同济大学大一高等数学期末试题精确答案

高等数学上（1）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

精品文档高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题 3分，共计24分)1、 z = log a (x 2 y 2)(a 0)的定义域为 D= ____________________2 22、 二重积分 In(x y )dxdy 的符号为 _____________ 。

|x| |y| 16、 微分方程dy y tan#的通解为 ________________________dx x x7、 方程y ⑷ 4y 0的通解为 ___________________ 。

&级数的和为 ___________________ 。

n in(n 1)二、选择题(每小题 2分，共计16分)1、二元函数z f (x, y)在(x 0, y 0)处可微的充分条件是()(A ) f (x, y)在(x °, y °)处连续;f x (x, y )， f y (x, y)在(X 0,y °)的某邻域内存在;(C ) f x (x 0,y 。

)x f y (x 0,y 。

)y 当.(x)2 y)2时，是无穷小;(D ) lim xf x (x °,y °) x f y (x °,y °) y 2 2 x) ( y) 2、设U x yf (一)y y xf(),其中 xf 具有二阶连续导数，则ux 2 y xU 2 y等于(A ) x y ；(B ) x ;(C) y ;(D)0 o3、设2 :x 2 y z 2 1,z0,则二重积分 I zdV 等于()(A ) 4和2d13 . r sincos dr ; (B )"d.1 2 .d r sin0 0dr ;2 2y3、由曲线y ln x 及直线xye 1 , y 1所围图形的面积用二重积分表示为为。

4、设曲线 L 的参数方程表示为x (t) ( x ),则弧长元素dsy(t)5、设曲面刀为 2 9x y 9介于 z0及z 3间的部分的外侧，贝U (x 2 y 2 1)ds，其值(B )精品文档2 (C) d0 13o r sin cos dr；(D)2 1 •d d r sin cos dr。

高数期末考试题及答案同济一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在区间[-1, 1]上的最大值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D2. 曲线\( y = x^3 \)在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 4答案：C3. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \)为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在区间(0, +∞)上的连续性是：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 有界答案：A5. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：D6. 微分方程\( y'' - y' - 6y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - r - 6 = 0 \)B. \( r^2 + r - 6 = 0 \)C. \( r^2 - r + 6 = 0 \)D. \( r^2 + r + 6 = 0 \)答案：A7. 若\( \lim_{x \to \infty} f(x) = L \)，则\( \lim_{x \to \infty} f(2x) \)为：A. \( \frac{L}{2} \)B. \( 2L \)C. \( L \)D. 不存在答案：C8. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的原函数是：A. \( x \)B. \( x^2 \)C. \( e^x \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D9. 函数\( f(x) = e^x \)的泰勒展开式是：A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \)B. \( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \ldots \)C. \( 1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \ldots \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \)答案：A10. 若\( \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 \)，则\( f(x) \)在区间[a, b]上：A. 恒为0B. 有界C. 单调递增D. 至少有一个零点答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 若\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，则\( f'(x) = \)______。

高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分)1、=的定义域为D= .2、二重积分的符号为。

3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为，其值为.4、设曲线L的参数方程表示为则弧长元素。

5、设曲面∑为介于及间的部分的外侧，则 .6、微分方程的通解为 .7、方程的通解为。

8、级数的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分)1、二元函数在处可微的充分条件是（）（A）在处连续；（B），在的某邻域内存在；(C）当时,是无穷小;（D)。

2、设其中具有二阶连续导数，则等于（）（A）; （B）；(C）; （D)0 。

3、设：则三重积分等于（）（A)4；（B）；（C）;（D）。

4、球面与柱面所围成的立体体积V=（）（A）；（B);(C)；（D）。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则（A）; （B）；（C）；（D）。

6、下列说法中错误的是（）（A）方程是三阶微分方程；（B）方程是一阶微分方程;（C）方程是全微分方程；（D）方程是伯努利方程。

7、已知曲线经过原点,且在原点处的切线与直线平行，而满足微分方程，则曲线的方程为（）（A）；（B)；(C)；(D)。

8、设, 则( ）（A）收敛; （B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设均为连续可微函数.，求.2、(8分）设，求。

四、求解下列问题（共计15分)。

1、计算。

（7分）2、计算,其中是由所围成的空间闭区域（8分)五、(13分）计算，其中L是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的封闭曲线的逆时针方向.六、(9分）设对任意满足方程，且存在,求。

七、（8分）求级数的收敛区间.高等数学同济版（下册）期末考试试卷（二）1、设，则。

2、。

3、设，交换积分次序后，。

4、设为可微函数，且则。

5、设L为取正向的圆周,则曲线积分。

6、设，则。

7、通解为的微分方程是。

初等数学（下册）考试试卷（一）之五兆芳芳创作一、填空题（每小题3分，合计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=.2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为.3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分暗示为，其值为.4、设曲线L 的参数方程暗示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds .5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ . 6、微分方程xyx y dxdytan +=的通解为. 7、方程04)4(=-y y 的通解为. 8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为.二、选择题（每小题2分，合计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x .2、设),()(xy xf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 .3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰20213cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d .4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ） （A ）⎰⎰-2cos 202244πθθa dr r a d ； （B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ；（C ）⎰⎰-20cos 202248πθθa dr r a r d ； （D ）⎰⎰--22cos 20224ππθθa dr r a r d .5、设有界闭区域D 由分段滑腻曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+L Qdy Pdx )(（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy xQ yP )(； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy xP y Q )(；（C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy yQ x P )(； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy yP x Q )(.6、下列说法中错误的是（ ）（A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dxdyx dxdy y sin =+是一阶微分方程；（C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ）方程xy x dxdy 221=+是伯努利方程.7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ） （A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin .8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu （ ）（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛. 三、求解下列问题（合计15分） 1、（7分）设g f ,均为连续可微函数.)(),,(xy x g v xy x f u +==，求yu x u ∂∂∂∂,.2、（8分）设⎰+-=tx t x dz z f t x u )(),(，求tu x u ∂∂∂∂,.四、求解下列问题（合计15分）. 1、计较=I ⎰⎰-2022x ydy e dx .（7分）2、计较⎰⎰⎰Ω+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）五、（13分）计较⎰++-=Ly x ydxxdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段滑腻不经过原点)0,0(O 的封锁曲线的逆时针标的目的. 六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f .七、（8分）求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间.初等数学（下册）考试试卷（二）1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=∂∂+∂∂yz xz .2、=+-→→xyxyy x 93lim.3、设⎰⎰=202),(xxdy y x f dx I ，互换积分次序后，=I .4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim2230t y x t d y x f t σπ.5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1(.6、设→→→+++++=kxy z j xz y i yz xA )()()(222，则=A div .7、通解为x x e c e c y 221-+=的微分方程是. 8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a .二、选择题（每小题2分，合计16分）. 1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在. 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及 +∂∂22x u 022=∂∂yu ，则（ ）（A ）最大值点和最小值点肯定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点肯定都在D 的鸿沟上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的鸿沟上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的鸿沟上.3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(，⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有（ ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不克不及比较.4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32=（ ） （A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641. 5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ)(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ， 则曲线积分⎰=Lds y x f ),(（ ）(A) ⎰βαψϕdt t t f ))(),((； (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ；(C) ⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22； (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((.6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ， 则曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz =（ ）(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4.7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ） (A)0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ；(C))()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D)0)()(=+'+''x q y x p y .8、设级数∑∞=1n n a 为一交织级数，则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散； (C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛.三、求解下列问题（合计15分）1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）的标的目的的标的目的导数.2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值. 四、求解下列问题（合计15分） 1、（7分）计较⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x所围成的立体域.2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF .五、求解下列问题（15分）1、（8分）求⎰-+-=L x x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到O （0，0）的弧.2、（7分）计较⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧.六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分⎰'++-'Lx dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ.初等数学（下册）考试试卷（三）一、填空题（每小题3分，合计24分） 1、设⎰=yzxz tdt e u 2， 则=∂∂zu. 2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=l 的标的目的导数)0,0(lf ∂∂=.3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I=.4、设),(y x f 为连续函数，则=I⎰⎰=+→Dt d y x f t σπ),(1lim 2，其中222:t y x D ≤+.5、⎰=+L ds y x )(22，其中222:a y x L =+.6、设Ω是一空间有界区域，其鸿沟曲面Ω∂是由有限块分片滑腻的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：， 该关系式称为公式.7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y .8、若级数∑∞=--11)1(n pn n 发散，则p .二、选择题（每小题2分，合计16分）1、设),(b a f x '存在，则xb x a f b a x f x ),(),(lim 0--+→=（ ）（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21),(b a f x '.2、设2y x z =，结论正确的是（ ）（A ）022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （B ）022=∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ；（C ）022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （D ）022≠∂∂∂-∂∂∂xy zy x z .3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Dd y x f σ),(（ ）（A ）0；（B ）2⎰⎰1),(D d y x f σ；（C ）4⎰⎰1),(D d y x f σ； (D)2⎰⎰2),(D d y x f σ.4、设Ω：2222R z y x ≤++，则⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22=（ ）（A ）538R π； （B ）534R π； （C ）5158R π； （D ）51516R π. 5、设在xoy 面内有一散布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x 坐标x 为（ ） （Ａ）x =⎰Lds y x x M),(1ρ； （B ）x =⎰Ldx y x x M),(1ρ；（C ）x =⎰L ds y x x ),(ρ； （D ）x =⎰Lxds M1, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量.６、设∑为柱面122=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分⎰⎰∑++ydxdz x xzdydz zdxdy y 22＝（ ）（A ）0； （B ）4π-； （C ）245π； （D ）4π.７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x Ae ，若x e x f =)(； （C ）E Dx Cx Bx Ax ++++234，若x x x f 2)(2-=； （D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=. ８、设⎩⎨⎧≤<<≤--=ππx x x f 01,1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ）（A ）])1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）πn 1； （D ）πn 4. 三、（１２分）设t t x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏导数，求dxdy.四、（８分）在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短.五、（８分）求圆柱面y y x 222=+被锥面22y x z +=战争面0=z 割下部分的面积Ａ.六、（１２分）计较⎰⎰∑=xyzdxdy I ，其中∑为球面 1222=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧.七、（10分）设x x d x df 2sin 1)(cos )(cos +=，求)(x f .八、（10分）将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数.初等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ； 2、负号； 3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dye eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；5、180π；6、Cx xy =sin ；7、xxe C eC x C x C y 2423212sin 2cos-+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f xu '+'=∂∂；)(xy x g x yu+'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f tu-++=∂∂；四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标；五、令2222,yx x Q y x y P +=+-=则xQ y x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ；于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQ y P ∂∂∂∂,在D 内连续.所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针标的目的，并假定*D 为+L 及-l 所围成区域，则 六、由所给条件易得： 又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0即)0()(1)(2f x f x f '=+'c x f x f +⋅'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'=又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π))0(tan()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3].初等数学（下册）考试试卷（二）参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(yy y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、)0(32f '；5、π8-；6、)(2z y x ++；7、02=-'+''y y y ；8、0；二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ；三、1、函数)ln(22z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且)1,0,1(221zy x x u A ++=∂∂2/1=；01)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy y zy x yu A ；而),1,2,2(-==AB l 所以)31,32,32(-=l,故在A 点沿AB l =标的目的导数为：=∂∂Alu Axu ∂∂αcos ⋅+Ayu ∂∂βcos ⋅+Azu ∂∂γcos ⋅2、由⎪⎩⎪⎨⎧=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f yx 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ，又0)0,(,0),0(==x f y f而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(23≤≤-=x x x y x f令0)122(23='-x x 得4,021==x x于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f四、1、Ω的联立不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010: 所以⎰⎰⎰---++++=1010103)1(xy x z y x dzdy dx I2、在柱面坐标系中 所以五、1、连接→OA ，由Green 公式得：2、作帮助曲面⎩⎨⎧≤+=∑2221:ay x az ，上侧，则由Gauss 公式得：⎰⎰∑=I +⎰⎰∑1⎰⎰∑-1=⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11=⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤+≤+-++az z y x a y x dxdy adxdydz z y x 0,2222222)(2=⎰⎰⎰≤+-az y x a zdxdy dz 042222π六、由题意得：)()(2)(32x xe x x x ϕϕϕ''=+-' 即x xe x x x 2)(2)(3)(=+'-''ϕϕϕ特征方程0232=+-r r ，特征根2,121==r r对应齐次方程的通解为：x x e c e c y 221+=又因为2=λ是特征根.故其特解可设为：x e B Ax x y 2*)(+= 代入方程并整理得：1,21-==B A即x e x x y 2*)2(21-=故所求函数为：x x x e x x e c e c x 2221)2(21)(-++=ϕ初等数学（下册）考试试卷（三）参考答案一、1、2222z x z y xeye -； 2、5； 3、⎰⎰⎰------1111102222),,(x x y x dz z y x f dy dx ；4、325);0,0(a f π、； 6、⎰⎰⎰⎰⎰+Ω∂Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Q x P )(， Gauss公式； 7、C Bx Ax ++2 8、0≤P .二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B三、由于dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=，0='+'+'dt F dy F dx F t y x由上两式消去dt ，即得：y t t x t t x F f F F f F f dx dy ''+'''-'⋅'=四、设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为13326yx d --=；令)44()326(222-++--=y x y x L λ，于是由：得条件驻点：)53,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321----M M M M 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中1313133261min =--=M yx d 即为所求.五、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=yy x y x z 22222在yoz 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤=0)0(22x z y yz于是所割下部分在yoz⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y z y D yz 2020:， 六、将∑分为上半部分2211:y x z --=∑和下半部分2221:y x z ---=∑，21,∑∑在面xoy 上的投影域都为：,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy于是： ⎰⎰⎰⎰∑--=1221dxdy y x xyzdxdy xyD1511cos sin 2122=⋅-⋅=⎰⎰ρρρθθρθπd d 极坐标； ⎰⎰⎰⎰∑=----=2151))(1(22dxdy y x xy xyzdxdy xyD ， ⎰⎰⎰⎰∑∑+=∴21I =152 七、因为x x d x df 2sin 1)(cos )(cos ==，即x x f 2sin 1)(cos +='所以22)(x x f -='c x x x f +-=∴3312)(八、)1ln()1ln()]1)(1ln[()(22x x x x x f +++=++=)1()1ln(11-∈-=+∑∞=-uununn n又]1,1(,。

同济大学大一高等数学期末试题精确答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。

课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy yC yydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）1 、 log a ( x2 y 2 ) (a 0) 的定义域为 D= 。

z =2、二重积分ln( x 2y 2 ) dxdy 的符号为 。

|x| |y| 13、由曲线 y ln x 及直线 x y e 1， y 1 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4 、设曲线 L 的参数方程表示为 x (t ) x),则弧长元素 ds。

y ((t )5 、 设 曲 面 ∑ 为 x 2y 29 介 于 z 0 及 z3间的部分的外侧，则（x 2 y 2 1)ds。

6、微分方程dyytan y的通解为 。

dxxx7、方程 y (4 ) 4 y 0 的通解为 。

8、级数1的和为。

n 1 n(n 1)二、选择题（每小题2 分，共计 16 分）1、二元函数 z f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（）（A ） f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处连续；（ B ） f x ( x, y) ， f y ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 的某邻域内存在；（ C ） z f x ( x 0 , y 0 ) xf y ( x 0 , y 0 ) y 当 () 2 ( y ) 2 0 时，是无穷小；x（ D ） limz f x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y0 。

x ( x)2( y)2y 02、设 u yf ( x ) xf ( y), 其中 f 具有二阶连续导数，则 x2uy2u 等于（）yxx 2 y 2（ A ） x y ； （ B ） x ；(C) y ；(D)0 。

3、设 ： x 2 y 2 z 2 1, z 0, 则三重积分 IzdV 等于（）（A ）4221 3；（ ）21 2；ddr sin cos drddr sin dr0 0 0 B（ C ） 22 d13sin cos dr ；（D ）2d d13 sin cos dr 。