高级中学实验班选拔考试数学试卷

普通高中理科实验班招生考试数学卷数 学 试 题（满分150分，答题时间120分）一、选择题（本题共5小题，每小题10分，满分50．每小 题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一 个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）1．若mx 11-=是方程022=+-m mx 的根，则m x -的值为 ………【 】 A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22．内角的度数为整数的正n 边形的个数是 ………………………………【 】 A ．24 B ．22 C ．20 D ．183．某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的 酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者 合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第 一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当 于它们原价的 ………………………………………………………………【 】 A ．90% B ．85% C ．80% D ．75%4．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 【 】 A ．x B ．12+-x x C ．112++-x x D ．212++-xx 5．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1236-+=x x y 的图象上整点的个数 是 ……………………………………………………………………………【 】A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个二、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）6．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99＋100＝ ．7．已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12+-x x 的值为．8．若方程组⎩⎨⎧+=--=+433235k y x k y x 的解为⎩⎨⎧==,,b y a x 且||k ＜3，则b a -的取值范围是．9．已知函数22)2(2a x a x y +++=的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是 ．10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°，AD ＝DC ＝10，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是 （不必写自变量的取值范围）．三、（本题共4小题，满分60分）11．（本题满分15分）我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的D CBAFE三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依次类推……（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由．（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．12．（本题满分15分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？13．（本题满分15分）⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，动点P 在⊙O 2上，且在⊙O 1外，直线PA 、PB 分别 交⊙O 1于点C 、D ．问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生 变化，请你确定CD 最长或最短时点P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．CB A··PDO O 2114．（本题满分15分）如图，函数221+-=x y 的图象交y轴于M ，交x 轴于N ，点P 是直线MN 上任意一 点，PQ⊥x 轴，Q 是垂足，设点Q 的坐标为（t ，0），△POQ 的面积为S （当点P 与M 、N 重合时，其面积记为0）．（1）试求S 与t 之间的函数关系式；（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S ＝a （a ＞0）的点P 的个数．普通高中理科实验班招生考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题10分，共50分）1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题8分，共40分）6．1684 7．7 8．－1＜b a -＜5 9．a ＞－1且a ≠010．35534+-=x y三、解答题（每小题15分，共60分）11．（本题满分15分）解 （1）如图1，最多有10个交点； ……………………（4分）图1 图2（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如图2． ……（10分）⌒ ⌒ （3）如图3所示． …………………（15分）图312．（本题满分15分）解：设甲库原来存粮a 袋，乙库原来存粮b 袋，依题意可得 90)90(2+=-b a ． （1）再设乙库调c 袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即)(6c b c a -=+． （2） ………………（5分） 由（1）式得2702-=a b ． （3） 将（3）代入（2），并整理得1620711=-c a ． ………………（10分）由于7)1(42327162011++-=-=a a a c ． 又a 、c 是正整数，从而有7162011-a ≥1，即a ≥148；并且7整除)1(4+a ，又因为4与7互质，所以7整除1+a ． 经检验，可知a 的最小值为152．答：甲库原来最少存粮153袋． …………………（15分） 13．当点P 运动时，CD 的长保持不变． …………………（4分）证法一：A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点，弦AB 与点P 的位置无关．……（6分） 连结AD ，∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ，所以∠ADP 为定值． ……………（10分） ∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ，所以∠P 为定值． ……………（12分） 因为∠CAD ＝∠ADP ＋∠P ， 所以∠CAD 为定值．在⊙O 1中∠CAD 所对弦是CD ，∴CD 的长与点P 的位置无关．………（15分） 证法二：在⊙O 2上任取一点Q ，使点Q 在⊙O 1外，设直线QA 、QB 分别交⊙O 1 于C ＇、D ＇，连结C ＇D ＇．∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴ ∠3＝∠4． …………………（10分）∴ CC ＇＝DD ＇ ∴C ＇mD ＇＝CmD∴ CD ＝CD ． …………………（15分）14．（本题满分15分）解法1（1）① 当t ＜0时，OQ ＝t -，PQ ＝221+-t ． ∴ S ＝t t t t -=+--⋅241)221)((21； ② 当0＜t ＜4时，OQ ＝t ，PQ ＝221+-t ．∴ S ＝t t t t +-=+-⋅241)221(21；③ 当t ＞4时，OQ ＝t ，PQ ＝221)221(-=+--t t ．∴ S ＝t t t t -=-⋅241)221(21．④ 当t ＝0或4时，S ＝0．于是，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=)40(41)40(,4122t t t k t t t S 或 …………………………………………6分（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+--=+-><--=-=)40(1)2(4141)40(,1)2(41412222t t t t k t t t t S 或下图中的实线部分就是所画的函数图象． ……………………………………12分CBA··PDO O 21′′C D Q1234maS =观察图象可知：当0＜a ＜1时，符合条件的点P 有四个； 当a ＝1时，符合条件的点P 有三个；当a ＞1时，符合条件的点P 只有两个． ………………………………………15分 解法2：（1）∵ OQ ＝||t ，PQ ＝|221||221|-=+-t t ， ∴ S ＝|4|41|221|||212t t t t -=-⋅． ……………………………………4分 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=-=)40(41)40(,41|4|41222t t t k t t t t x S 或 ………………………6分以下同解法1．。

20XX 年湛江市第二中学高中实验班招生考试数学试题（答案）一、填空题（每小题4分，共40分）1、已知直线231--=x y ，则此直线关于y 轴对称的直线为231-=x y ．2、已知一圆锥的母线长为5 cm ，表面积为24πcm 2，则圆锥的高为4㎝．3、已知直角三角形两锐角的角平分线相交所成的钝角为α，则α92tan 的值为33． 4、如图(1)，梯形ABCD 的对角线交于O ，过O 作两底的平行线分别交两腰于M 、N ．若AB=24，CD=8，则MN 的长为12．5、如图(2)，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 上一点，要使⊿ABP 相似于⊿CPE ，还需具备的一个条件是 ∠APB=∠EPC 或∠BAP=∠PEC 或PC=31BC （BP=2PC ）．6、如图(3)，它是由火柴棒组成的三角形图形案，如果在这个三角形图案中，用了2005根火柴，那么它共有三角形2002个．图（3）图（1） A B C D O M N P A B C D E 图（2）7、已知xy ≠1，且3x 2-2005x +4=0，4y 2-2005y +3=0，则y x =34．8、今有浓度分别为3﹪、8﹪、11﹪的甲、乙，丙三种盐水50千克、70千克、60千克，现要用甲、乙，丙三种盐水配制浓度为7﹪的盐水100千克，则丙种盐水最多可用50千克．9、当n =1，2，3，…，2005时，所有二次函数y=n (n +1)x 2-(2n +1)x +1的图象在x 轴上所截线段的长度之和为20052004． 10、如图（4），已知ABCD 是一个半径为R 的圆内接四边形，AB=12，CD=6，分别延长AB 和DC ，它们相交于P 。

且BP=8，∠APD=60°，则R 等于212．二、解答题（每小题10分，共60分） 11、（1）m 为何实数时，函数y=(m -8)x 2-2(m -4)x +m +2的图象与x 轴有两个交点？（2）k 为何值时，函数y=x 2-3x +1的图象与直线y =kx 不相交？解：（1）由题意得：⎩⎨⎧≠->+----=∆080)2)(8(4)]4(2[2m m m m ………(2分) 解得：m<16且m ≠8 ………………………………………(4分) ∴当 m <16且m ≠8时，函数y=(m -8)x 2-2(m -4)x +m +2的图象与x 轴有两个交点 ………………………………………(5分)（2）由⎩⎨⎧=+-=kxy x x y 132 得x 2-(3+k)x +1=0 …………………(7分)当⊿=[-(3+k)] 2-4×1<0时 即k 2+6k +5<0 ∴-5<k <-1……(9分) ∴当-5<k <-1时，函数y=x 2-3x +1的图象与直线y =kx 不相交…(10分)AB C DP 图（4）12、如图（5），已知∠ACE=∠CDE=90°，点B 在CE 上，CA=CB=CD ，过A 、C 、D 三点的圆交AB 于点F ，求证：F 为△CDE 的内心． 方法一：证明：连结AD 、DF 、CF∵∠ACE= =90°， CA=CB∴∠1=∠2=45°∴∠3=∠1=45°……(2分) ∵∠CDE=90°∴∠3=∠4=45°∴DF 平分∠CDE ……(4分)∵圆内接四边形ACFD ∴∠CAD+∠CFD=180°∵CA= CD ∴∠CAD=∠5 ∵∠5=∠6 ∴∠5+∠CFD=180° ∵∠5+∠CFB=180°∴∠CFD=∠CFB ……(6分) 又∵∠3=∠2=45°∴△CDF ≌△CBF （AAS ） ……(8分) ∴∠7=∠8 ∴CF 平分∠DCE ……(9分) ∴F 为△CDE 的内心 ……(10分) 方法二：连结DF 、BD 、CF ∵∠ACE= =90°， CA=CB ∴∠1=∠2=45°∴∠3=∠1=45°……(2分)∵∠CDE=90°∴∠3=∠FDE=45°∴DF 平分∠CDE ……(4分) ∵CB=CD ∴∠CBD=∠CDB ∵∠3=∠2=45°∴∠CBD-∠3=∠CDB-∠2 ∴∠5=∠6 ∴DF=BF ……(6分) 又∵∠3=∠2，CB=CD ∴△CDF ≌△CBF （SAS ）……(8分) ∴∠7=∠8 ∴CF 平分∠DCE ……(9分) ∴F 为△CDE 的内心 ……(10分)图（5）13、某超市“五一”其间搞促销活动，对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小军两次去该超市购物，分别付款198元与570元，现在小明决定一次去购买小军分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？解：第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款。

长郡中学2021～2021学年新高三实验班选拔考试制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

理科数学试卷本套试卷分第I卷和第二卷两局部，时量120分钟，满分是150分第一卷〔60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，毎小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1. 假设复数〔其中，为虚数单位〕的虚部为1，那么A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】,的虚部为，，应选C.2. 集合，集合，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】,,应选B.3. 长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男老师和2名女老师中，任选2人参加说课比赛，那么选取的2人恰为一男一女的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的人恰为一男一女的概率为，应选B.4. 等差数列的前项和为，假设，那么A. 23B. 96C. 224D. 276【答案】D【解析】是等差数列，可设首项为，公差为，由，可得，，应选D.5. 为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，那么双曲线的离心率为A. B.C. 2D.【答案】C【解析】设右焦点关于渐近线：的对称点为，那么在上交于，由点到直线间隔公式可得，为直角三角形，三边分别为，由对称性知，，，应选C.6. 以下函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. B.C. D.【答案】C【解析】对于.函数是奇函数，在为整数〕上递增，那么不满足；对于.函数为奇函数，由于，那么在上递增，那么满足；对于.函数为偶函数，那么不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，那么不满足，应选C.7. 执行如下图的程序框图，假设输入，那么输出的结果为A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】执行程序框图，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；完毕循环，输出，应选B.【方法点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3) 注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4) 处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.8. 假设二项式展开式的各项系数之和为，那么含项的系数为A. 560B.C. 280D.【答案】A【解析】因为二项式展开式的各项系数之和为，所以，的通项为，令项的系数为，应选A.9. 某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线局部为半圆，那么该几何体的体积是A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为和的直角三角形，高为，半圆柱的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，应选C.10. 椭圆，假设直线经过，与椭圆交于两点，且，那么直线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线斜率为，，，由与联立可得，，那么，解得，应选B.11. 三棱锥的每个顶点都在球的外表上，底面，且二面角的正切值为4，那么球的外表积为A. B. C. D.【答案】D【解析】设中点为，可得，那么是“二面角〞的平面角，由于“二面角〞的正切值为，，由余弦定理知，，由正弦定理知，外接圆直径，设外接球半径为，那么，球的外表积为，应选D.【方法点睛】此题主要考察三棱锥外接球外表积的求法，属于难题.要求外接球的外表积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①假设三条棱两垂直那么用〔为三棱的长〕；②假设面〔〕，那么〔为外接圆半径〕；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12. 函数在区间上有两个零点，那么实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在区间上有两个零点，等价于与的图象有两个交点，设与的图象相切，切点为，那么，解得，因为关于的方程，与有两个交点，，应选A.【方法点睛】判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接断定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .此题的解答就利用了方法③.第二卷〔90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13. 假设实数满足，那么的最小值为__________．【答案】【解析】画出表示的可行域如图，由图知，直线平移经过点时，有最小值为，故答案为.【方法点晴】此题主要考察线性规划中利用可行域求目的函数的最值，属简单题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.14. 设，，且，那么__________．【答案】【解析】由，可得，故答案为.15. ，，那么__________．【答案】【解析】，，故答案为.16. 在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，那么的最大值为__________．【答案】【解析】数列首项，所以数列是公比为的等比数列，，，，所以，设，令,当且时取等号，，即的最大值为，故答案为.三、解答题〔本大题一一共7小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17. 在锐角中，分别为角的对边，且．〔Ⅰ〕求的大小；〔Ⅱ〕假设，求面积的取值范围．【答案】(1) ；〔2〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得，从而可得结果；〔Ⅱ〕在中，由正弦定理得，又，∴，∴，又∵，从而可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕∵，∴①，又∵，∴②，又③，将①，②，③代入得：，整理得，即，又∵，∴，即．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，∴，∵为锐角三角形，∴且，解得，在中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，又∵，∴．18. 如图，在直三棱柱中，，为线段的中点．〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕假设直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析；〔2〕或者.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的断定定理可得平面，进而由面面垂直的断定定理可得结论；〔Ⅱ〕以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，又平面∴，∵，是的中点，∴，又平面平面，∴平面，又平面，∴．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知平面，故以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系〔如下图〕，设，那么，∴，· 设平面的一个法向量，那么，即，那么，令可得，，故，设直线与平面所成角为，那么，解得或者，即或者．19. 某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购置的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量〔小时〕都在30以上．其中缺乏50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改进黄瓜每个蔬菜大棚增加量〔百斤〕与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料〔千克〕之间对应数据为如下图的折线图：〔Ⅰ〕根据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计假如每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，那么这种改进黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？〔Ⅱ〕因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了局部光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量〔单位：小时〕光照控制仪最多可运行台数 3 2 1假设某台光照控制仪运行，那么该台光照控制仪周利润为5000元；假设某台光照控制仪未运行，那么该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值到达最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：．【答案】(1) ；〔2〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕算出样本中心点的坐标，利用公式求得，由可得，即可得回归方程，再将时代入即可得结果；〔Ⅱ〕分别求出安装2台光照控制仪的周利润的均值、安装3台光照控制仪的均值，与安装1台光照控制仪可获得周利润进展比拟即可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕，，，，所以关于的线性回归方程为，当时，百斤＝550斤，所以估计假如每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，那么这种改进黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．〔Ⅱ〕记商家总利润为元，由条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为4200 10000所以元，③安装3台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪运行，此时元，当时，三台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为3400 9200 15000所以元，综上，为使商家周总利润的均值到达最大应该安装2台光照控制仪．【方法点晴】此题主要考察线性回归方程及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；(2) 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 是抛物线上一点，到直线的间隔为，到的准线的间隔为，且的最小值为．〔Ⅰ〕求抛物线的方程；〔Ⅱ〕直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，假设，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．【答案】(1) ；〔2〕证明见解析.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕的最小值等价于点到直线的间隔，∴，解得，从而可得结果；〔Ⅱ〕设，由可得，由中点坐标公式以及斜率公式可得的斜率，直线的方程可化为，从而可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，那么，其最小值为点到直线的间隔，∴，解得〔舍去负值〕，∴抛物线的方程为．〔Ⅱ〕设，由可得，那么，所以∴的中点的坐标为，同理可得点的坐标为，那么直线的斜率，那么，那么直线的方程可化为，即，令可得，∴直线恒过定点．【方法点睛】此题主要考察待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探究曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进展消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的HY 方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21. 函数〔，为自然对数的底数〕在点处的切线经过点．〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕假设，不等式恒成立，务实数的取值范围．【答案】(1) 当时，函数在上单调递减；当时，函数在上递减，函数在上单调递增；〔2〕.【解析】试题分析: 〔Ⅰ〕求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间，得减区间；〔Ⅱ〕原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕因为，所以过点的直线的斜率为，而，由导数的几何意义可知，，所以，所以．那么，当时，，函数在上单调递减；当时，由得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．〔Ⅱ〕不等式恒成立，即不等式恒成立，设，假设，那么，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．22. 设，，，，是5个正实数〔可以相等〕．证明：一定存在4个互不一样的下标，，，，使得．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可设，那么，，，，都属于区间，由抽屉原理知，区间或者中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不一样．、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．试题解析：不妨设，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间．把区间分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或者中一定有一个区间至少包含①中的3个数〔记这3个数依次为，，〕．将①中的5个数依次围成一个圆圈，那么①中任意三个数中都有两个数是相邻的〔与是相邻的〕，即，，中至少有两个数是相邻的．假设与相邻，那么．另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不一样．于是，、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，在极坐标系中，直线的方程为：，直线的方程为．〔Ⅰ〕写出曲线的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；〔Ⅱ〕设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．【答案】(1) 以为圆心，为半径的圆；〔2〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用平方法可消去参数，从而可得曲线的直角坐标方程，进而得它是何种曲线；〔Ⅱ〕设，，曲线的方程化成极坐标方程，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，，从而可得结果...................试题解析：〔Ⅰ〕由〔为参数〕消去参数得：，∴曲线是以为圆心，为半径的圆．〔Ⅱ〕设，，∵三点一共线，那么①，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，代入①得：，用代得：又∵，∴，∴，∵，∴制卷人：打自企；成别使；而都那。

XXX2022届高一实验班选拔考试试卷(含答案)XXX2022级高一数学编班试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为90分钟。

注意事项：1.回答第Ⅰ卷前，考生需在答题卡姓名栏内写上自己的姓名、考试科目、考场座号（由“考场”+“座号”合成，共四位数字，依次填在准考证号栏内左侧四格），并用2B铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出正确答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答在试题卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡和第Ⅱ卷一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：每题的四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共40分。

1.2022年北京奥运会圣火在全球传递的里程约为km，用科学记数法表示为（A）1.37×10^5km。

2.下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（C）圆柱。

3.下列方程中，没有实数根的是（D）x^2+x+1=0.4.不等式组{2≤x<3，x-2≤4(x+1)}的解集是（B）-2≤x<3.5.等腰三角形腰长为3，底边长为2，则底角的余弦值为（B）2/3.6.凸四边形ABCD的边长均大于4，分别以A、B、C、D 为圆心，2为半径的圆弧与两邻边相交得到四个扇形（如图所示）。

命题中：（1）四个扇形的面积和是定值；（2）阴影部分之外四个扇形的周长之和是定值。

真命题的个数为（C）2个。

7.若点P(x,y)横坐标与纵坐标均为整数，则点称为整点。

在以(10,0)、(0,10)、(-10,0)、(0,-10)为顶点的正方形中（包括边界），一共有整点的个数为（B）221.8.已知P是抛物线y=x^2+bx+1上共圆的四点，它们的横坐标分别为xi(i=1,2,3,4)，又xi(i=1,2,3,4)是方程(x^2-4x+m)(x^2-4x+n)=0的根，则二次函数y=x^2+bx+1的最小值为（A）2.二、填空题：每小题5分，共30分．9．(-1,4)。

高一实验班选拔考试试卷（数学）(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )(A) 直线y = –x上(B) 抛物线y =上(C) 直线y = x上(D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 203．若－1＜＜0，则一定是( )第4题(A) 最小，最大(B) 最小，最大(C) 最小，a最大(D) 最小，最大4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（）(A) AE⊥AF （B）EF：AF =：1(C) AF2 = FH〃FE （D）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）(A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）（A）30 （B）35 （C）56 （D）448二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．若4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则tanA = ___ ___ .(第9题)8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形. 9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是.(第11题)10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。

数学试题一、选择题：1．计算(x2y)3，结果正确的是( )A．x5y B．x6y，C．x2y3D．x6y32、自然是4、5、5、x、y从小到大排列后，其中位数．．．为4，如果这组数据唯一．．的众数是5，那么，所有满足条件的x、y中，x+y的最大值是（）（A）3（B）4（C）5（D）63、一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）（A）20分钟（B）22分钟（C）24分钟（D）26分钟4、甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条2ba元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）（A）a>b（B）a<b（C）a=b（D）与a和b的大小无关5．学生网站的内容囊括了学生学习及生活的各个方面。

某学生在上网查找资料时，输入网址“”中的“”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（）A．90 B．45 C．88 D．446、如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1－h2| 等于（）A、5B、6C、7D、87、如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（）（A ）AB 上 （B ）BC 上 （C ）CD 上 （D ）DA 上8、已知整数x ，y ，z 满足x ≤y ＜z ，且42x y y z z x x y y z z x ⎧+++++=⎪⎨-+-+-=⎪⎩,那么x 2＋y 2＋z 2的值等于（ ）A 、2B 、14C 、2或14D 、14或17二、填空题：9、如图，将一副三角板按如图方式叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比为 。

高一数学实验班理科实验班入学测试数 学 试 卷〔总分值150分，考试时间90分钟〕一、填空题〔本大题总分值80分，每题8分〕1、 设x 为满足x 2002+20022001＝x 2001+20022002 的整数，那么x ＝2、 设m ＝162005200320011999+⨯⨯⨯，那么m 的末两位数字为3、 关于x 、y 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=++ 211a y x x a x y x 恰有一组实数解，那么实数a 的值为 4、 设f(x)为一次函数，满足：f(0)= -1，f(f(0))= -2，那么f(2002)的值为5、 依法纳税是每个公民的义务，依我国税法规定：月收入超过800元的局部需要交税〔800元以内不交税〕，且根据超过局部的多少按不同的税率交税。

不超过500元局部税率为5％；超过500元至2000元局部税率为10％；…某职员在2002年3月的应交税款为105元，那么该职员在该月的税后收入为 元。

6、 设n 为正整数，且n 3+2n 2是一个奇数的平方，那么满足条件的n 中，最小的两个数之和为7、 如下图，一个半径为2的圆过一个半径为2的圆的圆心，那么图中阴影局部的面积为8、 如下图，四边形ABCD 是某个圆的圆外切四边形，∠A＝∠B ＝120°，∠D ＝90°,且BC ＝1，那么AD 的长为9、 设n 为不小于2的正整数，记n 的所有正约数〔包括1和n 〕的乘积为P(n),P(n)=n 12，那么n 的最小值为10、 从1，2，…，9中可以取出m 个数，使得这m 个数中任意两个数之和不相等，那么m 的最大值为二、解答题〔本大题总分值70分，共4个小题〕11、 〔此题14分〕关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-+=+14a x y x y x 恰有两组解，求实数a 的取值范围。

12、 〔此题16分〕在△ABC 中，∠A ＝120°，K 、L 分别是AB 、AC 上的点，向△ABC 的形外第8题图O A B Q PAK L作正三角形BKP 和CLQ 。

数学测试一考生注意：本试卷时量90分钟，满分100分一、填空题：（每小题5分，共50分）1112sin 452-⎛⎫--= ⎪⎝⎭。

2、已知实数,m n 满足2223418290,m n m n +--+=则m n +的平方根是 。

3、若12,x y +=的最小值等于 。

4、在ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH=AC ，则ABC ∠等于 度。

5、四条边长分别为1、2、3、4的梯形的面积是 。

6、已知实数,,0,3,||||||x y z x y z xyz x y z ++==++满足则的最小值为 。

7、平面上的n 条直线恰有2011个交点，则n 的最小值为 。

8、从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是 。

9、如图，在ABC 中，90,,ACB AC BC P ∠==是ABC 内一点，PA=3，PB=1，PC=2，则BPC 的面积是 。

第9题图 第10题图10、如图所示，直径为d 的一只圆盘没有任何滑动的沿一个直径为3d 的铁环的内侧滚动，当圆盘的圆心返回到起始位置时，圆盘已围绕自己的圆心转了 圈。

二、解答题：（共50分）11、（10分）已知,a b 为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实根为12,x x ，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实根为12,y y 且1221104x y x y -=，求b 的最小值。

12、（10分）已知反比例函数2k y x=的图像与一次函数21y x =-的图像在第一象限内交于点A ，其中一次函数的图像过点()(),1,a b a b k ++和。

（1）求反比例函数的解析式；（2）请问在x 轴上是否存在点B ，使A O B 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的B 点坐标；若不存在，请说明理由。

13、（12分）如图，⊙O 是ABC 的外接圆，点I 是他的内心，射线AI 、BI 各交对边于点D 、E ，射线AD 、BE 各交⊙O 于点M 、N ，求证：AM ID AN IB =。

长郡中学2021～2021学年新高三实验班选拔考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日文科数学试卷本套试卷分第I卷和第二卷两局部，时量120分钟，满分是150分。

第一卷〔60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，毎小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

〕1. 集合，假设，那么符合条件的集合的个数为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设为集合的子集，由题意可得：，结合自己个数公式可得：符合条件的集合的个数为个.此题选择C选项.2. 复数在复平面内对应的点在第三象限，那么在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A........................那么，结合题意可得：，即在复平面上对应的点在第一象限.此题选择A选项.3. 长郡中学将参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3，…，1200，从中抽取一个容量为50的样本进展学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，假如第一组中抽出的学生编号为20，那么第四组中抽取的学生编号为A. 68B. 92C. 82D. 170【答案】B【解析】按照系统抽样的方法结合题意可得：第四组中抽取的学生编号为.此题选择B选项.4. 在菱形中，，那么A. 5B. －5C.D.【答案】B【解析】设BD交AC于点E，且，由题意可得：.此题选择B选项.5. 椭圆与圆交于两点，假设四边形〔为原点〕是菱形，那么椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】圆的方程即：，结合对称性可得点A的横坐标，不妨设点A位于第一象限，那么，代入椭圆方程有：，整理可得：，那么：.此题选择B选项.6. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜测：对于每一个正整数，假如它是奇数，对它乘3再加1，假如它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．该猜测看上去很简单，但有的数学家认为“该猜测任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开拓全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么可以开拓一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关．如图是根据考拉兹猜测设计的一个程序框图，那么①处应填写上的条件及输出的结果分别为A. 是偶数？；6B. 是偶数？；8C. 是奇数？；5D. 是奇数？；7【答案】D【解析】阅读考拉兹提出的猜测，结合流程图可得①处应填写上的条件及输出的结果分别为：是奇数？；7.此题选择D选项.7. 数列是等差数列，假设，且，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，解得：，那么数列的通项公式：.此题选择A选项.8. 函数，将的图象向右平移个单位所得图象关于点对称，将的图象向左平移个单位所得图象关于轴对称，那么的值不可能．．．是A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意集合对称中心可得：，据此有：，结合对称轴有：，据此有：，据此可得：的值不可能是.此题选择B选项.9. 假设函数的图象上存在关于直线对称的点，那么实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】函数关于直线对称的曲线为，据此可得，在区间上，函数与函数存在交点，据此可得实数的取值范围是此题选择D选项.10. 双曲线与双曲线，假设以四个顶点为顶点的四边形的面积为，以四个焦点为顶点的四边形的面积为，那么取到最大值时，双曲线的一条渐近线方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，，据此有：，结合均值不等式的结论有：当且仅当，即时，获得最大值，此时双曲线的一条渐近线方程为 .此题选择B选项.11. 如图，在四棱锥中，，点是线段的中点，点在线段上，且，与交于点，那么线段的长度为A. B.C. D.【答案】C【解析】如下图，将原图形补行为一个棱长为4的正方体，由空间几何体的几何关系可得：线段CH的长度为：.此题选择C选项.12. 函数在上有两个不同的零点，给出以下结论：①；②；③．其中错误结论的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，结合函数的定义域可得存在实数，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，据此可得：，极值点偏移可得，错误结论的个数是0个.此题选择A选项.第二卷〔90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。

图3高中实验班提前招生数学模拟试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分） 1. 下列运算正确的是 （ ）（A ）22532b a ab ab =+ （B ）632a a a =⋅（C ）)0( 122≠=-a aa （D ）y x y x +=+ 2. 如图1，点A 在数轴上表示的实数为a ，则︱a －2︱等于 （ ）（A ）a －2 （B ）a+2 （C ）－a －2 （D ）－a+23. 如图2，A 、B 、C 、D 是直线l 上顺次四点，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且MN=6cm ，BC=1cm ，则AD 的长等于 （ ）（A ）10cm （B ）11cm （C ）12cm （D ）13cm4. 已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（ ）（A ）20°、20°、140° （B ）40°、40°、100°或50°、50°、80° （C ）70°、70°、40° （D ）40°、40°、100°或70°、70°、40°5. 若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 的个数有 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 6. 已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为 （ ）（A ）0 （B ）3 （C ）33 （D ）9 7. 抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图3所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是（ ） （A ）（12，0） （B ）（1， 0）（C ）（2， 0） （D ）（－3， 0）8. 小黄同学上楼，边走边数台阶，从一楼走到四楼，共走了60级台阶．如果每层楼之间的台阶数相同，他从一楼到八楼所要走的台阶数一共是 （ ）（A ）105 （B ）114 （C ）120 （D ）1409. 抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）41≤a ≤1 （B ）21≤a ≤2 （C ）21≤a ≤1 （D ）41≤a ≤2 10. 给出一列数11，21，12，31，22，13，...，k 1，12-k ，23-k ， (1)，…，在这列数中，第50个值等于1 的项的序号．．是 （ ） （A ）4900 （B ）4901 （C ）5000 （D ）5001． A–1 0 1 2 3． ． ． ．． 图1A MBC ND l ． ． ． ．． ． 图2二．填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分） 11. 分解因式：=+-xy y x 2733 ．12. 把2012个边长为1的正方形排成如图4所示的图形，则这个图形的周长是 ．13. 如图5，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．14. 如图6，E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD =15cm 2，S △BQC =25cm 2，则阴影部分的面积为____________cm 2． 15. 若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式 {}[]4 2=-x x 成立的整数．．x ． 三．解答题（共75分）16.（12分）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x17.（12分）已知x 、y 均为实数，且满足17=++y x xy ，6622=+xy y x 。