现代设计方法-优化设计部分共47页

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现代设计方法——第1章 优化设计概述
1.2 目标函数
• 目标函数又称评价函数，是用来评价设计方案好坏的标准。任何一项 机械设计方案的好坏，总可以用一些设计指标来衡量，而这些设计指 标可以用设计变量的函数的取值大小加以表征，该函数就称为优化设 计的目标函数。
• 目标函数是一个标量函数。目标函数取值的大小，是衡量设计质量优 劣的指标。
• 设计变量类型 : 连续、离散。 • 根据设计变量 的多少优化问题可 分为：小型、中型、大型问题。
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现代设计方法——第1章 优化设计概述
x2
x2
x (k) 2
x (k) 2
O
O
x (k) 1
x1
(a)
x (k) 3
x3
(b)
图1-1 设计空间
x (k) 1 x1
设计空间是所有设计方案的集合，用符号 X Rn 表示。任何一个设计
gu ( X ) 0 (u 1,2, , m)
或
gu ( X ) 0 (u 1,2, , m)
式中 X——设计变量； p——等式约束的数目； m——不等式约束的数目。 在上述数学表达式式中 hv (X ) 0, gu (X ) 0 为设计变量的约束方
程，它们规定了设计变量的允许取值范围。优化设计，即是在设计变量 允许范围内，找出一组最优参数 X * [x1* x2* xn*]T , 使目标函数 f (X )
达到最优值 f ( X *) 。
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现代设计方法——第1章 优化设计概述
• 约束边界和可行域
x1 规定的 x1的下限
x1

1-3人字架优化设计的图解
引例2：货箱优化设计
问题描述： 现用薄板制造一体积为100m3，长度不小于 5m的无上盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最 少，试确定货箱的长、宽、高尺寸。
分析： （1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。 （2）设计参数确定：长x1 、宽x2 、高x3； （3）设计约束条件： （a）体积要求 （b）长度要求
行
设计变量
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列 向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数 ，如n个设计变量，则称为n维设计问题。 设计变量的全体实际上是一组变量，可用一 x1 x 个列向量表示。设计变量的数目称为优化设 T x 2 x1 , x2 , , xn 计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计 问题。 x

n
明 德 任 责 致 知 力 行

由n个设计变量 x1 , x2 , , xn 为坐标所组成的 实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中 的一点表示。 按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变 量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标 准规格等）。
设计变量
只有两个设计变量的二维设计问题可用图1中（a）所示 的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题 可用图1中（b）所表示的空间直角坐标表示。
致 知 力 行
设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来 表示，这些基本参数可以构件几何量（如尺寸、 明 位置等），也可以是物理量（如质量、频率等）， 德 还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量以 任 及非物理量（如寿命、成本等）。
责
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各 项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化 致 参数。在优化设计过程中设计变量是不断修改、 知 调整，一直处于变化状态。 力

式 中 ： —比 例 系 数
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黄金分割法的迭代步骤
（1）给定初始单峰区间[a,b]及允许误差ε>0； （2）计算内分点及其函数值
x1 a 0.382(b a) x2 a 0.618(b a) f1 f (x1 ), f2 f (x2 )
（3）比较函数值f1和 f2的大小； 根据比较结果缩短搜索区间
➢ 一维搜索的概念
➢ 单峰区间 ➢ 进退法 ➢ 黄金分割法 ➢ 平分法 ➢ 切线法 ➢ 二次插值法
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一维搜索的概念
▪ 数值迭代过程中，任何一次迭代，总是从某个已 知点X (k)出发，沿着给定的方向 （S (k用) 某种优化方 法确定）搜索到目标函数在该方向上的极小值点 ，X这(k个1) 过程称为一维搜索。
所以找初始单峰区间是一维搜索的第一步然后将初始单峰区间逐步缩小直至包括极小点的区间长度小于给定的一个正数则留下的区间为如果则留下的区间为如果则留下的区间为如果的大小消去部分区间计算和比较它们函数值峰区间内任取两点通区间消去法是在初始单缩小区间的区间消去法处理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
现代设计方法优化设计一维搜索
会计学
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本章主要内容
➢ 优化设计概述 ➢ 优化设计的数学基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束优化方法 ➢ 约束问题优化方法 ➢ 优化设计若干问题
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一维搜索优化方法
➢ 优化设计概述 ➢ 优化设计的数学基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束优化方法 ➢ 约束问题优化方法 ➢ 优化设计若干问题
▪ 一维搜索不仅可以求解一维优化问题，同时也是 求解多维优化问题的基本步骤。
怎么理解“一维”的含义？
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对应目标函数：
f(X(0))>f(X(1))>…>f(X(k))>f(X(k+1))… (下降)
且 lim X(k)= X*(目标函数极小点)[满足此条件的下 降迭代算法具有收敛性]，称点列收敛于极小点X*。
(2)格式： 优化迭代算法格式：
X (k+1) = X (k) + α S(k)
式中 S(k)——搜索方向
(2)约束条件与可行域 约束条件：对设计变量取值时的限制条件。 分为：等式约束： hv(X)=0 不等式约束：gu(X)≤0 (v=1,2, …,p) (u=1,2, …,m)
约束边界所包围的区域是设计空间中满足所 有不等式约束条件的部分，在这个区域中所选 择的设计变量是允许的，称为设计可行域。 由是否满足约束条件将设计点分为可行点 (内点)和非可行点(外点)。
∂2 f (x(k) ) 2 ∂x1 ∂2 f (x(k) ) 2 (k ) ∇ f (x ) = ∂x2∂x1 ⋮ ∂2 f (x(k) ) ∂xn∂x1
∂2 f (x(k) ) ∂2 f (x(k ) ) ⋯ ∂x1∂x2 ∂x1∂xn ∂2 f (x(k) ) ∂2 f (x(k) ) ⋯ 2 ∂x2∂xn ∂x2 ⋮ ⋮ ⋮ ∂2 f (x(k) ) ∂2 f (x(k) ) ⋯ 2 ∂xn∂x2 ∂xn
例：
x2
g3 (x) = 0
g2 (x) = 0 g2 (x)
g1(X)=-x1+x2-2≤0 g2(X)=x12-x2+1≥0 g3(X)=-x1≤0
可行域
g1(x) = 0
x1
(3)目标函数与等值域 将所追求的设计目标用设计变量的形式表达 出来，称为建立目标函数。一组设计变量值在 设计空间确定一个设计点，对应这一点有确定 的函数值。反之，当函数为某一定值时，如 f(X)=c,则可有无限多组设计变量X1, X2, …, Xn值 与之对应，即有无限多个设计点时对应着相同 的函数值。因此这些点在设计空间中将组成一 个点集，将此点集称为等值曲面或等值超曲面 (若为二维设计空间则称为等值域)。

➢ 跳跃式的量，称为离散量，如齿轮的齿数、模数，丝 杆的螺距等。 对离散变量，在优化设计时，常常先看作连续量，在求 得连续量的优化结果后在进行圆整或标准化，以求得一 个实用的最优方案。
第五页，共58页。
一项设计，若有n个设计变量χ1，χ2，…，χn 可以按一定次序排列，用n维向量来表示：
χ=[χ1，χ2，…，χn]T χ∈Rn
1）概念
在设计中，通常用对设计性能指标有影响的一组 基本参数来表示某个设计方案，这组参数根据其特点 又分为
设计常量：可以根据客观规律或具体条件预先确定 的参数，如材料的力学性能，机器的工况系数等。
设计变量：在设计过程中不断变化，需要在设计过程 中进行选择的基本参数，称为设计变量，如几何尺寸、 速度、加速度、温度等。
值（最值）的过程，而求目标函数极大值的问题可 转化为求目标函数极小值的问题。优化设计数学 模型中通常规定求目标函数的极小值。故目标函 数统一描述为：
min F（χ）= F（χ1，χ2，…，χn ）
前例中密闭容器优化设计的目标函数可表示为：
min F（χ）=F（l, w, h）=2（lh+wh+lw）
（3）遗传算法直接以目标函数作为搜索信息。传统 的优化算法不仅需要利用目标函数值，而且需要目 标函数的导数值等辅助信息才能确定搜索方向。而 遗传算法仅使用由目标函数值变换来的适应度函数 值，就可以确定进一步的搜索方向和搜索范围，无 需目标函数的导数值等其他一些辅助信息
第三十二页，共58页。
遗传算法可应用于目标函数无法求导数或导数不存在的函 数的优化问题，以及组合优化问题等
第二十七页，共58页。
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉有单
点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序交叉和周 期交叉。单点交叉是最基本的方法，应用较广。它 是指染色体切断点有一处，例：

第二章 优化设计的基本概念 第三章 一维优化
3.1 3.2 3.3 4.4 4.1 4.2 4.3 4.4 单峰函数 黄金分割法 对分法 二次插值法 直接法 鲍威尔法 梯度法（最速下降法） 牛顿法
第四章 多维无约束优化
2
ADM
第五章 多维有约束优化
5.1 概述 5.2 网格法 5.3 罚函数法
目 录
1 T 1 T DF DX F ( X 0 ) DX H ( X 0 )DX DX H ( X 0 )DX 2 2
T
H(X0)正定， F(X0)为极小值； H(X0)负定， F(X0)为极大值。
20
ADM
第二章 优化设计的基本概念
参数优化：优化结构的参数 拓扑优化：优化拓扑结构
1. 设计变量 • 设计过程中，其数值可以改变的能够描述结构特性的独 立变量。传动比，尺寸。。。
目 录
3.2.3 应变
3.4 刚度矩阵 3.4.1 单元刚度矩阵 3.4.2 总体刚度矩阵的组装 3.4.3 总体位移向量 3.5 单元的等效节点力与总体载荷向量 3.5.1 单元的等效节点力 3.5.2 总体载荷向量
5
ADM
3.6 刚度方程求解 3.6.1 边界条件处理 3.7 有限元分析的实施步骤 3.8 有限元计算收敛性 第四章 轴对称问题有限元 4.1 基本方程 4.1.1 平衡方程
SONY Japan
频率
•
美国产的电视机性能
的质量是刚好落在界限 内

SONY U.S.
呈扁平分布 , 多数产品
日产电视机性能在期望 值附近作小幅波动（方 差很小），统计上看， 大量的产品性能稳定， 更加趋向设计目标（ TARGET ）
下限

12
x1
PPT课件
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约束条件（函数）
起作用约束 （Active constraints）
设X为设计空间中的一个点： 满足所有约束条件的点称为可行点（内点和边界点）; 不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点）; X 在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作用约束; X 不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不起作用
在约束边界上的点称为边界点
两个以上约束边界的交点称为PPT角课件点
21
约束条件（函数）
例1：作出下列约束条件构成的可行域
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360

g2 g3
( x1 , ( x1 ,
x2 x2
) )

3 4
x1 x1

10x2 300 5x2 200
优化模型三要素
1. 设计变量 2. 目标函数 3. 约束条件
• 等式约束
• 不等式约束
x=(x1,x2,…,xn) F(x)=(f1(x), f2(x), …, fm(x))
hi(x)=0, i=1,2,…, p gi(x)0, i=1,2,…, q
优化问题分类 1. 单目标优化问题 2. 多目标优化问题
例 1：篱笆围墙设计
PPT课件
7
优化设计的数学模型
例 2：阶梯型悬臂粱设计
确定尺寸b, h, l 使端部偏转最小、
用材最少，同时不 会断裂！
截面尺寸
工作载荷
弹性模量 总长
最大容许应力
PPT课件
8
例 3：压缩弹簧设计
有一个螺旋压缩弹簧，已知载荷为F，弹簧材料的剪切弹性模量
为G，能承受的剪切应力上限为[ ]，弹簧的非工作圈数为n2，

• 算法：
相邻两次计算的函 数值差别很小。
迭代步长可用一维搜索算法来确定。
School of Mechanical Engineering School of Mechanical Engineering School of Mechanical Engineering
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1、引言
智能优化算法又称为现代启发式算法，是一种具有 全局优化性能、通用性强、且适合于并行处理的算 法。这种算法一般具有严密的理论依据，而不是单 纯凭借专家经验，理论上可以在一定的时间内找到 最优解或近似最优解。
1、引言
智能优化算法种类
禁忌搜索算法 模拟退火算法 遗传算法 人工神经网络
蚁群算法
特点
基于客观世界中的一些
Part II： 遗传算法
自然现象；
建立在计算机迭代计算
的基础上；
具有普适性，可解决实
粒子群算法 混合算法
际应用问题。
School of Mechanical Engineering


殖、交叉和基因突变现象，在每次迭代中都保留一 组候选解，并按某种指标从解群中选取较优的个体， 利用遗传算子(选择、交叉和变异)对这些个体进行 组合，产生新一代的候选解群，重复此过程，直到 满足某种收敛指标为止。
1.单变量优化计算方法
1.1 一维(单变量)搜索优化计算方法
一维搜索试探性方法－黄金分割法
1


黄金分割法是指将一段线段分 为两段的方法，使得整段长与 较长段长度的比值等于较长段 与较短段长度的比值，即：
1
2
1: : (1 )

0.618

图12-6 0.618法新、旧区间的几何关系
首次区间缩短率为： 再次区间缩短率为：
现代设计方法——最优化设计
l L
(L l) l
根据每次区间缩短率相等的原则，则有

l (L l) L l
由此得
2
l 2 L( L l ) 0
即
l l 1 0 ，或 L L
第12讲 最优化设计——一维优化
12 一维优化方法
求解一维目标函数 f (X ) 最优解的过程，称为一维优化(或一维搜索)， 所使用的方法称为一维优化方法。
一维优化方法，它不仅可用来解决一维目标函数的求优问题，且 常用于多维优化问题在既定方向上寻求最优步长的一维搜索。
由前数值迭代法可知，求某目标函数的最优值时，迭代过程每一 步的格式都是从某一定点 X (k )出发，沿着某一使目标函数下降的规定方 向 S (k ) 搜索，以找出此方向的极小点 X ( k 1) 。这一过程是各种最优化方 法的一种基本过程。 在此过程中因 X (k ) 、 S (k ) 已确定，要使目标函数值为最小，只需找 到一个合适的步长 (k ) 就可以了。这也就是说，在任何一次迭代计算 过程中，当起步点 X (k ) 和搜索方向 S (k ) 确定之后，就把求多维目标函 数极小值这个多维问题，化解为求一个变量（步长因子α )的最优值 (k ) 的一维问题。
现代设计方法——最优化设计
图12-5 黄金分割法的序列消去原理
(2) 若 f(α 1) > f(α 2)，显然，极小点必位于[α 1，b]内，因而可 去掉区间[a，α 1]，得到新区间[α 1，b]，如图12-5(b)所示； (3) 若 f(α 1) = f(α 2)，极小点应在区间[α 1，α 2]内，因而可去 掉[a，α 1] 或 [α 2，b]，甚至将此二段都去掉，如图12-5(c)所示。

❖
X∈Rn 向量X属于n维实欧氏空间
❖ s.t. (subject to)表示 “满足于” 。
❖ 优化设计的数学模型可表达为如下的标准形式：
min f (X ) X∈Rn
s.t. gu(X )≤0 (u=1,2, …,m) hv(X ) = 0 (v=1,2, …,p)
▲说明：
❖ 求极大时将目标函数写为−f(X)即可。同样， 当不等式约束条件中的不等号为“≥0”时，只要 将不等式两端同时乘以“−1”，即可得到上述标 准形式。 ❖ 最优化问题也称数学规划问题，若目标函数 和约束函数均为设计变量的线性函数时，称此 设计问题为线性优化问题或线性规划问题。
(2)约束条件与可行域 约束条件：对设计变量取值时的限制条件。
分为：等式约束： hv(X)=0 (v=1,2, …,p) 不等式约束：gu(X)≤0 (u=1,2, …,m)
约束边界所包围的区域是设计空间中满足所有不 等式约束条件的部分，在这个区域中所选择的设计变 量是允许的，称为设计可行域。
由是否满足约束条件将设计点分为可行点(内点)和 非可行点(外点)。
例:直齿圆柱齿轮副的优化设计
❖ 已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮的材料，设计该 齿轮副，使其重量最轻。
❖ 分析：(1) 圆柱齿轮的体积(V)与重量(W)的表达；
❖
(2)设计参数确定：模数(m)，齿宽(b)，齿数(z)。
❖
(3)设计约束条件：
❖(a)大齿轮满足弯曲强度要求；
❖(b)小齿轮满足弯曲强度要求；
例：
x2
g3(x) = 0
g2(x)
g2(x) = 0
❖ g1(X)=–x1+x2–2≤0 ❖ g2(X)=x12–x2+1≤0 ❖ g3(X)=–x1≤0