2014年高考文科数学复习基本初等函数练习

第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(n a )n＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a .(3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r ·a s ＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．②(a r)s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．③(ab )r ＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． (4)换底公式log a b ＝log m blog m a(a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)． [小题速通] 1．化简(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a. 2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43.3.(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选B (log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝(log 23－2)2－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简－x 3x 的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x解析：选A 依题意知x <0，故－x 3x＝－－x 3x 2＝－－x . 2．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则 xy 的值为________． 解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0， 故x ＝y 不符合题意，舍去． 所以x ＝4y ，即xy ＝4. 答案：4二次函数[过双基]1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象定义域 RR值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减[小题速通]1．若二次函数y ＝－2x 2－4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎡⎦⎤－20，92 D.⎝⎛⎭⎫－20，92 解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝41．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13，3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝⎛⎭⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝⎛⎭⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1)a ＞10＜a ＜11．函数f(x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)． 2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x ≥0，即2x ≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ，故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y ＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x ，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数， f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )mi n ＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )mi n ＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数的图象与性质当0<x <1时，y ∈(－∞，0)；当x >1时，y ∈(0，＋∞) 当0<x <1时，y ∈(0，＋∞)； 当x >1时，y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数1．若函数f (x )＝log a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x 的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 23(2x －1) 的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x －1)≥0，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________． 解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数， 所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2. 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数， 所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或 12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1， ＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B. 当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合． 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <b <a <c B ．d <a <b <c C ．b <c <d <aD ．b <d <c <a解析：选B 由对数函数的性质可知c ＝log 25>2，d ＝log 20.3<0， 由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,1<b ＝20.3<2， 所以d <a <b <c .5．(2018·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x 2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x α， 又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x ，x ≤1，ln (x －1)，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，e 1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln (x －1)≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，恒有4x<log a x (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝4x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，解得22≤a <1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值． 解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0， 解得x ＝4或x ＝－1. 14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x 2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数．证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－22 x 1＋1－1＋22 x 2＋1 ＝2(2 x 1－2 x 2)(2 x 1＋1)(2 x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2 x 1－2 x 2<0，(2 x 1＋1)(2 x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立， ∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立， 化简得2t 2－(m －2)t －m ＋1>0， ∴Δ＝(m －2)2＋8(m －1)<0， 解得－2－22<m <－2＋22，故m 的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·安徽江南七校联考)已知幂函数f (x )＝(＋2－2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析] (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数． ∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112. 即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[即时演练]1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C ∵0<a <b <1，∴0<a <b <1b <1a，又f (x )＝x 12为增函数，∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 2．若(a ＋1)-13<(3－2a ) -13，则实数a 的取值范围是________________．解析：不等式(a ＋1)-13<(3－2a ) -13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝14(x －3)2.2．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则f (4)＝16a ＋c ＝16，f (2)＝4a ＋c ＝4，解得a ＝1，c ＝0，故f (x )＝x 2.答案：f(x)＝x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有：(1)二次函数的图象与性质；(2)二次函数的最值问题.1．(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列结论正确的是()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选A f(x)的对称轴为x＝－1，因为1<a<3，则－2<1－a<0，若x1<x2≤－1，则x1＋x2<－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2<1－a<0；若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1<a<3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若－1≤x1<x2，则此时x1＋x2>－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)<f(x2)．2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析：选D二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x －1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a . ①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． ∴f (x )mi n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧， ∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )mi n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈(－∞，0)∪(0，1)，－1a ，a ∈[1，＋∞).4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，a <0，1，0≤a ≤1，a 2－2a ＋2，a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数，知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由幂函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，知a <c .综上得b <a <c .故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B. 3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m ＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )mi n ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )mi n ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )mi n ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确； 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－3x ＋2>0，f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3. 5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m ≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1. 7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24＋b ， ① 当0≤－a 2≤1时，f (x )mi n ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )mi n ]mi n ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )mi n 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点； 当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f (x )x， 令g (x )＝f (x )x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a <b <a 2且b ≠0时，b ＝g (x )存在唯一一个解，符合题意； 当a >0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1， 同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． 答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ －4ha ＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22， 则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立， 所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a .当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则ba ＝1－2⎝⎛⎭⎫k ＋122k ＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝⎛⎭⎫1k－k －2， 则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R . 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减， 故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎝⎛⎭⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1. 答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1)函数f (x )＝e ·x e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x ·x 2e －2x ＋1＝e x ·x 21＋e 2x＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x－1|的图象是( )解析：选B 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．角度一：比较大小或解不等式1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A 错误； B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，故B 正确；C 中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2，故C 错误；D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解． 角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52[方法技巧]形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y ＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y， 所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y≥23+11x y，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 故1x ＋1y 的最大值为1.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，01．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选D 法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，选D.法二：由2x (x －a )<1得a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )mi n .又y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (x )>f (0)＝－1， 所以a >－1，选D.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 解析：∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2}4．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32一、选择题。

文科第一轮复习 基本初等函数一、 分数指数幂与根式的转化 母外子内________= ________m na = ________m na-=2=__________1. 化简下列各式(1)=328 (2)31()4-= (3) 12100-= (4) 3416()81-=2．化简［32)5(-］43的结果是（ ） A ．5B ．5C ．－5D ．－5二、 指数运算性质(1)(,)(2)()(,)(3)()()m n m n m n mn n n na a a m n Q a a m n Q ab a b n Q +⋅=∈=∈=⋅∈1．计算：210319)41()2(4)21(----+-⋅- ＝____ ____.2.1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-=_______________ 1．计算：48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π．解：原式48373)2764(1.01)925(32221+-++=-1004837316910035=+-++=． 2115113366222.(2)(6)(3);a b a b a b -÷-2115113366222111150326236=(2)(6)(3)[2(6)(3)]44a b a b a b abab a++++-÷-=⨯-÷-==解：原式3．计算：48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π．解：原式48373)2764(1.01)925(32221+-++=-1004837316910035=+-++=．三、 指数函数的图像与性质1.若(21)xy a =+是指数函数，则a 的取值范围_____________ 2．函数y ＝ax －2＋1（a ＞0，a ≠1）的图象必经过点（ ）A ．（0，1）B ．（1，1）C ．（2，0）D ．（2，2）3.函数f （x ）＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是___________．4.解不等式（1）222x x<（2）21311()()22x x +-< （3）2213()3x x --> 5.（1）若6235a a <，则a 的范围_________;(2)若655a a <，则a 的范围_________ 6.求下列函数定义域1112-1xy =+（） 2y =（）7.函数y ＝a x在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y ＝3ax －1在 ［0，1］上的最大值是（ ） A ．6B ．1C ．3D ．23 8.平移变化与对称变化：设f （x ）＝x)21(，x ∈R ，那么f （x ）是（ ） A ．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B ．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C ．函数且在（0，＋∞）上是减函数 D ．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数10.()46210[1,2].x x g x =-⋅+求在上的值域四、 对数运算练习（一） 对数与指数关系：log (0,1)xa a N N x a a =⇔=>≠且1.计算下列各式的值25log 5= .1l o g 4.0= . 21log 8= . 5100lg = . ln e =__________2.求下列各式中x 的值（1）642log 3x =- （2）log 162x = （3）lg100x = （4）2ln e x -=（二） 运算性质：1log ()log log ;a a a M N M N ⋅=+（）2log （）aMNlog -log ;a a M N = 3l o g l o g n a a M n M =（）3.化简（1）22log 6log 3;- （2） 2.5 2.51log 3log 3+ （3）522log 253log 64;+（三）换底公式：log log ,0,1,0,1,0log m a m NN a a m m N a=>≠>≠>（且且）推论：log log 1a b b a ⋅=（1） 1log log ;n a a M M n=（2）324.lg 2,lg 3,.3(1)lg 6;(2)log 4(3)log 12;(4)lg .2a b ==已知求下列各式的值2355.(1)log 3log 5log ________⋅⋅=4（2）91log 81log 251log 532∙∙=__________ 5532log 10log 0.25________+=（） 484log 3log 3________+=（）100(5)lg20log 25_____+=492(6)l o g 3l o g 2g 32_______⋅-= 6.已知732log [log (log )]0x =，那么x = .(四)指对数公式log a NaN =5log 3(1)5______=0.2log 3(2)5______=0.21log 3(3)5______-=五、对数函数的图像与性质1．11log log aab b-之值为 ( ) A ．0B ．1C ．2log a bD ．2log a b -2．如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）A ．x =a +3b －cB ．cabx 53=C ．53cab x = D ．x =a +b 3－c 33、log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则x 等于（ ） A ． 1B ． 2C ．4D ．84、函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是（ ） A ．（1，＋∞） B ．（2，＋∞） C ．（－∞，2）D ．]21(， 5.函数)3(log )1(x y x -=-的定义域是________6、已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （21）＝0，则不等式f （l og 4x ）的解集是______． 7.解不等式1122(1)log (2x 1)log 2+> 22(2)log (2x 1)log 2+> （3）log2(x+3) > 28.求下列函数值域()21()log ,[1,2]f x x x =∈ ()122()l o g ,[1,2]fx x x=∈五、 幂函数，方程的根与函数的零点1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y 2．下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 3．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是 （ ）A ．41B ．1-C ．4D ．4-4．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（ ） A ．]6,(--∞ B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-5.下列函数有2个零点的是 （ ）A 、24510y x x =+-B 、310y x =+C 、235y x x =-+-D 、2441y x x =-+ 6.已知方程310x x --=仅有一个正零点，则此零点所在的区间是 ( )A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)[]()7.⇔⋅2下列说法不正确的是 ( )A.方程f(x)=0有实根函数y=f(x)有零点B.-x +3x+5=0有两个不同实根C.y=f(x)在a,b 上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在a,b 内有零点D.单调函数若有零点,则至多有一个8.用二分法计算23380x x +-=在(1,2)x ∈内的根的过程中得：(1)0f <，(1.5)0f >，(1.25)0f <，则方程的根落在区间 （ ）A 、(1,1.5)B 、(1.5,2)C 、(1,1.25)D 、(1.25,1.5) 9、方程12xx +=根的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、310．若关于x 的方程268x x a -+=恰有两个不等实根，则实数以的取值范围为________．。

21.（2014 福建文 8）若函数 y
log a x a 0, 且a 1 的图像如图所示，则下列函数图像正确的是（
）.
1 3
3 1 1 A.
1 1
1 -3 1 -1 B. C. D.
22.（2014 福建文 9）要制作一个容积为 4m 3 ，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米
x
B. a 1, 0 c 1 D. 0 a 1, 0 c 1
17. （2014 浙江文 7）已知函数 A. c„ 3 B. 3 c„ 6
f x x3 ax 2 bx c ，且 0 f 1 f 2 f 3 „ 3 ，则（
x
B.
f x x2
D.
f x tan x
f x cos x 1
）.
15.（2014 湖南文 9）若 0 x1 x2 1 ，则（ A. e
x2
e x1 ln x2 ln x1
x
B. e
x2
e x1 ln x2 ln x1
x
C. x2e 1
x1e x2
D. x2e 1
x1e x2
16. （2014 山东文 6）已知函数 y log a 成立的是（ ）.
x c (a, c为常数，其中a 0, a 1) 的图像如图所示，则下列结论
E
1
O
A. a 1, c 1 C. 0 a 1, c 1
C. 6 c„ 9 D. c 9
）.
18.（2014 浙江文 8）在同一直角坐标系中，函数
f x x a x 0 ， g x log a x 的图像可能是（

高考/模拟试题/江苏高考2016年江苏高考数学模拟试题：基本初等函数Ⅰ2016江苏高考数学复习强化练习题：基本初等函数Ⅰ1.(文)(2014·江西文，4)已知函数f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，则a=( )A. -1B.-2C.1D.2[答案] A[解析] f(-1)=2-(-1)=2，f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=.(理)(2015·新课标理，5)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=( )A.3B.6C.9D.12[答案] C[解析] 考查分段函数.由已知得f(-2)=1+log24=3，又log212>1，所以f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故选C.2.(2014·哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，则满足f(x)=27的x的值是( )A. B.C. D.[答案] B[解析] 设f(x)=xα，则-=(-2)α，α=-3，f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=.3.(文)已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(¬p1)p2和q4：p1(¬p2)中，真命题是( ) A.q1，q3 B.q2，q3C.q1，q4D.q2，q4[答案] C[解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数，y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(¬p1)p2为假命题，q4：p1(¬p2)是真命题.故真命题是q1、q4，故选C.[点拨] 1.由指数函数的性质首先判断命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假.2.考查指、对函数的单调性是这一部分高考命题的主要考查方式之一.常常是判断单调性;已知单调性讨论参数值或取值范围;依据单调性比较数的大小等.(理)已知实数a、b，则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由y=2x为增函数知，2a>2ba>b;由y=log2x在(0，+∞)上为增函数知，log2a>log2ba>b>0，a>b⇒/a>b>0，但a>b>0a>b，故选B.4.(文)(2015·湖南理，5)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)是( )A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数[答案] A[解析] 考查函数的性质.由得-10，a≠1，xR)叫指数函数函数y=logax(a>0，a≠1，x>0)叫对数函数值域 (0，+∞) (-∞，+∞) 图象性质 (1)y>0;(2)图象恒过点(0,1);(3)a>1，当x>0时，y>1;当x<0时，00时，01;(4)a>1，在R上y=ax为增函数;00;(2)图象恒过点(1,0);(3)a>1，当x>1时，y>0;当01时，y<0;当00;(4)a>1，在(0，+∞)上y=logax为增函数;0f(x)g′(x)，且f(x)=axg(x)(a>0，且a≠1)，+=.若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为( )A.6B.7C.8D.9[答案] A[思路分析] 通过审题可以发现，题目中多处涉及的形式，x=1时，即，x=-1时，即，x=n时，即，又=ax，故这是解题的切入点，构造函数F(x)=，则问题迎刃而解. [解析] 令F(x)=，则F(x)=ax，F′(x)=>0，F(x)单调递增，a>1.∵F(1)+F(-1)=+==a+，a=2，F(x)=2x，{F(n)}的前n项和Sn=21+22+…+2n==2n+1-2>62，2n+1>64，n+1>6，n>5，n的最小值为6.7.下列函数图象中不正确的是( )[答案] D[解析] 由指数函数、对数函数的图象与性质知A、B正确，又C是B中函数图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，故C正确.y=log2|x|=是偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误.8.(文)若存在正数x使2x(x-a)A.(-∞，+∞)B.(-2，+∞)C.(0，+∞)D.(-1，+∞)[答案] D[解析] 由题意得，a>x-()x (x>0)，令f(x)=x-()x，则f(x)在(0，+∞)上为增函数，f(x)>f(0)=-1，a>-1，故选D.(理)定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上是增函数，且f()=0，则不等式f(logx)>0的解集是( )A.(0，)B.(2，+∞)C.(0，)(2，+∞)D.(，1)(2，+∞)[答案] C[解析] 解法1：偶函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，f(x)在(-∞，0)上为减函数，又f()=0，f(-)=0，由f(logx)>0得，logx>或logx<-，02，故选C.解法2：f(x)为偶函数，f(logx)>0化为f(|logx|)>0，f(x)在[0，+∞)上为增函数，f()=0，|logx|>，|log8x|>，log8x>或log8x<-，x>2或01，则g(x)=x+lnx>1，00且a≠1)的图象恒过点(0，-2);命题q：函数f(x)=lg|x|(x≠0)有两个零点.则下列说法正确的是( )A.“p或q”是真命题B.“p且q”是真命题C.¬p为假命题D.¬q为真命题[答案] A[解析] f(0)=a0-2=-1，p为假命题;令lg|x|=0得，|x|=1，x=±1，故q为真命题，p∨q为真，pq为假，¬p 为真，¬q为假，故选A.(理)已知函数f(x)=(其中aR)，函数g(x)=f[f(x)]+1.下列关于函数g(x)的零点个数的判断，正确的是( )A.当a>0时，有4个零点;当aB.当a>0时，有4个零点;当aC.当a>0时，有2个零点;当a≤0时，有1个零点D.当a≠0时，有2个零点;当a=0时，有1个零点[答案] A[解析] 取a=1，令x+=-1得x=-，令log2x=-1得，x=.令x+=-得x=-2，令log2x=-得x=2-，令log2x=得x=，令x+=得x=0，由此可排除C、D;令a=0，得f(x)=由log2x=-1得x=，由f(x)=知，对任意x≤0，有f(x)=，故a=0时，g(x)有无数个零点.11.(文)(2014·中原名校第二次联考)函数y=f(x+)为定义在R上的偶函数，且当x≥时，f(x)=()x+sinx，则下列选项正确的是( )A.f(3)f(π-1)>f(3)，f(2)>f(1)>f(3)，故选A.(理)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )A.x0∈R，f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞，x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点，则f ′(x0)=0[答案] C[解析] 由题意得，f′(x)=3x2+2ax+b，该函数图象开口向上，若x0为极小值点，如图，f′(x)的图象应为：故f(x)在区间(-∞，x0)不单调递减，C错，故选C.12.如图，过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C，若AC恰好平行于y轴，则点A的坐标为( )A.(log94,4)B.(log92,2)C.(log34,4)D.(log32,2)[答案] D[解析] 本题考查指数函数的图象与性质，难度中等.设A(x1,3x1)，B(x2,3x2)，则C(x1,3x2)在函数y=9x的图象上，所以3x2=9x1，所以x2=2x1 .又O，A，B共线，所以= ，联立解得x1=log32，故点A的坐标为(log32,2)，故选D.[易错分析] 本题易犯两个错误：一是不能将直线与指数函数图象相交于A，B两点转化为OA，OB的斜率相等;二是不能应用指数的运算法则求解.一般地，解指数方程时，将方程两边化为同底，或者利用指数式化为对数式的方法求解.二、填空题13.(文)已知函数f(x)=在区间[-1，m]上的值是1，则m的取值范围是________.[答案] (-1,1][解析] f(x)=2-x-1=()x-1在[-1,0]上为减函数，在[-1,0]上f(x)的值为f(-1)=1，又f(x)=x在[0，m]上为增函数，在[0，m]上f(x)的值为，f(x)在区间[-1，m]上的值为1，或-11，则m的取值范围是________.[答案] (-∞，0)(2，+∞)[解析] 当m>0时，由f(m)>1得，log3(m+1)>1，m+1>3，m>2;当m≤0时，由f(m)>1得，3-m>1.-m>0，m<0.综上知m2.16.(文)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围是________.[答案] (0,1)[解析] 函数f(x)的图象如图所示：当0a-7对一切正整数n都成立，则正整数a的值为________.[分析] 要求正整数a的值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式++…+的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解.[解析] 令f(n)=++…+(nN*)，对任意的nN*，f(n+1)-f(n)=++-=>0，所以f(n)在N*上是增函数.又f(1)=，对一切正整数n，f(n)>a-7都成立的充要条件是>a-7，所以a<，故所求正整数a的值是8.[点拨] 本题是构造函数法解题的很好的例证.如果对数列求和，那就会误入歧途.本题构造函数f(n)，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题.利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通.2016年江苏高考数学模拟试题：基本初等函数Ⅰ.doc [全文共3400字] 编号：6803549。