《有理数与无理数》课件
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有理数与无理数ppt
正 整 数 :10
整数：
0
负 整 数 : 3
分数：正分数:
负分数:
2.5, 5%, 0.618, 16 7
5.6, 3,3.14,6 4
1 4
像这样，整数和分数我们统称为有理数
所以，像刚才上面的数我们给它们一个名字， 它们都是有理数
正 整 数 :10
整
数
0
有
理 数
分
数
负
正
负
整 分 分
3.非负有理数不包括0；
4.0是最小的数
5.一个数如果不是正数，必定就是负数。
A.1 B.2 C.3 D.4
练习3：.把下列各数填入相应的集合内：
-7.33，-3，0，+16，1，
3 7
10.01，+108，-392 ，-0.618
分数集合 -7.33，3 ，10.01，-3 2 ，-0.618 …｝
《数学》( 苏科版.七年级 上册 )
你能把下面的数分分类吗？
-5.6，-3，2.5， 3 ，0，-3.14，
5%，1 6
， 6 1
4 ，10，0.618
7
4
下面大家一起来试试：
第一步：
整数：-3，0，10
第分二数步：：-0.5.661，8，-127 6.5，，
3 64 1
4
，-3.14，5%， ，
3 4
,
3 .1 4 ,
6
1 4
大家可以看到零既不是正数也不是负数，但它是整数！
练习1.下列说法正确的是（ B）
A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数和负分数 C.正数和负数统称为有理数
D.3.14不是有理数
2.2有理数与无理数
a=1.41421356…，
（2）请大家用上面的方法估计面积为5的正方形 的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的 平方恰好等于5？
b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也 是一个无限不循环小数.
除上面的a，b外，圆周率π=3.14159265…也 是一个无限不循环小数，
0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次 加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理 数.
正数集合：｛
…｝；
负数集合： ｛
…｝；有理数集合：｛…｝；无理数集合：｛
…}.
3．以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A．面积为25的正方形 B．面积为16的正方形 C．面积为3的正方形 D．面积为1.44的正方形
正数集合： {
…}；
负数集合： {
…}；
有理数集合：{
…}；
无理数集合：{
…}．
练习： 1．判断题： (1)无理数都是无限小数. (2)无限小数都是无理数.
（） （）
3
2．把下列各数填在相应的大括号内：5 ，0，
3
，3.14，－
2 3
，22
7
，4
9
，－0.55，
8，
1.121 221 222 1…(相邻两个１之间依次多一个２)， 0.2111， 999
自主探究：有理数包括整数和分数，那么有理 数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？ 下面我们就来共同研究这个问题. 1、议一议：有两个边长为1的小正方形，剪 一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形．
设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ a可能是整数吗？说说你的理由．
a可能是分数吗？说说你的理由
11
有理数与无理数
40
2.2.4实数集是不可数的
定理6
实数集是不可数的。 证明：1）构造法 2）区间套法 定理7 存在着无理的实数。
41
2.2.5代数数
a0 xn a1xn1 a2 xn2 ... an1x an 0
代数基本定理 n次方程（1）在复数域中有n 个根。 定义 一个实数或复数叫做代数数，如果它 是某一个整系数方程的根。 定义 任何不是代数数的实数叫做超越数。 定理8 代数数的集合是可数的。 定理9 存在超越数。
38
几个对等集的例子：
A
A B
B
A
B
39
2.2.3有理数集是可数的
定义
凡与集N对等的集A都叫做可数集, 或称集 A是可数的。 定理1 正有理数的集合是可数的。 定理2 一个有限集和一个可数集如无公共 元素，那么它们的和集是可数的。 定理3 两两不相交的有限个可数集的和集 是可数的。 系1 全体整数的集合是可数的。 系2 全体有理数的集合是可数的。 定理4 两两不相交的可数个有限集的和集 是可数的。 定理5 两两不相交的可数个可数集的和集
17
2.1.5有理数域 数学造型:从0和1出发，通过有理运算可以 造出全部有理数。 有理数域兊服了自然数系的缺陷，相对来说 是比较完美的：对四则运算是封闭的，而且 具有稠密性。 数域是抽象代数的一个基本概念,有理数域 只是数域的一种(最小的数域).
18
2.1.6第一次数学危机
一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的 「万物皆数」
书里的著名对话说明远在康托尔 的集合论创始之前，伽利略对 无限已经有了很好的理解。
36
2.2.1一段富有启发性的历史对话
《有理数与无理数》课件
有理数与无理数的联系
实数之间的关系
有理数和无理数共同构成了实数的集 合，即实数是有理数和无理数的统称 。
极限思想
在数学分析中，有理数可以通过极限 思想“逼近”无理数，即对于任意给 定的无理数，总存在一个有理数序列 ，该序列的极限等于该无理数。
有理数与无理数在实际中的应用
物理测量
在物理测量中，许多量如长度、 时间等都是以有理数的形式表示 的，但在某些精确计算中可能需
无理数的运算
加法运算
无理数的加法运算与有 理数的加法运算类似， 遵循交换律和结合律。
减法运算
无理数的减法可以通过 加法运算进行转化，例 如 a - b = a + (-b)。
乘法运算
无理数的乘法运算具有 封闭性，即两个无理数 的乘积仍然是无理数。
除法运算
无理数的除法运算可以 通过乘法运算进行转化
，例如 a / b = a * (1/b)，其中 b ≠ 0。
习题的解答和解析
选择题：正确的是（） 无理数都是无限小数（√）
有理数都是有限小数（×）
习题的解答和解析
无限小数都是无理数（×） 有限小数都是有理数（√） 填空题：答案见解析。
THANKS
感谢观看
05
CATALOGUE
习题与解答
有理数与无理数的相关习题
判断题
所有的无理数都是无限不循环小数。（）
选择题
下列说法正确的是（）
有理数与无理数的相关习题
无限小数都是无理数 有理数都是有限小数
有限小数都是有理数
有理数与无理数的相关习题
有理数
${3.14, - frac{22}{7}, 0, - sqrt[3]{8},frac{22}{7},pi}$
北师大版八年级数学上册课件 第2章 第1节 认识无理数(共32张PPT)
算一算
1
x
x2 ?
2
问：x是整数（或分数）吗？
剪一剪
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1 1
1 1
拼一拼
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 11:00:52 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）
(3)无理数都是无限小数; （ √ ）
(4)有理数是有限小数. （ ╳ ）
强调
无理数是无限不循环小数， 有理数是有限小数或无限循环小数.
c 例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形；
B.面积为 4 的正方形； 25
C.面积为8的正方形；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
《有理数概念》课件
制动气集成
yre 初步 the main icherust"病理掏出 巫IO簌的确簌
03
簌人之哗跺的确�巫尽了 frozen的确气鲜 st,
01
bbbb一问既往反向
02
R切实
巫的确 st,一度" ,/迩,"巫的确, states叨,I/斯特,叨淹 st, navbar/以致 组成部分
01
02
判断题答案解析
所有的负数都小于0，这是正确的。因为负数是小于0的数，而0本身也是有理数。
选择题答案解析
选项B. π 不是有理数，因为π是一个无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值。其他选项都是有理数。
填空题答案解析
在数轴上表示-3/2的位置，它位于表示-2的点的左侧。因为-3/2小于-2。
THANKS
定义
有理数只包括有限小数和无限循环小数，而实数包括有理数、无限不循环小数（无理数）。
范围
有理数可以用分数或小数表示，而实数可以用无限不循环小数表示。
表现形式
运算性质
有理数和实数的四则运算（加、减、乘、除）规则基本一致，但实数的运算更为复杂。
包含关系
有理数是实数的子集，所有有理数都是实数，但并非所有实数都是有理数。
03
02
01
有理数集合是所有可以表示为两个整数之比的数集合，包括整数和分数。
定义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有理数集合是有序的，可以按照大小进行排列。有理数集合具有稠密性，即任意两个不同的有理数之间都存在其他有理数。
特性
有理数在日常生活和科学研究中具有广泛应用，如测量、计算和建模等。
应用
02
有理数的性质
总结词
同号相加、异号相减
2.2有理数与无理数
那么a既不是整数又不是分数，那么它肯定不是有理数了，它 是什么数呢？
这个数a有多大呢？ a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？
• 请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究 竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69， 1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5 小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位 上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的 数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格 的形式反映出来。计算a.xls
3.把下列各数填在相应的大括号内
• 3/5，0，π/3 ，3.14，-2/3,22/7,4/9, • －0.55，8，1.121 221 222 1…(相邻两个１ 之间依次多一个２)，0.211 1，999
六、体验收获
能说出你这节课的收获和 体验让大家与你分享吗？
试一试
• 现在我们把小数进行分类
• 小数
有限小数
——
有理数
——
无限小数
无限循环小数
有理数 有理数？
无限不循环小数
——
第一次数学危机
• 公元前五世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物 皆是数”——任何数都可以表示为整数或整数的 比（即有理数）.他的学生希伯索斯发现一个反 例：当正方形边长为整数1时，对角线的长就无 法用有理数表示！从而引发第一次数学危机.希 伯索斯因为没有按毕达哥拉斯“保持沉默”的要 求，把这个问题公之于众，结果被投尸大海，葬 身鱼腹，造成历史上震惊数学界的无理数发现惨 案.
• 例3.、你还能写出一个无理数吗？
3π 0.2020020002…
§2.2有理数与无理数
1 6,9.3, , 42, 0, 0.33, 0.333…,. 1 41421356 6
第 2 页 共 3 页
lj 淮安市吴集镇初级中学 七年级数学 教案
教 学 环 节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要 （启发、精讲、活动等）
再次 优化
正数集合： ｛ …｝ 负数集合： ｛ …｝ 有理数集合： ｛ …｝ 无理数集合： ｛ …｝ 二、判断对错： 1、一个整数不是正数就是负数； 2、负数中没有最大的数； 3、有理数包括正有理数，0,和负有理数； 4、有限小数是有理数，有理数是有限小数； 5、无限小数是无理数，无理数是无限小数。 三、下面两个圈中分别表示正数集合和整数集合，请 在每个圈中填 6 个数，其中 3 个数既是正数又是 整数，这 3 个数应填在哪？你能说出着两个圈的 重叠部分表示什么数的集合吗？
教后分别填入相应的集合中
2 －12，＋6，3.8，－π ， 5
，2011，－
－4.2，3.1415，－3.101001000•••，4%
2 3
,
回忆：整数、分数、正数、 负数的概念，然后对照着去 找。
情 境 导 入
整数集合｛ 分数集合｛ 正数集合｛ 负数集合｛
…｝ …｝ …｝ …｝
第 1 页 共 3 页
注意理解这三句话: 1. 有 理数 总可 以用 有限小 数或无限循环小数表示。 2. 任 何有 限小 数或 无限循 环小数也都是有理数。 3. 无 限不 循环 小数 叫做无 理数。
正数集合
课堂作业： 作 业 布 置
整数集合
课后作业： 《同步练习》P5~6
《课本》P17 习题1
《课本》P17 练一练
初一数学有理数与无理数
有理数与无理数1.有理数我们把能够写成分数形式n m （m 、n 是整数，n ≠0）的数叫做有理数．2.无理数无限不循环小数叫无理数，例如π．3.有理数的分类()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数常见题型：区分有理数和无理数；有理数与无理数分类．易错点：1．正数和零统称为非负数；2．负数和零统称为非正数；3．正整数和零统称为非负整数；4．负整数和零统称为非正整数．中考回顾：基础知识，是运算的基础.例1在+2017，﹣3.2，0，227-，π，0.010010001…，﹣49这七个数中，有理数的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7例2按要求选择下列各数：3，π，0， 3.5-，13，0.03-，0.26+，1-，132，94-，1，7-，2.4．（1）属于整数的有________________________________________________（2）属于分数的有________________________________________________（3）属于非正数的有______________________________________________（4）属于非负数的有______________________________________________（5）属于非负整数的有____________________________________________（6）属于有理数的有______________________________________________参考答案1.【答案】B【考点】有理数的概念【解析】在+2017，﹣3.2，0，227-，π，0.010010001…，﹣49这七个数中，有理数有+2017，﹣3.2，0，227-，﹣49，有理数的个数为5；其中0.010010001…只是小数部分有规律并不是循环小数，是无限不循环小数，即无理数．2.【答案】（1）属于整数的有3、0、1-、1、7-（2）属于分数的有 3.5-、13、0.03-、0.26+、132、94-、2.4（3）属于非正数的有0、0.03-、1-、94-、7-（4）属于非负数的有3、π、0、13、0.26+、132、1、2.4（5）属于非负整数的有1-、7-（6）属于有理数的有3、0、 3.5-、13、0.03-、0.26+、1-、132、94-、1、7-、2.4【考点】有理数的分类【解析】主要是其中的非正数包括0和负数，非负数包括0和正数，非负整数包括0和正整数.。
2.2 有理数与无理数
有限小数和无限循环小数属于分数．
有理数还可以分为：
有理数 零 负有理数 负整数
正分数
正有理数Leabharlann 正整数
负分数
例1：把下列各数填入它所属的集合的圈内： 1 2 13 15, ,5, , ,0.1,5.32,80,123,2.333 9 15 8
15,123
正整数集合
1 6 ， ，-0.33，-3.141 592 6， „｝ 负有理数集合：｛ 6
„｝
下列判断中，正确的是（
）
A、正整数和负整数统称为整数 B、有理数只包括正有理数和负有理数 C、自然数和负数统称为有理数
D、整数和分数统称为有理数
下列判断中，不正确的是（
）
A、有限小数和无限循环小数都能化为分数 B、整数可以看成是分母为1的分数 C、有理数都可以化为分数
a
a
a
如果设它的边长为
a
a ，那么 a 2 2 ． a是有理数吗？
因为 12 1, 22 4 ，所以
a 是大于1而小于2的数．
3 3 3 9 因为 2 ，所以 a 不是 2 ． 2 2 4
4 4 16 2 ，所以 因为 3 3 9 5 5 25 因为 2 ，所以 3 3 9
2 ,0.1,2.333 … 15
…
5,80
负整数集合
…
…
1 13 , ,5.32 … 9 8
有理数集合
正分数集合
负分数集合
我能解决！
2、判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”。
正整数 整数 分数 正数 负数 有理数
2003
4 3
√
√
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7
3
正数集合
整数集合
练习4.
下列说法中正确的有（ A）个
①- 4 是负分数； ②1.57不是分数； ③非负有理数不包括0； ④0是最小的数
A.1 B.2 C.3 D.4
小结：
1.通常，有理数有哪两种分类原则？ 它们是怎样分类的？
π ＝ 3.141592653589793238462643383 2795028841971693993751058209 7494459230781640628620899862 80348253421170679 ···
0
_负_有理数
负整数
负分数
下列各数： -4，9，-3.14，0，
5.23，22 ，-
1
属于正数的有：
9
，
7 5.23
8
，22
7
属于负数的有：-4
，-3.14
，-
1 8
属于整数的有： -4 ， 9 ， 0
属于分数的有：22
7
，-
1 8
，-3.14 ，5.23
练习1：把下列各数填入相应的集合内：
-7.33，-3，0，+16
有理数与无理数
议一议
1.如果要将2, 3 , 22 ,1021,7,0, 5
73
7
分成两类，你会怎样分？是这怎样的两类？
2.如果再增加 0.53,0.3 两数 ，你
还能分成这样的两类吗？
• 思考 小学里我们还学过有限小数和循环小数，他
们是分数吗？Biblioteka 有限小数和无限循环小数都可 以化为分数
整数和分数统称____有__理__数______.
11
0.3030030003···，7
，
.
0.16
，π．
有理数集合：{ －200.50，5，－3.164，1，2.58，5%0，，+1731，，－00.3.136.3}
无理数集合：{ 0.3030030003···，π }
非负整数集合： { 0，2005
}
练习6.下列说法正确的是（ B ）
A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数和负分数 C.正数和负数统称为有理数
16887242096980785696718 75376948073176679737990 7324784621 ···
它是一个无限不循环小数
无限不循环小数叫做 无理数.
练习5：把下列各数分别填入相应的大括号内： －0.5， － 6，2.5，0，＋3， －0.333 ， 2005，3.141，85%，
4,2005,3.14,0, 22 ,5.23, 1 ,95%
7
8
正整数集合 负分数集合
练习2：把下列各数填入相应的集合中：
1.23,2,15,0,3, 2 ,20.02,100,2 2 ,0.516
7
3
正整数集合 负分数集合
练习3:把下列各数填入相应的集合中
1.23,2,15,0,3, 2 ,20.02,2 2
它是一个无限不循环小数无 限不循环小数叫做无理数.
请同学们拿出准备好的一个边长为1 的小正方形和剪刀，将小正方形沿着图 中对角线剪开，同桌两位同学合作，将 你们的图形拼在一起，重新拼成一个大 正方形．
1 1
1 1
1 1
x2 2
x
x2 2
x 是整数吗？ x 是分数吗？
x2 2
x =1.41421356237309504880
__正__整__数__
｛ ｛｛ 有理数
__整_数____ __分__数___
___０_____ __负__整__数__ __正_分__数___
__负_分__数___
这种分类方法是按照_整__数_和_分_数__原 则来分类的.
有理数另一种分类方法: 按_正__负_分
｛ _正_有理数
正整数 正分数
｛ ｛ 有理数
D.3.14不是有理数
练习7.下列说法正确的是（ B）
A.一个数不是正数就是负数 B.整数和分数统称有理数
C.有理数中没有最小的非负整数
D. π是有理数
，1，
3 7
10.01，+108，
2
-3
，-0.618
分数集合
9
-7.33，73 ，10.01，-3
2 9
，-0.618 …｝
整数集合 -3， 0， +16， 1，+108 …｝
负数集合 正数集合
-7.33，-3，
3
-3
2，
9
-0.618
+16，1，7 ，10.01，+108
…｝ …｝
试一试
把下列各数填入相应的集合中：