不等式和绝对值不等式

01 Chapter不等式的定义不等式的例子定义和例子重要性质若a>b>0，则a的n次幂>b的n次幂（n为正整数）。

若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

不等式的乘法性质若a>b，c>d，则ac>bd（当且仅当a>b>0，c>d>0时成立）。

不等式的加法性质若a>b，c>d，则a+c>b+d。

02 Chapter定义性质定义和性质解法03020103 Chapter定义基本不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了正数的平均值与它们的几何平均值之间的关系。

性质基本不等式具有对称性和传递性，即若a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则有$(a+b)/2≥\sqrt{ab}$和$(a+b+c)/3≥\sqrt[3]{abc}$。

定义和性质常用基本不等式logo常用基本不等式•柯西不等式：若a i>0,i=1,2,...,n,则$\sqrt{\sum {i=1}^{n}a i^2}\cdot \sqrt{\sum {i=1}^{n}\frac{1}{a_i^2}} \geqslant n$。

应用在求最值、解方程等问题中有广泛应用。

等号成立条件当且仅当$a_1=a_2=...=a_n$时等号成立。

排序不等式若$a_1 \leqslant a_2\leqslant ... \leqslant a_n$，且$b_1 \leqslant b_2 \leqslant ...\leqslant b_n$，则有$\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\leqslant\sum_{i=1}^{n}a_ib_{n-i+1}$。

常用基本不等式常用基本不等式等号成立条件应用04 Chapter数学问题中的应用实际生活中的应用投资组合问题01资源分配问题02最大利润问题0305 Chapter不等式的基本性质练习题及解答总结词掌握基础，逐步提升详细描述不等式的基本性质是学习不等式的基础，包括不等式的加法性质、乘法性质、正值性质等。

不等式与绝对值在数学中，不等式是描述数值关系的一种有效工具。

通过不等式，我们可以表达数值的大小比较、范围限制等概念。

而绝对值则是一个非常常见的数学概念，它可以用来表示一个数离原点的距离，也可以用于解决不等式问题。

本文将就不等式与绝对值的相关概念和性质进行论述。

一、不等式不等式是表示两个数或式子大小关系的数学表达式，通常使用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等来表示。

比如，我们常见的“小于”、“大于”、“小于等于”、“大于等于”等符号就是用来表示不等式的关系。

1. 不等式的基本性质不等式具有如下基本性质：- 传递性：如果 a < b，b < c，则有 a < c。

- 对称性：如果 a < b，则有 b > a。

- 反身性：对于任意实数 a，不等式 a < a 不成立。

- 加法性：如果 a < b，则 a + c < b + c，其中 c 是任意实数。

- 乘法性：如果 a < b 且 c > 0，则 ac < bc。

2. 不等式的解集表示解不等式意味着找到满足不等式条件的数的集合。

通常，我们使用集合的描述方法、图示法或区间表示法来表示不等式的解集。

- 集合描述法：用大括号 {} 表示解集，例如解集 {x | x > 0} 表示所有大于 0 的实数。

- 图示法：将解集在数轴上用箭头表示，例如 x > 0 在数轴上表示为一个从 0 开始的右箭头。

- 区间表示法：用括号、方括号表示闭区间和开区间，例如(0, +∞) 表示开区间，[0, +∞) 表示闭区间。

二、绝对值绝对值是一个非常重要的数学概念，它可以用来表示一个数离原点的距离。

对于实数 a，绝对值一般用符号“|a|” 来表示。

1. 绝对值的定义对于实数 a，其绝对值定义如下：- 当a ≥ 0 时，|a| = a；- 当 a < 0 时，|a| = -a。

可以看出，无论 a 的正负性，其绝对值都是非负数。

不等式与绝对值不等式的应用不等式在数学中扮演着重要的角色，它们有着广泛的应用领域，其中包括解决实际问题和证明数学定理等。

在不等式的基础上，绝对值不等式则在解决一些涉及绝对值的问题时非常有用。

本文将探讨不等式与绝对值不等式的应用，并通过例子详细说明其运用方法和效果。

一、不等式的应用不等式的应用涵盖了很多领域，其中包括经济学、物理学、几何学等等。

下面将以一个实际问题为例，展示不等式在解决实际问题时的应用。

例1：假设某公司生产一种产品，每个产品的成本为C元，售价为P元。

设该公司的固定成本为F元，求该公司的盈利情况。

解：首先，我们可以列出该问题的不等式表示形式：P > C + F其中，P表示售价，C表示成本，F表示固定成本。

不等式P > C + F表示售价要大于成本和固定成本的总和，才能够获得盈利。

通过观察不等式，我们可以看到，当售价超过成本和固定成本的总和时，该公司将盈利。

如果售价等于成本和固定成本的总和，该公司将实现收支平衡。

而如果售价低于成本和固定成本的总和，该公司将亏损。

通过这个例子，我们可以看到不等式在实际问题中的应用。

通过建立恰当的不等式关系，我们可以对经济利益进行分析和预测。

二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在许多问题中都有重要的应用，尤其是涉及到绝对值的问题。

下面将以一个实际问题为例，展示绝对值不等式的应用。

例2：假设小明家离学校有一段距离为D公里，他每天骑自行车上学，速度为V千米/小时。

他希望能够在t小时内到达学校，求t的取值范围。

解：首先，我们可以列出该问题的绝对值不等式表示形式：|D| ≤ V × t其中，|D|表示距离的绝对值，V表示速度，t表示时间。

绝对值不等式|D| ≤ V × t表示距离的绝对值必须小于等于速度乘以时间的乘积，才能够按时到达学校。

通过观察绝对值不等式，我们可以得出以下结论：当距离小于等于速度乘以时间的乘积时，小明可以按时到达学校；当距离大于速度乘以时间的乘积时，小明无法按时到达学校。

高中数学中的不等式与绝对值在高中数学中，不等式和绝对值是重要的概念和工具。

它们在解决实际问题、证明数学定理以及推导其他数学结论时起到了至关重要的作用。

本文将介绍不等式和绝对值的定义、性质，以及它们在数学中的应用。

一、不等式的定义和性质不等式是指含有大小关系的数学表达式，通常用不等号（<、>、≤、≥）表示。

【举例】通过以下例子来了解不等式的定义和性质：1. x + 2 > 5：表示x加上2的和大于5。

2. 3x - 4 ≤ 10：表示3x减去4的差小于或等于10。

不等式可通过一系列的代数运算进行求解。

在运算过程中，需要遵守不等式的运算规则：1.相同的不等式符号（<、>、≤、≥）可同时加减一个相同的数，不等式不会改变。

2.相同的不等式符号可同时乘或除一个正数，不等式不会改变。

但如果是乘或除一个负数，不等式符号会颠倒。

3.两个不等式可相加或相减，不等式的符号不变。

但需要注意运算过程中的符号规定，以确保不等式成立。

二、绝对值的定义和性质绝对值是指一个数到原点的距离，通常用 "|" 符号表示。

绝对值始终是非负的。

【举例】通过以下例子来了解绝对值的定义和性质：1. |3| = 3：绝对值3等于3。

2. |-5| = 5：绝对值-5等于5。

对于任意实数x和y，绝对值具有以下性质：1.非负性质：|x| ≥ 0，绝对值始终是非负的。

2.零绝对值性质：|x| = 0 当且仅当 x = 0。

3.同号绝对值等式：|xy| = |x|·|y| 当且仅当 x、y同号。

4.异号绝对值等式：|xy| = -|x|·|y| 当且仅当 x、y异号。

5.三角不等式：|x+y| ≤ |x| + |y|，任意两个数之和的绝对值小于等于它们绝对值之和。

三、不等式与绝对值的应用1.求解不等式：不等式与绝对值经常被用来求解数学问题。

例如，求解一个含有不等式的方程，确定一个变量的取值范围等。

不等式与绝对值不等式的变形不等式在数学中起到了重要的作用，它是比较大小关系的一种数学表示形式。

在解决实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行变形的情况，以便更好地进行分析和求解。

而绝对值不等式是一类特殊的不等式，其中包含绝对值运算，对于这类不等式的变形也需要一定的技巧和方法。

本文将对不等式与绝对值不等式的变形进行详细介绍。

一、不等式的基本变形方法不等式的基本变形方法包括合并同类项、移项与交换，以下将对其进行详细介绍。

1. 合并同类项在解决不等式问题时，常常需要将具有相同变量的项进行合并以简化计算过程。

例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 2，我们可以将2x和5x合并为7x，于是不等式可以变形为7x + 3 > -2。

2. 移项在不等式中，我们可以将含有变量的项从一侧移动到另一侧，从而改变不等式的形式。

例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以将3移到不等号的另一侧，于是不等式变为2x > 5 - 3，即2x > 2。

3. 交换在不等式问题中，我们可以通过交换不等式两侧的表达式来改变不等式的形式。

例如，对于不等式3x < 7，我们可以将式子两侧的3x和7交换位置，得到7 > 3x。

以上是不等式的基本变形方法，在解决问题时可以根据实际情况选择合适的变形方法进行变形。

下面将介绍绝对值不等式的变形方法。

二、绝对值不等式的变形方法绝对值不等式是含有绝对值运算的不等式，为了求解这类不等式，我们需要将绝对值不等式进行适当的变形。

下面将分别介绍绝对值不等式的两种基本变形方法。

1. 分类讨论法对于含有绝对值的不等式，我们可以根据绝对值内部的表达式的符号进行分类讨论。

例如，对于不等式|3x - 7| < 5，我们可以将3x - 7分别大于0和小于0的情况进行讨论。

当3x - 7 > 0时，不等式可以变形为3x - 7 < 5，解得x < 4。

不等式与绝对值不等式是数学中常见的一种数值关系表示方式，它将两个数进行比较，指出它们的大小关系。

绝对值则是数的非负值，表示数与零的距离。

本文将探讨不等式与绝对值之间的关系，以及它们在数学问题中的应用。

一、不等式的基本概念不等式是数学中一种常见的关系表达方式，用于比较两个数的大小关系。

假设有两个实数a和b，若满足以下条件之一，则称a与b之间存在不等关系：1. a>b：表示a大于b，也可以理解为a在b的右边。

2. a<b：表示a小于b，也可以理解为a在b的左边。

3. a≥b：表示a大于或等于b，也可以理解为a在b的右边或与b重合。

4. a≤b：表示a小于或等于b，也可以理解为a在b的左边或与b重合。

二、绝对值的定义与性质绝对值是表示一个实数与零之间的距离。

假设有一个实数a，则它的绝对值记作|a|，定义如下：1. 若a≥0，则|a|=a。

2. 若a<0，则|a|=-a。

绝对值具有以下重要性质：1. |a|≥0，绝对值非负。

2. 若a≥0，则|a|=a；若a<0，则|a|=-a。

3. |-a|=|a|，绝对值对称性。

4. |ab|=|a|·|b|，绝对值的乘积等于绝对值的乘积。

5. |a+b|≤|a|+|b|，绝对值的和不大于各个绝对值之和。

三、不等式中的绝对值在解不等式问题时，常常涉及到绝对值的运算。

当不等式中存在绝对值时，我们需要根据绝对值的性质进行分类讨论。

1. 不等式形式为：|a|<b。

当b≥0时，此不等式等价于-a<b且a<b，即-a<b。

当b<0时，此不等式恒不成立。

2. 不等式形式为：|a|>b。

当b>0时，此不等式等价于a>b或a<-b，即a>b或a<-b。

当b≤0时，此不等式等价于a>b或a<-b，即a>b或a<-b。

3. 不等式形式为：|a|≤b。

当b>0时，此不等式等价于-a≤b且a≤b，即-a≤b。

1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。