5.2.2等差数列的前n项和
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5.2 等差数列
B.20
C.24
D.28
【答案】C
4.在等差数列{an}中,已知a3+a18=20,则S20= (
A.140
B.160
C.180
) D.200
【答案】D
5.在等差数列{an}中,已知a3+a9+a15+a17=4,则a11=( )
A.1
B.-1
C.0
D.不能确定
【答案】A
6.在等差数列{an}中,前15项之和S15=60,则a8=
3, a5
5时, d
5 4
3
2,
an 3 (n 1) (2) 2n 5;
当a1
5, a5
3时, d
3
(5) 4
2,
an 5 (n 1) 2 2n 7.
n(a1 2
an
)
组成方程组,解之即可.
【例4】 一个等差数列的第5项为0,第9项为12,求该数列的首项, 公差及前20项的和.
【分析】由两个已知条件列出关于首项a1和公差d的方程组,解方 程组即可求出a1和d.
【解】 设等差数列的首项为a1,公差为d.由题意得
aa11
4d 8d
0, 12,
两个量,即“知三求二”.
4.等差中项
对给定的实数a与b,如果插入数A使得a,A,b成等差数列,则称A
叫做a与b的等差中项,且A=
a
2
b
或2A=a+b.
【说明】 前面复习时,曾把这个数叫做a与b的算术平均
数,“一物二名”,可联系起来记忆.
5.等差数列的性质
(1)在等差数列中,若公差d=0,则此数列为常数列;若d>0,则此
;
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
等差数列的前n项和与公差的关系
等差数列的前n项和与公差的关系等差数列是一种常见的数列，它的每一项与前一项之差都相等，这个差值被称为公差。
在研究等差数列时，我们经常需要计算前n项的和。
本文将探讨前n项和与公差之间的关系。
假设我们有一个等差数列的首项为a1，公差为d。
我们可以表示等差数列的第n项为an。
等差数列的前n项和公式在等差数列中，每一项与前一项之差都相等，也就是说：an = a1 + (n-1) * d我们可以利用这个公式计算等差数列的任意一项。
而等差数列的前n项和可以表示为：Sn = (n/2) * (a1 + an)这个公式可以帮助我们计算等差数列的前n项和，只需要知道首项和公差即可。
前n项和与公差的关系通过等差数列的前n项和公式，我们可以看到前n项和与公差之间存在一定的关系。
首先，我们可以观察到公差为0时，等差数列的前n项和就是n倍的首项，即 Sn = n * a1。
这是因为此时等差数列中的每一项都相等，所以前n项和就是n倍的首项。
其次，我们可以看到公差为正数时，等差数列的前n项和随着n的增大而增大。
这是因为每一项都比前一项大公差的值，所以随着n的增大，前n项和也会增大。
反之，当公差为负数时，等差数列的前n项和随着n的增大而减小。
这是因为每一项都比前一项小公差的值，所以随着n的增大，前n项和也会减小。
综上所述，前n项和与公差之间存在一定的关系。
对于公差为0的等差数列，前n项和是n倍的首项；对于正数公差的等差数列，前n项和随着n的增大而增大；对于负数公差的等差数列，前n项和随着n的增大而减小。
希望本文对你理解等差数列的前n项和与公差的关系有所帮助。
等差数列的前n项和教案
等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。
2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。
3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。
二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。
2. 等差数列的前n项和的计算公式。
三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。
2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。
2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。
五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。
2. 等差数列的前n项和的计算公式。
3. 等差数列的前n项和的性质。
4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。
第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。
4.2.2等差数列的前n项和公式(第一课时)课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
( n 1) n
2
( n 1)
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{a n}的首项a1, 公差为d, 那么该等差
数列的前n项和公式为
n(a1 an )
Sn
2
(a1 an ) S n
=
2
n
(a1 an )
是等差数列
2
{an }的前n项的平均数
101
101
101
101
（2 99）（3 98） （50 51）
（1 100）
50对
100
（100 1） 5050
2
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ①
前100项的和的问题.
03
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求
这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问
题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
问题3： 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
将上述方法推广到一般，可以得到:
当n是偶数时，有 a1 an a2 an 1 a n a n ，
26(14.5 32)
∴ S 26
604.5.
2
目标检测 检验效果
2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的 和是－100 ?
04
解：
由已知条件可得,a1 1,d 3 ( 1) 2.
2
( n 1)
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{a n}的首项a1, 公差为d, 那么该等差
数列的前n项和公式为
n(a1 an )
Sn
2
(a1 an ) S n
=
2
n
(a1 an )
是等差数列
2
{an }的前n项的平均数
101
101
101
101
（2 99）（3 98） （50 51）
（1 100）
50对
100
（100 1） 5050
2
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ①
前100项的和的问题.
03
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求
这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问
题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
问题3： 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
将上述方法推广到一般，可以得到:
当n是偶数时，有 a1 an a2 an 1 a n a n ，
26(14.5 32)
∴ S 26
604.5.
2
目标检测 检验效果
2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的 和是－100 ?
04
解：
由已知条件可得,a1 1,d 3 ( 1) 2.
5.2.2等差数列的前N项和公式
5.2.2等差数列的前n项和公式教学目标：1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质．教学重点与难点：重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得．教学过程：一、创设情景，唤起学生学习的兴趣老师打算换辆车，把我的电动小毛驴淘汰了，也换个有蓬的四轮小汽车。
大概要6.5万元。
我打算开始存钱了。
第1天存1元，第2天存2元。
第3天存3元。
第4天存4元。
以此类退。
半年（182天）后能存多少钱？按这么个存法，什么时间能存够买小汽车的钱呢？[知识链接] 卡尔·弗里德里希·高斯，德国数学家、物理学家和天文学家，大地测量学家。
近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。
200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？当其他同学忙于从1开始逐个相加时，年仅10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.二、由易到难，在自主探究与合作中学习问题1图案中，第1层到第11层该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现．分析：学生可能出现以下求法方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋10）＋11方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋10＋11方法3：原式＝（1＋2＋…＋5＋7…＋11）＋6以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．[设计意图]这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．问题2求图案中从第1层到第n层（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少颗宝石？分析：学生通过讨论后，会发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键．[设计意图]从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n 个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进．启发：（多媒体演示）如图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．[设计意图]借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型．通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：∵1 + 2 + 3 +…（n－1） + nn +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1__________________________________________________________________________________________(n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1)∴1+2+3+…+n=n（n+1）2问题3在公差为d的等差数列{a n}中，定义前n项和Sn=a1+a2+…+a n，如何求Sn？由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：∵S n=a1 + a2+a3+…+a nS n=a n + a n-1+a n-2+…+ a1∴1112()()()n n n n n S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++ 个1()2n n n a a S +∴=(公式1) 组织学生讨论：在公式1中若将a n =a 1+（n －1）d 代入又可得出哪个表达式? 即：1(1)2n n n S na d -=+（公式2） 三、例题解析，促进学生对公式的应用对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式.例1：已知等差数列{a n }中，a 1=-12，a 30=18，求S 18. [解题过程]分析：首项为-12，末项为18，项数为30，利用公式1. 解：由已知条件得902)1812(3030=+-⨯=S[PS] 学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算．例2：在小于100的正整数的集合中，有多少个数是3的倍数，求它们的和。
高考数学一轮复习课件5.2等差数列
一个小题或在解答题中出现，在解题时，应 熟练掌握通项公式与前n项和公式，规范答题 避免不必要的失分．
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66
5.2.2等差数列前n项和公式
当d≠0时，这是关于n的 一个一次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b的等差中项。
A ab
2
高斯求和的故事
等差数列 1,2,…50,51,…100的和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
S =n
100 × 101 2
2)
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an+1－an=d(常数)
｛an｝是等差数列
a 等差数列 n 的通项公式为
an a1 (n 1)d
5.2.2等差数列 的前n项和
复习数列的有关概念
如果数列 an 的第n项 an 与n之间的关系可以用
一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
Sn a1 a2 a3 an1 an 叫做数列 an 的前n项和。
an
Sn
S1(n 1) Sn1(n
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，
且自下而上各层的铅笔数组成等差数
列，记为 an
a1 1, a120 120 , n 120
S120
120 (1120) 2
7260.
Sn
n（a1 2
an )
答：V形架上共放着7260支铅笔.
例2
S 根据下列条件，求相应的等差数列 an 的
高中数学等差数列前n项和公式
高中数学等差数列前n项和公式高中数学学习中，等差数列是一个非常重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。
等差数列是指一个数列中每一项与它的前一项之差都相等，这个相等的差值被称为公差。
等差数列的前n项和公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。
等差数列前n项和公式如下：Sn = n(a1 + an)/2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1是等差数列的首项，an是等差数列的第n项。
这个公式的推导比较简单，我们可以通过数学归纳法来证明它的正确性。
首先，当n=1时，等差数列的前1项和就是a1，这个结论显然成立。
接着，我们假设当n=k时，等差数列的前k项和公式成立，即Sk = k(a1 + ak)/2那么当n=k+1时，等差数列的前k+1项和为S(k+1) = S k + a(k+1)根据归纳假设，我们可以将Sk带入上面的公式中，得到S(k+1) = k(a1 + ak)/2 + a(k+1)将上面的式子进行化简，可以得到S(k+1) = (k+1)(a1 + ak+1)/2这个式子就是等差数列前k+1项和的公式。
根据归纳法的原理，我们可以证明这个公式对于任意的n都成立。
这个公式在实际应用中非常有用。
例如，当我们需要计算一个等差数列的前100项和时，可以直接使用这个公式，将a1和an代入公式中，即可得到结果。
这个方法比逐项相加更加快速和方便。
此外，这个公式还可以用于解决一些数学问题，例如等差数列的最大值、最小值等等。
等差数列前n项和公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算等差数列的前n项和，并解决一些数学问题。
希望大家在学习数学的过程中能够熟练掌握这个公式，发挥它的作用。
等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式 候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1， 推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40． 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30． 由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式 候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1， 推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40． 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30． 由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．
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高斯（Gauss,1777—1855）， 德国著名数学家，他研究的内 容涉及数学的各个领域，被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一，他与阿基米德、牛顿齐 名，是数学史上一颗光芒四射 的巨星，被誉为“数学王子”.
创设情景
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 老师问：高斯，你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗？ 问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
你知道这个图案一共花了多少宝 石吗？
探究发现
问题：图案中，第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不 能简单模仿偶数个项求和的办法， 需 要 把 中 间 项 11 看 成 首 、 尾 两 项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 21 2 3 (n 1) n n(n 1)
一个具体
的等差数 列前n项
和.
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
问题分析 如何才能将
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 Sn a1 a2 a3 an ①
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计算： 1 2 3 (n 1) n ①
Sn
na1
n（n 2
1)
d
an a1 (n 1)d
结论：知 三的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
a1 n
Sn
n(a1 2
an )
an
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
n
a1
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1 an(n-1)d
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
（1） 1+2+3+。。。+n= （2） 1+3+5+。。。+（2n-1）= （3）2+4+6。。。+2n=
n（n+1）/2 n2
n（n+1）
上面习题的答案在以后会经常用到。
例1 如图，一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
相加 第三个数与倒数第三个数一组，……
法 每组数的和均相等，都等于101，50个
101就等于5050了。高斯算法将加法问题转
有无简单的方法？
探究发现
问题：图案中，第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，把这个“全 等三角形”倒置，与 原图补成平行四边形。
探究发现
问题：图案中，第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
1 2 3 21
21 20 19
获得算法：
s21
(1
21) 2
21
1
倒序相加法
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求 和，很有创意，用数学式子表示就是：
复习引入
6. 数列的前n项和：
a1 a2 a3 an 称为数列{an}的前n
项和，记作Sn，那么Sn－1表示什么？ an，Sn，Sn－1三者之间有什么关系？
an
S n
Sn1
S1
(n 2) (n 1)
复习引入
7.数列的通项公式能反映数列的基本特 性，在实际问题中常常需要求数列的前n 项和.对于等差数列，为了方便运算，我 们希望有一个求和公式，这是一个有待 研究的课题.
的和与项数 乘积的一半。
Sn
n(a1 2
an )
可知三 求一
不含d
思考：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；
由于an a1 n 1d, 故
Sn
na1
n(n 1) 2
d
想
一 想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个 元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式：
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). (2) an＝am＋(n－m)d .
复习引入
3. 几种计算公差d的方法:
d an an1 d an a1
n1
d an am nm
复习引入
4. 等差中项 A a b a, A, b 成等差数列. 2 5. 等差数列的性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq. (m，n，p，q∈N)
Sn an a n1an2 a1 ②
2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 an a1
又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
2Sn n(a1 an )
即Sn
n(a1 2
an )
等差数列的
求和公式
于前首n项末和两等项等差数列的前n项和的公式：
化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕 为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观， 纯白大理石砌建而成的主体建筑 叫人心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案， 以相同大小的圆宝石镶饰而成， 共有100层（见左图），奢靡之程 度，可见一斑。
1+ 2+ 3+ 4+……+21 探究了以上两个实
21+20+19+18+……+1
际问题的求和，我 们对数列求和有了
对齐相加（其中下第二行的式一子定的与认第识一，行那的么
式子恰好是倒序）
能否将“倒序相加 法”推广到任意一
这实质上是我们数学中一种求个和等的差重数要列呢方？法
创设情景
平行四 三边角形形