在（0，4]上单调递减，在[5，+∞）上单调递增，且n ∈N +， ∴n ＝4或5时最小，n ＝4时，334n a n =；n ＝5时，413354n a n =＜,n a n ∴的最小值为415. 故答案为:415【点睛】本题考查由递推公式求通项公式，考查数列的单调性，解题的关键熟练掌握常考的递推公式求通项的方法，常用的类型有：(1)公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式；(2)已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，作差法：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩；(3)已知123()n a a a a f n =求n a ，作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n a f n n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩；(4)若1()n n a a f n +-=求n a 累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥；(5)已知1()n na f n a +=求n a ，累乘法：121121n n n n n a aa a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥； (6)形如111n n n a a ka --=+或110n n n n a a ka a ----=，倒数成等差；(7)形如1(1,0)n n a ka b k b +=+≠≠用待定系数法转化为等比数列.16.已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，半焦距为c ，且在该椭圆上存在异于左、右顶点的一点P ，满足2a •sin∠PF 1F 2＝3c •sin∠PF 2F 1，则椭圆离心率的取值范围为_____．【答案】0＜e 13＜ 【解析】 【分析】根据已知条件等式，结合正弦定理，得出21,,PF PF e 的关系，利用椭圆定义和2PF 的范围，即可求出e 的取值范围.【详解】在△PF 1F 2中，由正弦定理知21221132PF sin PF F csin PF F PF a∠==∠，又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ，12,,P F F 三点不共线，所以14(,)23aPF a c a c e =∈-++， 即41123e e e -++＜＜， 解得103e <<.【点睛】本题考查正弦定理，椭圆的定义和性质，考查计算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．17.已知p ：∀x ∈R ，x 2+2x ≥a ，q ：x 2﹣4x +3≤0，r ：（x ﹣m ）[x ﹣（m +1）]≤0． （1）若命题p 的否定是假命题，求实数a 的取值范围； （2）若q 是r 的必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) （﹣∞，﹣1]，(2) [1，2]． 【解析】 【分析】（1）由命题间的关系，即求命题p 为真时，a 的取值范围，利用二次函数的性质，可求得结果；（1）求出命题,q r 为真时，x 的集合，q 是r 的必要条件，转化为集合间关系，即可求出m 的取值范围.【详解】p ：∀x ∈R ，x 2+2x ≥a ，q ：x 2﹣4x +3≤0，r ：（x ﹣m ）[x ﹣（m +1）]≤0， ∴根据二次函数的性质可知，x 2+2x 的最小值﹣1， 故P ：a ≤﹣1，由x 2﹣4x +3≤0可得1≤x ≤3，由（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0，可得m≤x≤m+1，故q：A＝[1，3]，r：B＝[m，m+1]，（1）若命题p的否定是假命题，即p为真命题，故a的范围（﹣∞，﹣1]，（2）若q是r的必要条件，则r⇒q，从而有B⊆A，∴113 mm≥⎧⎨+≤⎩，解可得，1≤m≤2，故m的范围[1，2]．【点睛】本题考查命题与命题的否定的真假关系，考查必要条件与集合集合间的关系，属于基础题.18.已知双曲线2213yx-=的右顶点为A，抛物线的焦点与点A重合．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点A且斜率为双曲线的离心率，求直线l被抛物线截得的弦长．【答案】(1) y2＝4x；(2)5【解析】【分析】（1）由双曲线的标准方程得右顶点坐标，即抛物线焦点坐标，可求抛物线标准方程；（2）根据已知条件写出直线l方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的定义,即可求出过抛物线焦点的相交弦长.【详解】（1）由双曲线2213yx-=，得a＝1，∴抛物线的焦点即双曲线的右顶点A为（1，0），则抛物线的标准方程为y2＝4x；（2）由双曲线方程可得，a＝1，2c=，则直线l的斜率为2．∴直线l的方程为y＝2（x﹣1），即y＝2x﹣2．联立2224y x y x=-⎧⎨=⎩，得x 2﹣3x +1＝0，9450∆=-=>， 设两交点横坐标分别为12,x x ，则123x x +=，∴直线l 被抛物线截得的弦长为x 1+x 2+p ＝3+2＝5．【点睛】本题考查双曲线简单几何性质、抛物线的标准方程以及直线与抛物线相交弦长，考查计算能力，属于中档题.19.已知等比数列{a n }满足a 1+a 4＝18，a 2+a 5＝36．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若数列{b n }满足b n ＝a n +log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【答案】(1) a n ＝2n ．(2) S n =2n +1﹣2()12n n ++．【解析】【分析】（1）根据已知条件求出等比数列公比和首项，即可求出通项公式a n ；（2）先求{b n }的通项公式，转化为求等差数列和等比数列的前n 项和，可求出S n ．【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 4＝18，a 2+a 5＝36．∴a 1（1+q 3）＝18，q （a 1+a 4）＝18q ＝36，解得q ＝2＝a 1，∴a n ＝2n ．（2）由（1）可得：b n ＝a n +log 2a n ＝2n +n ．∴数列{b n }的前n 项和 S n ()()2121122nn n -+=+=-2n +1﹣2()12n n ++．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的前n 项和，属于基础题.20.如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？【答案】（1）2412(1)x y x -=-（x ＞ 1）；（2）74x =时，该公司建中转站围墙和道路总造价M 最低．【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式24122x y x -=-（，其定义域是(1,)+∞. (2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元. 试题解析：（1）在BCF ∆中,,30,CF x FBC CF BF =∠=︒⊥,所以2BC x =.在ABC ∆中，,1,60AB y AC y ABC ==-∠=︒，由余弦定理，得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅∠， 即 222(1)(2)22cos 60y y x y x （-=+-⋅⋅︒， 所以 24122x y x -=-（. 由AB AC BC -<， 得121,2x x >>. 又因为241022x y x -=>-（，所以1x >.所以函数24122x y x -=-（的定义域是(1,)+∞. (2)30(21)40y x =⋅-+ .因为24122x y x -=-（（1x >）， 所以24130(21)4022x M x x -=⋅⋅-+-（ 即 212310(4-1)1x M x x -=⋅+-（）. 令1,t x =-（则. 于是 ，由基本不等式得， 当且仅当34t =（，即74x （=时取等号. 答：当km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元. 21.如图，已知过点222D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭，的椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的离心率为3，左顶点和上顶点分别为A ，B ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段OD 延长线上一点，直线PA 交椭圆于另一点E ，直线PB 交椭圆于另一点Q ． ①求直线PA 与PB 的斜率之积；②判断直线AB 与EQ 是否平行？并说明理由．【答案】(1)22 4x y +=1．(2) ① 14．②平行．理由见解析 【解析】【分析】（1）离心率值转化为,a b 关系，再把点D 坐标代入方程，即可求出椭圆标准方程；（2）①求出OD 方程，设出P 点坐标，可求出直线PA 与PB 的斜率之积；②求出直线,AP BP 方程，分别与椭圆方程联立，求出,E Q 两点坐标，代入斜率公式，求出直线EQ 的斜率，然后再判断与直线AB 是否平行.【详解】（1）∵椭圆过点D，2-）,且离心率为22222222222223411,,44c a b b b e a b a a a a -===-=∴=∴= ∴22222212111,1,2242b a a b b b b +=+==∴==， ∴椭圆的方程为224+=x y 1．（2）①由（1）知A （﹣2，0），B （0，1），直线OD 方程为y 12x =-，点P 在直线OD 上，设P （﹣2y 0，y 0），k PA •k PB 0000112224y y y y -=⋅=-+-．②设E （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线AP ：y ()00222y x y =+-+与椭圆的方程得，（2y 02﹣2y 0+1）x 2+4y 02x +8y 0﹣4＝0，∴﹣2+x 1202004221y y y =--+，∴x 1020042221y y y -+=-+，y 120020022221y y y y -+=-+，联立直线BP ：y 0112y x y -=+与椭圆的方程得，22000200221440y y y x x y y -+-+=，∴x 220020044221y y y y -=-+，y 2020021221y y y -=-+， ∴20122120211422EQ y y y k x x y -+-===--+ 又因为k AB 12=，∴k AB ＝k EQ ， ∴直线AB 与EQ 是平行．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线相交点坐标的求法，以及斜率间的关系，考查计算能力，属于难题.22.已知数列{a n }的前n 项和24n n n S +=． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，满足b 1＝1，1111122 21n nk n k k k b T T +++=+-=-∑． ①求数列{b n }的通项公式b n ；②若存在p ，q ，k ∈N *，p ＜q ＜k ，使得a m b q ，a m a n b p ，a n b k 成等差数列，求m +n 的最小值．【答案】(1) a n 2n =．(2) ①b n ＝2n ﹣1；②7 【解析】【分析】（1）根据前n 项和与通项的关系，即可求出通项公式；（2）①将11n k n T b T ++=-代入递推公式中，用裂项相消求出n T ，再由前n 项和求出通项n b ； ②由等差数列的中项性质，求出,m n 的不等量关系，结合基本不等式，即可得到m n +最小值． 【详解】（1）∵数列{a n }的前n 项和24n n n S +=． ∴当n ＝1时，a 1＝S 112=， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1()22(1)1442n n n n n -+-+=-=， 当1n =时，a 112=，满足上式，∴a n 2n =． （2）①∵111111 n n k k k k k k k k k b T T T T T T ++==++-=∑∑1111 n k kk T T =+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ =（1211T T -）+（2311T T -）+（3411T T -）+…+（111n n T T +-） 1111n T T +=-=111n T +-． ∴11111122112121n n n n T ++++--==---， ∴T n +1＝2n +1﹣1，T n ＝2n ﹣1，把上面两式相减得，b n +1＝2n ，∴2n ≥时，12n n b -=，当1n =时，11b =满足上式，12n n b -∴=②由a m b q ，a m a n b p ，a n b k 成等差数列，有2a m a n b p ＝a m b q +a n b k ，即222m n •12p -2m =•12q -2n +•12k -， 由于p ＜q ＜k ，且为正整数，所以q ﹣p ≥1，k ﹣p ≥2，所以mn ＝m •2q p -+n •2k p -≥2m +4n ，可得 mn ≥2m +4n ，24n m+≤1，2424()()66m n m n m n n m n m+≥++=++≥+,,m n N m n ∈∴+的最小值为12，此时8,4m n ==或7,5m n ==或6,6m n ==，m n ∴+的最小值为12.【点睛】本题考查了求数列的前n 项和以及通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

江苏省盐城市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）不等式(x+1)(x-2)<0的解集为（）A .B . {x|x<-1或x>2}C .D .2. （2分） (2017高二上·临沂期末) 已知不等式组表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）A . [10，+∞）B . [11，+∞）C . [13，+∞）D . [14，+∞）3. （2分） (2016高一下·大同期末) 已知向量 =（x，﹣1）， =（y﹣1，1）（x＞0，y＞0），若∥，则t=x+ +y+ 的最小值是（）A . 4B . 5C . 6D . 84. （2分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A . 4πB . 3πC . 2πD . π5. （2分） (2015高二上·西宁期末) 如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2 ，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°6. （2分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为（）A . 12B . 16C . +4D . 4+47. （2分）不等式4x2﹣4x+1≥0的解集为（）A . {}B . {x|x≥}C . RD . ∅8. （2分） (2017高一上·长宁期中) 下列函数中，最小值为2的函数是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，当x∈M时，则f（x）=2x+2﹣3×4x的最大值为________10. （1分）如图正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：① 与所成角的正切值是；② ∥ ；③ 的体积是；④平面⊥平面；⑤直线与平面所成角为．其中正确的有________．（填写你认为正确的序号）11. （1分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，0），（1，1，1），则该四面体的外接球的体积为________12. （1分） (2016高二上·高青期中) 不等式kx2﹣kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为________．13. （1分） (2019高三上·汕头期末) 设变量满足约束条件：，则的最大值是________14. （1分） (2018高二上·嘉兴期末) 三棱柱的底是边长为1的正三角形，高，在上取一点，设与面所成的二面角为，与面所成的二面角为，则的最小值是________．15. （1分） (2018高三下·滨海模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．三、解答题 (共4题；共40分)16. （10分） (2019高一上·大连月考) 已知集合，．（1）当时，求，；（2）若，求实数a的取值范围．17. （10分）(2012·上海理) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2 ，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．18. （5分）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值1．（1）求整数m的值；（2）已知a，b，c均为正数，若2a+2b+2c=m，求++的最小值．19. （15分） (2019高一上·郁南月考) 已知二次函数f(x)=x2-3ax+4,分别求满足下列条件的实数a的取值范围.（1）零点均大于1；（2）一个零点大于1,另一个零点小于1；（3）一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、。

2019-2020学年江苏省盐城中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：∀x∈N∗，2x>x2，则￢p是()A. ∃x∈N∗，2x>x2B. ∀x∈N∗，2x≤x2C. ∃x∈N∗，2x≤x2D. ∀x∈N∗，2x<x22.已知抛物线y2=2px的准线方程是x=−2，则p的值为()A. 2B. 4C. −2D. −43.2+√3和2−√3的等比中项是()A. 1B. −1C. ±1D. 24.双曲线x24−y216=1的渐近线方程为()A. y=±2xB. y=±12x C. y=±√5x D. y=±√52x5.已知x、y均为正数，2x +8y=1，则xy有()A. 最大值64B. 最大值164C. 最小值64 D. 最小值1646.若a，b∈R，则1a2>1b2成立的一个充分不必要的条件是()A. b>a>0B. a>b>0C. b<aD. a<b7.在等差数列{a n}中，a3+a8=8，则S10=()A. 20B. 40C. 60D. 808.已知函数f(x)=x+4x ，g(x)=2x+a，若∀x1∈[12,3]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是()A. a≤1B. a≥1C. a≤0D. a≥09.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且−11<S11≤22，则a6的取值范围是()A. (−1,2]B. (1,2]C. [−1,2]D. [1,2]10.已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则|MP|+|MF|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 611.若log2x+log2y=2，则x+2y的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√212.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且对于任意n>1，n∈N∗，满足S n+1+S n−1=2(S n+1)，则S10的值为()A. 90B. 91C. 96D. 100二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程x22−k +y22k−1=1表示焦点在x轴上椭圆，则实数k的取值范围是______．14.已知正实数a，b，c满足1a +1b=1，1a+b+1c=1，则c的取值范围是_____．15.已知数列{a n}中，a1=1，a na n+1−a n =n(n∈N∗)，则a2016=______ ．16.已知F1，F2是椭圆x2m2+y2m2−4=1(m>2)的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|⋅|PF2|=2√3m，则该椭圆离心率的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知m∈R，命题p：对∀x∈[0,8]，不等式恒成立；命题q：对∀x∈(−∞,−1)，不等式2x2+x>2+mx恒成立．(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．18.已知双曲线x24−y2b2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．19.已知数列{b n}前n项和为S n，且b1=1，b n+1=13S n．(1)求b2，b3，b4的值；(2)求{b n}的通项公式；(3)求b2+b4+b6+⋯+b2n的值．20.某房地产商建有三栋楼宇A,B,C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120∘，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；(2)当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元千米，a为常数).记∠BDE=θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的解析式．若θ=60∘时，求出具体费用．21.如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，离心率e=√53，长轴与短轴的长度之和为10．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；(Ⅱ)在椭圆E 上任取点P(与A 、B 两点不重合)，直线PA 交y 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．22. 已知数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1=1，b n+1=13S n ．(1)求b 2，b 3，b 4的值; (2)求{b n }的通项公式．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：命题p：∀x∈N∗，2x>x2，则￢p是∃x∈N∗，2x≤x2，故选：C．欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“>”即可，据此分析选项可得答案．这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>”的否定用“<”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2.答案：B解析：解：抛物线y2=2px的准线方程是x=−2，则p的值：4．故选：B．利用抛物线的准线方程求出p，即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查等比数列的应用，属于简单题．【解答】解：由题意得，(2+√3)(2−√3)=1，2+√3和2−√3的等比中项是±1，故选C．4.答案：A解析：解：由双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的渐近线方程为：y=±bax，双曲线x24−y216=1的a=2，b=4，可得渐近线方程为y=±2x．由双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的渐近线方程为y=±bax，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：∵x、y均为正数，2x +8y=1，∴2x +8y=1≥2√2x⋅8y，化为xy≥64，当且仅当y=4x=16时取等号．∴xy有最小值64．故选：C．利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6.答案：A解析：【分析】由于1a2>1b2⇔a2<b2⇔|a|<|b|，因此利用充分不必要条件的概念对A，B，C，D四个选项逐一判断即可．本题考查不等式的基本性质，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，正确理解充分不必要条件的概念是判断的关键，属于中档题．【解答】解：∵a，b∈R，1a2>1b2⇔0<a2<b2⇔0<|a|<|b|，∴对于A，若b>a>0，则1a2>1b2，即充分性成立；反之，当|a|<|b|时，不能⇒b>a>0，即必要性不成立．∴b>a>0是1a2>1b2成立的一个充分不必要的条件，即A满足题意；同理可分析B，C，D，均是1a >1b成立的既不充分也不必要的条件；故可排除B，C，D；故选A．7.答案：B解析：解：∵在等差数列{a n}中，a3+a8=8，∴S10=102(a1+a10)=102(a3+a8)=5×8=40．由已知利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8.答案：C解析：【分析】本题考查指数函数以及对勾函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，属于中档题．由∀x1∈[12,3]，都∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，可得f(x)在x1∈[12,3]的最小值不小于g(x)在x2∈[2,3]的最小值，构造关于a的不等式，可得结论．【解答】解：当x1∈[12,3]时，由对勾函数的性质可得：f(x)在[12,2]上单调递减，在(2,3]上单调递增，∴f(2)=4是函数的最小值；当x2∈[2,3]时，g(x)=2x+a为增函数，∴g(2)=a+4是函数的最小值，又∵∀x1∈[12,3]，都∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，可得f(x)在x1∈[12,3]的最小值不小于g(x)在x2∈[2,3]的最小值，即4≥a+4，解得：a≤0．故选C．9.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．由等差数列{an}的前n项和公式、通项公式得到−11<=11a6≤22，由此能求出a6的取值范围．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且−11<S11≤22，∴−11<112(a1+a11)=11a6≤22，解得−1<a6≤2，∴a6的取值范围是(−1,2]．故选：A．解析：【分析】本题考查了双曲线的几何意义，根据到焦点的距离等于到准线的距离进行解答．【解答】解：抛物线y2=4x的准线l的方程为x=−1，焦点坐标为(1,0)，由抛物线几何性质知|MF|为点M 到直线l的距离，则有点P到直线l的距离d=4，如下图所示，则有|MP|+|MF|≥d=4，当点M 为点P到直线l的垂线与抛物线的交点时等号成立．故选B．．11.答案：D解析：【分析】本题考查了对数的运算和基本不等式，属基础题．根据log2x+log2y=2，求出xy的值，然后直接利用基本不等式求解x+2y．【解答】解：∵log2x+log2y=2，∴log2xy=2，∴xy=4，x>0，y>0，∴x+2y≥2√2xy=4√2，当且仅当x=2y=2√2，即x=2√2，y=√2时取等号．∴x+2y的最小值为4√2．故选D．12.答案：B解析：【分析】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于任意n>1，n∈N∗，满足S n+1+S n−1=2(S n+1)，可得S n+1−S n=S n−S n−1+2，可得a n+1−a n=2.利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵对于任意n>1，n∈N∗，满足S n+1+S n−1=2(S n+1)，∴S n+1−S n=S n−S n−1+2，∴a n+1−a n=2．∴数列{a n}在n≥2时是等差数列，公差为2．则S10=1+9×2+9×82×2=91．故选：B．13.答案：(12,1)解析：解：∵方程x22−k +y22k−1=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴2−k>2k−1>0，解得12<k<1．∴实数k的取值范围是(12,1)．故答案为：(12,1)．直接由题意列关于k的不等式组得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查了曲线方程表示椭圆的条件，是基础题．14.答案：(1,43]解析：【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．因为a，b是正实数，且1a +1b=1，则a+b=ab⩾2√ab，当且仅当a=b=2时等号成立，解得ab≥4.又由1a+b +1c=1得1ab+1c=1，可得c的取值范围．【解答】解：因为a，b是正实数，且1a +1b=1，则a+b=ab⩾2√ab，当且仅当a=b=2时等号成立，解得ab≥4．又由1a+b +1c =1得1ab +1c =1， c =abab−1=1+1ab−1∈(1,43]． ∴c 的取值范围为(1,43]. 故答案为(1,43].15.答案：2016解析： 【分析】本题考查了递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由an a n+1−a n =n(n ∈N ∗)，可得：na n+1=(n +1)a n ，又a 1=1，可得a n =n.即可得出．【解答】解：∵an a n+1−a n =n(n ∈N ∗)，∴na n+1=(n +1)a n ，化为：a n+1a n=n+1n，∴n ≥2时，a n =a na n−1·a n−1a n−2⋯a 2a 1·a 1=nn−1·n−1n−2⋯21·1，∴a n =n ． ∴a 2016=2016．故答案为：2016．16.答案：[√7−√32,√33]解析：解：由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2m ， ∴2m =|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1||PF 2|=2√2√3m ， 化为m 2≥2√3m ，又m >2， 解得m ≥2√3．另一方面：设∠F 1PF 2=θ，由余弦定理可得：|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cosθ=(2c)2=16． |PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4m 2． 相减可得：1+cosθ=2√3m．∵θ∈[0,π)，∴0<2√3m≤2.m ≥2√3∴2≤m ≤√3+√7．∴e =c a =√1−m 2−4m 2=2m ∈[√7−√32,√33]， ∴该椭圆离心率的取值范围为[√7−√32,√33]， 故答案为：[√7−√32,√33]． 由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2m ，利用基本不等式的性质可得：|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1||PF 2|，化简整理即可得出．另一方面：设∠F 1PF 2=θ，由余弦定理可得：|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cosθ=(2c)2=16．|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4m 2.相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)令，则f (x )在上为减函数， 因为x ∈[0,8]，所以当x =8时，， 不等式恒成立，等价于−2≥m 2−3m ，解得1≤m ≤2，故命题p 为真，实数m 的取值范围为[1,2]；(2)若命题q 为真，则，对上恒成立， 令，因为g(x)在上为单调增函数， 则，故m ≥1，即命题q 为真，m ≥1，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则命题p ，q 中一真一假，①若p 为真，q 为假，那么{1<m <2m <1，则无解， ②若p 为假，q 为真，那么{m <1或m >2m ≥1，则m >2． 综上m 的取值范围为．解析：本题主要考查全称量词命题，存在量词命题的真假判定，复合命题真假的判定．(1)令，则f(x)在上为减函数，，结合已知条件，问题等价于−2≥m 2−3m ，即可解得实数m 的取值范围；(2)由已知可得命题p ，q 中一真一假，然后分类讨论即可解得实数m 的取值范围．18.答案：解：∵抛物线y 2=12x 的p =6，开口方向向右，∴焦点是(3,0)，∵双曲线x 24−y 2b 2=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合， ∴4+b 2=9，∴b 2=5∴双曲线的渐近线方程为y =±√52x ，即√5x ±2y =0∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．解析：先求出抛物线y 2=12x 的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出b 的值，进而得到该双曲线的离心率与渐近线方程，从而可求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．．本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)b 2=13S 1=13b 1=13，b 3=13S 2=13(b 1+b 2)=49， b 4=13S 3=13(b 1+b 2+b 3)=1627 ;(2)∵b n+1=13S n ． ∴b n =13S n−1(n ≥2)， 两式相减可得，b n+1−b n =13b n ，∴b n+1=43b n ，∵b 2=13， ∴b n =13⋅(43)n−2(n ≥2)， ∴b n ={1,n =113⋅(43)n−2,n ≥2 ; (3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比(43)2的等比数列，∴b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n=13[1−(43)2n ]1−(43)2=37[(43)2n −1]．解析：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质的应用，数列的递推公式的应用是解答本题的关键．(1)由b 1=1，b n+1=13S n .分别令n =1，2，3可求;(2)由题意可得b n+1=13S n .b n =13S n−1(n ≥2)，两式相减，结合等比数列的通项公式可求;(3)由(2)可得b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比(43)2的等比数列，结合等比数列的求和公式可求． 20.答案：解：(1)由题意，AB =AC =BC =2，∠BDC =120°，由余弦定理得，BC 2=BD 2+DC 2−2BD ·DC ·cos120°，即4=BD 2+DC 2+BD ·DC ，即4−BD ·DC =BD 2+DC 2≥2BD ·DC ，(当且仅当BD =DC =23√3时取等号)所以，BD·DC≤43，所以，≤√3+12×43×√32=43√3，即四边形区域ABCD面积的最大值为43√3平方千米．(2)当楼宇D与楼宇B、C间距离相等时，由(1)得：BD=DC=23√3，则∠DBC=∠DCB，又∠BDC=120°，所以∠DBC=30°，由等边三角形ABC得∠ABC=60°，所以∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°，在RtΔEBD中，∠BDE=θ，所以，，则，所以铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为：，当时，．答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的解析式为；当时，铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用为8√33a元.解析：本题考查解三角形的实际应用、余弦定理和利用基本不等式求最值，属较难题型．(1)根据题意，结合余弦定理求得4=BD2+DC2+BD·DC，结合基本不等式得BD·DC≤43，即可求得；(2)由题意可得∠DBC=30°，∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°，从而在RtΔEBD中得铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为，代入即可得出结果．21.答案：解：(Ⅰ)由题可知e =c a =√53，2a +2b =10，解得a =3，b =2． 故椭圆E 的标准方程为E ：x 29+y 24=1证明(Ⅱ)：设P(x 0,y 0)，直线PA 交y 轴于点C(0,y 1)，直线PB 交y 轴于点D(0,y 2).则x 029+y 024=1，即9y 029−x 02=4． 易知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，故OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1y 2． 因为A(−3,0)，B(3,0)，所以得直线PA 的方程为y−y 0−y 0=x−x 0−3−x 0，令x =0，则y 1=3y 03+x 0； 直线PB 的方程为为y−y 0−y 0=x−x 03−x 0，令x =0，则y 2=3y03−x 0 所以故OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1y 2=9y 029−x 02=4，为定值．解析：(Ⅰ)由e =c a =√53，2a +2b =10，解得a =3，b =2.，进而得到椭圆方程； (Ⅱ)设P(x 0,y 0)，直线PA 交y 轴于点C(0,y 1)，直线PB 交y 轴于点D(0,y 2)，求得直线PA ，PB 的方程，分别求出y 1，y 2，再根据向量的数量积即可证明本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线求交点，考查向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)∵b 1=1，b n+1=13S n ，∴b 2=13b 1=13，b 3=13(b 1+b 2)=49，b 4=13(b 1+b 2+b 3)=1627． (2)当n ≥2时，b n+1−b n =13S n −13S n−1=13b n ，可得b n+1=43b n ，∴b n =13×(43)n−2．∴b n ={1,n =113×(43)n−2,n ≥2．解析：本题主要考查数列通项公式b n 与前n 项和S n 的关系，以及数列通项公式的求法，属于基础题．(1)根据b 1=1，b n+1=13S n ，可求出b 2，b 3，b 4的值；(2)利用b n 与前n 项和S n 的关系b n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2可求出通项公式．。

同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭被圆3ρ=截得的弦长为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．若函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．()2,2-B ．(]0,2C ．(]2,0-D ．[)0,23．己知变量x ，y 的取值如下表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ0.7y x a =+，据此预测：当9x =时，y 的值约为 A ．5.95B ．6.65C ．7.35D ．74．若对任意实数x ，有52012(2)(2)x a a x a x =+-+-55(2)a x +⋅⋅⋅+-，则024a a a ++=（ ）A ．121B ．122C ．242D ．2445．若直线2y kx =+和椭圆2221(0)9x y b b+=>恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[2,)+∞B ．[2,3)(3,)⋃+∞C ．[2,3)D ．(3,)+∞6．对于函数x y e =，曲线x y e =在与坐标轴交点处的切线方程为1y x =+，由于曲线xy e =在切线1y x =+的上方，故有不等式1x e x ≥+．类比上述推理：对于函数()ln 0y x x =>，有不等式（ ） A ．ln 1(0)x x x ≤-> B ．ln 1(0)x x x ≥+> C ．ln 1(0)x x x ≥->D ．ln 1(0)x x x ≤->7．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．20B ．24C ．16D ．316102+8．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（ ） A ．24 B ．72C ．144D ．2889．若22a x dx =⎰，230b x dx =⎰，20sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<10．某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ） A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法11．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．12．椭圆22145x y +=的焦点坐标是（ ）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±二、填空题：本题共4小题13．已知不等式()10xe a e x b -+++≤恒成立，其中e 为自然常数，则1b a+的最大值为_____． 14．已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______.15．如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______2cm16．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为35，面积为20π，则椭圆C 的标准方程为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省盐城中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知命题p：“，”，则是A. ，B. ，C. ，D. ，2.抛物线的准线方程为A. B. C. D.3.两个数4和16的等比中项为A. 8B.C. 4D.4.双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.5.设x，y均为正数，且，则xy的最大值为A. 1B. 2C. 4D. 166.是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.求值：A. B. C. D. 10108.若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.9.已知等差数列的前n项和为，若，，则最大时n的值为A. 4B. 5C. 6D. 710.若点P是以F为焦点的抛物线上的一个动点，B，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.已知正数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.12.在数列中，若对任意的n均有为定值，且，，，则此数列的前100项的和A. 296B. 297C. 298D. 299二、填空题（本大题共4小题）13.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______．14.已知正实数a，b满足，则的最小值为______．15.已知数列满足，，则的最小值为______．16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，半焦距为c，且在该椭圆上存在异于左、右顶点的一点P，满足，则椭圆离心率的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知p：，，q：，r：．若命题p的否定是假命题，求实数a的取值范围；若q是r的必要条件，求实数m的取值范围．18.已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点与点A重合．求抛物线的标准方程；若直线l过点A且斜率为双曲线的离心率，求直线l被抛物线截得的弦长．19.已知等比数列满足，．求数列的通项公式；若数列满足，求数列的前n项和．20.如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站其中边EF在GH 上，现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知，且．求y关于x的函数解析式；如果中转站四周围墙造价为1万元，两条道路造价为3万元，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？21.如图，已知过点的椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A，B．求椭圆的标准方程；若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另一点E，直线PB交椭圆于另一点Q．求直线PA与PB的斜率之积；判断直线AB与EQ是否平行？并说明理由．22.已知数列的前n项和．求数列的通项公式；设数列的前n项和为，满足，．求数列的通项公式；若存在p，q，，，使得，，成等差数列，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：命题：，的否定是：，．故选：D．欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：：“”；：“”即可，据此分析选项可得答案．这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2.【答案】A【解析】解：，，，抛物线的准线方程为．故选：A．利用抛物线的基本性质，能求出抛物线的准线方程．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】B【解析】解：两个数4和16的等比中项为：．故选：B．a，b的等比中项为．本题考查两个数的等比中项的求法，考查等比中项等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线标准方程为，其渐近线方程是，整理得．故选：A．渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．5.【答案】A【解析】解：，y均为正数，且，则，当且仅当即，时取得最大值4．故xy的最大值为1．故选：A．由基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．6.【答案】A【解析】解：若，，，是的充分条件若，，，不是的必要条件是的充分不必要条件故选A．由，可得，反之若，则，故可得结论．本题考查四种条件，解题的关键是利用不等式的基本性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：．故选：B．利用等差数列的前n项和公式直接求解．本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】D【解析】解：，使得不等式成立，，，，根据二次函数的性质可知，当时，，则即．故选：D．由题意可得，，然后根据二次函数的性质即可求解．本题主要考查了二次函数闭区间上的最值求解及存在性问题与最值求解的相互转化属于基础试题．9.【答案】C【解析】解：等差数列的前n项和为，，，，，，，最大时n的值为6．故选：C．推导出，，从而，，由此能求出最大时n的值．本题考查等差数列的前n项和最大时项数n的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：如图，过B作抛物线准线的垂线，交抛物线于P，垂足为D，则的最小值为．故选：B．由题意画出图形，过B作抛物线准线的垂线，交抛物线于P，垂足为D，则BD的长度即为的最小值．本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由正数x，y满足，，由基本不等式可知，，当且仅当时取等号，，解不等式可得，，故选：C．由对数的运算性质可得，，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．12.【答案】D【解析】解：在数列中，若对任意的n均有为定值，且，，，，，同理可得：，．则此数列的前100项的和．故选：D．在数列中，若对任意的n均有为定值，且，，，可得，因此，同理可得：利用周期性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的周期性、求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：根据题意，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，解可得：，即m的取值范围是，故答案为：根据题意，由椭圆的标准方程分析列出不等式组，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，关键是掌握二元二次方程表示椭圆的条件．14.【答案】9【解析】解：根据题意，，又由正实数a，b满足，则，又由，当且仅当时等号成立，则有，即的最小值为9；故答案为：9根据题意，分析可得，进而可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对的变形，属于基础题．15.【答案】【解析】解：，，，，，由累加法得，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，或5时最小，时，；时，；故答案为：．由累加法求出通项公式，再求解．本题考查数列递推公式，以及求最值问题，属于中等题．16.【答案】【解析】解：在中，由正弦定理知，又在椭圆上，，所以，即，解得，故答案为：利用正弦定理、椭圆的定义，结合条件，即可求该椭圆的离心率的取值范围本题考查椭圆的离心率的取值范围，考查正弦定理、椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：p：，，q：，r：，根据二次函数的性质可知，的最小值，故P：，由可得，由，可得，故q：，r：，若命题p的否定是假命题，即p为真命题，故a的范围，若q是r的必要条件，则，从而有，，解可得，，故m的范围．【解析】由，，可知，结合二次函数的性质即可求解p，然后结合命题关系即可求解a的范围；根据二次函数的解法可求q，r，然后由q是r的必要条件，则，结合集合的包含关系即可求解．本题主要考查了不等式的恒成立与最值求解的相互转化及集合的包含关系与充分必要条件的转化，属于中档试题．18.【答案】解：由双曲线，得，抛物线的焦点即双曲线的右顶点A为，则抛物线的标准方程为；由双曲线方程可得，，，则直线l的斜率为2．直线l的方程为，即．联立，得．直线l被抛物线截得的弦长为．【解析】由双曲线方程求得抛物线的焦点坐标，则抛物线方程可求；求出双曲线的离心率，得到直线的斜率，写出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解．本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查抛物线弦长公式的应用，是基础题．19.【答案】解：设等比数列的公比为q，，．，，解得，．由可得：．数列的前n项和．【解析】设等比数列的公比为q，由，可得，，解得q，，利用通项公式即可得出．由可得：利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：，，．在中，，，，可得．由于，得．在中，根据余弦定理，可得，即，解得．且，．可得y关于x的函数解析式为，．由题意，可得总造价．令，则，当且仅当，即时，M的最小值为49．此时，．答：当x的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．【解析】本题给出实际应用问题，求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案．着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题．根据题意得且，在中，然后在中利用余弦定理的式子建立关于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式；由求出的函数关系式，结合题意得出总造价然后换元：令，化简得到，利用基本不等式算出当时，M的最小值为由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值．21.【答案】解：椭圆过点的椭圆且离心率为，，把组成方程组，解得，，椭圆的方程为．由知，，直线OD方程为，点P在直线OD上，设，．设，，，，把上面的两个等式相减，得，，，联立直线AP：与椭圆的方程得，，，，，联立直线BP：与椭圆的方程得，，，，，，，又因为，，直线AB与EQ是平行．【解析】联立，，解得a，b，进而可写出椭圆方程．直线OD方程为，点P在直线OD上，设，．设，，，，把上面的两个等式相减，得，联立直线AP：与椭圆的方程得，，联立直线BP：与椭圆的方程得，，再化简即可得出结论．本题考查直线与椭圆的相交问题，属于中档题22.【答案】解：数列的前n项和．当时，，当时，，．，，．，，，把上面两式相减得，，．由，，成等差数列，有，即，由于，且为正整数，所以，，所以，可得，，当时，不等不成立；当时，，，即，则有；所以的最小值为7．【解析】当时，，当时，，进而求出通项公式．先分析进而得出，，再求出的通项公式．由等差数列的中项性质和分类讨论，即可得到最小值．本题考查了数列的前n项求和公式求通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

江苏省盐城市2019—2020学年高二下学期期终考试数学试题一､单项选择题1.设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p 为（ ） A. 0x ∃>，sin x x ≤ B. 0x ∀>，sin x x ≤ C. 0x ∃≤，sin x x ≤ D. 0x ∀≤，sin x x ≤【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式，即可得出结论. 【详解】命题p ：0x ∀>，sin x x >， 则⌝p ：0x ∃>，sin x x ≤. 故选：A.【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词之间的转换，属于基础题.2.已知复数2311z i i i i =++++，则z =（ ）A. -1B. 15 D. 11【答案】B 【解析】 【分析】 由等比数列的求和公式及i 的性质求解即可.【详解】1112432311(1)()111111i i i i i i i z i i i i i i i i----=++++=====-----,22101z ∴=+=,故选：B【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的性质，等比数列的求和公式，复数的除法运算，属于容易题.3.在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则n =（ ） A. 6B. 8C. 7或9D. 10【解析】 【分析】由二项式系数的对称性得知二项式()12nx +的展开式的项数，进而可求得n 的值.【详解】在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则该二项式的展开式中共有9项，所以，19n +=，解得8n =. 故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的对称性，确定二项展开式的项数是解题的关键，属于基础题. 4.低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：由此得出的正确结论是（ ）A. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”B. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”C. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”D. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” 【答案】C【分析】根据列联表计算出2K ，然后借助于临界值表可得结论．【详解】由已知22100(1217863)8.4435 6.63575252080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，由临界值表知选项C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查独立性检验，解题关键是计算出2K 的值，然后与临界值表对照即可得． 5.著名的斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+.人们通过研究发现其有许多0.618k =≈，若1n n a k a +>，则12n n a k a ++<；反之亦然.现记1nn n a b a +=，若从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为（ ） A.47 B.17C.57D. 27【答案】D 【解析】 【分析】先确定数列{}n b 的前7项中大于k 的项数，再根据古典概型概率公式求结果. 【详解】因为112=1a b k a =>，所以根据题中提供的性质得 1234567,,,,,,,b k b k b k b k b k b k b k ><><><>即数列{}n b 的前7项中大于k 的项数有4个，因此从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为242762217C C == 故选：D【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.6.若平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1AA ⊥底面ABCD ，11AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）B. C.15D. 15-【答案】A 【解析】 【分析】设,AC BD 交于O ，1111,AC B D 交于1O ，连1OO ，可得1,,AB CD OO 两两互相垂直，以点O 为原点建立空间直角坐标系，确定11,,,A B C C 坐标，进而得到11,AC B C 的坐标，求出其夹角余弦，即可得出结论.【详解】连,AC BD 交于O ，1111,AC B D 交于1O ，连1OO ，则11//OO AA ，1AA ⊥底面ABCD ，1OO ∴⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ∴⊥，60,2,BAD BD AC ∠=︒∴==以点O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，11(0,1,1),((A B C C 11(23,0,1),(3,1,1)AC B C =-=---，111111cos ,||||13AC B C AC B C AC B C ⋅<>===，所以异面直线1AC 与1B C 故选：A.【点睛】本题考查空间向量法求异面直线所成的角，考查计算求解能力，属于中档题. 7.A 、B 、C 、D 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生A 不参加甲社团，B 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（ ） A. 14 B. 18C. 12D. 4【答案】A 【解析】 【分析】对学生A 是否参加乙社团进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：①若学生A 参加乙社团，则其他三人的选择无限制，此时不同的报名方法种数为336A =；②若学生A 不参加乙社团，则学生A 有两种选择，则学生B 也有两种选择，其他两人的选择无限制，此时不同的报名方法数为22228A ⨯⨯=. 综上所述，不同的报名方法种数为6814+=. 故选：A.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.8.下列实数m 的取值范围中，能使关于x 的不等式ln()x m mx +≤恒成立的是（ ） A. (1,1)- B. (0,2)C. 22⎛⎤⎥ ⎝⎦D. 2)【答案】C【解析】 【分析】构造新函数()ln()f x x m mx =+-，利用导数求出它的最大值，由这个最大值0≤得出题设不等式恒成立的m 的范围，然后确定选项中集合是这个范围的子集即可． 【详解】由题意ln()0x m mx +-≤恒成立，设()ln()f x x m mx =+-，则1()f x m x m'=-+，易知若0m ≤，则()0f x '>恒成立，()f x 递增，()1()0f e m m e m -=-->，不合题意．所以0m >，()'f x 在0x m +>时是减函数，由1()0f x m x m '=-=+得1x m m=-，当1m x m m -<<-时，()0f x '>，()f x 递增，当1x m m >-时，()0f x '<，()f x 递减， 所以1x m m =-时，()f x 取得极大值也是最大值2211()ln 1ln 1f m m m m m m -=-+=--，令2()ln 1g m m m =--，则22()12122()2m m m g m m m mm-+-'=-==， 因为0m >，所以当0m <<()0g m '<，()g m 递减，当m >时，()0g m '>，()g m 递增，由于(1)0g =，所以0g <，所以存在0m ∈，使得()0g m =，当01m m ≤≤时，()0g m ≤，原不等式成立，对照各选项，只有C 满足， 故选：C ．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，可把问题转化为研究函数的最值，由这个最值满足相应的条件得出参数取值范围，注意本题中要选的是这个范围的子集，而不一定是这个范围本身．二､多项选择题9.设点F ､直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点､右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则2||d PF >的充分不必要条件有（ ） A. e ∈(0,12) B. e ∈(18,14)C. e ∈(14,12) D. e ∈(12,1) 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆第二定义可得2||d PF >充要条件是102e <<，根据充分不必要条件关系，逐项判断即可.【详解】依题意，||12||,2PF d PF d ><，即102e <<，选项A ，是充要条件，所以不满足； 选项B ，C 中e 的范围均是1(0,)2的真子集， 所以满足充分不必要条件；选项D ，既不是充分条件也不是必要条件. 故选：B ，C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，掌握椭圆第二定义是解题的关键，属于基础题. 10.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误；若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD.【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 11.设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ）A. 当15n =时，n S 取最大值B. 当30n =时，0n S =C. 当0d >时，10220a a +>D. 当0d <时，1022a a >【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据1020S S =，得到1292a d =-，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性， 所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭， 故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭， 故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-， 22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了前n 项和n S 的计算，属于简单题. 12.设命题p ：若()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数，下列函数中能说明命题p 为假命题的有（ ） A. ()sin f x x = B. 2()f x x =C. 321()13f x x x x =-++ D. ()e 2ln(1)xf x x =-+【答案】A 【解析】 【分析】可根据初等函数的单调性，或利用导数先找到满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立的函数，再分析函数在x ∈(0,2]上的单调性得到结论即可.【详解】因为()sin f x x =当x ∈(0,2]时，都有()(0)f x f >，但因为22π>，所以()sin f x x=在x ∈(0,2]上不单调，故A 可以；因为2()f x x =满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，2()f x x =在x ∈(0,2]上单调递增，故B 不可以；由321()13f x x x x =-++知22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥， 所以函数321()13f x x x x =-++在R 上单调递增，当x ∈(0,2]时()(0)f x f >成立，即()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，()f x 在[0,2]上是增函数，故C 不可以，因为()e 2ln(1)xf x x =-+，所以2()1xf x e x '=-+为增函数，因为(0)10,(1)10f f e ''=-<=->， 所以存在0(0,1)x ∈使0()0f x '=，故函数在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上单调递增，不满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，故D 不可以. 故选：A.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，考查了利用导数求函数的值域，单调性，正弦函数的单调性、值域，属于难题.三､填空题13.已知随机变量X 服从正态分布()210,N σ，0σ>，且()160.76P X ≤=，则()410P X <≤的值为____________.【答案】0.26 【解析】 【分析】根据随机变量X 服从正态分布()210,N σ，可得对称轴为10x =，再利用对称性即可得到答案.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()210,N σ，所以对称轴为10x =.所以()()1016160.50.26P X P X <≤=≤-=. 所以()()41010160.26P X P X <≤=<≤=. 故答案为：0.26【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于简单题.14.在二项式10+的展开式中，有理项的个数为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据二项展开式通项公式确定有理项取法，再确定有理项的个数. 【详解】35104110104()()2,0,1,2,,10r r rr r rr T C x C x r x--+==⋅⋅=所以当35,0,4,84rZ r -∈=时，为有理项，因此有理项的个数为3， 故答案：3【点睛】本题考查二项展开式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 15.若正实数x ，y 满足1()y x y -=，则2x+y 的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】先消去x ，再利用基本不等式求最值. 【详解】11()y x y x y y-=∴=+223x y y y ∴+=+≥=当且仅当y =时取等号 因此2x+y的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16.设过双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点F (c ，0)的直线l 与其一条渐近线垂直相交于点A ，则点A 的横坐标可用a ，c 表示为____________；若l 与另一条渐近线交于点B ，且4FB FA =，则C 的离心率为____________.【答案】 (1). 2a c(2). 3【解析】 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为： by x a=，根据直线l 与之垂直，设直线方程为()a y x c b =-- ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得A 的坐标，联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得B 的坐标，然后根据4FB FA =求解.【详解】设双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线方程为： b y x a =，因为过右焦点F (c ，0)的直线l 与之垂直，设直线为 ()ay x c b=-- ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得 2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22222a c x a b abc y a b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，所以22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B ab a b ，因为4FB FA =，所以22224⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭a ca c c abc ，化简得：422431180-+=c a c a ， 所以4231180-+=e e ， 解得283=e 或21e =（舍去），解得=e 故答案为：①2a c；②3【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四､解答题17.设函数2()ln 2f x x mx x =-+-(m ∈R ).（1）当1m =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当32m =时，求函数()f x 的单调增区间. 【答案】（1）0x y +=.（2）(1,)+∞【解析】 【分析】（1）由2()ln 2=-+-f x x x x ，求导， 求出(1)f ，(1)'f ，写出切线方程.（2）当32m =时，23()ln 22f x x x x =-+-，求导，然后由()0f x '>求解. 【详解】（1）当1m =时，2()ln 2=-+-f x x x x ，1()22'=-+-f x x x(1)=1∴-f ，(1)1'∴=-f()f x ∴在1x =处的切线方程为(1)(1),y x --=--即0x y +=. （2）当32m =时，23()ln 22f x x x x =-+-， 21321()32(0)x x f x x x x x'--∴=-+-=>令()0f x '>，得23210x x x-->0x ，23210∴-->x x ，解得13x <-(舍去)或1x >，()f x ∴的单调增区间是(1,)+∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，____________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n an b =+，求数列{}n b 的前n 项的和.【答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）212233n n ++-.【解析】 【分析】（1）选①，根据条件4516a a +=得出12716a d +=，由2d ≥且d N *∈，1a *∈N ，可求得d 和1a 的值，进而可求得等差数列{}n a 的通项公式；选②，由39S =得出13a d +=，由2d ≥且d N *∈，1a *∈N ，可求得d 和1a 的值，进而可求得等差数列{}n a 的通项公式； 选③，由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，求得数列{}n a 的公差，由该数列为等差数列求得r 的值，进而可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求得2121n n b -=+，然后利用分组求和法可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由等差数列{}n a 各项均为正整数，且公差1d >，知2d d N *≥∈，，1a *∈N .选①，由4516a a +=得12716a d +=，由2d d N *≥∈，，1a *∈N ，得11a =，2d =，()1121n a a n d n ∴=+-=-；选②，由31339S a d =+=得13a d +=，由2d d N *≥∈，，1a *∈N ，得11a =，2d =，()1121n a a n d n ∴=+-=-；选③，由2n S n r =+得()()2112n S n r n -=-+≥，()()221121n n n a S S n r n r n -⎡⎤∴=-=+--+=-⎣⎦，则()()1211212n n a a n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，且23a =，又111a S r ==+，且数列{}n a 是等差数列，则()213122a a r r -=-+=-=，得0r =，21n a n ∴=-；（2）由（1）知21n a n =-，212121n a n n b -∴=+=+，()()()()32132112212121222n n n b b b n --∴+++=++++++=++++()21214221433n n n n +⨯-=+=+--，所以{}n b 的前n 项的和为212233n n ++-.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解以及分组求和法，涉及基本量法以及利用n S 求n a ，考查计算能力，属于中等题.19.如图，在斜三棱柱111—ABC A B C 中，AB=1，AC=2，13AC =，AB ⊥AC ，1A C ⊥底面ABC .（1）求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值； （2）求平面11ACC A 与平面1AB C 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）1010.（2310【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB AC ，分别为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量1B C 的坐标，再根据1A C ⊥底面ABC ，得到1A C AB ⊥，又AB AC ⊥，由线面垂直的判定定理得到AB ⊥平面11ACC A ，从而(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，然后由111cos ,||||⋅<>=B C ABB C AB B C AB 求解.（2）由（1）知(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，再求得平面1AB C 的一个法向量(,,)n x y z =，然后由cos ,||||⋅<>=n ABn AB n AB 求解.【详解】（1）以A 为原点，AB AC ，分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,2,3)A ，1(1,2,3)B ，则1(1,0,3)BC =--， ∵1A C ⊥底面ABC ，AB 底面ABC ，∴1A C AB ⊥，又∵AB AC ⊥，1AC C AC ⋂=， AC ⊂平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ， ∴AB ⊥平面11ACC A ，∴(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量， ∴11110cos ,10||||101B C AB B C AB B C AB ⋅<>===-⨯，故所求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值为1010（2）(0,2,0)AC =，1(1,2,3)AB =， 设(,,)n x y z =为平面1AB C 的一个法向量，则120230n AC y n AB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1z =，得30x y =-=，，得平面1AB C 的一个法向量为(3,0,1)n =-，又由（1）得(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，∴cos ,10||||10n AB n AB n AB ⋅<>===-，故所求面11ACC A 与平面1AB C 【点睛】本题主要考查线面角和二面角的向量求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20.我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献，广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动，活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查，其中关于4项子活动的赞同情况统计如下：现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研，每项子活动采访1名学生.（1）若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访，求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率；（2）若从A 班和E 班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象，记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X .【答案】（1）256625.（2）分布列答案见解析，数学期望：176【解析】 【分析】（1）先求出事件“任选1人对4项子活动不全部赞同”的概率，问题就是求4次试验中这个事件恰好发生一次的概率，由此可计算概率；（2）A 班中4项子活动全部赞同的人数共有3人，不全部赞同的有1人，E 班中4项子活动全部赞同的人数共有2人，不全部赞同的有1人，因此X 的可能值为2，3，4，分别计算出概率可得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）设4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”为事件A ， ∵25名同学中4项子活动全部赞同的人数为20人，不全部赞同的人数为5人， ∴从中任选1人对4项子活动不全部赞同的概率为51255=， ∴所求事件的概率为113411256()()(1)55625P A C =-= （2）2,3,4X =，1111312122431(2)3C C C C P X C C ==⨯=，2011112031312121222243431(3)2C C C C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=， 2020312122431(4)6C C C C P X C C ==⨯=， 故X 的分布列为则X 的数学期望为11117()2343266E X =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查独立重复试验恰好发生k 次概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定随机变量的所有可能取值．21.如图，平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与抛物线C ：24y x =切于点P (0x ,0y )，00x ≠.（1）用0y 表示直线l 的斜率；（2）若过点P 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于另一点Q ，且OP ⊥OQ ，求0x 的值.【答案】（1）02y .（2）2【解析】 【分析】（1）首先设直线l 的方程为2004y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立24y x =，得到2200440ky y y ky -+-=，再利用0∆=即可得到答案.（2）首先设直线PQ 的方程为200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，联立24y x =解得008Qy y y =--. 再利用OP OQ ⊥解得022y =±，代入24y x =即可得到0x 的值.【详解】（1）因直线l 与抛物线相切于点()00,P x y ，2004y x =，00x ≠，所以直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为()204y y y k x x k x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 联立24y x =，得220044y y y y k ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，化简得2200440ky y y ky -+-=， 显然0k ≠，由()()22004440k y ky ∆=---=，整理得：()200440ky ky -+=，解得02k y =.（2）由（1）知02PQyk =-，所以直线PQ的方程为20024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 将24y x =代入得22000244y y y y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 整理得23000880y y y y y +--=，2008Q y y y ∴=--，008Q y y y =--， 由OP OQ ⊥，得0OP OQ ⋅=，则220000016QQ Q Q y y x x y y y y +=+=，显然00Q y y ≠，从而016Q y y =-， 即0008()16y y y --=-，解得0y =± 所以20024y x ==，所以当OP OQ ⊥时，0x 的值为2 .【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题. 22.设函数()()1221x f x eax a x -=+-+（其中a 为实数）.（1）若0a >，求()f x 零点的个数；（2）求证：若1x =不是()f x 的极值点，则()f x 无极值点. 【答案】（1）有2个零点；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，利用导数分析函数()y f x =的单调性，结合零点存在定理判断出函数()y f x =在区间(),1-∞和[)1,+∞上的零点个数，由此可得出结论；（2）分析出当0a ≥时，1x =是函数()y f x =的极值点，在0a <时，求得()f x ''，可知函数()y f x ''=在R 上单调递增，令()0f x ''=得()1ln 2x a =+-，对()1ln 2a +-与1的大小进行分类讨论，利用导数分析函数()y f x =的单调性，由此可证得结论.【详解】（1）由题意得()()()()11221121x x f x e ax a e a x --'=+-+=-+-，所以()10f '=， 又()12x f x ea -''=+，且0a >，所以()0f x ''>恒成立，从而函数()y f x '=在R 上单调递增， 所以当(),1x ∈-∞时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>.则函数()y f x =在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为()10f a =-<，()100f e=>，函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减且图象连续不断， 所以函数()y f x =在(),1-∞上恰有1个零点，因为()10f a =-<，()220f e =->，函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增且图象连续不断，所以函数()y f x =在[)1,+∞上恰有1个零点，综上所述，当0a >时，函数()y f x =有2个零点；（2）由（1）知，当0a >时，函数()y f x '=在R 上单调递增，又()10f '=，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.所以，1x =是函数()y f x =的极小值点.同理当0a =时，1x =也是函数()y f x =的极小值点.当0a <时，由()120x f x e a -''=+=得()1ln 2x a =+-，且()y f x ''=在R 上单调递增. 所以当()1ln 2x a <+-时，()0f x ''<；当()1ln 2x a >+-时，()0f x ''>，从而函数()y f x '=在()(),1ln 2a -∞+-上单调递减；在()()1ln 2,a +-+∞上单调递增. 若()1ln 21a +-<，即102a -<<，则当()()1ln 2,1x a ∈+-时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则1x =是函数()y f x =的极值点；同理若()1ln 21a +->，即12a <-，则1x =也是函数()y f x =的极值点； 若()1ln 21a +-=，即12a =-，()0f x '≥，则函数()y f x =在R 上单调递增，此时1x =不是函数()y f x =的极值点.综上可知，若1x =不是函数()y f x =的极值点，则12a =-，函数()y f x =在R 上单调递增，从而函数()y f x =无极值点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，考查分类讨论思想的应用，属于难题.。

江苏省盐城中学高二年级阶段性考试数学试卷（2019.10）命题人： 审核人：一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，计50分．） 1.若22a bc c>，则下列描述,a b 的大小关系正确的为 ( ) A. b a >B. b a =C. b a <D.无法确定2.已知等比数列{}n a 中，684,8a a ==，则10a 的值是 ( )A. 5B. 6C. 14D. 163.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15项是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．84.已知ABC ∆的内角060=B ，且，，41==BC AB 则边BC 上的中线AD 的长为 ( ) A ．1B ．13C ．3D ．25.已知一个正三棱柱的底面边长为3，且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三棱柱的体积为 ( )A ．25B ．27 C ．233 D ．296.直线01443=-+y x 与圆()4)1(122=++-y x 的位置关系为 ( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切7.《九章算术》是我国古代内容极丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，前七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为( )A ．6B ．7C ．8D ．98.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且353n n A n B n +=+，则55a b = ( ) A ．52 B. 133 C. 3513 D. 839.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则不等式20bx ax c -+<的 解集为 ( )A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．6,15⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()6-15⎛⎫∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，D ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.已知等差数列{}n a 满足212=9n n n a a a ++-+（n N *∈），若存在两项s a ， t a 使得1=212s t a a a ++，则14s t+的最小值为 ( )A.94B.32C. 3D. 9二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．）11.若直线1+=kx y 与直线042=-+y x 垂直，则k 的值为 .12.已知不等式240x mx ++>对一切[]3,1∈x 恒成立，则实数m 的取值范围为 ． 13.已知0,0,2=32,x y x y xy >>+-，则2x y +的最小值为 .14.设数列{}n a 满足*132131923n n n a a a a a n N ++===+∈，，，,则数列{}n a 的前2020项之和为 .三、解答题：（本大题共6小题，计80分．） 15.解下列关于x 的不等式． （1）321x x ->-+（2）22(21)0x a x a a -+++≤．16.已知3sin 5α＝，(0,)2πα∈．（1）求sin()6πα-的值；（2）求tan2α的值．17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，都有(1)n n S na n n =--． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若116a =-，求满足0n S <的最大正整数n ．18.如图（示意），公路AM 、AN 围成的是一块顶角为钝角α的角形耕地，其中2sin 5α=．在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM 、AN 的距离PE 、PF 分别为3km ，2km ．现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．设AB xkm =，AC ykm =，其中0,0x y >>．（1）试建立,x y 间的等量关系；（2）为尽量减少耕地占用，问如何确定B 点的位置,使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足111,2,221,k k n kk n c c b n +⎧<<===⎨⎩, 其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221nna c-的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .20.已知数列{}n a 满足112a =,1211n na a n +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；·A MNPBC（第18题）EF（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设数列{}n b 满足210,2,21n nn n k b n n k a --=⎧⎪=⎨=-⎪⎩,其中*k ∈N .记{}n b 的前n 项和为n S .是否存在正整数,m n ()m n <,使得m n S S =成立？若存在,请求出所有满足条件的,m n ；若不存在,请说明理由.江苏省盐城中学高二年级阶段性考试数学试卷（2019.10）命题人： 审核人：一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，计50分．） 1.若22a bc c>，则下列描述,a b 的大小关系正确的为 ( A ) A. b a >B. b a =C. b a <D.无法确定2.已知等比数列{}n a 中，684,8a a ==，则10a 的值是 ( D )A. 5B. 6C. 14D. 163.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15项是 ( A )A ．5B ．6C ．7D ．84.已知ABC ∆的内角060=B ，且，，41==BC AB 则边BC 上的中线AD 的长为 ( C ) A ．1B ．13C ．3D ．25.已知一个正三棱柱的底面边长为3，且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三棱柱的体积为 ( D )A ．25B ．27 C ．233 D ．296.直线01443=-+y x 与圆()4)1(122=++-y x 的位置关系为 (A )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切7.《九章算术》是我国古代内容极丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，前七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为( D )A ．6B ．7C ．8D ．98.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且353n n A n B n +=+，则55a b = ( D ) A ．52 B. 133 C. 3513 D. 839.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则不等式20bx ax c -+<的解集为 ( B )A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．6,15⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()6-15⎛⎫∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，D ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 10.已知等差数列{}n a 满足212=9n n n a a a ++-+（n N *∈），若存在两项s a ， t a 使得1=212s t a a a ++，则14s t+的最小值为 ( B )A.94B.32C. 3D. 9二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．） 11.若直线1+=kx y 与直线042=-+y x 垂直，则k 的值为21. 12.已知不等式240x mx ++>对一切[]3,1∈x 恒成立，则实数m 的取值范围为 4->m ． 13.已知0,0,2=32,x y x y xy >>+-，则2x y +的最小值为 4 .14.设数列{}n a 满足*132131923n n n a a a a a n N ++===+∈，，，,则数列{}n a 的前2020项之和为 101091- .三、解答题：（本大题共6小题，计80分．） 15.解下列关于x 的不等式． （1）321x x ->-+（2）22(21)0x a x a a -+++≤．解：（1） 1x <-或13x >； （2）1a x a ≤≤+．16.已知3sin 5α＝，(0,)2πα∈．（1）求sin()6πα-的值；（2）求tan2α的值．解：∵ sin α＝35，(0,)2πα∈∴ cos α＝1－sin 2α＝45，可得tan α＝sin αcos α＝34.(1) sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin π6cos α－cos π6sin α＝12×45－32×35＝43310-.(2) tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，都有(1)n n S na n n =--． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若116a =-，求满足0n S <的最大正整数n ．证明：（1）∵(1)n n S na n n =--，∴2n ≥时，11(1)(2),n n S na n n --=---． ∴1(1)(1)(1)(2)n n n a na n n n a n n -=----+--． ∴1(1)(1)2(1)0,(2)n n n a n a n n ------=≥．∴12,(2)n n a a n --=≥．∴{}n a 是1a 以为首项，2为公差的等差数列．（2）16n =．18.如图（示意），公路AM 、AN 围成的是一块顶角为钝角α的角形耕地，其中2sin 5α=．在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM 、AN 的距离PE 、PF 分别为3km ，2km ．现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．设AB xkm =，AC ykm =，其中0,0x y >>．（1）试建立,x y 间的等量关系；（2）为尽量减少耕地占用，问如何确定B 点的位置,使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．解：过点P 作PE ⊥AM ，PF ⊥AN ，垂足为E 、F ．因为P 到AM ，AN 的距离分别为3，2， 即PE ＝3，PF ＝2．由S △ABC ＝S △ABP ＋S △APC ＝12⋅x ⋅3＋12⋅y ⋅2 ＝12(3x ＋2y )． ①·A MNPBC（第18题）EF所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅25． ② 即3x ＋2y ＝25xy ． ③（2）因为3x ＋2y ≥26xy ，所以25xy ≥26xy ． 解得xy ≥150．当且仅当3x ＝2y 取“＝”，结合③解得x ＝10，y ＝15． 所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅25有最小值30．答：当AB ＝10km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为30km 2．19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足111,2,221,k k n kk n c c b n +⎧<<===⎨⎩, 其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221nna c-的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯.（2）（i ）()()()()22211321321941n n x n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-. 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-. （ii ）()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n nn ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2124143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N .20.已知数列{}n a 满足112a =,1211n na a n +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设数列{}n b 满足210,2,21n nn n kb n n k a --=⎧⎪=⎨=-⎪⎩,其中*k ∈N .记{}n b 的前n 项和为n S .是否存在正整数,m n ()m n <,使得m n S S =成立？若存在,请求出所有满足条件的,m n ；若不存在,请说明理由. 解：（1）数列{}n a n 是等比数列，其中首项为12，公比为12，所以1(),22n n n n a na n ==即.注：也可累乘求{}n b 的通项(2) 12(2)2nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭(3)112S a ==，212S =-，3231284S S a =+=-+=-，422S =-，545223210S S a =+=-+=，612S =-，76712128116S S a =+=-+=，890S =.1°当,m n 同时为偶数时，可知2,6m n ==；设22(1)n n n t S S -=-,则212410n n t n -=--，因为 ()()()21121211241102410324n n n n n t t n n +---+⎡⎤-=-+----=⨯-⎣⎦13240≥⨯->， 所以数列{}n t 单调递增，则n ≥5时，952300n t t ≥=->，m n S S =不成立；故当,m n 同时为偶数时，可知2,6m n ==； 2°当,m n 同时为奇数时，设2121n n n t S S +-=-,则214102n n t n +=--+，因为()()2321211411024102324n n n n n t t n n ++++⎡⎤-=-+-+---+=⨯-⎣⎦33240≥⨯->， 所以数列{}n r 单调递增，则当n ≥2时，522180n r r ≥=->，即n ≥2时，2121n n S S +->，数列{}21n S -在n ≥2时单调递增，而12S =，34S =-，510S =，故当,m n 同时为奇数时，m n S S =不成立；3°当m 为偶数，n 为奇数时，显然6m ≤时，m n S S =不成立，若8m ≥，则111112m m m m m m S S b S S +++++=-=-<， ∵m n <，∴1m n +≤，由2°可知1m n S S +≤，∴1m m n S S S +<≤， ∴当m 为偶数，n 为奇数时，m n S S =不成立； 4°当m 为奇数，n 为偶数时，显然5m ≤时，m n S S =不成立，若7m ≥，则1n m ≥+，若1n m =+，则()11112110m m m m m n S S b S m S S ++++=-=--+->=⎡⎤⎣⎦， 即m n S S >，∴1n m =+时，m n S S =不成立; 若3n m ≥+，由1°知3n m S S +≥,又记232428m m m m u S S m ++=-=--满足21240m m m u u ++-=->，所以{}m u 单调递增，70m u u ≥>，所以3n m ≥+时，m n S S =不成立；综上：存在2,6m n ==.。

2019/2020学年度第二学期高二年级期终考试数学参考答案1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 9．BC 10．ABD 11．BC 12．AD13．0.26 14．3 15． 16．2a c ，317．解：（1）当1m =时，2()ln 2(1)=1f x x x x f =-+-∴-，，1()22(1)1f x x f x''=-+-∴=-，，()f x ∴在1x =处的切线方程为(1)(1),y x --=--即0x y +=. ………………………………4分（2）当32m =时，23()ln 22f x x x x =-+-， 21321()32=(0)x x f x x x x x--'∴=-+->， ……………………………………………………6分令()0f x '>，得23210x x x-->，……………………………………………………………………8分20,3210x x x >∴-->Q ，解得13x <-（舍去）或1x >，()f x ∴的单调增区间是1+∞（，）.……………………………………………………………………10分 18．解（1）由等差数列{}n a 各项均为正整数，且公差1d >，知2d d N *≥∈，， 选①，由45+=16a a 得12+7=16a d ，由2d d N *≥∈，，得1=1a ，=2d ，=21n a n ∴-. 选②，由3S =2得113+3=9+=3a d a d ，，由2d d N *≥∈，，得1=1a ，=2d ，=21n a n ∴-.选③，由2S =n n r +得2-1S =(1)(2)n n r n -+≥，，221=S S =(1)=21(2)n n n a n r n r n n -∴-+----≥，23=3,=5a a ∴，又因为{}n a 是等差数列，1=21d a ∴=，，=21n a n ∴-. ………………………6分(2)由（1）知=21n a n -，21=2121n an n b -∴+=+， 32112(21)(21)(21)n n b b b -∴+++=++++++L L 321=(2+22)+(1+11)n -++++L L ……9分212(14)22=1433n n n n +⨯-+=+--，所以{}n b 的前n 项的和为212233n n ++-.……………………12分19．解：（1）以A 为原点，AB AC u u u r u u u r，分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,2,3)A ，1(1,2,3)B ，…………………………………2分则1(1,0,3)BC =--u u u r ， ∵1A C ⊥底面ABC ，AB ⊂底面ABC ，∴1A C AB ⊥，又∵AB AC ⊥，1AC AC C =I ， AC ⊂平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ， ∴AB ⊥平面11ACC A ，∴(1,0,0)AB =u u u r是平面11ACC A 的一个法向量，∴111cos ,||||B C AB B C AB B C AB ⋅<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r …………………………………………4分故所求直线1B C 与平面11ACC A. …………………………………………6分 （2）(0,2,0)AC =u u u r，1(1,2,3)AB =u u u r ，设(,,)n x y z =r为平面1AB C 的一个法向量，则120230n AC y n AB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩r u u u r r u u u r ，令1z =，得30x y =-=，， 得平面1AB C 的一个法向量为(3,0,1)n =-r，…………………………………………………………8分 又由（1）得(1,0,0)AB =u u u r是平面11ACC A 的一个法向量，∴cos ,||||n AB n AB n AB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u u r ，…………………………………………………10分故所求面11ACC A 与平面1AB C． ………………………………12分 注：也可用定义法证得11A CB ∠即为第（1）（2）两问中的所求角，请参照评分.20．解：（1）设4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”为事件A ， ∵25名同学中4项子活动全部赞同的人数为20人，不全部赞同的人数为5人，１(第19题图)∴从中任选1人对4项子活动不全部赞同的概率为51255=，………………………………………2分 ∴所求事件的概率为113411256()()(1)55625P A C =-=.…………………………………………………5分 （2）2,3,4X =, ………………………………………………………………………………………6分1111312122431(2)3C C C C P X C C ==⨯=， ……………………………………………………………………7分2011112031312121222243431(3)2C C C C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=，……………………………………………………8分 2020312122431(4)6C C C C P X C C ==⨯=， ……………………………………………………………………9分 故X 的分布列为…………………………………………………10分则X 的数学期望为11117()2343266E X =⨯+⨯+⨯=. ……………………………………………12分 21.解：（1）因直线l 与抛物线相切于点00(,)P x y ，00x ≠，所以直线l 的斜率存在，设为k .所以直线l 的方程为200()()4y y y k x x k x -=-=-，联立24y x =，得2200()44y y y y k -=-，化简得2200440ky y y ky -+-=， …………………3分显然0k ≠，由2200(4)4(4)0k y ky ∆=---=解得02k y =. ………………………………5分 （2）由（1）知02PQy k =-，所以直线PQ 的方程为2000()24y y y y x -=--，将24y x =代入得22000()244y y y y y -=--，解得008Q y y y =--， ………………………………8分 由OP OQ ⊥，得OP OQ ⊥u u u r u u u r ，则22016P QP Q P Q P Q y y x x y y y y +=+=， ………………………10分显然0P Q y y ≠，从而16P Q y y =-，即0008()16y y y --=-，解得0y =± 所以20024y x ==，所以当OP OQ ⊥ 时，0x 的值为2 . …………………………………12分22.解：（1）由题意得1()2(21)x f x e ax a -'=+-+，所以(1)0f '=，又1()2x f x e a -''=+，且0a >，所以()0f x ''>恒成立，从而函数()f x '在R 上单调递增， 所以当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 在(,1)-∞上单调递减；在(1,)+∞上单调递增， ……………………………………2分 因为(1)0f a =-<，1(0)0f e=>，函数()f x 在(,1]-∞上单调递减且图像连续不断， 所以函数()f x 在(,1)-∞上恰有1个零点，………………………………………………………3分 因为(1)0f a =-<，(2)20f e =->，函数()f x 在[1,)+∞上单调递增且图像连续不断， 所以函数()f x 在(1,)+∞上恰有1个零点，综上所述，当0a >时，函数()f x 有2个零点. ……………………………………………………5分 （2）由（1）知，当0a >时，1x =是函数()f x 的极小值点，同理当0a =时，1x =也是函数()f x 的极小值点， ……………………………………………6分 当0a <时，由1()20x f x e a -''=+=得1ln(2)x a =+-，且()f x ''在R 上单调递增， 所以当1ln(2)x a <+-时，()0f x ''<；当1ln(2)x a >+-时，()0f x ''>，从而函数()f x '在(,1ln(2))a -∞+-上单调递减；在(1ln(2),)a +-+∞上单调递增， …………7分 若1ln(2)1a +-<即102a -<<，则当(1ln(2),1)x a ∈+-时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，则1x =是函数()f x 的极值点； ………………………………………………………9分同理若1ln(2)1a +->即12a <-，则1x =也是函数()f x 的极值点； …………………………10分 若1ln(2)1a +-=即12a =-，()0f x '≥，则函数()f x 在R 上单调递增，此时1x =不是函数()f x 的极值点；综上可知，若1x =不是函数()f x 的极值点，则12a =-，函数()f x 在R 上单调递增，从而函数()f x 无极值点.………………………………………………………………………………………………12分。

2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题(共10小题).1.(x +1)n的展开式共有11项,则n 等于( ) A.9B.10C.11D.8【参考答案】B 【试题解答】直接利用二项式定理的性质写出结果即可.因为(x +1)n 的展开式共有11项,则n +1＝11⇒n ＝10; 故选:B.本题考查二项式定理的简单性质的应用,基本知识的考查. 2.已知函数()sin f x x =,其导函数为()f x ',则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'＝( ) A.12-B.32C.12D.32-【参考答案】C 【试题解答】可以求出导函数()cos f x x '=,从而可得出'3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 解:∵()sin f x x =,∴()cos f x x '=,∴1'332f cos ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选:C .本题考查了基本初等函数的求导公式,已知函数求值的方法,考查了计算能力,属于基础题. 3.从0,1,2,3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数,则这个两位数是偶数的概率为( ) A.13B.49C.12D.59【参考答案】D 【试题解答】基本事件总数n ＝3×3＝9,这个两位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1×3+1×2＝5.由此能求出这个两位数是偶数的概率.解:从0,1,2,3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数, 基本事件总数n ＝3×3＝9,这个两位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1×3+1×2＝5. ∴这个两位数是偶数的概率为p 59m n ==. 故选:D .本题主要考查概率的求法,考查古典概型计算公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.在(x +2)5的展开式中,二项式系数的最大值为( ) A.5B.15C.10D.20【参考答案】C 【试题解答】展开式中共有6项,根据展开式中间两项的二项式系数最大,故第3,4项的二项式系数最大,可得选项.展开式中共有6项,根据展开式中间两项的二项式系数最大,故第3,4项的二项式系数最大, 故235510C C ==, 故选:C.本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具,属于基础题.5.已知正态密度曲线的函数关系式是f (x )22()2x μσ-=,设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f (x )的图象,且f (x )2(10)8x e-=(x ∈R ),则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是( ) A.10与8 B.10与2C.8与10D.2与10【参考答案】B 【试题解答】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解. 解:∵f (x)222(10)(10)822x x e --⨯==,∴平均数μ＝10,标准差σ＝2. 故选:B.本题考查正态密度曲线的函数,是基础题.6.设n ∈N *,则0n C 1n 80+1n C 1n ﹣181+2 n C 1n ﹣282+3 n C 1n ﹣383+……+1n n C -118n ﹣1+nn C 108n 除以9的余数为( ) A.0B.8C.7D.2【参考答案】A 【试题解答】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论.解:因为C 0n 1n 80+C 1n 1n ﹣181+C 2n 1n ﹣282+C 3n 1n ﹣383+……+C 1n n -118n ﹣1+C nn 108n ＝(1+8)n ＝9n ; 故除以9的余数为0; 故选:A .本题考查二项式定理及应用,解题时需注意组合数性质及二项式定理的合理运用,属于基础题.7.在比赛中,如果运动员甲胜运动员乙的概率是23,那么在五次比赛中,运动员甲恰有三次获胜的概率是( ) A.40243B.80243C.110243D.20243【参考答案】B 【试题解答】试题分析:运动员甲获胜的次数记为X ,则2(5,)3X B ~,33252180(3)()()33243P X C ===; 考点:1.二项分布;8.设(1+x )n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ,若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64,则展开式中系数最大的项是( ) A.15x 2B.21x 3C.20x 3D.30x 3【参考答案】C 【试题解答】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝(1+1)n ＝64,得 n ＝6,由此求得展开式中系数最大的项. 因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝(1+1)n＝64,得 n ＝6,故展开式中系数最大的项是第四项;即36x 3＝20x 3; 故选:C.本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,属于基础题.9.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目,派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点,每个景点至少有一名工作人员前往,其中工作员甲、乙需要到同一景点调研,则不同的人员分配方案种数为( ) A.18B.36C.54D.72【参考答案】B 【试题解答】按甲乙分情况求解即可若甲、乙一起(无其他人)有233318C A = 种若甲、乙与另一人一起(三人一起)有133318C A =种 ,共18+18＝36种故选B本题考查排列组合的简单应用,考查分类讨论思想,是基础题 10.设函数()()11xf x ax x x =+>-,若a 是从1,2,3三个数中任取一个,b 是从2,3,4,5四个数中任取一个,那么()f x b >恒成立的概率为( )A.16B.14C.34D.56【参考答案】D 【试题解答】先把()f x 的解析式变形,用分离常数法,然后用均值不等式求出最小值,本题是一个古典概型,试验发生包含的所有事件是12个,满足条件的事件是10个,即可得出答案.()1111111x x f x ax ax ax x x x -+=+=+=++--- ())2111111a x a a x =-+++≥+=-当且仅当11x =>时,取“＝”,∴())n 2mi 1f x =,于是()f x b >恒成立就转化为)21b >成立.设事件A :“()f x b >恒成立”, 则基本事件总数为12个,即 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5); (2,2),(2,3),(2,4),(2,5); (3,2),(3,3),(3,4),(3,5); 事件A 包含事件:(1,2),(1,3); (2,2),(2,3),(2,4),(2,5); (3,2),(3,3),(3,4),(3,5)共10个 所以()105126P A ==, 故选:D在使用古典概型的概率公式时,应该注意:(1)要判断该概率模型是不是古典概型;(2)要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.二、多项选择题(本大题共2小题,每小题5分,共10分.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分)11.若随机变量X 服从两点分布,其中()103P X ==,E (X )、D (X )分别为随机变量X 均值与方差,则下列结论正确的是( ) A.P (X ＝1)＝E (X ) B.E (3X +2)＝4 C.D (3X +2)＝4 D.()49D X =【参考答案】AB【试题解答】根据随机变量X 服从两点分布,其中()103P X ==,则P (X ＝1)23=,代入期望和方差公式,进行运算即可得解.随机变量X 服从两点分布,其中()103P X ==, ∴P (X ＝1)23=, E (X )12201333=⨯+⨯=,D (X )＝(023-)213⨯+(123-)22239⨯=,在A 中,P (X ＝1)＝E (X ),故A 正确; 在B 中,E (3X +2)＝3E (X )+2＝3223⨯+=4,故B 正确; 在C 中,D (3X +2)＝9D (X )＝929⨯=2,故C 错误; 在D 中,D (X )29=,故D 错误. 故选:AB .本题考查了两点分布及其期望和方差的计算,以及期望性质的应用,属于基础题. 12.已知函数()ln f x x x =,若120x x <<,则下列结论正确的是( ). A.()()2112x f x x f x < B.()()1122x f x x f x +<+ C.()()12120f x f x x x -<-D.当ln 1x >-时,()()()1122212x f x x f x x f x +> 【参考答案】AD 【试题解答】根据()()ln f x g x x x==的单调性得到A 正确;()()h x f x x =+不是单调递增得到B 错误;根据()ln f x x x =不是单调递减得到C 错误;根据条件得到()f x 单调递增,得到()()2121()()0x x f x f x -->,代换得到答案.设()()ln f x g x x x==,函数单调递增,则21()()g x g x > 即21122121()()()()f x f x x f x x f x x x >∴>,A 正确; 设()()'()ln 2h x f x x h x x =+∴=+不是恒大于零,B 错误;()()ln 'ln 1f x x x f x x =∴=+不是恒小于零,C 错误;ln 1x >-故()'ln 10f x x =+>,函数单调递增故()()()()()212111222112()()()0x x f x f x x f x x f x x f x x f x --=+--> 即()()()11222112()x f x x f x x f x x f x +>+2121122121()()ln ln ()()f x f x x x x f x x f x x x =>=∴> 即()()()1122212x f x x f x x f x +>,D 正确. 故选AD本题考查了函数的单调性判断不等式,意在考查学生对于函数单调性的综合应用. 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数在f (x )＝﹣x 1x+在[1,2]上的最大值是______. 【参考答案】0 【试题解答】先求导数,得单调性,进而得出最大值. 因为()'2110fx x =--<,所以f (x )在[1,2]上单调递减,f (x )max ＝f (1)＝﹣1+1＝0, 故答案为:0.本题考查利用导数求单调性进而得出最大值,属于基础题.14.随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),已知P(ξ<0)＝0.3,则P(ξ<2)＝_____.【参考答案】0.7【试题解答】随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),∴曲线关于x ＝1对称, ∴P (ξ<0)＝P (ξ>2)＝0.3,∴P (ξ<2)＝1−0.3＝0.7. 点睛:关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ),P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ),P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值. ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 15.设(1+ax )2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x2019+a 2020x2020,若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ,则实数a ＝_______. 【参考答案】0 【试题解答】结合所求式子与已知的式子特点,可以对原函数求导,然后利用赋值法求解即可. 对已知的式子两边同时求导可得: 2020a (1+ax )2019220191232020232020a a x a x a x =++++,令x ＝1则:2020a (1+a )2019＝a 1+2a 2+3a 3+…+2020a 2020, 又因为:a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a , 所以(1+a )2019＝1,所以a ＝0. 故答案为:0.本题考查了二项式定理的系数的性质、赋值法的应用.同时考查了学生的运算能力,属于中档题.16.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知:①食物投掷地点有远、近两处;②由于Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处,那么不同的搜寻方案有______种.(以数字作答) 【参考答案】40 【试题解答】根据题意,分2种情况讨论:①、Grace 不参与该项任务,需一位小孩在大本营陪同,则其余4人被均分成两组,一组去远处,一组去近处;②、Grace 参与该项任务,则从其余5人中选2人去近处,剩余3人搜寻远处,分别求出每种情况的方案数目;由分类计数原理计算可得答案. 解:根据题意,分2种情况讨论:①、Grace不参与该项任务,在其余5人中,任选1人在大本营陪同,有C51＝5种情况,剩余4人,平均分成2组,有224222C CA3种分组方法,在将2组对应2个地点,有A22＝2种情况,此时一共有5×3×2＝30种方案;②、Grace参与该项任务,在其余5人中,任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物,有C52＝10种情况,而剩余3人搜寻远处投掷点的食物,有1种情况,则此时一共有10×1＝10种方案;则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案;故答案为:40.本题考查排列、组合的运用,要先认真分析题意,注意2种方案参与的人数不同.四、解答题(本大题共6小题,共计70分)17.有4名学生和2位老师站成一排合影.(1)若2位老师相邻,则排法种数为多少？(2)若2位老师不相邻,则排法种数为多少？【参考答案】(1)240种;(2)480种【试题解答】(1)2位老师站在一起,可以采取绑定法计数,先绑定2位老师,再将2者看作一人与4名学生进行全排列;(2)2位老师互不相邻,可先排4名学生,然后把2位老师插空,最后用乘法原理计数.(1)先把2位老师“捆绑”看做1元素,与其余4个元素进行排列,再对2位老师进行排列,共有A22A55＝240种.(2)先让4名学生站好,有A44种排法,这时有5个“空隙”可供2位老师选取,共有A44A52＝480种.本题主要考查排列、组合及简单计数问题以及捆绑法,插空法的应用,还考查了分析求解问题的能力,属于中档题.18.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,已知甲、乙做对该题的概率都为13,丙做对该题的概率为14,且三位学生能否做对相互独立,设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:(1)求,a b的值;(2)求X的数学期望.【参考答案】(1)47,936a b==;(2)1112【试题解答】(1)利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a,利用对立事件概率计算公式能求出b.(2)由离散型随机变量的分布列能求出数学期望()E X.解:(1)∵甲、乙做对该题的概率都为13,丙做对该题的概率为14,且三位学生能否做对相互独立,∴1111111114 1111113343343349a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()141710131393636b P X P X P X =-=-=-==---=.(2)由(1)可得分布列为故数学期望为:()147111012339363612E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.本题考查概率的求法,考查离离散型随机变量的数学期望的求法,考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.在(x +2)10的展开式中,求: (1)含x 8项的系数;(2)如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等,求r 的值, 【参考答案】(1)180;(2)1 【试题解答】(1)先求出展开式的通项,令通项中x 的指数为8,求出k 的值即可;(2)写出该两项的二项式系数,令其相等,求出r 的值. (1)二项式展开式的通项如下:101102r r r r T C x -+=,由已知令10﹣r ＝8,所以r ＝2.所以含x 8项的系数为22102180C =.(2)第3r 项与第r +2项的二项式系数相等, 则3111010r r C C -+=,即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10.解得r ＝1或52r =(舍). 故r 的值为1.本题考查二项式展开式系数的性质,利用通项法研究特定项的问题,同时考查学生的化简运算能力.属于基础题.20.在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X 的概率分布; (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张, ①求顾客乙中奖的概率;②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元,求Y 的概率分布及期望.【参考答案】(1)见解析;(2)①23;②分布列见解析,16【试题解答】(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,1表示中奖,0表示不中奖,则X的取值只有0,1两种,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类:所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖,由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率.②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖,1张中奖(1张1等奖或1张2等奖)或2张都中奖(2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖),Y的可能取值为0,10,20,50,60,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量Y的概率分布列和数学期望.(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,1表示中奖,0表示不中奖,则X的取值只有0,1两种,P(X＝0)1611035CC==,P(X＝1)1411025CC==,∴X的分布列为:(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类:所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖,∴顾客乙中奖的概率为:P11246421023C C CC+==.②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖,1张中奖(1张1等奖或1张2等奖)或2张都中奖(2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖),∴Y的可能取值为0,10,20,50,60,P(Y＝0)2621013CC==,P(Y＝10)114621025C CC==,P(Y＝20)23210115CC==,P(Y＝50)1116210215C CC==,P(Y＝60)1113210115C CC==,∴随机变量Y的概率分布列为:Y 0 10 20 50 60P1325115215115E(Y)1212101020506035151515=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=16.本题考查概率的求法,考查离离散型随机变量的数学期望的求法,考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.21.2018年10月28日,重庆公交车坠江事件震惊全国,也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查,并将得到的分数整理成如图所示的统计图.(1)求得分在[70,80)上的频率;(2)求A社区居民问卷调查的平均得分的估计值;(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)(3)由于部分居民认为此项学习不具有必要性,A社区委员会对社区居民的学习态度作调查,所得结果统计如下:(表中数据单位:人)根据上述数据,计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关.附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.【参考答案】(1)0.3(2)70.5分 (3)见解析【试题解答】(1)根据频率之和为1求得[)70,80上的频率.(2)利用中点值乘以频率,然后相加,求得平均分的估计值.(3)计算出2K的值,由此判断出有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关.(1)依题意,所求频率10.10.150.20.150.10.3P=-----=.(2)由(1)可知各组的中间值及对应的频率如下表:∴450.1550.15650.2750.3850.15950.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 70.5=, 即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分. (3)依题意,()222000400200600800333.333100010001200800K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为333.33310.828>,故有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图,考查频率分布直方图估计平均数,考查22⨯列联表独立性检验,属于中档题.22.已知函数()()()2R xf x ax x a ea -=++∈.(Ⅰ)当=0a 时,求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若0a ≥,求函数()f x 的单调区间;(Ⅲ)若对任意的0a ≤,()()ln 1f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立,求实数b 的取值范围. 【参考答案】(Ⅰ)y x =;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)1b ≥ 【试题解答】(Ⅰ)利用函数和导函数的解析式求得切点和切线斜率,从而得到切线方程;(Ⅱ)通过导数可知单调性由()()11x ax a --+-的符号决定;分别在0a =、0a >两种情况下判断导函数的正负,从而得到原函数的单调区间;(Ⅲ)通过变量迁移可将问题变为()ln 1xxeb x -≤+在[)0,+∞上恒成立的问题;由x xe -与()ln 1x +的符号易判断0b >;构造函数()()ln 1xh x b x xe-=+-,根据导函数正负可知1b ≥时满足题意;而当01b <<时,由于存在()00,1x ∈使得()0h x '=,从而可知()00,x x ∈时,不等式不成立;由此总结可得结果. (Ⅰ)当0a =时,()xf x x e -=⋅ ()()1xx x f x ex e e x ---∴=-⋅=-'()01f ∴'=,()00f =∴函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为y x =(Ⅱ)由题意,()()()221xx f x ax eax x a e --'=+-++()()()212111x xe ax a x a e x ax a --⎡⎤=-+-+-=--+-⎣⎦(ⅰ)当0a =时,()()1xf x ex -'=--令()0f x '>,得1x <;()0f x '<,得1x > 所以()f x 在(),1-∞单调递增,()1,+∞单调递减(ⅱ)当0a >时,111a -< 令()0f x '>,得111x a -<<;()0f x '<,得11x a<-或1x >所以()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增,在1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,()1,+∞单调递减 (Ⅲ)令()()21xx g a exa xe --=++,(],0a ∈-∞当[)0,x ∈+∞时,()210xex-+≥,()g a 单调递增,则()()max 0x g a g xe -==则()()ln 1g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()max ln 10b x g a g +≥= 即()ln 1xxeb x -≤+,对[)0,x ∈+∞恒成立.(ⅰ)当0b ≤时,()0,x ∀∈+∞,()ln 10b x +<,0x xe -> 此时()ln 1xxeb x ->+,不合题意,舍去(ⅱ)当0b >时,令()()ln 1xh x b x xe -=+-,[)0,x ∈+∞则()()()2111x x xx b be x h x e xe x x e --+-'=--=++ 其中对[)0,x ∀∈+∞,()10xx e +>令()[)21,0,xp x be x x =+-∈+∞,则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增①当1b ≥时,()()010p x p b ≥=-≥所以对[)0,x ∀∈+∞,()0h x '≥,则()h x 在[)0,+∞上单调递增 故对任意[)0,x ∈+∞,()()00h x h ≥=即不等式()ln 1xb x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立,满足题意②当01b <<时,由()010p b =-<又()10p be =>且()p x 在区间[)0,+∞上单调递增所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =,且()00,x x ∈时,()0p x < 即()0h x '<,所以()h x 在区间()00,x 上单调递减则()00,x x ∈时,()()00h x h <=,即()ln 1xb x xe -+<,不符合题意综上所述,1b ≥本题考查求解曲线在某点处的切线、讨论含参数函数单调性问题、恒成立问题的求解,涉及到导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值、最值的知识.处理本题中的恒成立问题的关键是能够通过变量迁移的方式,成功的将问题转化为只有单一变量x 的恒成立问题;变量迁移的方法通常是在变量较多且迁移变量后,新函数的单调性易于判断的情况下使用.。

江苏省盐城市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知N为自然数集，集合P＝{1,4,7,10,13}，Q＝{2,4,6,8,10}，则P∩ 等于（）A . {1,7,13}B . {4,10}C . {1,7}D . {0,1,3}2. （2分） (2016高三上·莆田期中) 命题“∀n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n”的否定形式是（）A . ∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤nB . ∀n∈N，f（n）∉N且f（n）＞nC . ∃n0∈N，f（n0）∉N或f（n0）≤n0D . ∃n0∈N，f（n0）∉N且f（n0）＞n03. （2分） (2019高二下·宁夏月考) “因为对数函数y=logax是减函数（大前提），而y=log2x是对数函数（小前提），所以y=log2x是减函数（结论）”.上面推理是（）A . 大前提错，导致结论错．B . 小前提错，导致结论错C . 推理形式错，导致结论错．D . 大前提和小前提都错，导致结论错．4. （2分） (2017高二下·汪清期末) 若某一射手射击所得环数的分布列为456789100.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数”的概率是（）A . 0.88B . 0.12C . 0.79D . 0.095. （2分）用数字5和3可以组成（）个四位数．A . 22B . 16C . 18D . 206. （2分）若条件，条件，则是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既非充分条件也非必要条件7. （2分）用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A . a，b都能被5整除B . a，b都不能被5整除C . a，b不都能被5整除D . a不能被5整除8. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 若（9x﹣）n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（）A . 252B . ﹣252C . 84D . ﹣849. （2分）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A . 10B . 5C . ﹣1D .10. （2分）曲线与轴以及直线所围图形的面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·长春期末) 下列四个推理中，属于类比推理的是（）A . 因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电B . 一切奇数都不能被2整除，是奇数，所以不能被2 整除C . 在数列中，，可以计算出，所以推出D . 若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为12. （2分） (2019高一上·海林期中) 设函数的最小值是1，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·厦门期末) 已知随机变量，则________14. （1分）期中考试后，某校高三(9)班对全班名学生的成绩进行分析，得到数学成绩对总成绩的回归直线方程为 .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差分，则他们的数学成绩大约相差________分．15. （1分）(2013·北京理) 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．16. （1分） (2018高一上·海安月考) 如果对于函数f (x)的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有≤ 且存在两个不相等的自变量，，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．三、解答题 (共8题；共74分)17. （5分）设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．18. （14分）(2017·太原模拟) 网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图．这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁________ ________________年龄超过40岁________________________合计________________________（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望．附：；P（K2≥k0）0.150.100.050.01k0 2.072 2.706 3.841 6.63519. （10分） (2018高二下·滦南期末) 某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学．如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100参考公式：，参考数据：P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.828（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（的观测值精确到0.001）．20. （5分） (2017高二下·河北期中) 函数f（x）=（x2﹣a）e1﹣x ，a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）时，总有x2f（x1）≤λ[f′（x1）﹣a（e +1）]（其中f′（x）为f（x）的导函数），求实数λ的值．21. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知长方形，， .以的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系 .（1）求以、为焦点，且过、两点的椭圆的标准方程；（2）过点的直线交（1）中椭圆于、两点，是否存在直线，使得弦为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.22. （10分） (2016高一上·六安期中) 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．（2）若函数g（x）=f（x）+（4﹣2a）x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值h（a）．23. （10分） (2018高二下·大连期末) 在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与交于，两点，求的值.24. （10分）(2017高二下·中山月考) 求证：（1）；（2）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共74分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。