海淀区初三第一学期期中练习数学试卷分析

初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程3610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的大小为 A ．35° B ．55° C ．65°D ．70°4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D 5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是ABC Dlllll二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的 表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点． 若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________．12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别 为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若 点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的 坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2，BD =CD ，则BC 的长为________．16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分） 17．解方程：2430x x -+=．18．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 是线段BC 上的点，CD =2，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．求CE 的长．19．已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求()()()2322m m m -++-的值．20．如图，在⊙O 中，»»AB CD =．求证：∠B =∠C ．EB D CA21．如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG =2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．E23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”． 以21039x x +=为例，花拉子米的几何解法如下： 如图，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补 成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()2________39x +=+，从而得到此方程的正根是________．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A绕点P 旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与合）；再将点B 绕点O 逆时针旋转90°得到点C ． （1）直接写出点B 和点C 的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．25．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作O于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB =6，求四边形CAOD 的面积．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：244y x x =-+和直线l ：2(0)y kx k k =->．（1）抛物线C 的顶点D 的坐标为________； （2）请判断点D 是否在直线l 上，并说明理由；55 5x x xx 5（3）记函数2442,22x x x y kx k x ⎧-+≤=⎨->⎩，，的图象为G ，点(0,)M t ，过点M 垂直于y 轴的直线与图象G 交于点11()P x y ，，22()Q x y ，．当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，结合图象，求k 的取值范围．27．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≤，则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >，则称2d 为点P 的“引力值”．特别地，若点P 在坐标轴上，则点P 的“引力值”为0．例如，点P （2-，3）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，因为23<，所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A （1，4-）的“引力值”为________； ②若点B （a ，3）的“引力值”为2，则a 的值为________；（2）若点C 在直线24y x =-+上，且点C 的“引力值”为2，求点C 的坐标；（3）已知点M 是以D （3，4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M 的“引力值”d 的取值范围是．28．在Rt △ABC 中，斜边AC 的中点M 关于BC 的对称点为点O ，将△ABC 绕点O 顺时针旋转至△DCE ，连接BD ，BE ，如图所示．（1）在①∠BOE ，②∠ACD ，③∠COE 中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A =α，求∠BEC 的大小（用含α的式子表示）；（3）点N 是BD 的中点，连接MN ，用等式表示线段MN 与BE 之间的数量关系，并证明．初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案2017．11一、选择题（本题共24分，每小题3分）9．（1，2-） 10．答案不唯一，例如2y x = 11．110° 12．2ED NMB CA13．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线．（注：写出前两个即可给3分，写出前两个中的一个得2分，其余正确的理由得1分） 三、解答题（本题共72分） 17．解法一：解：2441x x -+=，()221x -=，………………2分21x -=±，11x =，23x =．………………4分解法二：解：()()130x x --=，………………2分 10x -=或30x -=，11x =，23x =．………………4分 18．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°. ∴∠1+∠3=60°.………………1分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴AD =AE ，∠DAE =60°. ∴∠2+∠3=60°.………………2分 ∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.∴CE =1．………………5分321EDCBA19．解：∵m 是方程2310x x -+=的一个根，∴2310m m -+=.………………2分 ∴231m m -=-.∴原式22694m m m =-++-………………4分()2235m m =-+3=．………………5分20．方法1：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴∠AOB =∠COD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴在△AOB 中，1902B AOB ∠=︒-∠，在△COD 中，1902C COD ∠=︒-∠.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分方法2：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴AB =CD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分21．解：（1）22416y x x =-++（或()()442y x x =-+）………………3分（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2241616x x -++=. 解得：12x =，20x =（不合题意，舍去）.………………5分 答：此时BE 的长为2米. 22．解：（1）∵方程()222110xm x m +-+-=有两个不相等的实数根，∴()()224141880m m m ∆=---=-+>，∴1m <．………………2分（2）存在实数m 使得120x x =.120x x =，即是说0是原方程的一个根，则210m -=.………………3分解得：1m =-或1m =.………………4分当1m =时，方程为20x =，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去． ∴1m =-．………………5分23．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()25 x +………………1分39 25 =+………………3分从而得到此方程的正根是 3 ．………………5分24．（1）点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分 （2）方法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 因为它经过A （1，0），B （3，0），C （0，3），则0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩………………4分 解得1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩………………6分∴ 经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法2：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），故可设其表达式为(1)(3)(0)y a x x a =--≠. ………………4分因为点C （0，3）在抛物线上，所以()()01033a --=，得1a =.………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法3：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），则其对称轴为2x =. 设抛物线的表达式为()22y a x k =-+.………………4分将A （1，0），C （0，3）代入，得0,4 3.a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ， ∴CE =BE .………………1分 ∵CD ∥AB ，∴∠DCE =∠B .………………2分 在△DCE 与△OBE 中,,.DCE B CE BE CED BEO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DCE ≌△OBE （ASA ）. ∴DE =OE .∴E 为OD 的中点．………………4分（2）解： 连接OC .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°. ∵OD ⊥BC ，∴∠CED =90°=∠ACB . ∴AC ∥OD .………………5分 ∵CD ∥AB ，∴四边形CAOD 是平行四边形. ∵E 是OD 的中点，CE ⊥OD ， ∴OC =CD . ∵OC =OD ， ∴OC =OD =CD . ∴△OCD 是等边三角形. ∴∠D =60°.………………6分 ∴∠DCE =90°-∠D =30°. ∴在Rt △CDE 中，CD =2DE . ∵BC =6， ∴CE =BE =3.AAB∵22224CE DE CD DE +==，∴DE CD =.∴OD CD ==∴CAOD S OD CE =⋅=四边形………………7分26．（1）（2，0）；………………2分 （2）点D 在直线l 上，理由如下： 直线l 的表达式为2(0)y kx k k =->，∵当2x =时，220y k k =-=，………………3分 ∴点D （2，0）在直线l 上．………………4分 注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P 在点Q 左侧.由题意知：要使得124x x =+成立，即是要求点P 与点Q 关于直线2x =对称.又因为函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称， 所以当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，即要求点Q在244(2,13)y x x x y =-+><<的图象上.………………6分根据图象，临界位置为射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与1y =的交点(3,1)A 处，以及射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与3y =的交点(23)B 处.此时1k =以及k =k的取值范围是1k <<………………8分27．（1）①1，②2±；………………2分 注：错一个得1分.（2）解：设点C 的坐标为（x ，y ）.由于点C 的“引力值”为2，则2x =或2y =，即2x =±，或2y =±. 当2x =时，240y x =-+=，此时点C 的“引力值”为0，舍去； 当2x =-时，248y x =-+=，此时C 点坐标为（-2，8）；当2y =时，242x -+=，解得1x =，此时点C 的“引力值”为1，舍去； 当2y =-时，242x -+=-，3x =，此时C 点坐标为（3，-2）； 综上所述，点C 的坐标为（2-，8）或（3，2-）.………………5分 注：得出一个正确答案得2分.（3）1d≤≤.………………8分注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM，OB，OC，OE.∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，∴MA=MB=MC=12 AC.………………2分∴∠A=∠ABM.∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC=∠BMC=2α.………………3分∵OC=OB=OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上.∴12BEC BOCα∠=∠=.………………4分（3）12MN BE=，证明如下：连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD. ∵∠A=α，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.∵∠BEC=α，∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α.∵MB=MC，∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.OMNABDCEBD∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE.………………6分∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，DF.∴MN=12BE.………………8分∴MN =12注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.。

2022北京海淀初三（上）期中数 学注意事项1．本试卷共6页，共两部分，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）1. 一元二次方程23640x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 3，6，4B. 3，6-，4C. 3，6，4-D. 3，6-，4-2. 将抛物线21y x =-+向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ）A. 23y x =-+ B. 2(2)1y x =--+C. 21y x =-- D. 2(2)1y x =-++3. 下列四幅图案中，可以由右侧的一笔画“天鹅”旋转180︒得到的图案是（ ）A. B.C. D.4. 如图，BD 是ABC 中线，E ，F 分别是BD ，BC 的中点，连接EF ．若4=AD ，则EF 的长为（ ）的A. 32 B. 2 C. 52D. 45. 用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ）A. ()225x -= B. ()223x -=C. ()225x += D. ()223x +=6. 二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x 1-01234y m 212510则m 的值是（ ）A. 1B. 2C. 5D. 107. 如图，在ABC 中，135BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点,A B 的对应点分别为,D E ，连接AD ．当点,,A D E 在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）A. ABC DEC≌△△ B. =45ADC ∠︒C. AD =D. AE AB CD=+8. 如图，已知关于x 的一元二次方程2()10a x k --=的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k 的值可能是（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若1是关于x 的方程20x ax -=的根，则a 的值为___________．10. 已知ABCD Y 的周长为143AB =，，则BC 的长为___________．11. 若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则ac _____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．12. 如图，等边ABC 绕顶点A 逆时针旋转80︒得到ADE V ，连接BE ，则ABE ∠=___________︒．13. 若关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值为___________．14. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x 米，可列方程为___________．15. 点()()122A y B a y ，，，在二次函数223y x x =-+的图象上．若12y y <，写出一个符合条件的a 的值___________．16. 甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如2y ax bx =+的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点第三象限；丙：经过点（2-，0），（1，3）．根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是___________（填“甲”，“乙”或“丙”）．在三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17. 解方程：（1）249x =；（2）2680x x -+=．18. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到DEC ，点A 与点D 对应，点B 与点E 对应．（1）依题意补全图形；（2）直线AB 与直线DE 的位置关系为___________．19. 已知m 是方程2240x x +-=的一个根，求代数式2(2)(3)(3)m m m +++-的值．20. 如图，在ABC 中，90,20C B ∠=︒∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转25︒得到ADE V ，AD 交BC 于点F ．若3AE =，求AF 的长．21. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过()0,3A 和()10B ,两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）该抛物线的对称轴为___________．22. 已知关于x 的一元二次方程2660x m x m --=＋（）．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根小于2，求m 的取值范围．23. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()211y x =--图象顶点为A ，与x 轴正半轴交于点B ．（1）求点B 的坐标，并画出这个二次函数的图象；（2）一次函数y kx b =+的图象过A ，B 两点，结合图象，直接写出关于x 的不等式()211x kx b --+>的解集．24. 如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为△ABC 的中线．BE DC ∥，BE DC =，连接CE ．（1）求证：四边形BDCE 为菱形；（2）连接DE ，若60ACB ∠=︒，4BC =，求DE 的长．25. 探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为2y ax =，则抛物线的焦点为(0，14a )．如图，在平面直角坐标系xOy 中，某款探照灯抛物线的表达式为214y x =，焦点为F ．（1）点F 的坐标是___________；（2）过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，已知沿射线FA 方向射出的光线，反射后沿射线AM 射出，AM 所在直线与x 轴的交点坐标为()4,0．① 画出沿射线FB 方向射出的光线的反射光线BP ；②BP 所在直线与x 轴的交点坐标为___________．26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2222y x mx m =-+-．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）已知点(3,2)P ．① 当抛物线过点P 时，求m 的值；② 点Q 的坐标为()1m ，．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．27. 在等边△ABC 中，将线段CA 绕点C 逆时针旋转α（0°<α<30°）得到线段CD ，线段CD 与线段AB 交于点E ，射线AD 与射线CB 交于点F ．（1）① 依题意补全图形；② 分别求∠CEB 和∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段BE ，CE ，CF 之间数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),A a b ．对于点(),P x y 给出如下定义：当x a ≠时，若实数k 满足y b k x a -=-，则称k 为点P 关于点A 的距离系数．若图形M 上所有点关于点A 的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M 关于点A的距离系数．的（1）当点A 与点O 重合时，在()()()1232,22,14,4P P P --,,中，关于点A 的距离系数为1的是___________；（2）已知点()()2,1,1,1B C -，若线段BC 关于点(),1A m -距离系数小于12，则m 的取值范围为___________；（3）已知点()()4,0,0,A T t ，其中24t ≤≤．以点T 为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点D ，E 为该正方形上的动点，线段DE 的长度是一个定值（02DE <<）． ① 线段DE 关于点A 的距离系数的最小值为___________；② 若线段DE 关于点A 距离系数的最大值是32，则DE 的长为___________．的的参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）1. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解．【详解】解：一元二次方程23640x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，6-，4-；故选D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．2. 【答案】A【解析】【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减，平移即可求解．详解】解：将抛物线21y x =-+向上平移2个单位长度，得到的抛物线是212y x =-++，即23y x =-+，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．3. 【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质即可解答．【详解】解：可以下图一笔画“天鹅”旋转180︒得到的图案是．故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只改变了图形的方向、不改变形状．4. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形中线求出CD ，再根据三角形中位线定理即可求出EF ．【详解】解：∵BD 是ABC 的中线，4=AD ，∴4CD AD ==，【∵点E ，F 分别是BD ，BC 的中点，∴122EF CD ==，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的中线定义、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5. 【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式，结合等式的性质，进行配方即可．【详解】解：∵2410x x -+=，∴24133x x -++=，∴2443x x -+=，∴()223x -=，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的求解步骤是解题的关键．6. 【答案】C【解析】【分析】根据表格数据可知，抛物线的对称轴为1x =，由抛物线的对称性可知，=1x -时y 的值与3x =时的值相等，即可求解．【详解】解：有表格可知，当0x =，2y =，当2x =，2y =，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为1x =，∴=1x -时y 的值与3x =时的值相等，∴=1x -时y 的值为5，即m 的值为5，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象的对称性，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．7. 【答案】D【解析】【分析】将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，可得,,,,ABC DEC CA CD CB CE AB DE === ≌再证明45,90,ADC ACD ∠=︒∠=︒ 再逐一分析即可．【详解】解：∵将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，∴,,,,ABC DEC CA CD CB CE AB DE === ≌ 故A 不符合题意；∴135,BAC CDE ∠=∠=︒∴45,CDA CAD ∠=︒=∠ 故B 不符合题意；∴90,ACD ∠=︒∴222,AC CD AD +=∴,AD = 故C 不符合题意；∵,AE AD DE =+∴.AE AD AB =+ 故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键．8. 【答案】C【解析】【分析】先确定方程两根的范围，然后再确定抛物线的对称轴，最后根据抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称即可解答．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2()10a x k --=的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，∴一个根110x -<< ，另一个根223x <<，∵抛物线2()y a x k =-的对称轴是直线x k =，∴抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，∴k 的值可能为1．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程关系，掌握二次函数图像与x 轴的交点关于对称轴对称是解答本题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】1【解析】【分析】把1代入方程即可．【详解】解：把1代入方程得210a -=，∴1a =故答案为：1．【点睛】本题主要考查已知方程根求参数的做法，能够正确代入方程计算是解题关键．10. 【答案】4【解析】【分析】根据平行四边形对边相等，即可求解．【详解】解：∵ABCD Y 的周长为143AB =，，的∴,AB CD AD BC ==，∴()214AB BC +=，∴4BC =,故答案为：4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．11. 【答案】＜【解析】【分析】首先由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断ac 与0的关系．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴ac ＜0．故答案为＜．【点睛】考查二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．常数项c 决定抛物线与y 轴交点．12. 【答案】20【解析】【分析】根据旋转的性质得出AC AE =，根据等边三角形的性质可得AB AC =，等量代换得到AB AE =，由旋转得出80ABD ∠=︒，继而可得20CAD ∠=︒，根据三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质得出20ABE ∠=︒．【详解】解：∵等边ABC 绕顶点A 逆时针旋转80︒得到ADE V ，∴AC AE =，80BAD ∠=︒，∵ABC ，ABD △是等边三角形，∴AB AC =，60BAC ∠=︒，60DAE ∠=︒，∴AB AE =，20CAD BAD BAC ∠=∠-∠=︒，∴ABE AEB ∠=∠，∴602060140BAE ∠=︒+︒+︒=︒，∴20ABE ∠=︒．故答案为：20．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，旋转的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．13. 【答案】14【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个相等的实数根，则方程的判别式0∆=，据此列方程，解方程可得答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个相等的实数根，∴方程的判别式：21410k ∆=-⨯⨯=，∴14k =，故答案为：14．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个相等的实数根，则0∆=”是解题的关键．14. 【答案】(18)(30)288x x --=【解析】【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x 米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可．【详解】解：依题意得(18)(30)288x x --=，故答案为：(18)(30)288x x --=【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15. 【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】二次函数开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，找一个离对称轴比1大的数即可．【详解】解：∵二次函数开口向上，∴离对称轴：直线1x =越远的点的函数值越大，A 点离对称轴水平距离为1，故a 可以等于3．故答案为3（答案不唯一）【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，熟练运用函数图像的最低点及性质比大小是解题关键．16. 【答案】甲【解析】【分析】根据2y ax bx =+可知，函数图象过()0,0，再根据丙的描述，画出图象即可进行判断．【详解】解：2y ax bx =+，当0x =时，0y =；∴图象过()0,0，根据丙的描述，可得2y ax bx =+的图象如下：∴抛物线的开口朝上，顶点在第三象限，∴乙，丙两位同学描述的是同一函数图象，∴抽到与其他两人解析式不同的是：甲；故答案为：甲．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17. 【答案】（1）132x =，232x =- （2）12x =，24x =【解析】【分析】（1）根据直接开平方法进行求解方程即可；（2）根据因式分解法进行求解方程即可．【小问1详解】解：249x =294x =32x =±∴132x =，232x =-；【小问2详解】解：2680x x -+=()()240x x --=20x -=或40x -=∴122,4x x ==．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．18. 【答案】（1）见解析（2）AB ⊥DE 【解析】【分析】（1）直接根据旋转的性质作图即可；（2）如图：延长DE 交AB 于点F ，然后根据旋转的性质可得CED B ∠=∠，然后根据对顶角相等并结合90ACB ∠=︒即可解答．【小问1详解】解：如图即为所求：．【小问2详解】解：延长DE 交AB 于点F由旋转可得:CED B ∠=∠,∵CED AEF ∠=∠,∵B AEF∠=∠∵90ACB ∠=︒，∴90A B A AEF ∠+∠=∠+∠=︒ ,∴90AFE ∠=︒，即AB DE ⊥．故答案为：AB DE ⊥．【点睛】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解答本题的关键．19. 【答案】3【解析】【分析】把m 代入方程，求出224m m +=，再将代数式进行化简，利用整体思想进行计算即可．【详解】19．解：∵m 是方程2240x x +-=的一个根，∴2240m m +-=．∴224m m +=．原式22449m m m =+++-2245m m =+-()2225m m =+- 245=⨯-3=．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，以及利用整体思想求代数式的值．熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．20. 【答案】【解析】【分析】利用旋转的性质，得到AC AE =，ACF △为等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵ABC 绕点A 顺时针旋转25︒得到ADE V ，∴25,FAB AC AE ∠=︒=．∵3AE =，∴3AC =．∵20B ∠=︒，∴45AFC FAB B ∠=∠+∠=︒．∵90C ∠=︒，∴ACF △是等腰直角三角形．∴ AF ==．【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．21. 【答案】（1）243y xx =-+（2）2x =【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =++经过(03)A ，和()1，0B 两点，∴310c b c =⎧⎨++=⎩，解得：34c b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：243y xx =-+．【小问2详解】解：∵()224321y x x x =-+=--，∴抛物线的对称轴为2x =．故答案：2x =．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤，是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析（2）2m >-【解析】【分析】（1）求得该一元二次方程根的判别式大于等于零即可证明结论；（2）先求出该方程的解，然后令一个实数根小于2，然后求解不等式即可解答．【小问1详解】证明：由题意，2(6)4(6)m m ∆=--⨯- 2+12+36m m =2+60m =≥（）．∴ 该方程总有两个实数根．【小问2详解】（2）解：解方程2660x m x m --=＋（），得：1x m =-，26x =．∵ 方程有一个实数根小于2，∴ 2m -<．∴ 2m >-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，当一元二次根的判别式大于等于零，则该方程有两个不相等的实数根或相等的实数根．23. 【答案】（1）（2，0），画图见解析（2）12x ＜＜【解析】【分析】（1）令0y =，得出()2110x --=，然后解方程即可求出点B 的坐标；（2）先在平面直角坐标系中画出一次函数y kx b =+的图象，然后观察函数图象即可得出答案．【小问1详解】解：令0y =，则()2110x --=，为解得10x =，22x =，∴B 点坐标为（2，0），列表得：x1-0123y301-03画图得：【小问2详解】解：如图，观察图象可知：关于x 的不等式()211x kx b --+>的解集为12x ＜＜．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定BD CD =即可．（2）连接DE ，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵BE DC ∥，BE DC =，∴ 四边形BDCE 为平行四边形．∵ 90ABC ∠=︒，BD 为AC 边上的中线，∴ 12BD CD AC ==，∴ 四边形BDCE 为菱形．【小问2详解】解：连接DE 交BC 于O 点，如图．∵ 四边形BDCE 为菱形，4BC =，∴ 129022OC BC COD DE DO ==∠=︒=，，．∵ 60ACB ∠=︒，∴ 9030EDC ACB ∠=︒-∠=︒．∴ 24DC OC ==．∴ DO ==．∴ 2DE DO ==【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键．25. 【答案】（1）()0,1（2）①见解析，②()1,0-【解析】【分析】（1）根据题意得出114a=，即可确定点F 的坐标；（2）①根据题意确定AM y ∥轴，得出()4,4A ，经抛物线反射后所得的光线平行于y 轴，B P y ∥轴，据此作出平行线即可；②设直线AB 的解析式为()0y kx b k =+≠，利用待定系数法确定直线AB 的解析式，然后与214y x =联立求解即可得出结果．【小问1详解】解：根据题意得214y x =，14a =，∴114a =，∴()0,1F ，故答案为：()0,1；【小问2详解】由题意可知抛物线214y x =的对称轴是y 轴，∴经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y 轴，∴AM y ∥轴∵AM 所在的直线与x 轴的交点坐标为()4,0，∴A 点的横坐标为4，纵坐标为21444y =⨯=，∴()4,4A ，①经抛物线反射后所得的光线平行于y 轴，∴B P y ∥轴∴画出沿射线FB 方向射出的光线的反射光线BP ，如下图所示：②设直线AB 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()4,4A 、()0,1F 代入，得441k b b +=⎧⎨=⎩，解得：341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为314y x =+，由题意可知，直线AB 与抛物线交于A 、B两点，把214y x =代入314y x =+整理得2340x x --=，解得：11x =-，24x =，∵点B 在y 轴的左侧，∴B 点的横坐标为1-，∵B P y ∥轴，∴BP 所在直线与x 轴的交点坐标为()1,0-，故答案为：()1,0-．【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键．26. 【答案】（1）(2)m -，（2）①11m =，25m =，②1m £或5m ≥【解析】【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；（2）①将点(3,2)P 代入解析式，解一元二次方程，即可得m 的值；②根据①的结论，结合图形即可求解．【小问1详解】解：∵ 22222()2y x mx m x m =-+-=--， ∴ 抛物线的顶点坐标为(2)m -，．【小问2详解】① ∵ 点(3,2)P 在抛物线2222y x mx m =-+-上，∴ 29622m m -+-=．∴ 26+50m m -=．解得11m =，25m =．②解：抛物线的对称轴为x m =，点Q 的坐标为()1m ，，(3,2)P ，根据①可得，点(3,2)P 在抛物线2222y x mx m =-+-上，11m =，25m =．当1m £时，点P 在对称轴的右侧，此时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，如图，当5m ≥时，点P 在对称轴的左侧，此时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，如图，综上所述， 1m £或5m ≥．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．27. 【答案】（1）①见解析，②∠CEB =60°＋α，∠AFC =230+α（2）CF =BE ＋CE ，见解析【解析】【分析】（1）①按要求补全图形即可，②利用等边三角形及旋转的性质结合外角，内角和解题即可．（2）CF =BE ＋CE ，延长EA 至点G 使得EG =CE ，运用截长补短方法解题即可．【小问1详解】解：① 补全图形，如图．② 解：∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠BAC =∠ACB =60°．∵ 线段CA 绕点C 逆时针旋转α得到线段CD ，∴ CA =CD ，∠ACD =α．∴ ∠CAD =∠CDA =1802ACD -∠ =902α- ． ∴ ∠CEB =∠BAC ＋∠ACD =60°＋α．∴ ∠AFC =180°-∠CAD-∠ACB =230+α ．【小问2详解】解：线段BE ，CE ，CF 之间的数量关系为CF =BE ＋CE ．证明：延长EA 至点G 使得EG =CE ，连接CG ，如图．∴ ∠G =∠ECG ．∵ ∠CEB =∠G ＋∠ECG =2∠G ，∠CEB =60°＋α，∴ ∠G =230+α．∵ ∠AFC =230+α，∴ ∠G =∠AFC ．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC =BC ，∠ABC =∠ACB =60°．∴ △ACF ≌△CBG ．∴ CF =BG ．∵ BG =BE ＋EG =BE ＋CE ，∴ CF =BE ＋CE ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及截长补短法在三角形全等证明中的应用，能够熟练运用内角，外角知识点求角度，能够利用截长补短作辅助线是解题关键．28. 【答案】（1）1P ，3P（2）3m <-或2m >（3）①15【解析】【分析】（1）根据距离系数的定义进行计算即可；（2）利用距离系数的定义，用m 表示k ，根据距离系数小于12，进行计算即可；（3）①根据题意，当正方形上的点到()4,0A ，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段DE 关于点A 的距离系数的最小，得到点点()1,1-关于点A 的距离系数的最小，进行计算即可；②根据线段DE 关于点A 的距离系数的最大值是32，即线段上的所有点关于点A 的距离系数存在最小值为32，得到线段DE 上的点的横坐标和纵坐标的取值范围，利用勾股定理进行求解即可．【小问1详解】解：∵()()()()1232,22,14,4,0,0P P P A --,,，∵y b k x a -=-，∴y bk x a -=-，∴12020212k -=-==，22010221k --=-==，34040414k --=-==；∴关于点A 的距离系数为1的是：1P ，3P ；【小问2详解】解：∵()()2,1,1,1B C -，(),1A m -，∴线段BC ：()121y x =-≤≤，()1112y bk x a x m --=---=<，即：4x m ->∴4x m ->或 4x m -<-∴4m x <-或4m x >+∴当两个点的横坐标间的距离越远，k 越小，∴当B 点离A 点横坐标最远时：242m >-+=，当C 离A 点横坐标最远时：143m <-=-，综上：3m <-或2m >；【小问3详解】解：①由y bk x a -=-可知，当正方形上的点到()4,0A ，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段DE 关于点A 的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点()1,1-关于点A 的距离系数的最小：此时：101415k -=--=；②若线段DE 关于点A 的距离系数的最大值是32，即线段上的所有点关于点A 的距离系数存在最小值为32，∴432y byk x a x -=--=≥，由题意知：11,15x y -≤≤≤≤ ∴14414x -≤-≤--，即345x ≤-≤∴952y ≤≤当5y =时，213x ≤≤，∴DE ===【点睛】本题考查坐标系下的新定义．熟练掌握距离系数的定义和运算方法是解题的关键．。

2023北京海淀初三（上）期中数 学注意事项1．本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 一元二次方程2310x x +−=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A. 1,3,1B. 1,3,1−C. 0,3,1−D. 0,3,1−− 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 已知点()()121,,2,A y B y −在抛物线23y x =上，则12,y y 的大小关系正确的是（ ）A. 12y y <B. 12y y =C. 12y y >D. 不能确定 4. 一元二次方程2430x x −+=经过配方变形为2(2)x k −=，则k 的值是（ ）A. 3−B. 7−C. 1D. 7 5. 将抛物线()20y ax bx c a =++≠向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ）A.开口方向改变B. 开口大小改变C. 对称轴不变D. 顶点位置不变 6. 陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O 旋转x ︒可以与自身重合，则x 的值可以是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 1057. 小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：x ，则下列方程正确的是（ ）A.2150216x ⨯=B. 2150216x =C. 2150150216x +=D. ()21501216x += 8. 如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，将AC 绕点A 逆时针旋转()090αα︒<≤︒，得到线段AE ，连接CE ．设AB a CE b ==，，下列说法正确的是（ ）A. 若30α=︒，则12b a =B. 若45a =︒，则b =C. 若60α=︒，则b a =D. 若90α=︒，则2b a =第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 方程240x −=的解是________10. 在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4A 与点B 关于原点对称，则点B 的坐标是____________． 11. 请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式_____________． 12. 若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值为______．13. 如图，在ABC 中，,50AB AC BAC =∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转到ADE ．若AD BC ⊥，则旋转角的度数是____________．14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是____________．15. 如图，二次函数()221y x k =−+的图象与y 轴的交点坐标为()01，，若函数值1y <，则自变量x 的取值范围是____________．16. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(),m n ，称关于x 的方程20x mx n ++=为点P 的对应方程．如图，点()1,0A −，点()1,1B ，点()2,2C −．给出下面三个结论：①点A 的对应方程有两个相等的实数根；②在图示网格中，若点(),P m n （,m n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P 有3个；③线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是____________．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：2620x x −+=18. 如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点,O EF 过点O 且分别与,AD BC 交于点,E F ．（1）求证：AOE COF △≌△；（2）记四边形ABFE 的面积为1S ，平行四边形ABCD 的面积为2S ，用等式表示1S 和2S 的关系． 19. 已知m 是方程220x x −−=的根，求代数式()15m m −+的值．20. 已知二次函数22y x x =−．（1）在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点()2,7P −____________该函数的图象上（填“在”或“不在”）．21. 已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m +−+−=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求m 的取值范围．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，()()2,4,2,0A B −−，将OAB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△（,A B ''分别是A 、B 的对应点）．（1）在图中画出OA B ''△，点A '的坐标为____________；（2）若点(),2M m 位于OAB 内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90︒的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．23. 阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____________步；②中间小正方形的面积为____________平方步；③若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为____________；④由②③可得关于x 的方程____________，进而解得矩形田地的宽为24步．24. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点()()1,0,3,0．（1）求该二次函数的解析式；（2）当3x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值小于二次函数2y x bx c =++的值，直接写出n 的取值范围．25. 在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．（1）小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：____________m ；（2）①求小刚第一次的投掷距离；②已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次____________（填“大”或“小”）．26. 已知二次函数2112y x bx =++．（1）若1b ，求该二次函数图象的对称轴及最小值；（2）若对于任意的02x ≤≤，都有1y ≥−，求b 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 在AB 上()BD AD <，过点D 作DE BC ⊥于点E ，连接AE ，将线段EA 绕点E 顺时针旋转90︒，得到线段EF ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：FD AB =；（3）DF 交BC 于点G ，用等式表示线段CE 和FG 的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 不与原点重合．对于点P 给出如下定义：点P 关于点M 的对称点为P '，点P '关于直线OM 的对称点为Q ，称点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．（1）如图，已知点()(),0,1,1M t P t +，点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．①当2t =时，在图中画出点Q 的位置，并直接写出点Q 的坐标；②PQ 的长度是否与t 有关?若无关，求PQ 的长；若有关，说明理由；（2）已知点()3,4,A ABC △是边长为2的等边三角形（点,,A B C 按逆时针方向排列），点N 是点B 关于点C 的“转称点”，在ABC 绕点A 旋转的过程中，当BN 最大时，直接写出此时OB 的长．参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2310x x +−=，∴二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为1−，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 【答案】D【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A 、B 、C 三个选项中的图形都找不到一点使得对应图形绕该点旋转180?与原图形重合，即A 、B 、C 三个选项中的图形，不是中心对称图形，而D 中的图形可以找到一点使得对应图形绕该点旋转180?与原图形重合，即D 中的图形是中心对称图形，故选D ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，平面内，把一个图形绕着某个点旋转180?，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．3. 【答案】A【分析】分别把()()121,,2,A y B y −代入解析式求解．【详解】把()11,A y −代入3y x =得1=3y ，把()22,B y 代入23y x =得2=12y ，312<，12y y ∴<，故选：A.【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数上点的特征． 4. 【答案】C【分析】利用配方法将方程变形得()221x −=，即可求解．【详解】解：2430x x −+=，移项得，243x x −=−，配方得，24434x x −+=−+，即()221x −=，∴1k =，故选：C ．【点睛】本题考查配方法，熟练配方法的一般步骤是解题的关键．5. 【答案】C【分析】根据二次函数平移的性质和二次函数图象进行判断即可．【详解】解：A.将抛物线()20y ax bx c a =++≠向下平移，a 的正负符号不变， ∴开口方向不改变，故A 不符合题意；B. 将抛物线()20y ax bx c a =++≠向下平移，抛物线的形状不变， ∴开口大小不改变，故B 不符合题意；C. 将抛物线()20y ax bx c a =++≠向下平移，对称轴不变，故C 符合题意； D. 将抛物线()20y ax bx c a =++≠向下平移，顶点坐标发生改变，故D 不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的图象及平移的性质是解题的关键． 6. 【答案】B【分析】根据旋转的定义找出旋转角即可求解．【详解】解：如图，旋转中心外有8个5边形，则相当于把一个圆平均分成8分，∴360845︒÷=︒，故选：B ．【点睛】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键．7. 【答案】D【分析】设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ，则2021年观测鸟类()1501x +种，2022年观测鸟类()21501x +种，据此列出方程即可． 【详解】解：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ，由题意得，()21501216x +=，故选D ．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 8. 【答案】D【分析】当90α≠︒时，过点E 作EH AC ⊥于H ，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求出AE =，再根据不同的角度求出HE ，根据CE HE >即可判断A 、B 、C ；当90α=︒时，利用勾股定理即可判断D ．【详解】解：当90α≠︒时，过点E 作EH AC ⊥于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90?AB BC B =∠=，，∴==AC ，由旋转的性质可得AE AC ==，当30α=︒时，则122HE AE a ==， ∵CE HE >，∴122b a a >>，故A 不符合题意； 当45α=︒时，则45?HAE HEA ∠=∠=，∴HE AH a ==，∵CE HE >， ∴12b a a >>，故B 不符合题意； 当65α=︒时，则30?HAE ∠=，∴122AH AE ==，∴2HE ==∵CE HE >，∴122b a >>，故C 不符合；当90α=︒时，则2CE a ==，即2b a =，故D 符合题意，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】12x =，22x =−【分析】把方程化为24x =，再利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：240x −=，∴24x =，解得：12x =，22x =−；故答案为：12x =，22x =−【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． 10. 【答案】()3,4−−【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行求解即可．【详解】解：∵点()3,4A 与点B 关于原点对称，∴点B 的坐标是()3,4−−，故答案为：()3,4−−．【点睛】本题考查坐标系上点的坐标的规律，熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．11. 【答案】2y x =−（答案不唯一）【分析】根据题意，抛物线是2y ax =形式，a 值为负即可．【详解】解：根据题意，抛物线是2y ax =形式，a 值为负即可，故答案为：2y x =−（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟记二次函数的性质，准确写出解析式． 12. 【答案】1【分析】由于关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m 的方程，解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴（﹣2）2﹣4m ＝0，∴m ＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ=0，此题难度不大．13. 【答案】25︒##25度【分析】由旋转的定义可得BAD ∠是旋转角，再根据等腰三角形的性质可得1252BAC BAD ∠∠==︒，即可求解．【详解】解：∵AB AC =，AD BC ⊥，50BAC ∠=︒，∴1252BAC BAD ∠∠==︒， ∴旋转角的度数是25︒， 故答案为：25︒．【点睛】本题考查旋转的定义、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的定义可得BAD ∠是旋转角是解题的关键．14. 【答案】()3,2【分析】根据旋转的定义可得，对应点连线的交点即为旋转中心，即可求得坐标． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标是()3,2， 故答案为：()3,2．【点睛】本题考查旋转的定义、坐标系中点的坐标，根据旋转的定义确定旋转中心的位置是解题的关键． 15. 【答案】02x <<##20x >>【分析】先根据解析式求出对称轴为直线1x =，进而得到二次函数图象经过点()21，，再由二次函数开口向上，则离对称轴越近函数值越小进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为()221y x k =−+， ∴二次函数对称轴为直线1x =， ∵二次函数图象经过点()01，， ∴二次函数图象也经过点()21，， ∵二次函数开口向上， ∴离对称轴越近函数值越小， ∴当1y <时，02x <<， 故答案为：02x <<．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确根据题意求出二次函数图象经过点()21，是解题的关键．16. 【答案】①②③【分析】根据点A 的对应方程进行求解即可判断①；再根据点P 的对应方程有两个相等的实数根可得24m n =，即可判断②；求得直线BC 的解析式为1433y x =−+，设直线BC 上的任意一点为14,33a a ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，可得这个点的对应方程为214=033x ax a +−+，再利用判别式即可判断③．【详解】解：∵()1,0A −， ∴点A 的对应方程为20x x −=， 解得10x =，21x =，∴点A 的对应方程有两个相等的实数根，故①正确；若点(),P m n （,m n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根， ∴22440b acm n ，即24m n =，∵m 、n 均为整数，∴当1n =时，2m =±，符合条件， 当0n =时，0m =，符合条件，∴在图示网格中，满足条件的点P 有3个，故②正确； 设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∴221k b k b −+=⎧⎨+=⎩，解得1343k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1433y x =−+， 设直线BC 上的任意一点为14,33a a ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， ∴这个点的对应方程为214=033x ax a +−+， ∵222142524=41=3339b ac a a a ⎛⎫⎛⎫−−⨯⨯−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵21a −≤≤， ∴22527499b ac −≤−≤−，即Δ0<， ∴线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确， 故答案为：①②③．【点睛】本题考查解一元二次方程、一元二次方程的根与判别式的关系、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】1233x x =+=【分析】根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：2620x x −+=∵1,6,2==−=a b c ，2436828b ac ∆=−=−=，∴x ==解得：1233x x =+=【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 18. 【答案】（1）证明见解析 （2）1212=S S 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD BC OA OC =∥，，进而得到OAE OCF OEA OFC ==∠∠，∠∠，由此可利用AAS 证明AOE COF △≌△；（2）根据全等三角形的性质得到AOECOFS S=，进而可证明1212ABC S S S ==△． 【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线,AC BD 交于点O ， ∴AD BC OA OC =∥，，∴OAE OCF OEA OFC ==∠∠，∠∠， ∴()AAS AOE COF △≌△ 【小问2详解】解：∵AOE COF △≌△， ∴AOECOFSS=，∴AOE COF ABC ABFE ABFO ABFE ABFO S S S S S S S =+==+=△△△四边形四边形四边形四边形， 又∵12ABC ABCDS S =四边形△， ∴1212=S S ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边平行，对角线互相平分是解题的关键． 19. 【答案】7【分析】根据方程解的定义得到22m m −=，再根据()2155m m m m −+=−+进行求解即可．【详解】解：∵m 是方程220x x −−=的根， ∴220m m −−=， ∴22m m −=，∴()2155257m m m m −+=−+=+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 20. 【答案】（1）作图见解析 （2）不在【分析】（1）利用五点法作图即可；（2）把2x =−代入函数解析式求得函数值即可判断． 【小问1详解】 解：如图，【小问2详解】解：把2x =−代入函数解析式得，()()2=222=44=8y −−⨯−+， ∴()2,7P −不在函数图象上， 故答案为：不在．【点睛】本题考查画二次函数图象及二次函数图象上点的坐标，利用描点法作出函数图象是解题的关键． 21. 【答案】（1）证明见解析 （2）2m <【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程得到=1x −或2x m =−，再根据方程的一个根为正数进行求解即可． 【小问1详解】证明：由题意得：()()()222214221486930m m m m m m m m ∆=−−−=−+−+=−+=−≥， ∴方程总有两个实数根；【小问2详解】解：∵()2120x m x m +−+−=，∴()()120x x m ++−=⎡⎤⎣⎦， 解得=1x −或2x m =−， ∵该方程有一个根是正数， ∴20m −>， ∴2m <．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键．22. 【答案】（1）作图见解析，()4,2 （2）12n <<【分析】（1）根据旋转的定义作图即可，再由旋转后的图形可得点A '的坐标； （2）先找出临界值旋转后的纵坐标即可求解． 【小问1详解】解：如图，OA B ''△即所求，点A '的坐标为()4,2， 故答案为：()4,2；【小问2详解】解：由图可得，12n <<．【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的性质及坐标系中点的坐标，熟路掌握旋转的性质，作出旋转图形是解题的关键．23. 【答案】①60；②144；③242403600x x −+；④242403600=144x x −+ 【分析】①根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解； ②先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解；③设矩形田地的宽为x 步，则长为()60x −步，从而可得小正方形的边长为602x −步，再利用正方形的面积公式即可求解；④由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程．【详解】解：①由图可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成， ∵长与宽之和为60步， ∴正方形的边长为60步， 故答案为：60；②∵大正方形的面积为60603600⨯=平方步，四个矩形的总面积为4864=3456⨯平方步， ∴中间小正方形的面积为36003456=144−平方步， 故答案为：144；③设矩形田地的宽为x 步，则长为()60x −步， ∴小正方形的边长为60=602x x x −−−步，∴小正方形的面积为()()2602602=42403600x x x x −−−+，故答案为：242403600x x −+；④由题意可得，242403600=144x x −+， 故答案为：242403600=144x x −+．【点睛】本题考查列代数式、列一元二次方程，理解题意，根据求小正方形的面积列代数式是解题的关键．24. 【答案】（1）243y x x =−+（2）3n −≤【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可知当3x >时，253x x n −+>恒成立，因此只需要满足n 不大于，当3x =时，253x x −+的值即可．【小问1详解】解：把()()1,0,3,0代入2y x bx c =++中得：10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得43b c =−⎧⎨=⎩，∴二次函数解析式为243y x x =−+；【小问2详解】解：当243x n x x +<−+时，则253x x n −+>， 令253S x x =−+，∵函数253S x x =−+开口向上，对称轴为直线5522x −=−=， ∴当52x >时，S 随x 增大而增大， ∵当3x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值小于二次函数2y x bx c =++的值， ∴当3x >时，253x x n −+>恒成立， 当3x =时，225335333x x −+=−⨯+=−， ∴3n −≤．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．25. 【答案】（1）2.5 （2）①8m ；②小 【分析】（1）由表格中的数据即可求解；（2）①用待定系数法求函数解析式，再令0y =，求解即可；②根据题意设第二次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的函数关系式为()224=34ac b y a x a−−+，根据第二次投掷时，水平距离x 与竖直高度y 的抛物线开口比第一次大，可得0.10a −<<，从而求得1.6 1.692.5a <−<，即可得出结果．【小问1详解】解：由表格可得，实心球运行的竖直高度的最大值为2.5m ， 故答案为：2.5； 【小问2详解】解：①设小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的函数关系式为()23 2.5y a x =−+， 把()0,1.6代入得，()203 2.5 1.6a −+=，解得0.1a =−，∴函数解析式为()20.13 2.5y x =−−+， 当0y =时，()20.13 2.5=0x −−+， 解得12x =−（舍），28x =， ∴小刚第一次的投掷距离为8m ；②∵第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同，∴设第二次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的函数关系式为()224=34ac b y a x a−−+，∵32ba−=，即6b a =−，∴22=36b a ， ∵ 1.6c =∴()2=3 1.69y a x a −+−， ∵小刚第二次投掷距离比第一次远，∴第二次投掷时，水平距离x 与竖直高度y 的抛物线开口比第一次大， ∴0.10a −<<， ∴1.6 1.69 2.5a <−<，∴实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小， 故答案为：小．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．∴b=-2，综上所述，b 的取值范围为b≥-2．27. 【答案】（1）作图见解析 （2）证明过程见解析 （3）=GF ，证明过程见解析【分析】（1）根据旋转的定义作图即可；（2）根据等腰直角三角形的判定与性质可得45BDE B ∠=∠=︒，DE BE =，再由旋转的性质可得AE FE =，90AEF ∠=︒，利用等量代换可得AED CEF ∠=∠，从而可得AEB FED ∠=∠，可证AEB FED △≌△，即可得出结论；（3）由（2）可得，AEB FED △≌△，可得AB FD =，利用勾股定理可得==AB FD ，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD GD =，再利用勾股定理可得=GD ，再由=DG GF ++，即可得出结论．【小问1详解】解：根据题意补全图形如下，【小问2详解】证明：∵AC BC =，90ACB ∠=︒， ∴45B ∠=︒， ∵DE BC ⊥，∴45BDE B ∠=∠=︒，DE BE =， 由旋转的性质可得，AEFE =，90AEF ∠=︒，∴90AEC CEF ∠=+∠︒， 又∵=90AED AEC ∠+∠︒， ∴AED CEF ∠=∠，∴=AED DEB CEF DEC ∠+∠∠+∠，即AEB FED ∠=∠， 在AEB 和△FED 中，AE FE AEB FED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AEB FED SAS ≌， ∴AB FD =；【小问3详解】解：如图，由（2）可得，AEB FED △≌△， ∴AB FD =，在Rt ABC 中，222BC AB =，即AB =，∴=DF ，∴)=DG GF BE EC ++，即=DG GF +，在Rt DEB 中，222=BE BD ，即BD =，∵45FDE B ∠=∠=︒， ∴==45GDE BDE ∠∠︒， ∴BD GD =，∴=GD ，∴=GF ．【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明AEB FED △≌△是解题的关键． 28. 【答案】（1）①()1,1Q t −；②PQ 的长度与t 无关，2PQ =，理由见解析（2）1OB =+，或1OB =【分析】（1）①根据“转称点”定义得到，点P 、P '关于点M 对称，点P '、Q 关于直线OM 对称，根据点()(),0,1,1M t P t +，得到点()'1,1P t −−，()1,1Q t −；②PQ 的长度与t 值无关，根据()1,1P t +，()1,1Q t −，得到2PQ =；（2）连接OC ，过点A 作AD BC ⊥于点D ，设点B 关于点C 对称点为'B ，根据等边三角形定义得到2AB BC ==，60BAC ∠=︒，根据三线合一得到1BD CD ==，30BAD ∠=︒，根据含30°的直角三角形性质得到AD =，根据“转称点”定义得到'2CB BC ==，OC 垂直平分'B N ，推出BN OC ∥，得到当点N 与点'B 重合时，BN 长最大，此时，'BB 、BN 、OC 三线重合，根据()3,4A ，得到5OA =，根据勾股定理得到OD =， 推出1OB =，或1OB =．【小问1详解】①∵点Q 是点P 关于点M 的“转称点”，∴点P 、P '关于点M 对称，点P '、Q 关于直线OM 对称，∵点(),0M t ，()1,1P t +，∴点()'1,1P t −−， ∴()1,1Q t −，在平面直角坐标系中描出'P 和Q ；②PQ 的长度与t 无关，理由：由①知，()1,1P t +，()1,1Q t −，∴PQ x ∥轴，(12PQ t t =+−−=，∴PQ 的长与t 的值无关；【小问2详解】连接OC ，过点A 作AD BC ⊥于点D ，设点B 关于点C 对称点为'B ，∵ABC 是边长为2的等边三角形，∴2AB BC ==，60BAC ∠=︒， ∴112BD CD BC ===，1302BAD BAC ∠=∠=︒，∴AD ==，∵点N 是点B 关于点C 的“转称点”，∴'2CB BC ==，点'B 、N 关于直线OC 对称，∴OC 垂直平分'B N ，∴BN OC ∥，当点N 与点'B 重合时，BN 长最大，此时，'BB 、BN 、OC 三线重合，∵()3,4A ，∴5OA ==，∴OD ==∴1OB OD BD =±=，∴1OB =，或1OB =．【点睛】本题主要考查了定义新概念，等边三角形，含30︒的直角三角形，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握关于成中心对称的两点及关于坐标轴对称的两点的坐标特征，轴对称性质，等边三角形性质，含30︒的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形．。

海淀区九年级第一学期期中练习数 学 2012.11（分值：120分，时间：120分钟）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个答案，其中只有一个．．是符合题意的． 1．一元二次方程23450x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3,4,5--B ．3,4,5-C ．3,4,5D ．3,4,5-【考点】一元二次方程概念【分析】易，根据定义可直接解答，但需注意正（或负）符号与数字一并作为系数 【答案】A2．函数3y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≤B ．3x ≠C ．3x ≠-D ．3x ≥【考点】二次根式的定义【分析】易，本试题实际考查二次根式定义，即当≥0，x ≥3时二次根式成立【答案】D3．点(3,4)P 关于原点对称点的坐标是（ ） A ．(3,4)-B ．(3,4)--C ．(3,4)D ．(3,4)-【考点】坐标系中，确定关于原点成中心对称的点的坐标 【分析】易，应用“横纵坐标分别互为相反数”口诀即可解决 【答案】B4．用配方法解方程245x x -=，下列配方正确的是（ ） A ．2(92)x -=B ．2(12)x -=C ．2(92)x +=D ．2(12)x +=【考点】配方法解一元二次方程【分析】易，方程两边同时加4，即可得9)2(2=-x ， 【答案】A5．下列等式成立的是（ ） A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9-=-【考点】二次根式性质及二次根式的运算【分析】易，12349=-=-故A 错；39=求其算术平方根，故B 错，9)9(,)(22=-∴=a a 故D 错。

【答案】B6．已知扇形的半径为3，圆心角为120︒，则这个扇形的面积为（ ） A ．9πB ．6πC ．3πD ．2π【考点】扇形面积公式360S 2r n π=【分析】易，此题r=3，n=120°，直接代入面积共计即可。

九年级第一学期期中考试数学试卷分析一、试题分析试题难度适宜，能重视考查基础知识、基本技能和数学思想方法。

部分题目可直接运用公式、定理、性质、法则解决，无繁难计算、证明，对教学有导向作用。

二、从学生得分情况上分析考试成绩并不太理想，其中，我普通班中上百分的仅一人，及格人数也不多。

个位数字有所增加。

三、从学生的失分情况上分析教情与学情1．基础题和中档题的落实还应加强。

比如，学生必会，应该拿分的一些中档题得分情况并不理想。

这是因为我们在教学中对学习困难的学生关注不够，课堂密度小，双基的落实不到位。

2．学生数学能力的培养上还有待加强。

（1）审题和数学阅读理解能力较弱。

如第17题，学生根本就没有读懂题，也未考虑到应该分未可能情况；还有第24题，其实在销售问题中，曾讲过这种类型，但学生根本就没有理解此题，造成思维混乱。

因而，无从下手；造成严重失分。

（2）计算能力较弱。

从所阅卷中可以看出，一部分学生的计算能力较弱。

比如，第16题与第19题，这是送分题，但学生因为粗心，或记错一元二次方程根的情况而出错；另外，最基本的方程也未得满分。

（3）运用数学思想方法解决数学问题的能力还需加强。

试卷设置了一些涉及到开放性、探究性、应用性的问题，比如：第20题，第22题等；从阅卷和最后的得分情况可以看到学生的得分率都不高，学生所学知识较死，应变能力也不好。

这说明平时教学中，注重的只是告诉学生怎么解，而忽略了为什么这么解，也就是只有结果没有过程。

造成学生应变差，题目稍有变化，就不知如何下手。

学生不会综合运用所学知识结合数学思想去解决问题，这也是优秀率低的一个主要原因。

四、今后几点措施1．加强对课程标准的研究。

比如从试卷中体现出来的：立足基础性、注重能力性、感受时代性、强调应用性、渗透探究性、关注创新性、重视综合性、体验过程性。

特别指出的是考试过程也是学习过程。

2．加强对学生学习方法的指导和学习能力的培养。

在后面的教学中应注重在课堂教学中发挥学生的主体作用，不光要传授知识，更应传授学习和考试的方法（包括培养学生养成反思的习惯，如何使学生复习的效率更高，在考试时如何审题，如何在考试中减少无谓的失分，尽可能获取分数，如何保持考场上平和的心态等），注重学生能力的培养。

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.拼图是一种广受欢迎的智力游戏，需要将形态各异的组件拼接在一起，下列拼图组件是中心对称图形的为()A. B. C. D.2.一元二次方程2x2+3x−4=0的一次项系数是()A. −4B. −3C. 2D. 33.点M(1,2)关于原点对称的点的坐标是()A. (−1,2)B. (1,2)C. (−1,−2)D. (−2,1)4.将抛物线y=x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为()A. y=x2+2B. y=x2−2C. y=(x+2)2D. y=(x−2)25.用配方法解一元二次方程x2+4x+1=0，下列变形正确的是()A. (x−2)2−3=0B. (x+4)2=15C. (x+2)2=15D. (x+2)2=36.如图，不等边△ABC内接于⊙O，下列结论不成立的是()A. ∠1=∠2B. ∠1=∠4C. ∠AOB=2∠ACBD. ∠ACB=∠2+∠37.如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别在线段BO，AO上，且PQ//AB.以PQ为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段AC，BD上，设BP=x，新作菱形的面积为y，则反映y与x之间函数关系的图象大致是()A. B.C. D.8.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x).下列描述正确的是()A. d(25%)=1B. 当x>50%时，d(x)>1C. 当x1>x2时，d(x1)>d(x2)D. 当x1+x2=100%时，d(x1)=d(x2)二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.已知二次函数y=−x2，请判断点A(1,−1)是否在该二次函数的图象上．你的结论为______(填“是”或“否”)．10.如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置．若DE=2，则FC=______．11.已知关于x的方程x2=m有两个相等的实数根，则m=______．12.如图，在5×5的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均1.以点O为圆心，5为半径画圆，共经过图中______个格点(包括图中网格边界上的点)．13.某学习平台三月份新注册用户为200万，五月份新注册用户为338万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为x，则可列出的方程是______．14.已知二次函数y=ax2−4ax+1(a是常数)，则该函数图象的对称轴是直线x=______．15.如图，点A，B，C在⊙O上，顺次连接A，B，C，O.若四边形ABCO为平行四边形，则∠AOC=______°.16.对于二次函数y=ax2和y=bx2.其自变量和函数值的两组对应值如表所示：x−1m(m≠−1)y=ax2c cy=bx2c+3d根据二次函数图象的相关性质可知：m=______，d−c=______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.解方程：x2−6x=16．18.如图，已知AB=BC，∠BCD=∠ABD，点E在BD上，BE=CD．求证：AE=BD．19.已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(0,3)，B(1,0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个函数的图象．20.已知关于x的方程x2−4x+m+2=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为满足条件的最大整数，求方程的根．21.如图，△ABC中，CA=CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E．(1)求证：点D为AB的中点；(2)求证：AD=DE．22.如图，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为xm．(1)边BC的长为______m，矩形ABCD的面积为______m2(均用含x的代数式表示)；(2)矩形ABCD的面积是否可以是120m2？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+m的图象过点A(1,3)，且与x轴交于点B．(1)求m的值和点B的坐标；(2)若二次函数y=ax2+bx图象过A，B两点，直接写出关于x的不等式ax2+bx>−x+m的解集．24.某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的若干数据，如表所示：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7滑行时间t/s0 1.07 1.40 2.08 2.46 2.79 3.36滑行距离s/m0510********为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标，描出表中数据对应的点(如图).可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数s=at2+bt+c(t≥0)来近似地表示s与t的关系．(1)有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是______；(2)当t=0时，s=0，所以c=______；(3)当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为______s(结果保留一位小数)．25.如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC的中点，连接BC，OD．(1)求证：OD//BC；(2)如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G.若G为BC中点，⊙O的半径为2，求弦BC的长．26.平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(4,0)和B(−1,0)，交y轴于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)将点C向右平移n个单位，再次落在二次函数图象上，求n的值；(3)对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围．27.△ABC是等边三角形，点D在BC上，点E，F分别在射线AB，AC上，且DA=DE=DF．(1)如图1，当点D是BC的中点时，则∠EDF=______°；(2)如图2，点D在BC上运动(不与点B，C重合)．①判断∠EDF的大小是否发生改变，并说明理由；②点D关于射线AC的对称点为点G，连接BG，CG，CE．依题意补全图形，判断四边形BECG的形状，并证明你的结论．28.在平面直角坐标系xOy中，旋转角α满足0°≤α≤180°，对图形M与图形N给出如下定义：将图形M绕原点逆时针旋转α得到图形M′.P为图形M′上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”．已知点A(1,√3)，点B(4,0)，点C(2,0)．(1)当α=90°时，记线段OA为图形M．①画出图形M′；②若点C为图形N，则“转后距”为______；③若线段AC为图形N，求“转后距”；(2)已知点P(m,0)在点B的左侧，点Q(m−12,−√32)，记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“转后距”大于1，直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．2.【答案】D【解析】解：一元二次方程2x2+3x−4=0一次项系数是：3．故选：D．根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．此题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0).这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3.【答案】C【解析】解：点M(1,2)关于原点对称的点的坐标是(−1,−2)．故选：C．直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．4.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=x2向上平移2个单位后的顶点坐标为(0,2)，∴所得抛物线的解析式为y=x2+2．故选：A．求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．5.【答案】D【解析】解：x2+4x+1=0，x2+4x=−1，x2+4x+4=−1+4，(x+2)2=3，故选：D．移项，配方，即可得出选项．本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵OB=OC，∴∠1=∠2，所以A选项的结论成立；∵OA=OB，∴∠4=∠OBA，∴∠AOB=180°−∠4−∠OBA=180°−2∠4，∵△ABC为不等边三角形，∴AB≠BC，∴∠BOC≠∠AOB，而∠BOC=180°−∠1−∠2=180°−2∠1，∴∠1≠∠4，所以B选项的结论不成立；∵∠AOB与∠ACB都对AB⏜，∴∠AOB=2∠ACB，所以C选项的结论成立；∵OA=OC，∴∠OCA=∠3，∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D选项的结论成立．故选：B．利用OB=OC可对A选项的结论进行判断；由于AB≠BC，则∠BOC≠∠AOB，而∠BOC= 180°−2∠1，∠AOB=180°−2∠4，则∠1≠∠4，于是可对B选项的结论进行判断；根据圆周角定理可对C选项的结论进行判断；利用∠OCA=∠3，∠1=∠2可对D选项的结论进行判断．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．7.【答案】C【解析】解：设OB=a，则OP=a−x，则OQ=OPtan∠QPO=(a−x)tan∠QPO，×(a−x)(a−x)tan∠QPO=2tan∠QPO(a−x)2，故y=4S△POQ=4×12∵2tan∠QPO为大于0的常数，故上述函数为开口向上的抛物线，且x=a时，y取得最小值，故选：C．y=4S△POQ=4×1×(a−x)(a−x)tan∠QPO=2tan∠QPO(a−x)2，即可求解．2本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．8.【答案】D【解析】解：A、d(25%)=√2>1，本选项不符合题意．B、当x>50%时，0≤d(x)<2，本选项不符合题意．C、当x1>x2时，d(x1)与d(x2)可能相等，可能不等，本选项不符合题意．D、当x1+x2=100%时，d(x1)=d(x2)，本选项符合题意．故选：D．利用图象判断即可．本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9.【答案】是【解析】解：当x=1时，y=−12=−1，即点A(1,−1)在二次函数y=−x2的图象上，故答案为：是．将x=1代入函数解析式，看y的值是否等于−1，即可解答本题．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10.【答案】8【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，AD=AB，由旋转得：∠ABF=∠D=90°，BF=DE=2，∴∠ABF+∠ABC=180°，∴C、B、F三点在一条直线上，∴CF=BC+BF=6+2=8，故答案为：8．先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF=DE=2，可得FC的长．本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF=DE 是解答本题的关键．11.【答案】0【解析】解：原方程可变形为x2−m=0．∵该方程有两个相等的实数根，∴△=02−4×1×(−m)=0，∴m=0．故答案为：0．将原方程变形为一般式，由根的判别式△=0可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．12.【答案】4【解析】解：如图，⊙O共经过图中4个格点故答案为4．通过作图展示满足条件的格点，然后利用点与圆的位置关系的判定方法进行验证．本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．13.【答案】200(1+x)2=338【解析】解：设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为x，根据题意得：200(1+x)2=338，故答案是：200(1+x)2=338．设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为x，则四月份三月份新注册用户为200(1+ x)，五月份新注册用户是200(1+x)(1+x)，则可以得到方程求解．本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a(1±x)(1±x)= a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．14.【答案】2【解析】解：∵二次函数y=ax2−4ax+1(a是常数)，=2，∴该函数的对称轴是直线x=−−4a2a故答案为：2．根据提满足的函数解析式，可以计算出该函数的对称轴．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.【答案】120【解析】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°．同理，∠BOC=60°，∴∠AOC=∠AOB+∠AOB=120°．故答案是：120．根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，结合图形得到：∠AOC=120°．本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，难度不大．16.【答案】1 3【解析】解：由表格可知，x=−1和x=m时的函数值相等，∵表格中的两个函数对称轴都是直线x=0，∴m+(−1)=0，c+3=d，∴m=1，d−c=3，故答案为：1，3．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得m和d−c的值．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17.【答案】解：x2−6x−16=0，∴(x+2)(x−8)=0，∴x+2=0或x−8=0，解得：x=−2或x=8．【解析】整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．18.【答案】证明：∵∠BCD=∠ABD，∴∠BCD=∠ABE，在△ABE和△BCD中，{AB=BC∠ABE=∠BCD BE=CD，∴△ABE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD．【解析】根据题目中的条件和全等三角形判定的方法，可以写出△ABE≌△BCD成立的条件，然后即可得到AE=BD．本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：(1)∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点A(0,3)，B(1,0)． ∴{c =31+b +c =0，解得：{b =−4c =3， ∴二次函数的解析式为y =x 2−4x +3．(2)由y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，列表得： x0 1 2 3 4 y 3 0 −1 0 3如图即为该函数的图象：【解析】(1)根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)列表，描点连线画出函数图象即可．本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式．20.【答案】解：(1)∵关于x 的方程x 2−4x +m +2=0有两个不相等的实数根， ∴b 2−4ac =16−4(m +2)>0，解得：m <2；(2)∵m <2，∴m 的最大整数值为：1，当m =1时，x 2−4x +3=0，(x −1)(x −3)=0，解得：x 1=1，x 2=3．【解析】(1)直接利用b2−4ac=16−4(m+2)>0，进而得出m的取值范围；(2)利用(1)中所求得出m的值，再代入解方程即可．此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，正确得出m的取值范围是解题关键．21.【答案】证明：(1)连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，∵CA=CB，∴AD=BD，即点D为AB的中点；(2)∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠DEC=180°，而∠AED+∠DEC=180°，∴∠AED=∠B，∵CA=CB，∴∠A=∠B，∴∠A=∠AED，∴AD=DE．【解析】(1)连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，然后根据等腰三角形的性质可得到AD=BD；(2)利用圆内接四边形的性质得到∠B+∠DEC=180°，则可判断∠AED=∠B，再利用等腰三角形的性质得到∠A=∠B，所以∠A=∠AED，从而得到结论．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．22.【答案】(20−x)(−x2+20x)【解析】解：(1)根据题意，知边BC的长为：(20−x)m，矩形ABCD的面积为：(20−x)x=(−x2+20x)m2；故答案是：(20−x)；(−x2+20x)；(2)若矩形ABCD的面积是120m2，则−x2+20x=120．∵△=b2−4ac=−80<0，∴这个方程无解．∴矩形ABCD的面积不可以是120m2．(1)根据矩形的周长公式求得边BC的长度；然后由矩形的面积公式求得矩形ABCD的面积；(2)根据矩形的面积公式得到关于x的方程，通过解方程求得答案．此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+m的图象过点A(1,3)，∴3=−1+m，∴m=4，∴一次函数为y=−x+4，令y=0，得x=4，∴点B的坐标为(4,0)；(2)∵二次函数y=ax2+bx图象过A，B两点，∴{a+b=316a+b=0，解得a=−13，∴抛物线开口向下，∴不等式ax2+bx>−x+m的解集为1<x<4．【解析】(1)根据待定系数法即可求得m的值，即可求得一次函数解析式，然后令y=0，求得x=4，即可得到B的坐标；(2)先求得抛物线的开口向下，然后根据图象即可求得．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．24.【答案】3 0 3.1(写3.0或3.2均可给分)【解析】解：(1)观察图形可知，除了3号点，其他各点都在一个抛物线上，故这个计时点的位置编号可能是3．故答案为：3；(2)∵s=at2+bt+c(t≥0)，当t=0时，s=0，∴0=0+0+c，∴c=0．故答案为：0；(3)当s=30时，过(0,30)作MN//x轴，结合原图中的点，大致找到图象上的一点N，过点N作NP⊥x轴于点P，如图所示：则当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为3.1s.(写3.0或3.2均可给分)．故答案为：3.1(写3.0或3.2均可给分)．(1)观察图形即可得出答案；(2)将(0,0)代入函数解析式可得出c的值；(3)过(0,30)作MN//x轴，再大致找到图象上的一点N，过点N作NP⊥x轴于点P，由图象可得出答案．本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合是解题的关键．25.【答案】(1)证明：连接BD，如图1所示：∵D为AC的中点，∴AD⏜=CD⏜，∴∠ABD=∠CBD，∵OD=OB，∴∠ABD=∠BDO，∴∠CBD=∠BDO，∴OD//BC；(2)解：∵G为BC中点，∴OF⊥BC，由(1)得：OD//BC，∴DO⊥EF，∴△DOE是等腰直角三角形，∴∠OED=45°，∵DE⊥AB，∴∠EOA=∠BOG=45°，∴△OGB是等腰直角三角形，∴BG=√22OB=√22×2=√2，∴BC=2BG=2√2．【解析】(1)连接BD，由D为AC的中点，得AD⏜=CD⏜，则∠ABD=∠CBD，由等腰三角形的性质得∠ABD=∠BDO，推出∠CBD=∠BDO，即可得出结论；(2)由垂径定理得OF⊥BC，由平行线的性质得DO⊥EF，则△DOE是等腰直角三角形，∠OED=45°，易证△OGB是等腰直角三角形，得BG=√22OB，再由BC=2BG，即可得出结果．本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(4,0)和B(−1,0)，∴抛物线的解析式为y=(x−4)(x+1)，即y=x2−3x−4；(2)由y=x2−3x−4可知C(0,−4)，对称轴为直线x=32，设点C向右平移n个单位，所得的点为D，∵点D落在二次函数图象上，∴点C、D关于对称轴对称，∴D(3,−4)，∴n=3；(3)依题意，当自变量取x+4时的函数值，大于自变量取x时的函数值，①当x<x+4≤32时，函数值y随x的增大而减小，与题意不符；②x<32<x+4时，需32−x<x+4−32，方可满足题意，解得−12<x<32；③32≤x<x+4时，函数值y随x的增大而增大，符合题意，此时x≥32，综上，自变量x的取值范围是x>−1．2【解析】(1)根据交点式得y=(x+4)(x−1)，展开即可得到抛物线解析式；(2)根据抛物线的对称性即可求得；(3)分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x的取值范围．本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换−平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．27.【答案】120【解析】解：(1)∵点D是等边△ABC的边BC的中点，∠BAC=30°，∴∠DAB=∠DAC=12∵DA=DE，∴∠AED=∠BAD=30°，∴∠ADE=180°−∠BAD−∠AED=120°，同理：∠ADF=120°，∴∠EDF=360°−∠ADE−∠ADF=120°，故答案为：120；(2)①不发生变化，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵DA=DE=DF，∴点A，E，F在以点D为圆心，DA为半径的圆上，∴∠EDF=2∠BAC=120°，②补全图形如图2所示，四边形BECG为平行四边形，证明如下：由①知，∠EDF=120°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∵∠BDE+∠BED=∠ABC=60°，∴∠BED=∠CDF，∵∠EBD=∠DCF=120°，DE=DF，∴△BDE≌△FCD(AAS)，∴CD=BE，∵点D和点G关于射线AC对称，∴CD=CG，∠DCG=2∠ACD=120°=∠EBD，∴BE=CG，BE//CG，∴四边形BECG是平行四边形．(1)先求出∠DAB=30°，进而求出∠AED=30°，得出∠ADE=120°，同理：∠ADF=120°，即可得出结论；(2)①先求出∠BAC=60°，再判断出点A，E，F在以点D为圆心，DA为半径的圆上，进而得出∠EDF=2∠BAC，即可得出结论；②依题意补全图形如图2所示，先判断出∠BED=∠CDF，进而判断出△BDE≌△FCD(AAS)，得出CD=BE，再由对称性得出CD=CG，∠DCG=2∠ACD=120°=∠EBD，进而得出BE=CG，BE//CG，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，判断出BE=CD是解本题的关键．28.【答案】2【解析】解：(1)①如图，线段OA′，即为图形M′．②观察图象可知，点C为图形N，则“转后距”为线段OC的长=2，故答案为2．③如图2中，连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点O作OD⊥AC于D．∵A(1,√3)，C(2,0)，∴AE=√3，OC=2，CE=1，在Rt△ACE中，AC=√AE2+EC2=√(√3)2+12=2，∵S△AOC=12⋅OC⋅AE=12⋅AC⋅OD，∴OD=AE⋅OCAC=√3，∴“转后距”为√3．(2)如图3中，由题意记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“转后距”大于1，观察图象可知，只要线段PA上的任意一点到阴影部分图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件，即满足条件的m的取值范围为：m<−5或0<m<2．(1)①根据要求画出图形即可．②线段OC的长即为所求．③如图2中，连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点O作OD⊥AC于D.求出线段OD 的长即可．(2)观察图象可知，只要线段PA上的任意一点到阴影部分图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件．本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，“转后距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是画出图形，利用图象法解决问题．。

2023北京清华附中初三（上）期中数学一、选择题（每题2分，共16分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°3．将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（）A．B．C．D．4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝545．一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠06．如果点M（﹣2，y1），N（2，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定7．如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A． B． C．D．8．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°二、填空题（每题2分，共16分）9．点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．10．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是．11．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为．13．如图所示，在⊙O中，已知∠AOB＝100°，则∠ACB＝．14．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米．（精确到1米）15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：．16．某快餐店的价目表如下：元．三、解答题（17题8分，18题3分，19至23题每题5分，24至26题每题6分，27至28题每题7分）17．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．18．（3分）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，求代数式a（a﹣1）+a2+5a的值．19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；．（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是．20．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．DE，（1）依题意补全图形；（2）求证：△AEB≌△ADC；（3）若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0．（1（2）若此方程有一个负数根，求m的取值范围．22．（5分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠CAO＝∠BCD；（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径．23．（5分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2＝mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标；（3）根据图象，直接写出y2＜y1时，x的取值范围．24．（6分）如图，当∠ACB＝90°时，求作直线l上一点P，使∠APB＝45°．小高的做法为：①作出△ABC的外接圆，圆心为M；②作出线段AB的垂直平分线l1，l1与的交点为O；③以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与直线l交点就是使∠APB＝45°的点P．老师说小高的做法是正确的．根据小高设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接OA，OB，∵⊙M是△ABC的外接圆，又在⊙M中，，∴∠ACB＝∠＝90°，∵是AB的垂直平分线，∴OA＝OB（），（填写推理的依据）∴点B也在以O为圆心，以为半径的圆上，∴对于⊙O，AB＝AB，∴（）．（填写推理依据）25．（6分）排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：②判断该运动员第一次发球能否过网（填“能”或“不能”）．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）过（3，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）求c的值（用含a的式子表示）；（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0．①直接写出x1和x2的数量关系；②求a的取值范围．27．（7分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为；（直接写出结果）（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，线段AB＝4，点M，N在线段AB上，且MN＝2，P为MN的中点，如果任取一点Q，将点Q绕点P顺时针旋转180°得到点Q′，则称点Q′为点Q关于线段AB的“旋平点”．（1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0），Q（1，2），如果Q′（a，b）为点Q关于线段AB的“旋平点”，画出示意图，写出a的取值范围；（2）如图2，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，点Q（1，0），如果在直线x＝m上存在点Q关于线段AB的“旋平点”，求m的取值范围．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】根据中心对称的定义得出结论即可．【解答】解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，D选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项是中心对称图形，故选：B．【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．2．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∵∠BAC为所对的圆周角，∠BOC为所对的圆心角，∴∠BAC＝∠BOC＝×100°＝50°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y＝x2﹣1，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．4．16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故选：A．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．【分析】根据判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：36﹣12k＞0且k≠0，∴k≠0且k＜3，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据M，N两点到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点M（﹣2，y1），N（2，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，且1﹣（﹣2）＞2﹣1，∴y1＜y2．故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．7．【分析】先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+c的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，不一致；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，不一致；都过点（0，c），正确；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），一致；故选：D．【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．8．【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）可以大致画出函数图象，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案．【解答】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键．二、填空题（每题2分，共16分）9．【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．10．【分析】首先由①得到a＜0；由②得到﹣≤0；只要举出满足以上两个条件的a、b、c的值即可得出所填答案．【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c，①开口向下，∴a＜0；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b≤0；∴只要满足以上两个条件就行，如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．11．【分析】根据Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m 的方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴CE＝DE＝CD，∵AB＝20，∴OC＝AB＝10，在Rt△COE中，OE＝6，∴CE＝＝＝8，∴CD＝16，故答案为：16．【点评】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．13．【分析】本题考查了圆周角定理，作出圆周角同时结合圆内接四边形的性质解题．【解答】解：作圆周角∠ADB，∵∠AOB＝100°，∴∠D＝∠AOB＝×100°＝50°，在圆内接四边形ACBD中，∠ACB＝180°﹣∠D＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．【点评】本题考查了圆周角定理，作出辅助线是解题的关键．14．【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y＝8，把y＝8代入y＝﹣x2+10得：x＝±4，∴由两点间距离公式可求出EF＝8≈18（米）．【点评】以丽水市“古廊桥文化”为背景呈现问题，考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力，感觉不到“老调重弹”，在考查提取、筛选信息，分析、解决实际问题等能力的同时，发挥了让学生“熏陶文化，保护遗产”的教育功能．15．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE，故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．16．【分析】买套餐最省钱，即分别讨论方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡花的钱，方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水花的钱，方案三：1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐花的钱，结果要最少的钱即可．【解答】解：A套餐便宜21+9﹣28＝2（元），B套餐便宜21+12﹣30＝3（元），C套餐便宜21+9+12﹣38＝4（元），方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡，总共花：5×38+1×30+4×21＝304（元），方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水，总共花：5×28+5×30+12＝302（元），方案三：买1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐，总共花：1×38+5×30+28×4＝300（元），即最低需要300元，故答案为300．【点评】本题考查分类讨论思想，解本题的关键要弄清楚有多少种方案较省钱，找出值最少的即可．三、解答题（17题8分，18题3分，19至23题每题5分，24至26题每题6分，27至28题每题7分）17．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0，x+1＝0，x1＝5，x2＝﹣1；（2）2x2﹣2x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，方程有两个不相等的实数根＝，，．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选项适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入x2+2ax+a2＝3得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2＝3，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：a（a﹣1）+a2+5a＝a2﹣a+a2+5a＝2a2+4a，∵x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，∴1+2a+a2＝3．∴a2+2a＝2．∴原式＝2（a2+2a）＝4．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．19．【分析】（1）求出x＝3，x＝4时y的对应值即可；（2）根据函数图象可直接得出结论；（3）根据函数图象可直接得出结论．【解答】解：（1）当x＝3时，y＝32﹣4×3+3＝9﹣12+3＝0；当x＝4时，y＝42﹣4×4+3＝16﹣16+3＝3．函数图象如图．故答案为：0，3；（2）由函数图象可知，该函数顶点坐标（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）；（3）由函数图象可知，当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为：﹣1≤y≤3．【点评】本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键．20．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据SAS证明三角形全等即可；（3）利用全等三角形的性质解决问题．【解答】（1）解：图数如图所示：（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AE＝AD，∠DAE＝60°，∴∠EAD＝∠BAC，∴∠EAB＝∠CAD，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS）；（3）解：∵△EAB≌△DAC，∴∠AEB＝∠ADC＝105°，∵∠AED＝60°，∴∠BEC＝∠AEB﹣∠AED＝105°﹣60°＝45°．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．21．【分析】（1）进行判别式的值得到Δ＝（m﹣4）2，利用非负数的性质得Δ≥0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（m﹣3）＝（m﹣4）2．∵（m﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0，可得（x﹣1）（x﹣m+3）＝0，解得x1＝1，x2＝m﹣3，若方程有一个根为负数，则m﹣3＜0，故m＜3．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．22．【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证．（2）根据垂径定理求出CE＝4，设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣3，根据勾股定理及圆的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，∴＝，∴∠CAO＝∠BCD；（2）解：设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣BE＝R﹣3，∵AB⊥CD，CD＝8，∴CE＝CD＝×8＝4，在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE2，∴R2＝（R﹣3）2+42，解得R＝，∴⊙O的直径为．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）令y1＝0，得到x2+2x﹣3＝0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标；（3）观察图象可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1．【解答】解：（1）由题意得：，解得：∴抛物线的解析式为y1＝x2+2x﹣3；（2）令y1＝0，得x2+2x﹣3＝0，解这个方程，得x1＝﹣3，x2＝1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0）；（3）观察图象可知，当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．定系数法确定函数解析式，学会利用图象法半径两个函数值的大小，属于中考常考题型．24．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）利用圆周角定理解决问题即可．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）连接OA，OB，∵⊙M是△ABC的外接圆，又在⊙M中，，∴∠ACB＝∠AOB＝90°，∵是AB的垂直平分线，∴OA＝OB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），∴点B也在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴对于⊙O，AB＝AB，∴（同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半）．（填写推理依据）故答案为：∠AOB，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．【分析】（1）①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把（0，2.48）代入解析式求出a即可•；②当x＝9时求出y的值与2.24比较即可；（2）令y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88中的y＝0，解方程求出x的值与18比较即可．【解答】解：（1）①由表中数据可得顶点（4，2.8），设y＝a（x﹣4）2+2.8（a＜0），把（0，2.48）代入得 16a+2.8＝2.48，解得：a＝﹣0.02，∴所求函数关系为y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.8；②能．当x＝9时，y＝﹣0.02（9﹣4）2+2.8＝2.3＞2.24，∴该运动员第一次发球能过网，故答案为：能；（2）判断：没有出界．第二次发球：y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88，令y＝0，则﹣0.02（x﹣4）2+2.88＝0，，解得x1＝﹣8 （舍），x2＝16，∵x2＝16＜18，∴该运动员此次发球没有出界．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．26．【分析】（1）由二次函数的对称轴公式，求出对称轴x＝1；（2）根据对称轴求出抛物线于x轴的交点坐标，即可得出结论；（3）先判断出点，M，N关于抛物线的对称轴对称，再用x1（x2﹣5）≤0，判断出x1≤﹣3或0≤x1≤1，再用判别式判断出a＞0或a＜﹣，用a表示出x1，再分两种情况解不等式（组），即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+c（a≠0），∴函数的对称轴为直线x＝﹣＝1；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线和x轴的一个交点为：（3，0），则另外一个交点为：（﹣1，0），∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，∴c＝﹣3a；（3）①∵点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），∴点M，N关于对称轴x＝1对称，∴＝1，即x1+x2＝2；②由①知，x2＝2﹣x1，∵x1（x2﹣5）≤0，∴x1（2﹣x1﹣5）≤0，∴﹣x1（x1+3）≤0，∴x1（x1+3）≥0，∴x1≤﹣3或x1≥0，∵x1＜x2，∴x1＜1，∴x1≤﹣3或0≤x1＜1，∴x1、x2是方程ax2﹣2ax+c＝3的根，即ax2﹣2ax﹣3a﹣3＝0的两个根，∴Δ＝16a2+12a＝4a（4a+3）＞0，∴a＞0或a＜﹣，∴x＝＝，当a＞0时，解不等式≤﹣3得，0≤a≤；即0＜a≤；当a＜﹣时，解不等式组0≤＜1得，a≥﹣1，∴﹣1≤a＜﹣，即0≤a≤或﹣1≤a＜﹣．【点评】此题主要考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线的对称轴公式，抛物线的性质，确定出点M，N关于对称轴对称是解本题的关键．27．【分析】（1）根据图形旋转的性质可知AB＝AC＝AD，再等腰三角形的性质即可得出结论；（2）过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．先根据AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE＝AM，∠BAE＝∠CAM，所以△AEM是等边三角形．根据AC＝AD，AM⊥CD可知CM＝DM．再根据三角形内角和定理可得出结论．【解答】解：（1）∵线段AC，AD由AB旋转而成，∴AB＝AC＝AD．∴△ABD中，∠ADB＝（180°﹣60°﹣80°）＝20°，△ACD中，∠ADC＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠BDC＝50°﹣20°＝30°．故答案为：30°．（2）如图2，过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．∵∠AMD＝90°，∴∠AMC＝90°．在△AEB与△AMC中，，∴△AEB≌△AMC（AAS）．∴AE＝AM，∠BAE＝∠CAM．∴∠EAM＝∠EAC+∠CAM＝∠EAC+∠BAE＝∠BAC＝60°．∴△AEM是等边三角形．∴EM＝AM＝AE．∵AC＝AD，AM⊥CD，∴CM＝DM．又∵∠DEC＝90°，∴EM＝CM＝DM．∴AM＝CM＝DM．∴∠ACM＝∠CAM，∠ADM＝∠DAM，∴△ACD中，α＝∠CAD＝×180°＝90°．【点评】本题考查的是图形旋转的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质的运用，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．28．【分析】（1）由题知，当点P在（0，0）时a最小值，当点P在（2，0）时，a有最大值，按题中定义解题即可．（2）由点Q在x轴上，当点P也在x轴上时，点Q′的横坐标有最值，由AB长求出弦心距长，在求出OP长，分两种情况求出点Q′坐标即可．【解答】解：（1）如图，当MN一端与A重合时，中点P与O重合，连接OP，将OQ绕点O顺时针旋转180°得到点Q′，由中心对称得点Q′坐标（﹣1，﹣2），当MN一端与B重合时，中点P在（2，0）上，连接PQ，将PQ绕点P顺时针旋转180°得到点Q′，由中心对称得点Q′坐标（3，﹣2），∴﹣1≤a≤3，（2）∵点Q在x轴上，∴当点P也在x轴上时，点Q′的横坐标有最值，如图，作弦心距OM，∴BM＝AM＝×4＝2，∵⊙O半径3，∴OM＝＝，∵PM＝1，∴OP＝＝，当点P在x轴负半轴时，PQ＝+1，∴QQ′＝2PQ＝2+2，∵1﹣（2+2）＝﹣2﹣1，∴Q′（﹣2﹣1，0）；当点P在x轴正半轴时，PQ＝﹣1，∴QQ′＝2PQ＝2﹣2，∵1+（2﹣2）＝2﹣1，∴Q′（2﹣1，0），∴﹣2﹣1≤m≤2﹣1．【点评】本题考查了圆的性质的综合应用，对新定义的理解及对称性质的应用是解题关键．。

北京市海淀区初三数学第一学期期中试题及答案初中数学海淀区九年级第一学期期中练习数学试卷答宴及谗分捻考16医号9 10 11 12•'•斗=4內=-2・ .................. ................................ 5分x-l»±3.A x} «4.r;■・2・................. ….................................. 5分14.计％彳34（护*声・1卜（一2）°.tt： ®St-2v3-3+^3-l^l ............................................ ........................2 •=373-4-1,15.计算2 (272-3)(72 + 1). 解：原式=4 42的一 3运一31-72.16.解法r 违按OC.OZXA ZJCO = 90°. Z/DO = 90°「・•\ m } +2m-5 = 0.•*• rn‘+・5/w ・9-刃（亦十2加-5）-9V AO&^B 的I ［径，C. £）两点在上.4 RtA ACO 和 RtA /DO 中.促OB 的宣径• C\ D 两点在O B 匕Z^CC? = 90% "DO 二AC. AD 3分4分AD^S.解法二连接OC.OD2分••• AC^ADr4分I 4C-5. A 4D = 5.AC^ AD.\OC^OD. imo ・ 0••• RtA ACO 4 RU ADO.7.風 I 刖她方程，+ 2上一5M 0的一个根.$分2 •18・解! （I ） •即为所球.（不写结论的不扣分） 3C.......................................................... 3分（2） 2鬲・ .............................. 3分 四.解备题（本題共20分.毎小題5分） 19・解：设这种药品平均每次降价的百分率足工 依题意.得200(1-x)2 =不合注意■舍去〉. 解鸭勺亦2卫 卒 这种药品号均毎伙降价的百分20%・ .............20・解，如田•当弦CQ 与半径。

2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）A．1，3，1B．1，3，-1C．0，-3，1D．0，-3，-1 1．（2分）一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）解：一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，3，-1．故选：B．【解答】A．B．C．D．2．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）解：选项A、B、C的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【解答】A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．不能确定大小关系3．（2分）已知A（-1，y1），B（-2，y2）都在抛物线y=3x2上，则y1与y2之间的大小关系是（ ）解：∵函数y=3x2上的对称轴为y轴，∴A（-1，y1）、B（-2，y2）在对称轴左侧，∴抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小．∵-1>-2∴y1<y2．故选：B．【解答】A．-3B．-7C．1D．74．（2分）一元二次方程x2-4x+3=0经过配方变形为（x-2）2=k,则k的值是（ ）解：x2-4x+3=0，x2-4x=-3，x2-4x+4=-3+4，（x-2）2=1，∴k=1，故选：C．【解答】A．开口方向改变B．开口大小改变C．对称轴不变D．顶点位置不变5．（2分）将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ）解：将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移后，抛物线对称轴不变，开口方向和大小不变，顶点位置改变，【解答】故选：C ．A ．30B ．45C ．60D ．1056．（2分）陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O 旋转x °可以与自身重合，则x 的值可以是（ ）解：该图形内部是八边形，那么最小的旋转角度为x =3608=45，故选：B ．【解答】A ．2×150x =216B ．150x 2=216C ．150+150x 2=216D ．150（1+x ）2=2167．（2分）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：观鸟记录年度总结2020年：观测鸟类150种2021年：观测鸟类2022年：观测鸟类216种设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ,则下列方程正确的是（ ）解：由题意得：150（1+x ）2=216．故选：D ．【解答】A ．若α=30°，则b =12a B ．若α=45°，则b =2aC ．若α=60°，则b =aD ．若α=90°，则b =2a 8．（2分）如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，将AC 绕点A 逆时针旋转α（0°<α≤90°），得到线段AE ，连接CE ，设AB =a ,CE =b ,下列说法正确的是（ ）√解：当α=30°时，过点C 作CF ⊥AE ，如图：∵四边形是正方形，∴AC =2a ,【解答】√二、填空题（共16分，每题2分）根据旋转的性质可得AE =2a ,∴CF =22a ,AF =62a ,EF =2a −22a ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得b 2=（3-2）a 2，∴b ≠12a ,故A 不合题意；当α=45°时，如图，AE =AC =2a ,CD =a ,根据勾股定理b 2=a 2+（2a ）2=3a 2，∴b =3a ,故B 不合题意；当α=60°时，如图，∵AE =AC 2a ,∴△ACE 是等边三角形，∴b =2a ,故C 不合题意；当α=90°时，如图，∴AC =AE =2a ,∴CE =2a ,∴b =2a .故选：D ．√√√√√√√√√√√√9．（2分）方程x 2-4=0的解是．解：x 2-4=0，移项得：x 2=4，两边直接开平方得：x 1=2，x 2=-2，故答案为：x 1=2，x 2=-2．【解答】10．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，4）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标是．解：∵点A （3，4）与点B 关于原点对称，∴点B 的坐标是（-3，-4）．故答案为：（-3，-4）．【解答】11．（2分）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式 ．解：顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式可为y =-x 2．故答案为：y =-x 2．（答案不唯一）【解答】12．（2分）若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，则实数m 的值为．解：∵关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴（-2）2-4m =0，∴m =1，故答案为：1．【解答】13．（2分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =50°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△ADE ．若AD ⊥BC ，则旋转角的度数是 ．解：∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =12∠BAC ，∵∠BAC =50°，∴∠BAD =25°，故答案为：25°．【解答】14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是 ．解：如图，点Q 即为旋转中心，Q （3，2）．故答案为：（3，2）．【解答】15．（2分）如图，二次函数y =2（x -1）2+k 的图象与y 轴的交点坐标为（0，1），若函数值y <1，则自变量x 的取值范围是 ．解：∵二次函数y =2（x -1）2+k 的图象与y 轴的交点坐标为（0，1），对称轴为直线x =1，∴当x =2时，y =1，∵抛物线开口向上，【解答】三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.∴函数值y <1，自变量x 的取值范围是0<x <2，故答案为：0<x <2．16．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（m ,n ），称关于x 的方程x 2+mx +n =0为点P 的对应方程．如图，点A （-1，0），点B （1，1），点C （-2，2）．给出下面三个结论：①点A 的对应方程有两个相等的实数根；②在图示网格中，若点P （m ,n ）（m ,n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；③线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是．解：①∵点A （-1，0），∴点A 的对应方程为x 2-x =0，解得x =0或x =1，故①错误；②∵点P （m ,n ）（m ,n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，∴方程x 2+mx +n =0有两个相等的实数根，∴Δ=m 2-4n =0，∴m 2=4n ,∵m ,n 都为整数，∴在图示网格中，m ,n 的整数解有V W X m =2n =1、V W X m =−2n =1、V W X m =0n =0共3个；故②正确；③∵点B （1，1），点C （-2，2），∴线段BC 的解析式为y =-13x +43（-2≤x ≤1），∴线段BC 上任意点的坐标为（m ,-13m +43），其对应方程为x 2+mx -13m +43=0，∴Δ=m 2-4（-13m +43）=m 2+43m -163=（m +23）2-529，∵-2≤m ≤1，∴-43≤m +23≤53，∴Δ=（m +23）2-529<0，∴线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确．故答案为：②③．【解答】17．（5分）解方程：x 2-6x +2=0（用配方法）．解：x 2-6x +2=0移项，得x 2-6x =-2，即x 2-6x +9=-2+9，∴（x -3）2=7，解得x -3=±7，即x =3±7．∴x 1=3+7，x 2=3-7．【解答】√√√√18．（5分）如图，⏥ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，EF 过点O 且分别与AD ，BC 交于点E ，F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）记四边形ABFE 的面积为S 1，⏥ABCD 的面积为S 2，用等式表示S 1和S 2的关系．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠OAE =∠OCF ，【解答】在△AOE 和△COF 中，V Y Y W Y Y X ∠OAE =∠OCF OA =OC ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ）．（2）在△ABC 和△CDA 中，V Y Y W Y Y X AB =CD BC =DA AC =CA，∴△ABC ≌△CDA （SSS ），∴S △ABC =S △CDA =12S ⏥ABCD ，∵△AOE ≌△COF ，∴S △AOE =S △COF ，∴S 四边形ABFE =S △四边形ABFO +S △AOE =S △四边形ABFO +S △COF =S △ABC =12S ⏥ABCD ，∴S 1=12S 2．19．（5分）已知m 是方程x 2-x -2=0的根，求代数式 m （m -1）+5 的值．解：∵m 是方程x 2-x -2=0的根，∴m 2-m -2=0，∴m 2-m =2，∴m （m -1）+5=m 2-m +5=2+5=7．【解答】20．（5分）已知二次函数y =x 2-2x .（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点P （-2，7） 该函数的图象上（填“在”或“不在”）．解：（1）列表：x …-10123…y …30-103…描点、连线，画出函数图象如图：；（2）∵当x =-2时，y =x 2-2x =8，∴点P （-2，7）不在该函数的图象上．故答案为：不在．【解答】21．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m -1）x +m -2=0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求m 的取值范围．（1）证明：∵一元二次方程x 2+（m -1）x +m -2=0，∴Δ=（m -1）2-4（m -2）=m 2-2m +1-4m +8=（m -3）2．∵（m -3）2≥0，∴Δ≥0．∴该方程总有两个实数根．（2）解：∵x 2+（m -1）x +m -2=0，∴（x +m -2）（x +1）=0，∴x 1=2-m ,x 2=-1．∵该方程有一个根是正数，∴2-m >0，∴m <2．【解答】22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （-2，4），B （-2，0），将△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OA 'B '（A '，B '分别是A ，B 的对应点）．（1）在图中画出△OA ′B ′，点A '的坐标为 ；（2）若点M （m ,2）位于△OAB 内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90°的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．解：（1）如图，△OA ′B ′即为所求．由图可得，A '（4，2）．故答案为：（4，2）．（2）由题意得，-2<m <-1，∴点M '在线段CD 上，且不与点C ，D 重合，∴1<n <2．【解答】23．（5分）阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为步；②中间小正方形的面积为平方步；③若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为 ；④由②③可得关于x 的方程 ，进而解得矩形田地的宽为24步．解：①∵矩形田地的长与宽之和为60步，∴按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为60步．故答案为：60；②根据题意得：中间小正方形的面积为60×60-864×4=144（平方步）．故答案为：144；③若设矩形田地的宽为x 步，则长为（60-x ）步，中间小正方形的边长为（60-x -x ）=（60-2x ）步，【解答】∴小正方形的面积为（60-2x ）2平方步．故答案为：（60-2x ）2平方步；④由②③可得关于x 的方程：（60-2x ）2=144．故答案为：（60-2x ）2=144．24．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点（1，0），（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当x >3时，对于x 的每一个值，函数y =x +n 的值小于二次函数y =x 2+bx +c 的值，直接写出n 的取值范围．解：（1）∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点（1，0），（3，0），∴二次函数解析式为y =（x -1）（x -3），即y =x 2-4x +3；（2）当直线y =x +n 经过点（3，0）时，3+n =0，解得n =-3，此时函数y =x +n 的值等于二次函数y =x 2+bx +c 的值，所以当n ≤-3时，数y =x +n 的值小于二次函数y =x 2+bx +c 的值，即n 的取值范围为n ≤-3．【解答】25．（6分）在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy ,实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．（1）小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m01234竖直高度y /m 1.6 2.1 2.42.5 2.4①根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为m ；②求小刚第一次的投掷距离；（2）已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次 （填“大”或“小”）．解：（1）①由表格数据可知，抛物线的对称轴为直线x =2+42=3，当x =3时，y =2.5，故答案为：2.5；②设抛物线的解析式为：y =a （x -3）2+2.5，∵当x =0时，y =1.6，∴1.6=a ×32+2.5，解得a =−110，∴抛物线的解析式为：y =−110（x -3）2+2.5，当y =0时，0=−110（x -3）2+2.5，解得x 1=-2（舍去），x 2=8，答：小刚第一次的投掷距离为8m ；（2）∵第二次投掷实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同，∴第二次投掷抛物线对称轴与第一次对称轴相同，又∵第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，第二次投掷距离比第一次远，∴实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小，故答案为：小．【解答】26．（6分）已知二次函数y =12x 2+bx +1．（1）若b =-1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；（2）若对于任意的0≤x ≤2，都有y ≥-1，求b 的取值范围．解：（1）当b =-1时，y =12x 2+bx +1=12x 2-x +1=12（x -1）2+12，∴二次函数图象的对称轴为直线x =1，最小值为12；（2）∵y =12x 2+bx +1，∴对称轴为直线x =-b 2×12=-b ,①当x =-b ≤0，即b ≥0时，∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴当x =0时，y 最小，最小值为1>-1，∴b ≥0；②当0<-b <2时，即-2<b <0，此时对称轴在0～2段内，∴当x =-b 时y 有最小值，∴y min =12×（-b ）2+b ×（-b ）+1=-12b 2+1，令-12b 2+1≥-1，解得-2≤b ≤2，∴-2<b <0；③当x =-b ≥2时，即b ≤-2，∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴当x =2时，y min =12×22+2b +1=2b +3≥-1，解得b ≥-2，∴b =-2，综上所述，b 的取值范围为b ≥-2．【解答】27．（7分）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在AB 上（BD <AD ），过点D 作DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：FD =AB ；（3）DF 交BC 于点G ，用等式表示线段CE 和FG 的数量关系，并证明．（1）解：如图所示：（2）证明：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠B =∠BAC =45°，∵DE ⊥BC ，∴∠B =∠BDE =45°，∴BE =DE ，∵将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，∴AE =EF ，∠AEF =90°=∠BED ，∴∠BEA =∠DEF ，∴△BEA ≌△DEF （SAS ），∴FD =AB ；（3）FG =2CE ，理由如下：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，又∵DE ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴四边形DECH 是矩形，∴EC =DH ，∵DH ⊥AC ，∠BAC =45°，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴AD =2DH =2EC ，∵△BEA ≌△DEF ，∴∠B =∠EDG =45°，∴DE =DG ，∵∠AEF =∠DEC =90°，∴∠DEA =∠CEF ，又∵AE =EF ，∴△DEA ≌△GEF （SAS ），∴FG =AD ，∴FG =2CE ．【解答】√√√√28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 不与原点重合．对于点P 给出如下定义：点P 关于点M 的对称点为P ′，点P ′关于直线OM 的对称点为Q ，称点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．（1）如图，已知点M （t ,0），P （t +1，1），点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．①当t =2时，在图中画出点Q 的位置，并直接写出点Q 的坐标；②PQ 的长度是否与t 有关？若无关，求PQ 的长；若有关，说明理由；（2）已知点A （3，4），△ABC 是边长为2的等边三角形（点A ，B ，C 按逆时针方向排列），点N 是点B 关于点C 的“转称点”，在△A BC 绕点A 旋转的过程中，当BN 最大时，直接写出此时OB 的长．解：（1）①当t =2时，点M （2，0），P （3，1），如图：∵点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．∴P ′（1，-1），Q （1，1）；②∵点M （t ,0），P （t +1，1），∴P ′（t -1，-1），Q （t -1，1），∴PQ ∥x 轴，∴PQ =t +1-（t -1）=2；∴PQ 的长度与t 有无关，PQ 的长为2；（2）如图：由“转称点”的定义得C 为BB ′的中点，D 为NB ′的中点，∴CD ∥BN ，CD =12BN ，∴当CD 最大时，BN 最大，由图得在△ABC 绕点A 旋转的过程中，当O 、B ，C 、B ′共线时，BN 最大，如图：∵△ABC 是边长为2的等边三角形【解答】∴BC =CB ′=2，AH =3，BH =1，∵点A （3，4），∴OA =32+42=5，∴OH =OA 2−AH 2=52−(3)2=22，∴OB =22-1．√√√√√√√。