高考数学一轮复习专题讲座2三角函数解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关理北

专题11解三角形的技巧与解题规律(2)一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题 7．三角形的综合 二．【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式 三．【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等．以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用．要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理．一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理四．【题型方法】 （一）四边形中的三角形例1. 如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，．已知AD =BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD 中，由正弦定理，得．因为，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，因为，所以．在BCD ∆中，由余弦定理，得．因为所以，即，解得1BC =或2BC =． 又CD BC >，则1BC =．练习1. 在平面四边形ABCD 中，内角B 与D 互补.，..（Ⅰ）求AC ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积。

【答案】 （Ⅱ）【解析】（Ⅰ），即即1cos 2B =，60B ︒= 故（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，60B ︒=，，sin 2D =四边形ABCD 的面积=（二）三角形与数列的综合例2.已知a ，b ，c 分别是V ABC 内角A ，B ，C 的对边.角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列.（Ⅰ）求sin sin A C 的值；（Ⅱ）若a =V ABC 的周长.【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）V ABC 的周长为 【解析】（Ⅰ）角A ，B ，C 成等差数列，即60B =︒成等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即2ac b = 由余弦定理可得：化简得2()0a c -=，即a c ==因此V ABC 的周长为 练习1．已知V ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若V ABC 的外接圆面积为π，求V ABC 周长的最大值．【答案】（1）7c =；（2）2.【解析】（1）,,a b c 依次成等差数列，且公差为22b c ∴=-，4a c =-，由余弦定理得：整理得：，解得：7c =或2c =又，则4c >7c ∴=（2）设B θ=，外接圆的半径为R ，则2R ππ=，解得：1R = 由正弦定理可得：可得：2sin b θ=，，c =ABC ∆∴的周长又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴当32ππθ+=，即：6πθ=时，()fθ取得最大值2（三）角的范围问题陷阱例3. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得。

高考必考题突破讲座(一)导数及其应用[解密考纲]导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．1．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)设函数F (x )＝f (x )－g (x )，若函数F (x )的零点有且只有一个，求实数a 的值． 解析 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴当0<x <1e 时，f ′(x )<0；当x >1e时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． ①当0<t <1e 时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t ＋2上单调递增， ∴f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；②当t ≥1e 时，函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上单调递增，∴f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝t ln t .综上，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t <1e，t ln t ，t ≥1e.(2)F (x )＝f (x )－g (x )＝x ln x ＋x 2－ax ＋2，由题意F (x )＝0，即a ＝ln x ＋x ＋2x在(0，＋∞)上有且只有一个根，令h (x )＝ln x ＋x ＋2x，则h ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝x 2＋x －2x 2＝(x ＋2)(x －1)x2(x >0)， ∴h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴h (x )min ＝h (1)＝3，由题意可知，若使y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有一个公共点，则a ＝h (x )min ＝3. 综上，若函数F (x )的零点有且只有一个，则实数a ＝3. 2．已知函数f (x )＝x ·e ax＋ln x －e ，(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设g (x )＝ln x ＋1x－e ，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在定义域内存在两个零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x e x ＋ln x －e ，f ′(x )＝(x ＋1)e x＋1x，∴f (1)＝0，f ′(1)＝2e ＋1．∴f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝(2e ＋1)(x －1)．(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝x e ax－1x ＝x 2e ax－1x在定义域(0，＋∞)上存在两个零点，即x 2eax－1＝0在(0，＋∞)上有两个实数根．令φ(x )＝x 2e ax－1，则φ′(x )＝ax 2e ax＋2x e ax ＝x e ax(ax ＋2)，①当a ≥0时，φ′(x )＝x e ax(ax ＋2)>0，∴y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，∴y ＝φ(x )在(0，＋∞)至多一个零点，不合题意．②当a <0时，令φ′(x )＝0，得x ＝－2a.∵φ(0)＝－1，当x →＋∞，φ(x )→－1，∴要使φ(x )＝x 2e ax－1在(0，＋∞)上有两个零点， 则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a >0即可，得a 2<4e 2，又a <0，∴－2e <a <0.3．(2018·安徽合肥高三调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝22处取得极小值－ 2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若过点M (1，m )的直线与曲线y ＝f (x )相切且这样的切线有三条，求实数m 的取值范围．解析 (1)由题意得，f ′(x )＝2ax 2＋b . ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝－4，32a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，则函数f (x )的解析式为f (x )＝2x 3－3x .(2)设切点坐标为(x 0,2x 30－3x 0)，则曲线y ＝f (x )的切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 切线方程为y －(2x 30－3x 0)＝(6x 20－3)(x －x 0)， 代入点M (1，m )，得m ＝－4x 30＋6x 20－3，依题意，方程m ＝－4x 30＋6x 20－3有三个不同的实根． 令g (x )＝－4x 3＋6x 2－3，则g ′(x )＝－12x 2＋12x ＝－12x (x －1)， ∴当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0； 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.故g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )极小值＝g (0)＝－3，g (x )极大值＝g (1)＝－1．∴当－3<m <－1时，g (x )＝－4x 3＋6x 2－3的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， ∴当－3<m <－1时，存在这样的三条切线． 故实数m 的取值范围是(－3，－1)． 4．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2(a ∈R )． (1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若xf ′(x )－f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)由题知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x.当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜－12a；由f ′(x )＜0得 x ＞－12a， 则当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a ，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞. (2)∵xf ′(x )－f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立， ∴x 2ax 2＋1x－(1n x ＋ax 2)＞0在(0，＋∞)上恒成立，即a ＞ln x －1x2在(0，＋∞)上恒成立. 设h (x )＝ln x －1x 2＝ln x －1x 2(x ＞0) ，则h ′(x )＝3－2ln x x3， 由h ′(x )＞0得0＜x ＜e 32；由h ′(x )＜0得x ＜e 32，故函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e 32上单调递增，在(e 32，＋∞)上单调递减， ∴h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 32＝12e 3，∴a ＞12e 3 ，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 3，＋∞.5．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b 为实数)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1．(1)求实数a ，b 的值及函数f (x )的单调区间； (2)设函数g (x )＝f (x )＋1x，证明：g (x 1)＝g (x 2)(x 1<x 2)时，x 1＋x 2>2. 解析 (1)由题得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1＋ln x )，因为曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a ＝1，f (1)＝a ln 1＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝0.令f ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝1e.当0<x <1e 时，f ′(x )<0，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减； 当x >1e 时，f ′(x )>0，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)由(1)得，g (x )＝f (x )＋1x ＝ln x ＋1x. 由g (x 1)＝g (x 2)(x 1<x 2)，得ln x 1＋1x 1＝ln x 2＋1x 2， 即x 2－x 1x 1x 2＝ln x 2x 1>0. 要证x 1＋x 2>2，需证(x 1＋x 2)x 2－x 1x 1x 2>2ln x 2x 1， 即证x 2x 1－x 1x 2>2ln x 2x 1，设x 2x 1＝t (t >1)，则要证x 2x 1－x 1x 2>2ln x 2x 1， 等价于证：t －1t>2ln t (t >1)．令u (t )＝t －1t －2ln t ，则u ′(t )＝1＋1t2－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2>0，∴u (t )在区间(1，＋∞)上单调递增，u (t )>u (1)＝0， 即t －1t>2ln t ，故x 1＋x 2>2.6．已知函数f (x )＝12x 2－x ＋a ln x (a >0)．(1)若a ＝1，求f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－3－2ln 24解析 (1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x，f ′(1)＝1，f (1)＝－12，∴y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝x －1，即y ＝x －32.∴f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －2y －3＝0.(2)f ′(x )＝x －1＋a x ＝x 2－x ＋ax(a >0)．①若a ≥14，则x 2－x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若0<a <14，由x 2－x ＋a >0得0<x <1－1－4a 2或x >1＋1－4a 2；由x 2－x ＋a <0得1－1－4a 2<x <1＋1－4a 2. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．综上，当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．(3)由(2)知0<a <14时，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2是方程x 2－x ＋a ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝a . ∴f (x 1)＋f (x 2)＝12x 21－x 1＋a ln x 1＋12x 22－x 2＋a ln x 2＝12(x 1＋x 2)2－x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋a ln(x 1·x 2) ＝12－a －1＋a ln a ＝a ln a －a －12.令g (x )＝x ln x －x －12⎝⎛⎭⎪⎫0<x <14，则g ′(x )＝ln x <0.∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，∴g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－3－2ln 24.∴f (x 1)＋f (x 2)>－3－2ln 24.。

高考数学一轮总复习三角函数与向量解题思路详解【文章正文开始】在高考数学一轮总复习中，三角函数与向量是重要的考点之一。

掌握解题思路对于学生来说至关重要。

本文将详细介绍三角函数与向量的解题思路，帮助学生更好地应对高考数学考试。

一、三角函数解题思路1. 理解基本概念在解题之前，首先需要对三角函数的基本概念有足够的理解。

这包括正弦、余弦、正切等常见的三角函数及其定义、性质等。

只有理解了基本概念，才能更好地应用于解题过程中。

2. 运用特殊角的性质在解题过程中，经常会遇到特殊角的问题。

对于特殊角，我们可以根据其性质进行换算和简化。

例如，利用30°、45°、60°等特殊角的三角函数值可以快速解题，简化计算过程。

3. 利用三角函数的周期性三角函数具有周期性，即在一定区间内函数值呈现循环变化。

在解题过程中，可以利用三角函数的周期性进行变形和化简。

例如，将题目中给定的角度范围转换为同余角范围，或者利用周期性简化计算。

4. 运用三角函数的变角公式和和差公式三角函数的变角公式和和差公式在解题中起到了关键作用。

变角公式可以将一个角的三角函数值转换为另一个角的三角函数值，从而简化计算。

和差公式可以将两个角的三角函数值表示为一个角的三角函数值，从而使得问题的解法更加灵活多样。

5. 结合无理方程求解三角函数在解无理方程时具有重要的应用。

通过将无理方程转化为三角函数方程，再利用三角函数的性质和方程的特点进行求解，可以有效地解决一些复杂的问题。

学生在解题过程中应该灵活应用这一思路。

二、向量解题思路1. 理解向量的基本概念在解向量题目之前，首先需要对向量的基本概念和运算法则有清晰的理解。

这包括向量的定义、向量的加法、减法、数量乘法等基本运算。

只有掌握了基本概念和运算法则，才能进行后续的解题过程。

2. 运用向量的共线、共面和垂直的性质在解题过程中，常常会涉及到向量的共线、共面和垂直的性质。

学生可以根据向量的这些性质进行方程的构建和求解，从而得到问题的解答。