现代设计方法---优化设计共41页文档

1-3人字架优化设计的图解
引例2：货箱优化设计
问题描述： 现用薄板制造一体积为100m3，长度不小于 5m的无上盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最 少，试确定货箱的长、宽、高尺寸。
分析： （1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。 （2）设计参数确定：长x1 、宽x2 、高x3； （3）设计约束条件： （a）体积要求 （b）长度要求
行
设计变量
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列 向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数 ，如n个设计变量，则称为n维设计问题。 设计变量的全体实际上是一组变量，可用一 x1 x 个列向量表示。设计变量的数目称为优化设 T x 2 x1 , x2 , , xn 计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计 问题。 x

n
明 德 任 责 致 知 力 行

由n个设计变量 x1 , x2 , , xn 为坐标所组成的 实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中 的一点表示。 按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变 量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标 准规格等）。
设计变量
只有两个设计变量的二维设计问题可用图1中（a）所示 的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题 可用图1中（b）所表示的空间直角坐标表示。
致 知 力 行
设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来 表示，这些基本参数可以构件几何量（如尺寸、 明 位置等），也可以是物理量（如质量、频率等）， 德 还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量以 任 及非物理量（如寿命、成本等）。
责
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各 项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化 致 参数。在优化设计过程中设计变量是不断修改、 知 调整，一直处于变化状态。 力

T
19
ADM
1.3.4 多元函数极值
第一章 优化设计的数学基础
( X 0 ) 内，若
X0为严格极大值点； X0为严格极小值点；
极值定义：在X0点的某邻域
F(X0) F(X ) F(X0) F(X )
极值存在的必要条件：梯度为[0]T向量
F ( X 0 ) 0
极值存在的充分条件：
1.3 多元函数
1.3.1 梯度：函数增加最快的方向
F F ( X ) , i 1,2,..., n xi
T
18
ADM
第一章 优化设计的数学基础
1.3.2 多元函数的二阶偏导与海赛矩阵
2F H , i, j 1,2,..., n xi x j
22
ADM
6. 例
第二章 优化设计的基本概念
x2 g2(X) g1(X)
min F ( X ) x x 4 x1 4
2 1 2 2
X*
g1 ( X ) x1 x2 2 0 g 2 ( X ) x12 x2 1 0 g 3 ( X ) x1 0 g 4 ( X ) x2 0
1.1. 2 n维矢量
O
x1
X OP [ x1 , x2 ,..., xn ]T
14
ADM
1.2 矩阵
1.2.1 定义
第一章 优化设计的数学基础
由一组数按一定次序排列成的具有m行n列的表
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2 n 21 A ... am1 am 2 ... amn
目 录
4.1.2 几何方程
4.1.3 物理方程 4.2 三角形截面环单元 4.3 轴对称问题的有限元矩阵表达式 4.3.1 单元刚度矩阵 4.3.2 组装总体刚度矩阵 4.3.3 单元等效节点力

式 中 ： —比 例 系 数
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黄金分割法的迭代步骤
（1）给定初始单峰区间[a,b]及允许误差ε>0； （2）计算内分点及其函数值
x1 a 0.382(b a) x2 a 0.618(b a) f1 f (x1 ), f2 f (x2 )
（3）比较函数值f1和 f2的大小； 根据比较结果缩短搜索区间
➢ 一维搜索的概念
➢ 单峰区间 ➢ 进退法 ➢ 黄金分割法 ➢ 平分法 ➢ 切线法 ➢ 二次插值法
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一维搜索的概念
▪ 数值迭代过程中，任何一次迭代，总是从某个已 知点X (k)出发，沿着给定的方向 （S (k用) 某种优化方 法确定）搜索到目标函数在该方向上的极小值点 ，X这(k个1) 过程称为一维搜索。
所以找初始单峰区间是一维搜索的第一步然后将初始单峰区间逐步缩小直至包括极小点的区间长度小于给定的一个正数则留下的区间为如果则留下的区间为如果则留下的区间为如果的大小消去部分区间计算和比较它们函数值峰区间内任取两点通区间消去法是在初始单缩小区间的区间消去法处理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
现代设计方法优化设计一维搜索
会计学
1
本章主要内容
➢ 优化设计概述 ➢ 优化设计的数学基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束优化方法 ➢ 约束问题优化方法 ➢ 优化设计若干问题
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一维搜索优化方法
➢ 优化设计概述 ➢ 优化设计的数学基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束优化方法 ➢ 约束问题优化方法 ➢ 优化设计若干问题
▪ 一维搜索不仅可以求解一维优化问题，同时也是 求解多维优化问题的基本步骤。
怎么理解“一维”的含义？
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对应目标函数：
f(X(0))>f(X(1))>…>f(X(k))>f(X(k+1))… (下降)
且 lim X(k)= X*(目标函数极小点)[满足此条件的下 降迭代算法具有收敛性]，称点列收敛于极小点X*。
(2)格式： 优化迭代算法格式：
X (k+1) = X (k) + α S(k)
式中 S(k)——搜索方向
(2)约束条件与可行域 约束条件：对设计变量取值时的限制条件。 分为：等式约束： hv(X)=0 不等式约束：gu(X)≤0 (v=1,2, …,p) (u=1,2, …,m)
约束边界所包围的区域是设计空间中满足所 有不等式约束条件的部分，在这个区域中所选 择的设计变量是允许的，称为设计可行域。 由是否满足约束条件将设计点分为可行点 (内点)和非可行点(外点)。
∂2 f (x(k) ) 2 ∂x1 ∂2 f (x(k) ) 2 (k ) ∇ f (x ) = ∂x2∂x1 ⋮ ∂2 f (x(k) ) ∂xn∂x1
∂2 f (x(k) ) ∂2 f (x(k ) ) ⋯ ∂x1∂x2 ∂x1∂xn ∂2 f (x(k) ) ∂2 f (x(k) ) ⋯ 2 ∂x2∂xn ∂x2 ⋮ ⋮ ⋮ ∂2 f (x(k) ) ∂2 f (x(k) ) ⋯ 2 ∂xn∂x2 ∂xn
例：
x2
g3 (x) = 0
g2 (x) = 0 g2 (x)
g1(X)=-x1+x2-2≤0 g2(X)=x12-x2+1≥0 g3(X)=-x1≤0
可行域
g1(x) = 0
x1
(3)目标函数与等值域 将所追求的设计目标用设计变量的形式表达 出来，称为建立目标函数。一组设计变量值在 设计空间确定一个设计点，对应这一点有确定 的函数值。反之，当函数为某一定值时，如 f(X)=c,则可有无限多组设计变量X1, X2, …, Xn值 与之对应，即有无限多个设计点时对应着相同 的函数值。因此这些点在设计空间中将组成一 个点集，将此点集称为等值曲面或等值超曲面 (若为二维设计空间则称为等值域)。

➢ 跳跃式的量，称为离散量，如齿轮的齿数、模数，丝 杆的螺距等。 对离散变量，在优化设计时，常常先看作连续量，在求 得连续量的优化结果后在进行圆整或标准化，以求得一 个实用的最优方案。
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一项设计，若有n个设计变量χ1，χ2，…，χn 可以按一定次序排列，用n维向量来表示：
χ=[χ1，χ2，…，χn]T χ∈Rn
1）概念
在设计中，通常用对设计性能指标有影响的一组 基本参数来表示某个设计方案，这组参数根据其特点 又分为
设计常量：可以根据客观规律或具体条件预先确定 的参数，如材料的力学性能，机器的工况系数等。
设计变量：在设计过程中不断变化，需要在设计过程 中进行选择的基本参数，称为设计变量，如几何尺寸、 速度、加速度、温度等。
值（最值）的过程，而求目标函数极大值的问题可 转化为求目标函数极小值的问题。优化设计数学 模型中通常规定求目标函数的极小值。故目标函 数统一描述为：
min F（χ）= F（χ1，χ2，…，χn ）
前例中密闭容器优化设计的目标函数可表示为：
min F（χ）=F（l, w, h）=2（lh+wh+lw）
（3）遗传算法直接以目标函数作为搜索信息。传统 的优化算法不仅需要利用目标函数值，而且需要目 标函数的导数值等辅助信息才能确定搜索方向。而 遗传算法仅使用由目标函数值变换来的适应度函数 值，就可以确定进一步的搜索方向和搜索范围，无 需目标函数的导数值等其他一些辅助信息
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遗传算法可应用于目标函数无法求导数或导数不存在的函 数的优化问题，以及组合优化问题等
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交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉有单
点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序交叉和周 期交叉。单点交叉是最基本的方法，应用较广。它 是指染色体切断点有一处，例：

2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件 （1）约束条件的分类 a）约束条件根据形式不同分为不等式 约束和等式约束。 一般表示为：
gu( X ) 0 hv ( X ) 0 ( u 1,2 , m ) ( v 1,2 , p , p n )
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 3）约束条件的确定 （2）若要求最小传动角应在 m in 和
g 7 ( X ) arccos[ l2 l3 (l4 l1 )
2 2 2
m ax
间，可得
0
]
2 l2l3
2 2
max
g8 ( X )
max
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件
约束边界
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件
（2）可行域
每一个不等式或等式约束都将设计空间分为 两个部分，满足所有约束的部分形成一个交集， 该交集称为此约束问题的可行域，记作D。 可行域就是满足所有约束条件的设计点的集 合，因此，可用集合式表示如下：
D X | g u ( X ) 0， h v ( X ) 0 , ( u 1 , 2 , , m ； v 1 , 2 , , p )
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件 （2）可行域
g1 ( x1 , x 2 ) 9 x1 4 x 2 360 g1 ( x1 , x 2 ) 9 x1 4 x 2 360 0
解：设裁去的四个小正方块的边长为x，则盒子 的容积可表示成x的函数 F（X）＝x(6-2x)2
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 变量

❖
X∈Rn 向量X属于n维实欧氏空间
❖ s.t. (subject to)表示 “满足于” 。
❖ 优化设计的数学模型可表达为如下的标准形式：
min f (X ) X∈Rn
s.t. gu(X )≤0 (u=1,2, …,m) hv(X ) = 0 (v=1,2, …,p)
▲说明：
❖ 求极大时将目标函数写为−f(X)即可。同样， 当不等式约束条件中的不等号为“≥0”时，只要 将不等式两端同时乘以“−1”，即可得到上述标 准形式。 ❖ 最优化问题也称数学规划问题，若目标函数 和约束函数均为设计变量的线性函数时，称此 设计问题为线性优化问题或线性规划问题。
(2)约束条件与可行域 约束条件：对设计变量取值时的限制条件。
分为：等式约束： hv(X)=0 (v=1,2, …,p) 不等式约束：gu(X)≤0 (u=1,2, …,m)
约束边界所包围的区域是设计空间中满足所有不 等式约束条件的部分，在这个区域中所选择的设计变 量是允许的，称为设计可行域。
由是否满足约束条件将设计点分为可行点(内点)和 非可行点(外点)。
例:直齿圆柱齿轮副的优化设计
❖ 已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮的材料，设计该 齿轮副，使其重量最轻。
❖ 分析：(1) 圆柱齿轮的体积(V)与重量(W)的表达；
❖
(2)设计参数确定：模数(m)，齿宽(b)，齿数(z)。
❖
(3)设计约束条件：
❖(a)大齿轮满足弯曲强度要求；
❖(b)小齿轮满足弯曲强度要求；
例：
x2
g3(x) = 0
g2(x)
g2(x) = 0
❖ g1(X)=–x1+x2–2≤0 ❖ g2(X)=x12–x2+1≤0 ❖ g3(X)=–x1≤0

结束
满足收敛 条件？
形成新的d
迭代法的基本思想：
从一个初始点 X出(0)发，按照一个可行的搜索方向和 适当的步长走一步，到达 ，X再(1)从 出发X，(1) 选一个 可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到 ，并 保证X 每(2) 一步函数值都是下降的，即必须满足 （这称f(为X(新i))点f的(X适(i1)用) 性） ，这样一步一步地重复进 行数值计算，直至达到目标函数的极小点。
检检查查f(fX (X (4)(1 3 )2))) ) f(ffX ((X X (3()(0 1 2 ))?)?
X X (3) X (4) *
S (2) S (3) X (1) S (1) X (2)
若若不不满满足足则则改改变变步步长长，， S (0)
X (0)
满满足足则则进进入入下下一一步步
x1
X (k) ——第k个迭代点 S (k) ——从第k个迭代点出发寻找下一个迭代
变量的坐标值组成一个设计点，并代表一个设计方案， 可采用如下向量表示：
x1
X x2x1,x2,, xn T
xn
X Rn
其中，最优设计方案用 X *表示，称为最优点或优化点。
设计变量
x2
x3
X =[x1 x2]T
X=[ x1 x2 x3 ]T
x1
二维设计空间
x2 x1
三维设计空间
目标函数
目标函数 优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓
• 最优化数学理论
（模型的性质与最优解的表征）
• 优化模型的求解方法
(一维搜索、无约束方法、有约束方法)
• Matlab工具的使用
本章主要内容
➢ 优化设计概述 ➢ 优化设计的数学基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束优化方法 ➢ 约束问题优化方法 ➢ 优化设计若干问题

选取 X 1 ， X 2 ， X 3 为顶点作初始单纯形。 计算各顶点的函数值 f ( X 1 ) ，f ( X 2 ) ，f ( X 3 ) 。 计算形心点 X 4 、反射点 X 5 、扩张点 X 6 。
函数值比较， 顶点替换， 单纯形变换形状位置。
三、单形替换法的具体实例
目标函数 f ( X ) = 4( x1 − 5) 2 + ( x 2 − 6) 2 的极小值求解过程动画演示
X1X 4 方向上的所有点都比最差点差。
缩边：
这时不能沿着此方向进行搜索，应该以最好点为中心，将单纯形 进行缩边，使顶点 X 1 ， X 2 向 X 3 移近一半的距离，得到新的单纯 形 { X 3 , X 9 , X 10 } ，在此基础上继续进行寻优。
二、单形替换法的实现过程
⑤
f ( X ) > f ( X1)
二、单形替换法的实现过程
反射、扩张、收缩、缩边
二、单形替换法的实现过程
设 二 维 目 标 函 数 为 f ( X ) = f ( x1 , x 2 ) ，在 平 面 x1 − x 2 上 X 1 ， X 2 ， X 3 为 线 性 独 立 三 个 点 ，并 以 它 们 为 顶 点 构 造 初 始 单 纯 形 — — 三 角 形 。计 算 这 三 个 顶 点处的函数值 f (X1) ， f (X 2) ， f (X 3) 并作比较。
X3
X 5 代替 X 1 构 成 新 的单纯
形 {X 2 , X 3 , X 5 } 。
x1
X1 函数值下降方向 O
二、单形替换法的实现过程
③
f ( X1) > f ( X 5 ) ≥ f ( X 2 )
若反射点的函数值 f ( X 5 ) 小于最差点的函数值 f ( X1 ) 但大于次差点的函数值 f ( X 2 )

1) 优化设计问题的分类:
①按约束情况来分:
无约束 ：其数学模型为 minf((X)) X Rn
约束优化 其数学模型为:同一般形式
②按 f ( X ) g (X ) h ( X ) 是否线性分：
u
v
线性优化 非线性优化
③按 f ( X ) 的维数分：
一维优化（也称一维搜索） 多维优化
④按目标函数 f ( X ) 的个数分：
求X使 min f (X ) X Rn
R n 表示n维
空间,包括了所有
约束：gu (X ) 0 (u 1,2,3......m)
设计变量,称为设 计空间。
s.t. hv ( X ) 0 (v 1,2,3......p; p n)
通过优化方法对数学模型求解。求设计变量
X x1 x2 ...... xn T X * 最优点
跨度2B=152㎝,架为圆钢管,其弹性摸量 E 2.1105 Mpa
材料密度为 7.8103 Kg / m3 许用应力 y 420Mpa
钢管壁厚t=0.25㎝,求满足强度条件和稳定条件下钢管总重 量最轻的设计方案?
解: ①重量最轻的数学描述
W D t l D t(B 2 H 2 )1 / 2
2维目标函数等值线
c.可行域:
由满足约束条件 gu(X) 0 hv (X) 0
的 X 在空间构成的区域称为可行域,否则称
为非可行域.在可行域内的点称为可行点.
以n=2为例: 设 g1(X)x10g2(X)x20
g 3(X )x 1 2x2 2 10
2.4 优化数学模型的求解方法及优化设计问 题的分类:
解: ①设边长为x 体积为V
②V与x的关系式 V x(6 2x)2