外文翻译---幂级数的展开及其应用

mathematica技术在幂级数展开中的应用Mathematica是一款专业的数学软件，为科学研究者提供了广泛的应用场景。

在幂级数展开中，Mathematica以其优越的技术特征，为科学家和研究者提供了更多的便利和方便。

幂级数展开是数学中常用的一种展开方法，是由一个函数的无穷多次幂展开的术语，是用于计算函数的表达式的一种压缩形式，避免了多次重复运算。

幂级数是分析学中重要的概念，它可以帮助求解任何数量级的复杂问题。

使用Mathematica可以让科学家和研究人员更快捷地计算各种函数的幂级数展开。

Mathematica拥有丰富的算法仓库，可支持高精度运算。

它可以准确计算各种函数的展开结果，省去了复杂的算法步骤。

Mathematica 中有各种专用工具，可以快速求解多元函数的表达式。

例如，使用Sum指令可以快速的求解复杂的积分，而Series指令可以快速的求解函数的无穷展开结果，以及指定展开项的结果。

另外，Mathematica 拥有丰富的函数优化方法，可以让科学家更快捷地求解多项式函数的幂级数展开，而不必依赖抽象数学概念，大大简化了研究过程。

Mathematica拥有完善的数据结构，可以快速处理各类数据格式，支持各种类型和维度的数据处理，比如表、图、矩阵、向量等等。

使用Mathematica，科学家和研究者可以更快更准确地求解各种函数的展开结果，同时还可以方便地观察结果，便于科研推理。

此外，Mathematica还有一个高效的可视化工具，可以帮助科学家和研究者以图形的形式清晰地展示各种数据，以图示的形式展示函数的展开结果，从而更好地推理出结果。

总之，Mathematica拥有优良的技术特征，可以为科学家和研究者提供便利，能够帮助他们快速求解复杂的函数的幂级数展开，更容易推理和观察结果，是一款非常有用的数学软件。

mathematica技术在幂级数展开中的应用近些年来，由于进步幅度加快，计算机技术及其应用得到了前所未有的发展，它使人们能够识别数学工作中复杂、多变的模型，开展更复杂、更丰富的数学研究，从而创新计算机行业。

Mathematica，一款多义的数学软件，用有系统的模式来描述、分析数学模型，并且可以借助计算机快速计算。

在数学中，Mathematica应用较多的一个技术就是“幂级数展开”。

幂级数展开是识别函数及其参数的功能，它是在计算机中计算函数近似值和精确值的关键步骤，有助于解决像求根、积分等数学问题和编写程序，并且在许多领域都有应用，如电子计算机设计、物理建模等。

Mathematica技术利用计算机的运算精度及内存容量，利用其提供的工具箱来求解幂级数，从而为数学研究工作提供了一种新的方法。

使用Mathematica技术来求解幂级数的优势在于，Mathematica技术提供的工具可以把非常复杂的函数展开成非常简单的表达式，而不需要耗费大量的时间，而且这种表达式能够有效反映出函数的特性。

其次，Mathematica技术提供的工具可以实现自动展开，而不需要人工进行循环或者判断，大大降低了人工的工作量。

最后，Mathematica 技术还提供了用于绘制函数图像的工具，将函数的数学表达与图形表达结合起来，使得函数展开结果更清晰、更直观，便于深入理解函数的内在本质。

因此，Mathematica技术在幂级数展开中的应用及其对数学研究的影响已经成为研究者及工程师们关注的热点问题。

比如，研究人员可以设计一些具体的数学模型，利用Mathematica技术，来展开这些模型，最终获得更为精确的结果；工程师则可以利用Mathematica技术应用于电子计算机设计，并实现自动化设计流程，从而大大提升工作效率。

从以上可以看出，Mathematica技术在幂级数展开中的应用既可以帮助人们更好地理解数学模型，又能够有效提升工作效率，因此，在数学和工程领域都有很大的应用价值。

幂级数展开在微积分中的应用微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化和连续的性质，并广泛应用于科学、工程、经济学等领域。

在微积分中，幂级数展开是一种重要的工具，可以用于计算复杂函数的近似值，解决微积分问题，近似解方程等。

本文将介绍幂级数展开在微积分中的应用。

一、幂级数展开的基本概念在微积分中，幂级数展开是一种用无限项级数来逼近函数的近似方法。

幂级数展开可以将任意的函数表示为一系列多项式的和，其一般形式为：$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$$其中 $a_n$ 是常数项，$x_0$ 是幂级数展开的中心点，$n$ 取遍整数。

当 $x=x_0$ 时，级数的和是 $a_0$；当 $x$ 离 $x_0$ 越远时，高次项的权重越小，这种逼近方法的精度也会越高。

二、1.计算函数的近似值幂级数展开可以将复杂函数表示为一系列简单的多项式的和，由此可以得到函数的近似值。

例如，对于 $\sin x$ 函数，可以将其幂级数展开为：$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots $$当 $x$ 很小的时候，可以截去高次项的部分，得到近似的表达式 $\sin x \approx x$。

这种方法在计算科学和工程中经常被使用，可以大大减少计算量。

2.解决微积分问题幂级数展开还可以用于解决微积分问题，如求导、积分等。

例如，对于 $\ln(1+x)$ 函数，可以将其幂级数展开为：$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$对其求导得：$$(\ln(1+x))'=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots $$这种方法可以用于求解高阶导数、不定积分等问题。

同时，幂级数展开还可以用于计算曲线的弧长、面积等。

毕业论文文献综述数学与应用数学复数域内的函数幂级数展开及其应用一、前言部分早在14世纪，印度数学家马德哈瓦提出了有关函数展开成无穷级数的概念。

众多数学家，如格高利，泰勒、欧拉、高斯等均对级数理论做了重要贡献。

级数理论一经产生就不断在函数逼近论、微分方程、复变函数等理论中显现了突出的应用价值。

自18世纪初至19世纪末，幂级数展开问题成为中国数学的一个非常活跃的研究领域。

的无穷级数表达式，即圆径求周公式，是牛顿(Isaac Newton，1642-1727)1667年发现的。

正弦和正矢的幂级数展开式，即弧背求正弦和弧背求正矢公式是英国数学家格雷戈里(J．Gregory，1638-1675)发现的。

法国传教士杜德美(P．Jartoux，1668-1720)1701年来华，把这三个公式介绍给中国学者。

著名数学家梅文鼎之孙梅珏成(1681-1763)将其收入《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》，并分别称为“求周径密率捷法”和“求弦矢捷法”，这三个公式也被称为杜氏三术[1]。

其后明安图(1692-1764)经过30余年的不懈努力，他融会贯通了中国传统数学知识与刚刚传入的西方数学知识，圆满地证明了前三个公式，同时还得到另外六个公式，即为《割圆密率捷法》中的九个公式：“圆径求周、弧背求正弦、弧背求正矢、弧背求通弦、弧背求矢、通弦求弧背、正弦求弧背、正矢求弧背、矢求弧背”。

由陈际新于1744年整理成书并于1839年出版。

牛顿在1666年通过无穷级数逐项积分的方法推导出arcsin z的幂级数展开式，而在1669年又用级数回求法给出这一公式。

日本数学家建部贤弘(Katahiro Takebe)，在1722年采用与明安图不同的分析方法得到了同一公式。

1737年，欧拉(L．Euler，1707-1783)在给伯努利(J．Bernoulli，1667-1748)的一封信中提出关于反正矢平方的幂级数展开式，但直到1817年这一公式才公开发表。

k
k a ( z z ) k 0 为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛
朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)， 而在去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，则称z=z0是f(z) 的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除 z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
k 0
z 2 k
k 0
( 2)
1 1 1 f ( z) 2 2 z 1 z 1 1/ z 2 1 2 z
1 1 2 2 k 0 z k 0 z k k 1
无穷多个负幂项，但z0=0不是f(z)的奇点 (3)展开中心z0=1 ，为奇点
(2)在1<|z|<2内，有|1/z|<1
1 1 f ( z) 2(1 z / 2) z (1 1 / z ) 1 zk 1 1 k k 2 k 0 2 z k 0 z
zk 1 k 1 k 1 k 0 2 k 0 z zk 1 k 1 k k 0 2 k 1 z
1 1 1 1 1 f ( z) 2 z 1 ( z 1)(z 1) 2 z 1 z 1
第一项已经是展开式的一项，第二项z=1不是 奇点，z=-1是奇点，可在|z-1|<2上展开为泰 勒级数
1 1 1 1 2 z 1 2 ( z 1) 2 1 1 1 k z 1 (1) 4 1 ( z 1) / 2 4 k 0 2
在|z-z0|≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在
奇点)；
f ( k ) ( z0 ) (2) 洛朗系数 ak ，因为 k! k! f ( ) (k ) f ( z0 ) d k 1 2i C ( z0 )

即
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有

数学专业外文翻译---幂级数的展开及其应用In the us n。

we XXX its convergence n。

a power series always converges to a n。

We can use simple power series。

as well as XXX quadrature methods。

to find this n。

However。

this n will address another issue: can an arbitrary n f(x) be expanded into a power series?XXX n will address this XXX power series can be seen as an n of reality。

so we can start to solve the problem of expanding a n f(x) into a power series by considering f(x) and polynomials。

To do this。

we will introduce the following formula without proof:Taylor'XXX that if a n f(x) has derivatives of order n+1 in a neighborhood of x=x0.then we can use the following XXX:f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2+。

+f^(n)(x0)(x-x0)^n+r_n(x)Here。

r_n(x) represents the remainder term.XXX (x) is given by (x-x)n+1.This formula is of the (9-5-1) type for the Taylor series。

Tk (a, x)
k k 0
f
(l) (a)(x a)l l!
1 x
Rk (a, x) k! a
f (k1) (t)(x t)k dt
18
Taylor余项的积分形式(续2)
注意 f Ck2 (I (a, )), 所以
Rk (a, x)
1 k!
x a
f (k 1) (t)( x t)k dt
二项式函数展开式(续1)
• 对 n 的估计：存在正常数A()<B()，
n 0,
A( )
n 1

n

B( )
n 1
• 证明: <0时,
n 0,
n
1 (n ) () n!
24
二项式函数展开式(续2)
1n1??????????????????n?约定其中n?二项式级数的收敛域?考虑级数由比值公式计算收敛半径nn?xn????????1?????????????nnnnaannn1123收敛域包含区间11an1二项式级数收敛区间的端点?????n?对级数使用raabe判敛法和11????xn1?1n1?????????nxn111n???????????????????????nnnnaanan240时在两个端点上都收敛
且

f (x) nan x an1, x (a r, a r)
n1
另外还可逐项积分(收敛半径还是r) :
x

f ( y)dy
an x a n1, x (a r, a r)
a
n0 n 1
8
Abel定理

• 设 在[幂0,级r)上数一n致0 a收n x敛n 的当收且敛仅半当径在rx=(0r点,收). 则敛它.

x6

2 9
x6
]

22 . 45
14
三、积分的近似计算
有些初等函数的原函数不能用初等函数 表示, 故其定积分就不能用牛顿--莱布尼茨 公式计算. 但如果这些函数在积分区间上能 能展开成幂级数, 则可利用幂级数逐项积分 性质来计算这些定积分.
7
函数的幂级数展开式的应用
例 计算 1 sin x dx 的近似值, 精确到104. 0x
在一般情况下泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好20sin函数的幂级数展开式的应用有些初等函数的原函数不能用初等函数故其定积分就不能用牛顿莱布尼茨但如果这些函数在积分区间上能表示公式计算
函数的幂级数展开式的应用
一、求极限
有些未定式的极限 可以用幂级数方法求出.
这种方法的优点是: 可以将极限过程中的主要、 次要成份表示得非常清楚.
x0 3! 5!
3! 6
1
函数的幂级数展开式的应用
由此例可看出: 在求极限时,为什么加、减项 的无穷小不能用其等价无穷小代换.
这里, sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小 1 x3 1 x5 .这个高阶无穷小不能与分子 的
3! 5!
第一项x 抵消,它在极限中是起作用的. 但如果将 sinx用x代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷 小也略去了, 这显然是错误的.
解 被积函数 sin x 的原函数不能用初等函数表示.
x
由于x
=
0是
sin x
x
的可去间断点,
故定义
sin x lim sin x 1,这样被积函数在[0, 1]上 x x0 x0 x
连续. 展开sin x , 得 x
1sin

k
(| t | 1).
例 2 求 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆。z 为复数. 解： CR CR1 2 z t z0
1 t t t
2 3
R1
R
收敛
发散
ak 1 Rt lim lim 1 k a k 1 k 1
2 2
R：收敛半径 CR: 收敛圆
3、绝对收敛级数
若
| wk |
k 1 k 1


u v 收敛，则
2 k
w
k 1

k
绝对收敛。
a. 绝对收敛级数改变先后次序，和不变； b. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数 和之积。
p
k 0
k 0 k

k
A,

q
k 0

k
B

p q p q c
k 0 k k 0 l 0 k l n 0
n
AB
cn pk qn k
k 0
n
三、函数项级数 1、概念与收敛判据
w ( z) w ( z) w ( z) w ( z)
k 1 k 1 2 k

w ( z ) ( k 1 , 2 , 3 , ) k 设 是 z 平面上某区 域 B中的单值解析函数。如果函数项
w( z)dz w ( z) dz w ( z)dz
l l k 1 k k 1 l k


（3）逐项求导数（外氏－Weierstrass 定理）
wk ( z) (k 0,1,2,) 设级数 wk ( z ) 在 B 中一致收敛， k 1

利用已知函数的展开式，结合幂级数的运算性质， 以求得目标函数的展开式。
例4 把 sin z 和cos z 展开为z 的幂级数。
解： cos z eiz eiz 2
又，
eiz (iz)n , eiz (iz)n
n0 n!
n0 n!
故
cos z
1 2
(iz)n
n0
n!
(iz)n n!
+
f (z) =
f (n)(a) (z a)n
n0 n!
证明：B(a, d )表示以a为圆心，d为半径的圆，B(a, d ) D. 对z B(a, d )，取r 使得 z - a r d，显然有， f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
1 关于 一致收敛
=======
n0 2 i
Kr
(
f ( )
a)n1
(z
a)n d
=
n0
1
2
i
Kr
(
f ( )
a)n1
d
( z
a)n
=
f (n)(a)(z a)n
n0 n!
证毕
上式右端的级数称为f (z)在点a 的Taylor级数，或
Taylor展开式。cn
f (n) (a) 称为Taylor系数。 n!
+
f (x) =
f (n)(a) ( x a)n
n0 n!
在这种情况下，收敛域被限制在实轴部分，称为上式
的收敛区间。
注：做实函数的幂级数展开时，要分析区间端点的敛 散情况。
几个基本的展开式:
(1) e x xn 1 x x2 x3

y
o
z −1 < 2
−1 上展开为泰勒级
+1 x
数 1 1 1 1 1 1 ⋅ = ⋅ = ⋅ 2 z + 1 2 ( z − 1) + 2 4 1 + z − 1 2
1 k z −1 = ∑ ( −1) 4 k =0 2
∞ k
z −1 < 2
∞ 1 1 k +1 1 k ∴ f (z) = + ∑ ( −1) z − 1) k +2 ( 2 z − 1 k =0 2
∞
k
∞ 1 z 1 k k 从而 f ( z ) = ∑ z − ∑ k = ∑ 1 − k +1 z 2 k =0 2 2 k =0 k =0 k
∞
∞
无负幂项.原因是 f (z)在圆域 z <1 内处处解析 .
(2)
1 在1 < z < 2内， < 1 z
1 1
∞ k ∞ k
展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式？ 展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式？
定义： 定义：双边幂级数及其收敛圆环
k =−∞
∑ a (z − z )
k 0
∞
k
=
−2 −1
L + a− k ( z − z0 ) + L + a−2 ( z − z0 ) + a−1 ( z − z0 )
−k
+ a0 + a1 ( z − z0 ) + a2 ( z − z0 ) 2 + L + ak ( z − z0 ) k + L
k =0
∞
2 k

函数幂级数的展开和应用我们称形如200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的级数为幂级数，它是一类最简单的函数项级数.从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，又由于函数幂级数的逐项求导和逐项可积等好的运算性质，为函数的研究和应用提供了便利的条件.1 函数幂级数展开的条件函数()f x 可以在点0x x =作幂级数展开，是指存在0x x =，使得在（r x r x +-00,）上，00()()n n n f x a x x ∞==-∑ （1） 其中()f x 是此幂级数的和函数.根据幂级数的逐项可积性，若函数()f x 能表示成幂级数()nnn a x x ∞=-∑且其收敛半径0r >，则函数()f x 在区间(,)r r -上有任意阶导数，且1'1()()n nn f x na x x -∞==-∑，'01()f x a = ，，()()00()()!,!n n n f x fx n a n ==因此自然会提出下述问题，是否每一个在区间(,)r r -上有任意阶导数的函数()f x 一定能在区间上展成形如()nnn a x x ∞=-∑的幂级数呢？回答是不一定的.例1 在),(+∞-∞上具有任意阶导数的函数21()0x e f x -⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x ≠=，易验证当0x ≠时，21'32()x f x e x -= ， 2211''4664()x x f x e e x x--=-+ ，一般来说，有21()1()()n x n fx P e x -= （0x ≠），其中1()n P x 是关于1x的某个多项式.令21t x =，易得21201lim lim 0mx m t x t te x e-→→+∞==.由此可知21()()0001lim ()lim ()lim ()0n n x n x x x fx f x P e x-+-→→→=== ),2,1,0( =n ，又因为()f x 在0x =处连续，所以有'(0)0f =.类似逐次可推得()(0)0n f = ),3,2( =n 所以()f x 在0x =的幂级数为200002!!nx x n +⨯+++显然它在),(+∞-∞上收敛，且其和函数()0s x =. 但是，()f x 只在0x =处为零值.0x ∀≠，都有 ()()f x s x ≠.上述例子告诉我们：具有任意阶导数的函数，其幂级数（泰勒级数）并不是都收敛于函数本身.那么具备什么条件的函数()f x ，它的幂级数（泰勒级数）才能收敛于()f x 本身呢？定理1 设()f x 在点0x x =具有任意阶导数，那么()f x 在区间00(,)x r x r -+内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：对一切满足不等式0x x r -<的x ，都有lim ()0n n R x →∞=.这里()n R x 是()f x 在0x 的泰勒公式余项.应用定理1 判别一个函数是否可以展成泰勒级数常常是不方便的，我们有如下充分条件： 定理2 设()f x 在00(,)x r x r -+内有任意阶导数,若存在0M >，使得00(,)x x r x r ∀∈-+，及 ,2,1,0=∀n ， 有 ()()n n f x M ≤ (2) 则 ()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑(3) 证明 由条件(2)得，00(,)x x r x r ∀∈-+有()0()()0!!n n n nf M r x x n n ξ-≤→ ()n →∞ 即得所证. 若()f x 在0x 这一邻域内可以展开成泰勒级数，即+-++-+-+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0（4） 则（4）的右边为()f x 在0x x =处的泰勒展开式，或称幂级数展开式.在实际应用中，主要讨论函数在00x =处的展开式，这时（4）式可以写作+++++=nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''，称为麦克劳林级数，简称幂级数.2 函数幂级数的展开一般说来，可以将一个函数展成幂级数的方法分为直接展开法和间接展开法，下面就这两种方法做一一介绍.2.1 直接展开法这种方法也可以称其为余项估算法.设()f x 在0x x =处任意次可导，记()000()()()()!k nk n k f x R x f x x x k ==--∑()k N +∈，若()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑，只需0()x U x ∀∈，有lim ()0n n R x →∞=.当00x =时，()n R x 的各种表达式：()()n n R x x ο= （佩亚诺型余项）；(1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间 （拉格朗日型余项）；(1)01()()()!x n n n R x x t f t dt n +=-⎰（积分型余项）； (1)1()()(1)!n n n n f x R x x n θθ++=-，01θ≤≤（柯西型余项）；佩亚诺型余项只是定性的描述了余项的性态不利于具体估算误差，所以我们常用其它三种余项形式.用直接展开法可得[1](5457)P -：201111!1!2!!n xnn x e x x x n n ∞===+++++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;213210(1)11sin (1)(21)!3!(21)!n n nn n x x x x x n n ∞++=-==-++-+++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;2220(1)11cos 1(1)(2)!2!(2)!n n nn n x x x x n n ∞=-==-++-+∑ ，(,)x ∈-∞+∞;12311(1)111ln(1)(1)23n n n nn x x x x x x n n-∞-=-+==-+-+-+∑ ，(1,1]x ∈-;2(1)(1)(1)(1)12!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++，(1,1)x ∈-;arctan x =3521210(1)(1)213521n n n nn x x x x x n n +∞+=-=-+-+-+++∑ ，[1,1]x ∈-;211(21)!!arcsin (2)!!21n n n x x x n n +∞=-=++∑ ，[1,1]x ∈-;例2 求函数23()3247f x x x x =+-+在1x =处的幂级数展开式.解 由于'21(1)8,(1)(2821)15,x f f x x ===-+=''1(1)(842)34x f x ==-+=，'''()(1)42,,(1)0n f f ==，（3n >），从而总有 lim ()0n n R x →∞=（其中(1)1()(),(1)!n n n f R x x n ξ++=+ξ在0与x 之间），所以23233442()815(1)(1)(1)815(1)17(1)7(1)2!3!f x x x x x x x =+-+-+-=+-+-+- 例3 求2()sin f x x =的幂级数展式.解 由于'''00(0)0,(0)(sin 2)0,(0)(2cos 2)2,x x f f x f x ======='''(4)00(0)(4sin 2)0,()(8cos 2)8x x f x f x x ===-==-=-,,(21)(2)121(0)0,(0)(1)2,n n n n f f ---==- ，因此2122412282sin (1)(,)2!4!(2)!n n nx x x x n --=-++-+-∞+∞;x ∀，级数的拉格朗日余项2212()(21)!n n n R x x n +≤+,显然有lim ()0n n R x →∞=. 所以上述展式成立.2.2 间接展开法上面讨论的几个函数展开都是采用直接展开法.一般说来，求函数的各阶导数比较麻烦，尤其要检验余项是否趋向于零，往往不是一件容易的事.因此，在可能的情况下，我们总是尽可能不用直接方法，而采用间接方法把已给函数展成幂级数，所谓间接展开法指的是，利用已知的函数展开式作为出发点，把给定函数展开成幂级数.由于函数展成幂级数的唯一性，用这种方法展开的结果应与直接方法展开的结果完全一致.在实际的练习中，将初等函数展开为幂级数，要用到多种方法，现将其常用的方法归结如下： 2.2.1通过变形，利用已知的展开式例4 将下列函数展成x 的幂级数.1）241()(1)(1)(1)f x x x x =+++ 解 241()(1)(1)(1)f x x x x =+++811x x -==- 8898810(1)1n n n n x x x x x x x ∞+=-=-+-++-+∑ ,(11)x -<<.2）3()sin x x ϕ=解 2121300313(1)1(1)(3)sin sin sin 3444(21)!4(21)!n n n n n n x x x x x n n ++∞∞==--=-=-++∑∑34=2210(1)(13)(21)!nn n n x n ∞+=--+∑ , (,)x ∈-∞+∞. 例5 设0x >，求证：㏑x =2[ ++-++-++-53)11(51)11(3111x x x x x x ] 证明 令11x t x -=+即11tx t+=-，从而 121111ln ln ln(1)ln(1)(1)(1)1n n n n n n t t t x t t t n n ∞∞--==+==+--=----∑∑ 1211211111[(1)(1)][(1)(1)]()1nn n n n n n n t x n n x ∞∞----==-=---=---+∑∑ 35111112[()()]13151x x x x x x ---=++++++例6 求函数2()(1)(1)xf x x x =--的麦克劳林展式. 解 设222(1)(1)(1)(1)11(1)x x A B C x x x x x x x ==++--+-+--得111,,,442A B C =-=-=又221(1)(1)(1)n n x n x x ∞-==-=+-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑，011nn x x ∞==-∑ （11x -<<） 所以20011(1)11(1)((1))()(1)(1)2222n n n nn n x n x n x x x ∞∞==+---=+-=+--∑∑，（11x -<<） 2.2.2 利用逐项积分或逐项微分法 例7 求2()xt F x e dt -=⎰的幂级数展开式.解 将2x -代替xe 展式中的x ，得+-+++-=-nn x x n x x e242!)1(!21!1112，()x -∞<<+∞.再逐项求积分就得到()F x 在（,-∞+∞）展开式2357210111(1)()1!32!53!7!21n n xt x x x x F x e dt x n n +--==-+-++++⎰ .例8 试求22()arctan2xf x x =-的幂级数展开式. 解 2''22000221()()(arctan )(1)221()2xxx t t f x f x dt dt dt t t ===+-+⎰⎰⎰ =2400(1)(1)()24nxn n t t dt ∞=+-∑⎰ (t < 2222222234500[1()()()()](1)()222222n xx nn t t t t tt dt dt ⎡⎤∞⎢⎥⎣⎦==+--++-=-∑⎰⎰2120(1)2(21)n n n n x n⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦==-+∑，(t <当x =2122011111(1)(1))2(21)21357911n n nnn n n n ⎡⎤⎡⎤+∞∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==-=-=+--++-++∑∑001111111(1)()()2((1)(1))3579114143n nn n n n ∞∞==⎤=+-+++-=-+-⎥++⎦∑∑可见x=x =22()arctan2xf x x=-在x =所以上面展式在⎡⎣上成立.2.2.3 利用待定系数法 例9 求2sin 12cos x x xαα-+ (1)x <的幂级数展式. 解 设2sin 12cos n n n x a x x x αα∞==-+∑,则20sin (12cos )nn n x x x a x αα∞==-+∑232323012301201(2cos )(2cos )(2cos )a a x a x a x a x a x a x a x a x ααα=++++---++++比较等式两边同次幂的系数，得0120,sin ,sin 2,,sin n a a a a n ααα====，这里用到三角恒等式sin(1)2sin cos sin(1)n n n αααα+=⋅-- (2,3,)n =，所以 原式= ++++nx n x x αααsin 2sin sin 22.2.4 利用级数的运算（加，减，乘，复合） 例10 求2()ln (1)f x x =-的幂级数展开式.解 由于10ln(1)1n n x x n +∞=-=-+∑在[1,1)-上内闭一致收敛，故[1,1)-上可用级数乘法2321111111111()()23121321n n x x f x x x n n n n ∞+=⎡⎤=----=++++⎢⎥--⎣⎦∑ =()()111111111()()(1)11nn n n n k n k k n k x x k n k n k n k ∞∞++====++-⎡⎤⎣⎦=+-++-∑∑∑∑ 111111111112111n n n n n k n k x x n n k k n k ∞∞++====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥++-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 1111121231n n x n n +∞=⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭∑ 上面的展式在[1,1)-内成立.例11 求()()111x f x x e =+按x 的幂的展开式至三次项.解 ()()111x f x x e=+()()111111ln 11nn n x x x nxee∞-=--+-∑== (1)x <= +-+-43232x x x e23232323111()()()23422346234x x x x x x x x x =+-+-++-+-++-+-+)11(,167241121132<<-+-+-=x x x x 2.2.5 其它方法举例例 12 求函数()sin xf x e x =的麦克劳林级数的前四项. 解23521111111sin (1)((1))1!2!!3!5!(21)!x nnn e x x x x x x x x n n +=+++++-+++-++233441111()()3!2!3!3!x x x x x x =++-++-++ 2313x x x =+++3 幂级数的应用3.1 计算积分 例13 计算积分120ln 1xdx x -⎰ 解 11112222220000ln 1ln ln ln 111x x x x dx xdx xdx xdx x x x -+==+---⎰⎰⎰⎰ 因为10ln 1xdx =-⎰，及2221ln ln 1nn x x x x x ∞==-∑，故 原式=12101ln n n x xdx ∞=-+∑⎰. 又知级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0，1]上不一致收敛，但仍可在(0，1]上逐项积分①，因此原式12011ln nn x xdx ∞==-+∑⎰()()2211112121n n n n ∞∞===--=-++∑∑()()22220111111()2212n n n n n n ∞∞∞====-+++∑∑∑2222221111126248n n nnπππ∞∞===-+=-+=-∑∑ 例14 计算22cos(sin )x x d πθπ⎰解 因()()21(sin )cos sin 11(2)!k kk x x k θθ∞==+-∑ ()()221sin 112!k k kk x k θ∞==+-∑ ， (,)x ∈-∞+∞故2222222001122(1)(1)cos(sin )sin 12(2)!(!)2k k k k kk k k xx x d d k k πππθθθθππ∞∞==⎡⎤--=+=+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ 3.2 证明不等式幂级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明函数不等式. 例15 证明不等式222,(,)x x x e e e x -+≤∈-∞+∞ 证明 因2022(2)!n xxn x e echx n ∞-=+==∑,222022(2)!!x nn x e n ∞==∑,而22(2)!(2)!!n n x x n n ≤,故222,xx xe e e -+≤ 例16 确定λ的值，使得22,(,)x x x e e e x λ-+≤∈-∞+∞解1）若上述不等式成立，则有222220001110()()2!2!2!2!x x n n n n n x n nn n n n n n n e e x x x x e n n n n λλλλ-∞∞∞∞====+≤-=-=-=-∑∑∑∑ 两端除以2x ，再令0x =，可得12λ≥.2）若12λ≥ ，则有22222002(2)!2!x x x n nx n n n e e x x e e n n λ-∞∞==+===≤∑∑3.3 近似计算幂级数常常用于近似计算. 例17 求下列各值的近似值： （1）e ，使误差小于0.001；解 在xe 的展开式中令1x =，得111112!3!!e n =++++++ 若取上述级数的前(1)n +项作为e 的近似值，即设111112!3!!e n ≈+++++则误差11(1)!(2)!n R n n =++++ 111[1](1)!2(2)(3)n n n n =+++++++2111111[1]1(1)!1(1)(1)!!11n n n n n nn <+++==++++-+ 所以要使0.001n R <，只要!1000n n >，可算出当6n =时就满足要求.因而可取前七位即可，即11111 2.7182!3!6!e ≈+++++= （2）6π，使误差小于0.001；解 在arcsin x 的展开式中令12x =，得3521111131(21)!!1622322452(2)!!(21)2n n n n π+⨯-≈+++++⨯⨯⨯+若取前(1)n +项作为6π的近似值，误差2325(21)!!1(23)!!1(22)!!(23)2(24)!!(25)2n n n n n R n n n n ++++=++++++2324(21)!!111(1)(22)!!(23)222n n n n ++<+++++234(21)!!13(22)!!(23)2n n n n ++=++要使0.001n R <，只要使上式右端小于0.001即可，不难算出当2n =时即满足要求，因而取前三项即可，即45111310.52362322452π⨯≈++=⨯⨯⨯ 3.4 应用幂级数性质求下列级数的和 例18()11!n nn ∞=+∑ 分析 ()11!n n n ∞=+∑是幂级数()111!n n nx n ∞+=+∑的和函数在1x =处的值.解 设()()111!n n nf x x n ∞+==+∑ ()x -∞<<+∞， 则()1110'()1!(1)!!n n nx n n n x x x f x x x xe n n n -∞∞∞=======--∑∑∑ ()x -∞<<+∞，所以0()(0)'()1xxtxxf x f f t dt te dt xe e =+==-+⎰⎰，从而()1(1)11!n nf n ∞===+∑.3.5 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限 例19 21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 因为23311111ln 123o x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 原式223311111111lim lim 23232x x x x x x x x x x x x οο→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++=-+-+=⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 例20 3arcsin limsin x x x x→∞-解 因为()()331arcsin ,sin 6x x x o x x x o x =++=+，所以原式=()()()()()333333311166lim lim 6x x x x x o x x o x x o x x o x →∞→∞⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭==-++ 3.6 求幂级数的和函数例21 +++++++12531253n x x x x n 解 设2121n n x n μ+=+，因21lim n x nu x u +→∞=，故原级数的收敛半径1R =，又当1x =±时，原级数可化为0121n n ∞=⎛⎫± ⎪+⎝⎭∑发散，从而得收敛域为(1,1)-. 设()()21021n n x S x n +∞==+∑ ()()1,1x ∈-，在()1,1x ∈-内逐项求导，得()2201'1nn S x x x ∞===-∑， 故和函数()()()2011'0ln 121xxdt xS x S t dt S t x +==+=--⎰⎰ ()1,1x ∈-. 例22 求幂级数()()211nn n x n n ∞=--∑的和函数. 解 易知原级数的收敛域为[1,1]-.记()()21()1nn n F x x n n ∞=-=-∑，则()()()()()1222111'()()'()'111nnnn nn n n n F x x x x n n n n n ∞∞∞-===---===---∑∑∑，()()()()21122222111''()()'()'1111nnn n n n n n n n F x xxnxx n n x ∞∞∞∞----====--===-==--+∑∑∑∑故()001'()''()ln 11xxF x F t dt dt x t ===++⎰⎰， ()()()0()'()ln 11ln 1xxF x F t dt t dt x x x ==+=++-⎰⎰，所以()()()()211ln 11n n x x x x n n ∞=-=++--∑ ,(1,1)-.注释： ① 求证级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0,1]上不一致收敛，但仍可以在(0,1]上逐项积分证 1当1x =时级数通项()211ln |0nn x u x x ===．当01x <<，21nn xlnx ∞=∑为等比级数，所以和22ln ()10x x S x x⎧⎪=-⎨⎪⎩， 011x x <<= 时，可见211(10)lim ln(1(1))(1).(1)(1)2x x S x S x x -→-=--=≠+- 故 该级数非一致收敛（根据和函数连续定理）.2（证明能逐项积分）因22222221ln ()ln ln ,11n kn n k n x x x R x x x x x x x +∞=+===⋅--∑其中220ln lim 1x x xx +→-及221ln lim 1x x x x -→-都有有限极限，且22ln 1x x x -在(0,1)内连续，所以22ln 1x x x -在(0,1)内有界，即0M ∃>，使得22ln ||1x xM x ≤-，故 2|()|n n R x M x ≤⋅, 11120|()||()|0().21n n n MR x dx R x dx M x dx n n ≤≤=→→∞+⎰⎰⎰ 此即表明1lim ()0.n n R x dx →∞=⎰级数可以逐项取积分.。

解析函数的幂级数展开与Laurent级数函数的幂级数展开与Laurent级数是数学中重要的概念和工具，被广泛应用于各个领域的研究和应用中。

本文将对这两个概念进行解析和探讨。

首先，我们来了解一下函数的幂级数展开。

幂级数展开是将一个函数表示为一系列幂函数的和的形式。

通常，我们将函数在某个点附近进行幂级数展开。

这个点被称为展开点，通常选取函数在该点附近的某个区间内进行展开。

幂级数展开的形式可以写作：f(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)^2 + a3(x - x0)^3 + ...其中，a0、a1、a2等为常数系数，x0为展开点。

通过幂级数展开，我们可以将一个复杂的函数表达式简化为一系列幂函数的和，从而更方便地进行计算和分析。

接下来，我们来探讨Laurent级数。

Laurent级数是幂级数展开的一种扩展形式，适用于函数在某个点附近存在奇点或者在无穷远点处的展开。

与幂级数展开不同的是，Laurent级数包含正幂项和负幂项。

其一般形式可以写作：f(z) = ∑(n = -∞ to ∞) cn(z - z0)^n其中，cn为常数系数，z0为展开点。

Laurent级数展开的形式更加一般化，可以适用于更多的函数情况。

通过Laurent级数展开，我们可以研究和分析函数在奇点附近或者无穷远点处的性质和行为。

幂级数展开和Laurent级数在数学分析、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

它们可以用于计算函数的近似值，研究函数的性质和行为，解决微分方程和积分方程等数学问题。

特别是在物理学中，幂级数展开和Laurent级数常常用于描述物理现象和建立物理模型。

例如，在量子力学中，我们经常需要求解薛定谔方程，得到粒子的波函数。

通过将波函数进行幂级数展开，我们可以得到波函数的能级和态函数形式，从而研究粒子的能谱和量子态。

在电路分析中，我们经常需要求解电路中的电流和电压。

通过将电路中的电流和电压进行幂级数展开，我们可以得到电路的频率响应和传输特性，从而分析电路的稳定性和性能。

1 ． L ak +1x k +1 ak x k
（2）当 L = 0 时，对于任何 x ≠ 0 ，都有
k →∞
∞
lim
= L x = 0⋅ x = 0 < 1，
于是，幂级数 ∑ ak x 对于任何 x 都收敛．所以，其收敛半径 R = +∞ ．
k =0
k
（3）当 L = +∞ 时，对于任何 x ≠ 0 ，都有
∑x
k =0
∞
k
= 1 + x + x2 + L + xn + L
（13.1.3）
它的部分和函数列为
S n ( x) = ∑ x k =
k =0
n
1 − x n +1 ， n = 0,1, 2,L 1− x
容易知道，当且仅当 −1 < x < 1 时，部分和函数列 {S n ( x)} 收敛，极限值为 S ( x) =
k =0
特别令 x0 = 0 ， （13.1.1）式变为
k 2 k ∑ ak x = a0 + a1 x +a2 x + L + ak x + L ∞
k =0
（13.1.2）
…，ak ， …都是实常数， 称之为幂级数的系数． 通过简单的变换 x − x0 = t ， 其中 a0 ，a1 ，a2 ， 可以将幂级数的一般形式 （13.1.1） 化为形如 （13.1.2） 的幂级数． 因此， 下面只就形式 （13.1.2） 的幂级数进行讨论． 例 1 在（13.1.2）中，如果令所有系数都为 1，则得到下面的几何级数（等比级数）
-|b|
-R - |a|

mathematica技术在幂级数展开中的应用
Mathematica作为一款功能强大的数学计算软件，在幂级数展开方面有着出色的表现。

幂级数是一类常用的数学展开，在进行复杂的数学运算时，幂级数的强大威力尤为突出。

用Mathematica展开幂级数的方法是使用Expand函数，该函数可以展开我们所输入
的表达式的系数部分，甚至可以实现非常复杂的表达式的展开。

具体来说，Expand函数在括号内使用简单的数学表达式创建一个幂级数，然后展开系数和指数项部分。

比如，Expand[(x + y)^2]会返回x^2 + 2 x y + y^2，这里x和y是变量。

此外，Expand函数还可以接受多个参数，它们会按照顺序被应用到给定的表达式上。

比如，如果我们希望Expand函数将多项式展开，我们可以使用 Expand[expr, Polynomial]。

另外，Expand函数也能够接受限制参数，用来帮助我们筛选出不需要的元素，以节省更多时间。

Mathematica提供了一系列的功能来实现幂级数的展开，从最简单的实现生长到最复
杂的实现，可以满足各种复杂的数学要求，因此会节省许多宝贵的时间。

它的高效率让这
种数学展开更加容易实现，更容易引出精确的结果，从而为科学评估、分析、研究等活动
提供了便利。

函数的幂级数展开式及其应用通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。

而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。

为此我们有了下面两个问题：问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。

泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。

由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。

得：，，………………………………………………，………………………………………………在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：把这些所求的系数代入得：该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a 处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。

此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.泰勒定理设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。

(在此不加以证明）在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：其中c 在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。

函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.即：几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数e x2.正弦函数的展开式3.函数(1+x)m的展开。