高中数学3.2.2立体几何中的向量方法第2课时教案新人教版选修2_1

3.2立体几何中的向量方法（二）教学目标：掌握利用向量法解决空间中的垂直关系教学重点：证明空间中垂直关系的方法教学难点：空间中的垂直关系如何转化为向量的运算问题教学过程：一.复习引入直线的方向向量和平面的法向量二.思考分析直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直．问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直．三.抽象概括证明垂直关系的向量方法用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．四.例题分析及练习[例1]在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.[思路点拨]分析题意→建立空间直角坐标系→表示出A1，F，C1，E的坐标→A1F⊥C1E[精解详析]以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE ＝BF ＝x ，则E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴1A F u u u r＝(－x ，a ，－a )， 1C E u u u r＝(a ，x －a ，－a )． ∵1A F u u u r ·1C E u u u r ＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴1A F u u u r ⊥1C E u u u r，即A 1F ⊥C 1E .[感悟体会] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量． 训练题组11．设直线l 1的方向向量为a ＝(2,1，－2)，直线l 2的方向向量为b ＝(2,2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝( )A ．1B ．－2C ．－3D ．3解析：l 1⊥l 2⇔a ⊥b ，∴2×2＋1×2＋(－2)×m ＝0，∴m ＝3. 答案：D2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AC 的中点．证明：(1)BD 1⊥AC ；(2)BD 1⊥EB 1.证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A (1，0,0)，C (0,1,0)， E (12，12，0)，B 1(1,1,1)．(1) 1BD u u u r＝(－1，－1,1)，AC uuu r ＝(－1，1,0)，∴1BD u u u r ·AC uuu r ＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴1BD u u u r ⊥AC uuur ，∴BD 1⊥AC .(2) 1BD u u u r ＝(－1，－1,1)，1EB u u u r ＝(12，12，1)，∴1BD u u u r ·1EB u u u r ＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0，∴1BD u u u r ⊥1EB u u u r，∴BD 1⊥EB 1.[例2] 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点． 求证：EF ⊥平面B 1AC .[思路点拨] 思路一：EF ⊥AB 1→EF ⊥B 1C →EF ⊥平面B 1AC思路二：求平面B 1AC 的法向量n EF ⊥平面B 1AC[精解详析] 法一：设AB uu u r ＝a ，AD uuu r＝c ，1AA u u u r ＝b ，则EF uuu r ＝1EB u u u r ＋1B F u u u r ＝12(1BB u u u r ＋11B D u u u u r )＝12(1AA u u u r ＋BD uuu r )＝12(1AA u u u r ＋AD uuu r －AB uu u r)＝12(－a ＋b ＋c )． ∵1AB u u u r ＝AB uu u r ＋1AA u u ur ＝a ＋b ，∴EF uuu r ·1AB u u u r ＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b )＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0.∴EF uuu r ⊥1AB u u ur ，即EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C .又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设正方体的棱长为2，以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF uuu r＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，1AB u u u r＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC uuu r＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．∴EF uuu r ·1AB u u ur ＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，EF uuu r ·AC uuur ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF uuu r ⊥1AB u u u r ，EF uuu r ⊥AC uuur ，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC .法三：同法二得1AB u u u r ＝(0,2,2)，AC uuu r ＝(－2,2,0)，EF uuu r＝(－1，－1,1)．设平面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则1AB u u u r·n ＝0，AC uuu r ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0.取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)， ∴EF uuu r ＝－n ，∴EF uuu r∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .[感悟体会] 法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的． 训练题组23．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：∵l ⊥α，v ∥α，∴u ⊥v .∴(1,3，z )·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z ＝0，z ＝3. 答案：34.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：法一：设11A B u u u u r ＝a ，11AD u u u u r ＝b ，1A A u u u r ＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0. 而1AO u u u r ＝1A A u u u r ＋AO uuu r ＝1A A u u u r ＋12(AB uu u r ＋AD uuu r )＝c ＋12(a ＋b )， BD uuu r ＝AD uuu r －AB uu u r＝b －a ， OG uuu r ＝OC uuu r ＋OG uuu r ＝12(AB uu u r ＋AD uuu r )＋121CC u u u r ＝12(a ＋b )－12c ，∴1AO u u u r ·BD uuu r ＝(c ＋12a ＋12b )·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴1AO u u u r ⊥BD uuu r ，∴A 1O ⊥BD .同理可证，A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，∴A 1O ⊥平面GBD .法二：如图，取D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，∴1OA u u u r ＝(1，－1,2)，OB uuu r ＝(1,1,0)，BG uuu r ＝(－2,0,1)．而1OA u u u r ·OB uuur ＝1－1＋0＝0， 1OA u u u r ·BG uuu r ＝－2＋0＋2＝0，∴1OA u u u r ⊥OB uuu r ，1OA u u u r ⊥BG uuur ，即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG .而OB ∩BG ＝B ，∴OA 1⊥平面GBD .[例3] 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[思路点拨] 思路一：证明BC ⊥AD →证明BC ⊥AA 1→BC ⊥平面A 1AD →平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1思路二：求平面A 1AD 的法向量n 1→求平面BCC 1B 1的法向量n 2→证明n 1·n 2＝0→ 平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1[精解详析] 法一：如下图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)．∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AD uuu r＝(1,1,0)，1AA u u u r ＝(0,0，3)，BC uuu r ＝(－2,2,0)．∴AD uuu r ·BC uuur ＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，1AA u u u r ·BC uuu r ＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0. ∴AD uuu r ⊥BC uuur ，1AA u u u r ⊥BC uuu r .∴BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1.又A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AD .又BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.法二：同证法一建系后，得1AA u u u r ＝(0,0，3)，AD uuu r＝(1,1,0)，BC uuu r ＝(－2,2,0)，1CC u u u r ＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA u u u r ＝0，n 1·AD uuu r＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC uuu r ＝0，n 2·1CC u u u r ＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33，∴n 2＝(1,1，33)．∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[感悟体会] 证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直． 训练题组35．在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：平面GEF ⊥平面PBC .证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．令P A ＝PB ＝PC ＝3，则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)，于是PA u u r ＝(3,0,0)，FG uuu r ＝(1,0,0)，故PA u u r＝3FG uuu r ，∴P A ∥FG .而P A ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC .又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC . 法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)．∴EF uuu r＝(0，－1，－1)，EG uuu r ＝(1，－1，－1)．设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥EF uuu r，n ⊥EG uuu r .∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0.令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)． 显然PA u u r＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA u u r ＝0，∴n ⊥PA u u r ，即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC .6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体棱长为1，则E (1,1，12)，D 1(0,0,1)，F (0，12，0)，A (1,0,0)．∴DA uuu r ＝(1,0,0)＝11D A u u u u r ，DE uuu r ＝(1,1，12)， 1D F u u u u r ＝(0，12，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量．由⎩⎨⎧m ·DA uuu r ＝0，m ·DE uuu r ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0.令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)． 又由⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D A u u u u r＝0，n ·1D F u u u u r＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 五.课堂小结与归纳1．用向量法证明线面垂直的方法与步骤(1)基向量法⎩⎪⎨⎪⎧①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量②找出平面内两条不共线向量并分别用基向量表示③分别证明直线的方向向量与平面内两不共线向量垂直(2)坐标法⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧方法一⎩⎪⎨⎪⎧①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示④分别证明直线的方向向量与平面内两向量垂直方法二⎩⎪⎨⎪⎧①建立空间坐标系②将直线的方向向量、平面的法向量分别用坐标表示④证明平面的法向量与直线的方向向量平行2．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 六.当堂训练1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确 解析：u ·v ＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，∴u ⊥v .∴α⊥β.答案：B2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8解析：∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.答案：C3．已知AB uu u r ＝(1,5，－2)，BC uuu r ＝(3,1，z )，若AB uu u r ⊥BC uuu r ，BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)，且BPu u u r⊥平面ABC ，则BP u u u r等于( )A ．(337，－157，4)B ．(337，－157，－3)C ．(407，－157，4)D ．(407，157，－3)解析：由AB uu u r ·BC uuu r ＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.又BP u u u r⊥平面ABC ， ∴⎩⎨⎧BP u u u r ·AB uu u r ＝0， BP u u u r ·BC uuur ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．AA 1解析：建立如图所示的坐标系．设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)， C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E (12，12，1)．∴CE ―→＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)，AC uuu r ＝(－1,1,0)，BD uuu r＝(－1，－1,0)，1A D u u u r ＝(－1,0，－1)，1A A u u u r ＝(0,0，－1)．∵CE u u u r ·BD uuu r ＝(12，－12，1)·(－1，－1,0)＝－12＋12＋0＝0， ∴CE u u u r ⊥BD uuu r，∴CE ⊥BD .答案：B5．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由题意得OP uuu r ⊥OQ uuu r.∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0.∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π36．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，且有AB uu u r ＝(2，－1，－4)，ADuuu r＝(4,2,0)，AP uu u r ＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP uu u r是平面ABCD的法向量；④AP uu u r ∥BD uuu r.其中正确的是________．解析：由AP uu u r ·AB uu u r＝－2－2＋4＝0知AP ⊥AB ，故①正确； 由AP uu u r ·AD uuu r＝－4＋4＋0＝0，知AP ⊥AD ，故②正确；由①②知AP uu u r是平面ABCD 的法向量，故③正确，④不正确．答案：①②③7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．求证：PC ⊥平面BEF .解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0，0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC uuu r (2,22，－2)，BF uuu r ＝(－1，2，1)，EF uuu r＝(1,0,1)， ∴PC uuu r ·BF uuu r ＝－2＋4－2＝0，PC uuu r ·EF uuu r ＝2＋0－2＝0，∴PC uuu r ⊥BF uuu r ，PC uuu r ⊥EF uuu r ，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF . 8.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．解：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．(1) 1A E u u u r ＝(－a ，a ，e －a )，BD uuu r ＝(－a ，－a,0)，1A E u u u r ·BD uuu r ＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E u u u r ⊥BD uuu r，即A 1E ⊥BD .(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB uuu r ＝(a ，a,0)，1DA u u u r ＝(a,0，a )，DE uuu r ＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，ae )．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2.∴2－a e ＝0，即e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

3.2 立体几何中的向量方法（第 1 课时）【教学目标】1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量。

【重点】直线的方向向量和平面的法向量. 【难点】求平面的法向量.【创设情景】1.平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2.如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？ 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 102 页～第 104 页） 思考：（1）如何确定一个点在空间的位置？（2）在空间中给一个定点和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间中的位置吗？（3）给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ （4）给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？1.点P 的位置向量OP.如图(1).2. 一个定点和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间中的位置,如图(2). AP t AB =3.直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量4.平面的法向量l α⊥,取直线l 的方向向量a ,则向量a 叫做平面α的法向量.【基础练习】 【典型例题】例1 在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量.【审题要津】证明：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,1(1-=AD 01=⋅AC DB ，所以AC DB ⊥1同理11AD DB ⊥.所以⊥1DB 平面ACD从而1DB 是平面1ACD 的法向量. 【方法总结】例 2 在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A e =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。

（回到图形问题）
各抒己见 百家争鸣
链接高考202X
强化作业： 在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向 量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有

§3.2.3立体几何中的向量方法——利用空间向量求空间角教学目标1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求解二面角的向量方法 教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

（回到图形）2、向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1、异面直线所成的角（范围： ）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的不大于90°的角 ，叫做异面直线a 与b 所成的角。

（2）用向量法求异面直线所成角bab a ⋅=,cos⎝⎛∈θθb a ⋅⋅=⋅a ´b ´•oθ设两异面直线a 、b 的方向向量分别为m 和 ，问题1 当m 与n 的夹角不大于90°时，异面直线a 、b 所成的角 与m 和的夹角的关系？ 相等问题 2 当m 与的夹角大于90°时，异面直线a 、b 所成的角 与m 和的夹角的关系？ 互补所以，异面直线a 、b 所成的角的余弦值为典型例题1：在到△A1O1B1的位置，已知BD1与AF1所成的角的余弦值。

解：以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则A(1,0,0) B(0,1,0)F1(21 ,0,1) D1(21 , 21,1)所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为知识点2、直线与平面所成的角（范围： ）=cos θ =),1,0,21(1-=∴AF )1,21,21(1-=BD =⋅=BD =⋅++-23451041⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθθθ10301030据图分析平面所成弦值为典型正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、DD1的中点， (1)求直线B1C1与平面AB1C 所成的角的正弦值; (2)求二面角F-AE-D 的余弦值。