现代设计方法第二讲优化设计概念(精选)

E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用
料最省的方案。
优化目标
用料最省
V 1 d 2L
4
d
F M
L
强度条件
max
FL 0.1d 3
w
M
0.2d 3
条件 刚度条件
f
FL3 3EJ
64FL3
3Ed 4
f
边界条件 L Lmin 8c14m
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
F —弹簧在负荷P作用下所产生的变形量
n —弹簧的有效圈数
d —弹簧材料的直径
G —弹簧材料的切变模量
3
• 根据上式，如己知或先预定 D2、n、d、G 各参数，通过多次试算、
修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设P计参数。
• 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即
• 式中 代表性y能指f 标(xi ) ， 是i 设 1计,2参,量,，N分别代 表 、y 、 、 ，所以P xi 。
0 x L
x b
图1－2
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
13
例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷
F=1000N和扭矩M=100N·m。由于结构需要，轴的长度L不得小于
8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量

T
19
ADM
1.3.4 多元函数极值
第一章 优化设计的数学基础
( X 0 ) 内，若
X0为严格极大值点； X0为严格极小值点；
极值定义：在X0点的某邻域
F(X0) F(X ) F(X0) F(X )
极值存在的必要条件：梯度为[0]T向量
F ( X 0 ) 0
极值存在的充分条件：
1.3 多元函数
1.3.1 梯度：函数增加最快的方向
F F ( X ) , i 1,2,..., n xi
T
18
ADM
第一章 优化设计的数学基础
1.3.2 多元函数的二阶偏导与海赛矩阵
2F H , i, j 1,2,..., n xi x j
22
ADM
6. 例
第二章 优化设计的基本概念
x2 g2(X) g1(X)
min F ( X ) x x 4 x1 4
2 1 2 2
X*
g1 ( X ) x1 x2 2 0 g 2 ( X ) x12 x2 1 0 g 3 ( X ) x1 0 g 4 ( X ) x2 0
1.1. 2 n维矢量
O
x1
X OP [ x1 , x2 ,..., xn ]T
14
ADM
1.2 矩阵
1.2.1 定义
第一章 优化设计的数学基础
由一组数按一定次序排列成的具有m行n列的表
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2 n 21 A ... am1 am 2 ... amn
目 录
4.1.2 几何方程
4.1.3 物理方程 4.2 三角形截面环单元 4.3 轴对称问题的有限元矩阵表达式 4.3.1 单元刚度矩阵 4.3.2 组装总体刚度矩阵 4.3.3 单元等效节点力

第2章 优化设计
主要内容： 了解优化设计； 会建立优化设计的数学模型； 了解优化设计的数学基础知识； 掌握一维优化方法； 了解多维优化方法。
1
2.1 概述
2.1.1 优化设计的概念
优化设计是借助最优化数值计算方法和计算 机技术，求取工程问题的最优设计方案。
即：进行最优化设计时，首先必须将实际问 题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成 的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方 法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到 一组最佳的设计参数。
D X | gu( X ) 0，hv ( X ) 0,(u 1,2,, m；v 1,2,, p)
19
2.1.3 优化设计的数学模型
3）约束条件
（2）可行域
g1 ( x1 , x2 ) 9 x1 4 x2 360 g1 ( x1 , x2 ) 9 x1 4 x2 360 0
连续变量 可以在实数范围内连续取值的变量。 离散变量 只在给定数列或集合中取值的变量。
6
2.1.3 优化设计的数学模型
1）设计变量
（3） 设计空间
若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形 成的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维 实欧氏空间，称为设计空间，记Rn。
设计变量的个数n称为优化设计的维数。
g5 ( x1 , x2 ) x2 0 20 g5 ( x1 , x2 ) x2 0
4
2.1.3 优化设计的数学模型 1）设计变量
设计变量是指在设计过程中可以进行调整 和优选的独立参数。
（1）设计变量的选择： 应该选择那些与目标函数和约束函数密切
相关的，能够表达设计对象特征的基本参数。
应注意各设计变量应相互独立，否则会给 优化带来困难。

25
约束可行域是由5条约束边界线围成的封闭五边形ABCDO
26
根据设计点是否在约束边界上，约束分为起作用约束和不起 作用约束。
可行点与非可行点
27
目标函数与等值线/等值面
目标函数的作用 目标函数是关于设计变量的函数，是用于衡量设计方案优劣 的定量标准。 对极小化问题来说，目标函数的值越小，对应的设计方案越 好，目标函数的最小值及其对应的设计变量的取值称为设计问 题的最优解。 目标函数的选择： 不同的设计问题有不同的方案评价标准，甚至一个问题可能 存在几个不同的评价标准。因此，必须针对具体问题，选择那 些主要的技术经济指标作为设计的目标函数。 根据目标函数的个数，优化为题分为单目标优化问题和多目 标优化问题
启发式信息：关于问题的信息，这些信息能够对问题的求解 提供启发或参考。
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启发式方法
旅行商问题(traveling salesman problem, TSP) ——著名的优化问题 设有n个城市，城市i和城市j之间的距离为d(i，j)，其中i，j ＝1, …, n。现要寻找使访问每个城市恰好一次的一条回路， 且其路径总长为最短。 奥运火炬 传递问题 一条启发式信息： 每次选取与当前城市距离最近的城市作为下一个访问的城市 注意：依据这条启发式信息，不一定能够找到TSP问题的最优解。
3
设计方案由一组设计参数表达和决定，不同的设计参数表达 和决定了不同的设计方案。 “设计”一词本身就包含优化的概念。作为一项设计，不仅 要求方案可行、合理，而且应该是某些指标达到最优的理想方 案。 优化设计是一种典型的优化问题。
优化设计的目标是在众多设计方案中寻找出最佳设计方案， 因此优化设计在本质上可以理解为一个搜索问题，即在由所有 设计方案组成的搜索空间中搜索最佳设计方案。 在产品开发过程中，优化设计的对象十分广泛： 对产品本身进行优化设计，如结构优化 对产品的加工和制造等环节进行优化，如产品工艺方案优化、 生产计划优化、车间布局优化 车间布局优化：为了有效地减少产品在车间中的传输时间，

变异运算用来模拟生物在自然的遗传环境 中由于各种偶然因素引起的基因突变，它以很 小的概率随机地改变遗传基因（表示染色体的 符号串的某一位）的值。在染色体以二进制编 码的系统中，它随机地将染色体的某一个基因 由1变为0，或由0变为1。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在 初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过 程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而 影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得 质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄 清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件， 选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述 问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉 有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序 交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法， 应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数 形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0

x1 d , x2 l
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则

受约束于
0 b D
例：设边长6㎝的方形铁板，将四角截去相 等的正方形，然后折成一个无盖的盒子，试求截 去的小正方形边长为多少时盒子的体积最大？
解:
①设边长为x 体积为V
②V与x的关系式 ④求
*
Vx ( 6 2 x )
2
③对x的限制(约束)
' 2
x 和V x 4 x 3 0 V
2.2 优化设计的数学模型一般形式：
n 求X 使 minf (X) X R
3 3
例题图
钢管壁厚t=0.25㎝,求满足强度条件和稳定条 件下钢管总重量最轻的设计方案?
解: ①重量最轻的数学描述
W 2 D t l 2 D t ( B H )
2

2 21 / 2
2 1 / 2
W W m in
②强度条件的数学描述
Fl F ( B H ) 式中: F 1 H H
实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩 短设计周期，取得较为显著的经济效果。例如英国PN．辛 格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使 各轴间的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减小 16．55％，从而体积和重量也相应的减小。意大利G L扎罗 蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、变距器和变速相 作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛洲坝二号船闸人 字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t．m降为 232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船用螺旋桨的叶 型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形，从而节省了 大量的人力和物力，取得了满意的结果。 由这些事例不难看出，优化设计方法的进一步推广应用，必 将为提高机械产品设计质量、降低产品成本、缩短设计周期 等方而带来明显的效益。

2.1 概述
2.1.1 优化设计根本概念
优化设计〔Optimal Design〕是20世纪60年代开展起来的一种 现代设计方法。它是将最优化原理和计算机技术运用于设计领域， 为工程设计提供一种重要的科学设计方法。
利用这一设计方法，设计者就可从众多的设计方案中寻觅出最 正确设计方案，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计是现 代设计实际和方法的一个重要领域，它已广泛运用于各个工业设计 领域和各种产品设计中。
所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原 理和方法将实践工程设计问题转化为最优化问题，然后以计算机为 工具进展寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目 的的最正确设计方案。
进展最优化设计时：
首先必需将实践问题加以数学描画，构成一组由数学表达式组成 的数学模型；
然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上进 展寻优运算求解，得到一组最正确的设计参数。这组设计参数就是设 计的最优解。
由等式约束条件可知，三个设计变量中只需两个是独立变量，即
x3
5 x1 x 2
。所以，该问题的优化数学模型应写为：
设计变量：
X [x1 x2]T
目的函数的极小化： m inf(X ) x 1 x 2 2 (x 1 x 3 x 2 x 3 ) x 1 x 2 1 0 (x 1 2 x 1 1 )
约束条件：
与传统设计方法不同，优化设计过程普通分为如下四步：
● 设计课题分析
● 建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数学模型
● 选择优化设计方法
● 上机电算求解
获得最优解
〔１〕设计课题分析： 经过对设计课题的分析，提出设计目的，它可以是单项设计目的，也可以是多项设计目的的组合。 从技术经济的观念出发，对机械设计而言，机器的运动学和动力学性能、体积、分量、效率、本钱、可靠性等 都可以作为设计追求的目的。 然后分析设计应满足的要求，主要的有：某些参数的取值范围；某种设计性能或目的按设计规范推导出的技术 性能；还有工艺条件对设计参数的限制等。

1
X 2 , f X 2


, f X 1 和约束最优解


（3）若加入等式约束 h X x1 x2 0在图中标出约束最优解
X 3 , f X 3


X2
g4(X) h (X)
A B C
g2(X)
o
g3(X)
X1
g1(X)
（3）数值迭代法
设计空间
若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形成 的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维实欧 氏空间，称为设计空间，记Rn。 一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称为设 计点。 设计变量的个数n称为优化设计的维数。 1）如n=2就是二维设计问题，可用平面直角坐标来 表示； 2）如n=3就是三维设计问题，可用直角空间坐标来 表示。
5.CAD/CAPP/CAM集成系统中的优化技术
6.智能优化算法 7.多学科综合优化
四. 优化设计的基本概念
1.优化设计的数学模型 现用薄板制造一体积为5m3，长度不小于4m的无上 盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定 货箱的长宽高尺寸。 设：长x1,宽x2，高x3 1）目的：耗费量最少 S= x1 x2+2 x1 x3+2 x2 x3 2）条件 x1 x2 x3=5 目标函数 数学模型 设计变量
s.t.g1 X x2 x1 2 0 g 2 X x12 x2 1 0 g3 X x1 0 g 4 X x2 0
练习1：求下列二维优化问题的最优解
min f ( X ) ( x1 2)2 ( x2 2)2
设计点
设计点
求设计变量 X x1 , x2