2018北师大版高中数学必修一学案：第一章 章末复习课 Word版含答案

学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．知识点一四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．知识点二充分条件、必要条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p 是q的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件的充分条件，其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．知识点三全称命题与特称命题1．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．知识点四简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．类型一四种命题及其关系例1写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论．②逆命题：把原命题的条件和结论交换． 否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论． (2)命题真假的判断方法：直接法、间接法跟踪训练1 下列四个结论：①已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”；③命题p 的否命题和命题p 的逆命题同真同假；④若|C |>0，则C >0.其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 类型二 充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例2 (1)设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法(1)定义法；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系判断． 跟踪训练2 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．1122log log a b >>0C ．ln a >ln b >0D ．x a >x b 且x >0.5命题角度2 充分条件与必要条件的应用例3 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练3已知p：2x2－9x＋a<0，q：2<x<3且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．类型三逻辑联结词与量词的综合应用例4已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．跟踪训练4已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x 满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．1．给出命题：若函数y＝f(x)为对数函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．02．已知p：0<a<4，q：函数y＝ax2－ax＋1的值恒为正，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p且q B．(綈p)且(綈q)C．(綈p)且q D．p且(綈q)4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．5．(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？(2)若p：|3x－4|>2，q：1x2－x－2>0，则綈p是綈q的什么条件？1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“若p，则q”，则该命题的否命题是“若綈p，则綈q”；命题的否定为“若p，则綈q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．答案精析知识梳理 知识点一若p ，则q 若q ，则p 若綈p 则綈q 若綈q ，则綈p 题型探究例1 解 逆命题：若x ＝2且y ＝－1， 则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题． 逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题． 跟踪训练1 B [正确的为①③.] 例2 (1)B (2)C解析 (1)∵x 2－3x >0⇒/ x >4， x >4⇒x 2－3x >0，故x 2－3x >0是x >4的必要不充分条件． (2)∵a >0且b >0⇔a ＋b >0且ab >0，∴a >0且b >0是a ＋b >0且ab >0的充要条件．跟踪训练2 C [设条件p 符合条件，则p 是a >b >0的充分条件，但不是a >b >0的必然结果，即有“p ⇒a >b >0，a >b >0D ⇒/p ”．A 选项中，a 2>b 2>0D ⇒/a >b >0，有可能是a <b <0，故A 不符合条件；B 选项中，log 12a >log 12b >0⇔0<a <b <1D ⇒/a >b >0，故B 不符合条件；C 选项中，ln a >ln b >0⇔a >b >1⇒a >b >0，而a >b >0D ⇒/a >b >1，符合条件； D 选项中，x a >x b 且0<x <1时a <b ；x >1时a >b ，无法得到a ，b 与0的大小关系，故D 不符合条件．] 例3 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3. 所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)方法一 綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈qD ⇒/綈p . 设綈p ：A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， 綈q ：B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．方法二 ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， 则{x |2<x ≤3}{x |a <x <3a }，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2. ∴实数a 的取值范围是(1,2]．跟踪训练3 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件， ∴q 是p 的充分条件， 令f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9， ∴实数a 的取值范围是(－∞，9]． 例4 [e,4]解析 p ：a ≥e ，q ：a ≤4，∵p 且q 为真命题，∴p 与q 均为真， 则e ≤a ≤4.跟踪训练4 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0”， 即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}． 当堂训练1．D 2.A 3.D 4.(－∞，0]5．解 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数， ∴两条直线互相垂直，∴p ⇒q .又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴qD ⇒/p . ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)解不等式|3x －4|>2，得 p ：{x |x >2或x <23}，∴綈p ：{x |23≤x ≤2}．解不等式1x 2－x －2>0，得q ：{x |x <－1或x >2}． ∴綈q ：{x |－1≤x ≤2}．∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．。

全集与补集
学习目标.理解全集、补集的概念.准确翻译和使用补集符号和图.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
知识点一全集
思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？
梳理()定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
()记法：全集通常记作．
知识点二补集
思考实数集中，除掉大于的数，剩下哪些数？
梳理
文字语言设是全集，是的一个子集(即⊆)，则由中的元素组成的集合称为中子集的补集(或余集)，记作
符号语言∁＝
图形语言
性质∪(∁)＝，∩(∁)＝∅，∁(∁)＝
类型一求补集
例()若全集＝{∈－≤≤}，＝{∈－≤≤}，则∁等于()
．{<<}．{≤<}
．{<≤}．{≤≤}
()设＝{是小于的正整数}，＝{}，＝{，}，求∁，∁.
()设全集＝{是三角形}，＝{是锐角三角形}，＝{是钝角三角形}，求∩，∁(∪)．
反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助图、数轴、坐标系来求解．
跟踪训练()设集合＝{}，集合＝{}，则∁＝.
()已知集合＝，＝{－－≥}，则∁＝.
()已知全集＝{(，)∈，∈}，集合＝{(，)>}，则∁＝.。

§3集合的基本运算3.1交集与并集课时过关·能力提升1已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数为()A.5B.4C.3D.2答案:D2若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,m=0;当B={-1}时,m=-1;当B={1}时,m=1.故选D.答案:D3已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系的Venn图如图,则阴影部分所示的集合的元素共有() A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个解析:M={x|-1≤x≤3},阴影部分所示的集合为M∩N={1,3}.故阴影部分所示的集合中共有2个元素.答案:B4已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为()A.4B.3C.2D.1解析:联立两集合中的函数关系式由x+y=1得x=1-y,代入x2+y2=1得y2-y=0即y(y-1)=0,解得y=0或y=1,把y=0代入x2+y2=1解得x=1,把y=1代入x2+y2=1解得x=0,所以方程组的解为或有两组解,则A∩B的元素个数为2.故选C.答案:C5已知集合A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合B的子集的个数为() A.6 B.7 C.8 D.9答案:C6设集合A={(x,y)|y=x2-1},B={(x,y)|y=3x-3},则A∩B=.解析:A∩B=--=或={(1,0),(2,3)}.答案:{(1,0),(2,3)}7已知集合A={x|x≤-2,或x>5},B={x|1<x≤m},若A∩B={x|5<x≤7},则m=.解析:将集合A和集合A∩B用数轴表示出来,如图,要使A∩B={x|5<x≤7},则B={x|1<x≤m}={x|1<x≤7}.∴m=7.答案:78某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.解析:设两者都喜欢的有x人,则只喜欢篮球的有(15-x)人,只喜欢乒乓球的有(10-x)人.故(15-x)+(10-x)+x+8=30,解得x=3,所以15-x=12,即所求人数为12.答案:129已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求满足下列条件的a的值.(1)9∈A∩B;(2){9}=A∩B.解(1)∵9∈A∩B,且9∈B,∴9∈A,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.检验,知a=5或a=-3.(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B,∴由(1)知,a=5或a=-3.检验,知a=-3.10已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.分析::由A∪B=A,得B⊆A,则有B=⌀,或B≠⌀,因此对集合B分类讨论.解∵A∪B=A,∴B⊆A.又A={x|-2≤x≤5}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,有m+1>2m-1,∴m<2.当B≠⌀时,如图,由数轴可得解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.★11为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支测绘队,需要24人参加测量,20人参加计算,16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手:其中在参加两项工作的人中,有8人既参加了测量又参加了计算,有6人既参加了测量又参加了绘图,有4人既参加了计算又参加了绘图;另有一些人三项工作都参加了.请问这个测绘队至少有多少人?解由题意可得,测量目前有8+6=14人参加,一共需要24人,所以还差10人;计算目前有8+4=12人参加,一共需要20人,所以还差8人;绘图目前有6+4=10人参加,一共需要16人,所以还差6人,若三项都参加的有x(x≤6)人,则只参加测量的有(10-x)人,只参加计算的有(8-x)人,只参加绘图的有(6-x)人,所以总人数就是x+8+6+4+(10-x)+(8-x)+(6-x)=42-2x≥30,当且仅当x=6时等号成立.由以上分析:可知,三项都参加的有6人时,测绘队总人数最少,且最少为30人.答:这个测绘队至少有30人.★12已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a,m.分析:根据并集、交集的性质转化为B⊆A,C⊆A,而A={1,2},从而转化为B,C中的方程的根的问题,注意运用分类讨论的思想方法.解由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2},因为A∪B=A,所以B⊆A,故B有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.因为x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],所以必有1∈B,因此a-1=1或a-1=2,解得a=2或a=3.又因为A∩C=C,所以C⊆A,故C有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.①若C=⌀,则关于x的方程x2-mx+2=0没有实数根,由Δ=m2-8<0,得-2<m<2;②若C={1},则关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根为1, 所以很显然不成立;③若C={2},同②,也不成立;④若C={1,2},则解得m=3.综上所述,a=2或a=3;m=3或-2<m<2.。

第一章数列学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．知识点一知识网络知识点二对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了________法和________法； 2．在求等差数列和等比数列的前n 项和时，分别用到了____________法和____________法． 3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意____个求其余____个，用到了方程思想．4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n 项和最值问题时，都用到了________思想．5．等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了________．类型一 方程思想求解数列问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .类型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式．反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列． 类型三 函数思想求解数列问题 命题角度1 借助函数性质解数列问题例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1n a n ＋3 (n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n }，这一特殊性对问题结果可能造成影响．跟踪训练3 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N ＋)，求数列{T n }最大项的值与最小项的值．命题角度2 以函数为载体给出数列例4 已知函数f (x )＝2－|x |，无穷数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)若a 1＝0，求a 2，a 3，a 4；(2)若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值．反思与感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .1．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和(n ∈N ＋)，且S 21＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式是________．2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－292n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{na n }中数值最小的项是第________项．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }、{b n }的通项公式．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．答案精析知识梳理 知识点三 1．累加 累乘 2．倒序相加 错位相减 3．三 两 4．函数 5．类比 题型探究例1 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7， a 1＋3 ＋ a 3＋42＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n， ∴b n ＝ln 23n＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝3n n ＋12·ln 2.故T n ＝3n n ＋1 2ln 2.跟踪训练1 解 设数列{}a n 的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1 a 3＋1 ＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )，n ∈N ＋.例2 (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋2，① 则当n ≥2，n ∈N ＋时，有S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1，即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，则a 2＝3a 1＋2＝5，∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵ c n ＝a n 2n ，∴ c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34， c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，∴2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，故S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n －1)·2n －2，前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N＋.跟踪训练2 (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 例3 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2. ∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N ＋)． (2)b n ＝1n a n ＋3 ＝12n n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2 n ＋1 . 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12 n ＋2 －n 2 n ＋1 ＝12 n ＋2 n ＋1>0，∴数列{S n }是递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 跟踪训练3 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－(－12)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1＜S n ≤S 1＝32.故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56且S n －1S n≠0. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.例4 解 (1)由a n ＋1＝f (a n )⇒a n ＋1＝2－|a n |，a 1＝0⇒a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2. (2)∵a 1，a 2，a 3成等比数列⇒a 3＝a 22a 1＝2－|a 2|⇒a 22＝a 1·(2－|a 2|)，且a 2＝2－|a 1|⇒(2－|a 1|)2＝a 1[2－|2－|a 1||]⇒(2－a 1)2＝a 1[2－|2－a 1|]， 分情况讨论：当2－a 1≥0时，(2－a 1)2＝a 1[2－(2－a 1)]＝a 21⇒a 1＝1，且a 1≤2；当2－a 1＜0时，(2－a 1)2＝a 1[2－(a 1－2)]＝a 1(4－a 1)⇒2a 21－8a 1＋4＝0⇒a 21－4a 1＋4＝2⇒(a 1－2)2＝2⇒a 1＝2＋2，且a 1＞2， 综上，a 1＝1或a 1＝2＋ 2.跟踪训练4 解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n＋23，∴a n ＋1－a n ＝23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．当堂训练1．a n ＝36(2n －1) 2.a n ＝3n －16 3 3．a n ＝2n －1，b n ＝3·2n －1。

1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”.3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是”来表示.5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p ，则q ”，其否命题形式为“若綈p ，则綈q ”，其命题的否定为“若p ，则綈q ”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p ，结论q ，改写成“若p ，则q ”的形式再判断.题型一 转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化. 例1 判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.(2)该命题的逆否命题：“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假. (3)该命题的逆否命题：“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它为假命题，故原命题为假. 跟踪训练1 下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2(其中r >0)； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1.解 (1)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件. (2) 綈q ：x ＝－1且y ＝－1，綈p ：x ＋y ＝－2.∵綈q ⇒綈p ，而綈pD ⇒/綈q ，∴綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件.例2 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3， 即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3). (2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈qD ⇒/綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].跟踪训练2 命题p ：任意x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围. 解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2. 由已知条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，－2≤a <1或a >2. 题型二 分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围. 解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真.p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1).(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩[(0，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞).综上，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}， B ＝{a |q (a )}＝{a |0<a <12或a >52}，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈(A ∪B )且a ∉(A ∩B )， 故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).跟踪训练3 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的定义域为R ；命题q ：函数g (x )＝x ＋ax －2在(2，＋∞)上是增函数.如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解 当p 为真命题时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4－4a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >1，∴a >1. 当q 为真命题时，g (x )＝x －2＋2＋a x －2＝1＋a ＋2x －2在(2，＋∞)上是增函数，∴a ＋2<0，即a <－2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 与q 一真一假，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).3.数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上.例4 设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________. 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图像如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1，故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件.故填0<m <1.跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.(0，12)B.(12，1) C.(1,2) D.(2，＋∞) 答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1).1.对于命题的判断问题，在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查.考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容，得到命题者的青睐.该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系.体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求.解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题来解决.2.充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径.通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.3.正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法，熟记规律：已知命题p 、q ，只要有一个命题为假，p 且q 就为假；只要有一个为真，p 或q 就为真，綈p与p真假相对.另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆.4.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真.。

[核心必知]1．集合的含义与标记一般地，指定的某些对象的全体称为集合，常用大写字母A ，B ，C ，D ，…标记．2．元素的定义、标记与特性(1)定义与标记：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，常用小写字母a ，b ，c ，d ，…标记．(2)特征：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．3．元素与集合的关系4.常见集合的符号表示5.集合的常用表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用确定的条件表示某些对象属于这个集合的方法叫作描述法．6．集合的分类按所含元素的个数分为：(1)有限集：含有限个元素的集合． (2)无限集：含无限个元素的集合． (3)空集∅：不含有任何元素的集合．[问题思考]1．通过对集合含义的学习，你认为“我们班中聪明的同学”，“时尚的同学”，“所有的小河”，“很小的数”能组成一个集合吗？为什么？提示：不能，因为没有明确的标准． 2．下列关系正确吗？①0∈N ＋；②π∈R ；③1∈Q ；④0∈Z ；⑤0∈N .提示：②③④⑤正确．3．你认为列举法和描述法分别适合表示什么特点的集合？提示：一般地，列举法适合表示有限集合(当元素个数不太多时)，描述法适合表示无限集或其元素不宜一一列举的集合．讲一讲1．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．[尝试解答] 因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1，若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3和－1，符合要求；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时，集合A 含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.利用集合元素互异性求参数问题 (1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．练一练1．由实数x 2,1,0，x 所组成的集合里最少有________个元素．解析：若x 2＝x ＝1，即x ＝1，则集合中有2个元素；若x 2＝x ＝0，即x ＝0，则集合中也有2个元素，故集合里最少有2个元素．答案：22．若集合A 中有且仅有三个数1,0，a ，若a 2∈A ，求a 的值．解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，所以a 2≠0.若a 2＝1，则a ＝±1，由元素的互异性知a ≠1，所以当a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知，a ＝－1.讲一讲2．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R), 选项中元素与集合的关系都正确的是()A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B[尝试解答]选C集合A中元素y是实数，不是点，故B、D不正确；集合B的元素(x，y)是点而不是实数，所以A不正确，选项C经验证正确．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征，若具有共同的特征，则属于这个集合，否则不属于．(2)当集合是用列举法表示时，若某一元素属于该集合，则该元素与集合中的某一元素相等，解决此问题时要注意集合中元素的互异性，故求解后要检验．练一练3．已知6∈{2,4，x，x2＋x}，则x等于()A．2B．6C．2或6 D．－3或6解析：选D当x＝6时，集合为{2,4,6,42}；当x2＋x＝6，即x＝2或x＝－3，易知x ＝2不合题意；当x＝－3时，集合为{2,4，－3,6}所以a ＝6或－3.4．用符号∈或∉填空．(1)23________{x|x＜11}，2＋5 ________{x|x≤2＋3}；(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N}，(－1,1) ________{y|y＝x2}；(3)设x＝13－52，y＝3＋2π，M＝{m|m ＝a＋b2，a∈Q，b∈Q}，则x________M，y________M.解析：(1)23＝12＞11；2＋5＝(2＋5)2＝7＋210＜7＋212＝(2＋3)2＝2＋3；∴填∉，∈.(2)设n2＋1＝3，n＝±2∉N，∴填∉.把(－1,1)代入y＝x2成立，但(－1,1)是有序实数对，而{y|y＝x2}是y的取值集合，∴填∉.(3)x＝13－52＝－341－5241，－341∈Q，－541∈Q.∴x∈M.∵π∉Q，∴y∉M.∴填∈，∉.答案：(1)∉∈(2)∉∉(3)∈∉讲一讲3．用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于16的质数组成的集合A ；(2)方程x 2－2x ＋1＝0的解组成的集合B ；(3)平面直角坐标系中直线y ＝x 上的点组成的集合C ；(4)所有被3除余1的整数组成的集合D ； (5)E ＝{}(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋；(6)F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫61＋x ∈Z x ∈N .[尝试解答] (1)大于2且小于16的质数有3,5,7,11,13，故A ＝{}3，5，7，11，13.(2)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的解1，故B ＝{1}．(3)平面直角坐标系中直线y ＝x 上的点组成的集合是点集，故C ＝{}x ，yy ＝x ，x ∈R .(4)这一集合中元素的属性为被3除余1且为整数，所以D ＝{}x |x ＝3n ＋1，n ∈Z .(5)∵x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴E ＝{}，，，，，.(6)∵61＋x∈Z ，且x ∈N ，∴1＋x ＝1,2,3,6. ∴x ＝0,1,2,5.即61＋x＝6,3,2,1.∴F ＝{}6，3，2，1.(1)当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：①元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合中的元素不能重复；⑤集合中的元素可以是任何事物．(2)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．练一练5．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ＞0}；②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2,2}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个解析：选A 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，即解集为{(2，－2)}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，故②不正确； 集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相 同．③不正确．已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．[错解] 由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得：a ≤－1，[错因] 涉及关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的问题，易误认为其一定是关于x 的一元二次方程，即a ≠0，而丢掉二次项系数a ＝0的情况，导致错误，解决这类含参数的问题，一定要注意二次项，一次项系数是否为0的情况．[正解] 当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意． 当a ≠0时，则关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程．由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1.综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}．1．下列各组对象中能构成集合的是( )A ．2016年中央电视台春节联欢晚会中吸引观众的演员B ．某校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D ．2015年全国经济百强县 答案：D2．给出以下结论：①{2,4,6,8}与{4,8,2,6}是同一集合； ②{y |y ＝x 2，x ∈R }与{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }是同一集合；③{0,1}与{(0,1)}是不同集合． 其中正确的结论个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C ①正确；②中的两个集合不是同一集合，元素不一样；③中的两个集合也不是同一集合，也是元素不一样．3．给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ＋； ④|－3|∈N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 由元素与集合的关系知①②正确，③④错误．4．集合A ＝{x |mx 2＋2x ＋2＝0}中只有一个元素，则m 的值构成的集合为________．解析：当m ＝0时，A ＝{－1}满足题意； 当m ≠0时，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，A ＝{－2}，满足题意，综上可知．m ＝0，12.∴m 的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，125．设A ＝{x －2,2x 2＋5x,12}，若－3∈A ，则x ＝________.解析：由题意可知：x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.当x －2＝－3时，x ＝－1，把x ＝－1代入集合A 中，x －2＝2x 2＋5x ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－32满足已知条件(x ＝－1舍去)，所以x ＝－32.答案：－326．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合； (2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合．解：(1)绝对值不大于3的整数是－3， －2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2； (3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．一、选择题1．下列四个关系式中，正确的是( ) A ．∅∈{a } B ．a ∉{a } C ．a ∈{a ，b } D ．{a }∈{a ，b } 答案：C 2．有下列说法：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；(3)方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；(4)集合{x |4<x <5}是有限集． 其中正确的说法是( ) A ．只有(1)和(4) B ．只有(2)和(3) C ．只有(2)D ．以上四种说法都不对解析：选C 0∈{0}；方程(x －1)2(x －2)＝0的解集为{1,2}；集合{x |4<x <5}是无限集，只有(2)正确．3．(新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．4．下面六种表示法：①{x ＝2，y ＝1}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1；③{(2,1)}；④(－1,2)；⑤{2,1}；⑥{(x ，y )|x ＝2，或y ＝1}，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②③D ．②③⑥解析：选C 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解是一对有序实数，即是一个点，因此解集应是一个点的集合．用列举法表示为{(2,1)}，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝2，且y ＝1}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.①和⑤是列举法，①中代表两个方程，而不是一个点，⑤中代表两个数．⑥为描述法，但⑥中元素是无数个点，表示两条直线x ＝2及y ＝1上的所有点．④不是集合．二、填空题5．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝________.解析：由已知B ＝{4,9,16}． 答案：{4,9,16} 6．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ∈Z ，且65－a ∈N ＋，则M ＝________.解析：5－a 整除6，故5－a ＝1,2,3,6， 所以a ＝4,3,2，－1. 答案：{4,3,2，－1}7．已知含有三个实数的集合既可表示成⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，又可表示成{a 2，a ＋b,0}，则a 2 012＋a 2 013＝________.解析：依题意b ＝0，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a,0,1}，{a 2，a ＋b,0}＝{a,0，a 2}，于是a 2＝1，∴a ＝－1或a ＝1(舍去)，故a ＝－1， ∴a 2 012＋a 2 013＝0. 答案：08．集合A ＝{x |x 2＋ax －2≥0，a ∈Z }，若－4∈A,2∈A ，则满足条件的a 组成的集合为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－4a －2≥0，4＋2a －2≥0，解得－1≤a ≤72.又∵a ∈Z ，∴满足条件的a 组成的集合为{－1,0,1,2,3}．答案：{－1,0,1,2,3} 三、解答题9．设集合A 含有3个元素a 2＋2a －3,2,3，集合B 含有2个元素2，|a ＋3|，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值．解：因为5∈A ，所以a 2＋2a －3＝5， 解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4.10．数集A 满足条件：若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a∈A . (1)若2∈A ，写出A 中的两个元素； (2)若A 为单元素集合，求出A 和a .解：(1)若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a∈A ， ∴当2∈A 时，11＋2＝13∈A ；当11＋a＝2即a ＝－12时，2∈A .综上可知，A 中还有的两个元素为－12和13. (2)∵A 为单元素集合，则必有：a ＝11＋a， 即a 2＋a －1＝0，解得：a ＝－1－52或a ＝－1＋52，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1－52，a ＝－1－52或A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋52，a ＝－1＋52.。

第1课时集合的含义学习目标 1.通过实例理解集合的有关概念(重点)；2.初步理解集合中元素的三个特性(重点)；3.体会元素与集合的属于关系(重点)；4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象(重、难点)．预习教材P3－4完成下列问题：知识点一集合的概念1．集合与元素的概念(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某中学高一(1)班“所有聪明的同学”组成一个集合．( )(2)由元素1,1,2组成一个集合．( )提示(1)不能组成一个集合，因为“聪明”这个标准不明确，而集合中的元素必须是确定的，即给定一个集合，任何元素是不是这个集合中的元素是确定的．(2)不能．因为集合中的元素是不能重复的，即集合中的元素具有互异性．答案(1)×(2)×知识点二元素与集合的关系【预习评价】1．方程x2＝1的解组成的集合为A，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．1∉AC．－1∈A D．±1＝A解析由x2＝1，得x＝±1，所以集合A中含有元素－1,1.由元素与集合的关系可知－1∈A.∴选C．答案 C2．用符号“∈”或“∉”填空．(1)设集合A是小于11的所有实数组成的集合，则23________A,1＋2________A；(2)设集合C是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________C，(－1,1)________C．解析(1)因为23＝12>11，所以23∉A.因为(1＋2)2＝3＋22<11，所以1＋2 <11，所以1＋2∈A．(2)因为C中的元素是有序实数对，而－1不是数对，所以－1∉C，(－1,1)为有序实数对，且(－1)2＝1，所以(－1,1)∈C．答案(1)∉∈(2)∉∈知识点三常用数集及表示符号1．若a∈N，但a∉N*，则a等于多少？提示N是自然集，N*是正整数，故a＝0．2．如何判断一个元素是否是一个集合的元素？提示要判断一个元素是否是一个集合的元素，只需看这个元素是否具有这个集合中元素的特性．题型一对集合概念的理解【例1】下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体．解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．【训练1】 有下列各组对象： ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数的全体；③平面直角坐标系上到点O 的距离等于1的点的全体； ④直角三角形的全体． 其中能构成集合的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 ①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，小的精确度没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案 A题型二 元素与集合的关系【例2】 (1)设不等式2x －3>0的解集为M ，下列表示正确的是( ) A ．0∈M,2∈M B ．0∉M,2∈M C ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M(2)若集合A 是由所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成的，判断－6＋22是不是集合A 中的元素？(1)解析 由2x －3>0，得x >32，又0<32，2>32，故0∉M,2∈M ，故选B ．答案 B(2)解 是，因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝－2，b ＝2，可得－6＋22，所以－6＋22是集合A 中的元素．规律方法 判断元素与集合关系的两个步骤 (1)确定集合中元素的特征及范围．(2)判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是否在限定的范围内．【训练2】 集合A 是由形如m ＋3n (其中m ，n ∈Z )的数组成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．解 是.12－3＝2＋3＋3－3＝2＋34－3＝2＋3．2＋3＝2＋3×1，因为2,1∈Z ，所以2＋3∈A ， 即12－3∈A ，所以12－3是集合A 中的元素.【例3】 已知集合A 中含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．解 因为1∈A ，所以a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1，当a ＝1时，a ＝a 2，集合A 中有一个元素，所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性，所以a ＝－1．【迁移1】 (变换条件)本例若去掉条件“1∈A ”，其他条件不变，则实数a 的取值范围是什么？解 由题意a 和a 2组成两个元素的集合，则a ≠a 2，解得a ≠0且a ≠1．【迁移2】 (变换条件)本例若将条件“1∈A ”改为“2∈A ”，其他条件不变，求实数a 的值．解 因为2∈A ，所以a ＝2或a 2＝2，即a ＝2或a ＝±2．当a ＝2时，a 2＝4，满足条件；当a ＝－2时，a 2＝2满足条件；当a ＝2时，a 2＝2满足条件，所以a ＝2或a ＝±2．【迁移3】 (变换条件)已知集合A 中含有三个元素a ＋1,3a ，a 2＋1，若1∈A ，求实数a 的值．解 当a ＋1＝1时，a ＝0,3a ＝0，a 2＋1＝1，不满足集合中元素的互异性． 当3a ＝1时，a ＝13，a ＋1＝43，a 2＋1＝109，符合题意．当a 2＋1＝1时，a ＝0，a ＋1＝1,3a ＝0，不满足集合中元素的互异性． 综上可知，实数a 的值为13．规律方法 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的三个步骤课堂达标1．下面各组对象中不能形成集合的是( ) A ．所有的直角三角形 B ．圆上的所有点C ．高一年级中家离学校很远的学生D ．高一年级的班主任解析 对于A ，B ，D 满足集合的含义，对于C 不满足集合中元素的确定性，不能形成集合．答案 C2．若以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－x －2＝0的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 方程x 2－5x ＋6＝0有两个不同的解2,3，方程x 2－x －2＝0也有两个不同的解－1,2，其中2是相同的，在集合M 中作为一个元素，故共有3个元素．答案 C3．已知集合A 中只含有一个元素1，若|b |∈A ，则b ＝________． 解析 由题意|b |＝1，所以b ＝±1． 答案 ±14．设由2,4,6构成的集合为A ，若实数a ∈A 时，6－a ∈A ，则a ＝________． 解析 当a ＝2时，6－a ＝4∈A ；当a ＝4时，6－a ＝2∈A ；当a ＝6时，6－a ＝0∉A .所以a ＝2或4．答案 2或45．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若集合A 与集合B 相等，求实数x ，y 的值．解 因为集合A 与集合B 相等，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝0，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝x 2时，x ＝y ＝0不符合元素的互异性，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝0时，得x ＝1或x ＝0；当x ＝0时，y ＝0不符合元素的互异性，故x ＝1，y ＝0．课堂小结1．研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个特征(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．。

2017-2018学年高中数学北师大版必修1全册同步学案目录第一章1 第1课时集合的含义第一章1 第2课时集合的表示第一章2 集合的基本关系第一章3.1 交集与并集第一章3.2 全集与补集第一章章末复习课第三章1 正整数指数函数第三章2 指数扩充及其运算性质第三章3 指数函数（一）第三章3 指数函数（二）第三章4 第1课时对数第三章4 第2课时对数的运算第三章5.1 对数函数的概念5.2 对数函数y＝log2x的图像和性质第三章5.3 对数函数的图像和性质第三章6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第三章习题课对数函数第三章章末复习课第二章1 生活中的变量关系第二章2.1 函数概念第二章2.2 函数的表示法（一）第二章2.2 函数的表示法（二）2.3 映射第二章3 函数的单调性（一）第二章3 函数的单调性（二）第二章4 二次函数性质的再研究第二章5 简单的幂函数（一）第二章5 简单的幂函数（二）第二章章末复习课第四章1.1 利用函数性质判定方程解的存在第四章1.2 利用二分法求方程的近似解第四章2 实际问题的函数建模第四章章末复习课第1课时 集合的含义学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．知识点一 集合的概念思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？梳理 元素与集合的概念(1)集合：一般地，________________________称为集合．集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…标记．(2)元素：集合中的____________叫作这个集合的元素．常用小写字母a ，b ，c ，d ，…表示集合中的元素．知识点二 元素与集合的关系思考 1是整数吗？12是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为________、__________，数学符号分别为________、________.知识点三元素的三个特性思考1某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？梳理元素的三个特性是指__________、__________、__________.知识点四常用数集及表示符号类型一判断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素． 跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有素数C ．直角坐标平面内第一象限的一些点D ．所有小的正数类型二 元素与集合的关系命题角度1 判定元素与集合的关系 例2 给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ； ④|－3|∈Q ；⑤0∉N ，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件． 跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空． －2________R ；－3________Q ； －1________N ；π________Z .命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现． (2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．跟踪训练3 已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A,2∈A ，则( )A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2类型三元素的三个特性的应用例4已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．跟踪训练4已知集合M是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x.1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根2．下面说法正确的是()A．所有在N中的元素都在N＋中B．所有不在N＋中的数都在Z中C．所有不在Q中的实数都在R中D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()A．1 B．2 C．3 D．44．下列结论不正确的是()A．0∈N B.33C．0∉Q D．－1∈Z5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．答案精析问题导学 知识点一思考 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素． 梳理 (1)指定的某些对象的全体 (2)每个对象 知识点二思考 1是整数；12不是整数；没有．梳理 属于 不属于 ∈ ∉ 知识点三思考1 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合A ，那么任何一个对象a 是不是这个集合中的元素就确定了． 思考2 2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．思考3 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的．由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的． 梳理 确定性 互异性 无序性 知识点四N N *或N ＋ Z Q R 题型探究例1 解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合． (2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．跟踪训练1 B [A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合．] 例2 B [12是实数，①对；2不是有理数，②对； |－3|＝3是自然数，③错； |－3|＝3为无理数，④错； 0是自然数，⑤错． 故选B.]跟踪训练2 ∈ ∈ ∉ ∉ 例3 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N .∴A 中元素有0,1,2. 跟踪训练3 D [∵1∉A ， ∴2×1＋a ≤0，a ≤－2.又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4， ∴－4<a ≤－2.]例4 解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1， 可知a －3＝－3或2a －1＝－3， 当a －3＝－3时，a ＝0； 当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性， 只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3， A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1} ＝{0,5,10}≠B .若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1} ＝{0，－52，54}≠B .故不存在实数a ，x ，使A ＝B . 跟踪训练4 解 当3x 2＋3x －4＝2， 即x 2＋x －2＝0时，x ＝－2，或x ＝1. 经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意． 当x 2＋x －4＝2，即x 2＋x －6＝0时， 则x ＝－3或x ＝2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意． ∴x ＝－3或x ＝2. 当堂训练1．D 2.C 3.C 4.C 5.B第2课时 集合的表示学习目标 1.了解空集、有限集、无限集的概念.2.掌握用列举法表示有限集.3.理解描述法的格式及其适用情形.4.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换．知识点一 集合的分类思考 集合{x ∈R |x 2<0}中有多少个元素？{x ∈R |x 2＝0}呢？{x ∈R |x 2>0}呢？梳理 按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅；含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集． 知识点二 列举法思考 要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？梳理把集合中的元素____________出来写在大括号内的方法叫作列举法．适用于元素较少的集合．知识点三描述法思考能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？梳理描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．符号表示为{|}，如{x∈A|p(x)}．类型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合．(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．反思与感悟(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．(2)列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．跟踪训练1用列举法表示下列集合．(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20的所有素数组成的集合．类型二用描述法表示集合例2试用描述法表示下列集合．(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．引申探究用描述法表示函数y＝x2－2图像上所有的点组成的集合．反思与感悟用描述法表示集合时应注意的四点(1)写清楚该集合中元素的代号．(2)说明该集合中元素的性质．(3)所有描述的内容都可写在集合符号内．(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．跟踪训练2用描述法表示下列集合．(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合；(3)由所有小于10或大于20的实数组成的集合．类型三集合表示的综合应用命题角度1选择适当的方法表示集合例3用适当的方法表示下列集合．(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．跟踪训练3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________________.命题角度2新定义的集合例4对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( ) A ．18 B ．17 D ．16 D ．15反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求． 跟踪训练4 定义集合运算：A ※B ＝{t |t ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A ※B 的所有元素之和为________．1．下面四个判断，正确的个数是( ) (1)0∈∅； (2){0}是空集；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪x ＋y ＝12x ＋2y ＝－2是空集；(4){x 2＋y ＋1＝0}是空集． A ．0 B ．1 C ．2 D ．42．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图像的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}3．设A ＝{x ∈N |1≤x <6}，则下列正确的是( ) A ．6∈A B ．0∈A C ．3∉A D ．3.5∉A 4．第一象限的点组成的集合可以表示为( ) A ．{(x ，y )|xy >0} B ．{(x ，y )|xy ≥0} C ．{(x ，y )|x >0且y >0} D ．{(x ，y )|x >0或y >0}5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( ) A ．{x |x ＝4k －1，k ∈Z }B ．{x |x ＝2k －1，k ∈Z }C．{x|x＝2k＋1，k∈Z} D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}1．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复．(3)元素无顺序．(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．答案精析问题导学知识点一思考0个；1个；无限多个．知识点二思考把它们一一列举出来．梳理一一列举知识点三思考不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．题型探究例1解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．跟踪训练1解(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．例2解(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.故用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．引申探究解{(x，y)|y＝x2－2}．跟踪训练2解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y ＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．(3){x|x<10或x>20}．例3解(1)列举法：{0,2,4}．或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．跟踪训练3{2 000,2 001,2 004}解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1，0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．例4B[因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.]跟踪训练46解析由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.当堂训练1．B 2.D 3.D 4.C 5.A学习目标 1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？梳理一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的______________元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作____________(或__________)，读作“____________”(或“____________”)．子集的有关性质：(1)∅是任何集合A的子集，即∅⊆A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即________．(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么________．(4)若A⊆B，B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.知识点二真子集思考在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？梳理如果集合A⊆B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：__________(或__________)，读作：________________(或______________)．知识点三Venn图思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．梳理一般地，用平面上________曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．类型一求集合的子集例1(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．跟踪训练1适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15 B．16C．31 D．32类型二判断集合间的关系命题角度1概念间的包含关系例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A．P⊆N⊆M⊆QB．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆QD．Q⊆N⊆M⊆P反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．跟踪训练2我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R 表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为______________．命题角度2数集间的包含关系例3设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为()A．A∈B B．B∈AC．A⊆B D．B⊆A反思与感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练3已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则()A．A∈B B．A BC．B A D．B⊆A类型三由集合间的关系求参数(或参数范围)例4已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．反思与感悟集合A的子集可分三类：∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.跟踪训练4已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围．1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()A．P T B．P∈T C．P＝T D．P⃘T3．下列关系错误的是()A．∅⊆∅B．A⊆AC．∅⊆A D．∅∈A4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a可以是()A．3 B．4 C．5 D．61．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A ⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A 中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．答案精析问题导学 知识点一思考 所有的白马都是马，马不一定是白马．梳理 任何一个 A ⊆B B ⊇A A 包含于B B 包含A (2)A ⊆A (3)A ⊆C 知识点二 思考 用真子集．梳理 A B B A A 真包含于B B 真包含A 知识点三 思考 A ⊆B ⊆C 梳理 封闭 题型探究例1 解 (1)∅，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }．(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，2n －1个真子集．如∅，有1个子集，0个真子集．跟踪训练1 A [这样的集合A 有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]例2 B [正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.] 跟踪训练2 NZ Q R例3 C [∵0<2，∴0∈B . 又∵1<2，∴1∈B . ∴A ⊆B .]跟踪训练3 B [由数轴易知A 中元素都属于B ，B 中至少有一个元素如－2∉A ，故有A B .]例4 解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}． (1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a}，∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1. 综上，a ＝0或a ＝1.跟踪训练4 解 (1)当2a －3≥a －2， 即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a <1时，要使A ⊇B ， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在．综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}． 当堂训练1．B 2.A 3.D 4.B 5.D3．1 交集与并集学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、V enn 图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．知识点一 并集思考 某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？梳理 (1)定义：一般地，________________________________的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__________(读作“A并B”)．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________.(3)图形语言：、，阴影部分为A∪B.(4)性质：A∪B＝__________，A∪A＝________，A∪∅＝________，A∪B＝A⇔__________，A________A∪B.知识点二交集思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？梳理(1)定义：一般地，由既______________________________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作__________(读作“A交B”)．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_____________________________________.(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.(4)性质：A∩B＝__________，A∩A＝________，A∩∅＝________，A∩B＝A⇔________，A∩B______A∪B，A∩B________A，A∩B________B.类型一求并集命题角度1数集求并集例1(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是()A．{1,3,4,5,6} B．{3}C．{3,4,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.反思与感悟有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．跟踪训练1(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.命题角度2点集求并集例2集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．反思与感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．跟踪训练2A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．类型二求交集例3(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()A．{0} B．{1} C．{0,1,2} D．{0,1}(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．反思与感悟两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．数轴是集合运算的好帮手，但要画得规范．跟踪训练3(1)集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∩B；(2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B；(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.类型三并集、交集性质的应用例4已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．反思与感悟 解此类题，首先要准确翻译，诸如“A ∪B ＝B ”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．跟踪训练4 设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2}D ．{0,1}2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B 等于( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{0,2}D ．{0,1,2}3．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |0<x <2}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x >1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |0<x <2}4．已知A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合A ∩B 等于( ) A ．∅ B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}5．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或31．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合． (2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．答案精析问题导学知识点一思考19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．梳理(1)由属于集合A或属于集合B A∪B(2){x|x∈A，或x∈B}(4)B∪A A A B⊆A⊆知识点二思考1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．梳理(1)属于集合A又属于集合BA∩B(2){x|x∈A，且x∈B}(4)B∩A A∅A⊆B⊆⊆⊆题型探究例1(1)A[A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此A ∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.](2)解如图：由图知A∪B＝{x|－1<x<3}．跟踪训练1解(1)B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．(2)如图：由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．例2解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．跟踪训练2解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．例3(1)A[在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.](2)D [M ＝{x |－2≤x ＜2}，N ＝{0,1,2}， 则M ∩N ＝{0,1}，故选D.](3)解 A ∩B ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，其几何意义为第一象限所有点的集合． 跟踪训练3 解 (1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤1}． (2)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}． (3)A ∩B ＝∅.例4 解 A ∪B ＝B ⇔A ⊆B . 当2a >a ＋3，即a >3时， A ＝∅，满足A ⊆B . 当2a ＝a ＋3，即a ＝3时， A ＝{6}，满足A ⊆B .当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a >5， 解得a <－4，或52<a <3.综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4或52<a <3}＝{a |a <－4，或a >52}．跟踪训练4 解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A ， ∴2×(12)2＋3p ×12＋2＝0，∴p ＝－53，∴A ＝{12，2}．又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B ，∴2×(12)2＋12＋q ＝0，∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．当堂训练1．B 2.C 3.A 4.A 5.B3.2全集与补集学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．知识点一全集思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？梳理(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的________集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．(2)记法：全集通常记作________．知识点二补集思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？梳理A∪(∁A)＝U，A∩(∁A)＝∅，∁(∁A)＝A。

第1课时交集与并集[核心必知] 1．交集与并集的定义2.交集、并集运算的性质(1)交集运算性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A，(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)．(2)并集运算性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A ⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B＝B，(A ∪B)∪C＝A∪(B∪C)．[问题思考]1．数学活动课上，小强说：“若x∉(A∩B), 则x∉A且x∉B.”小刚说：“若x∉(A∪B)，则x∉A且x∉B.”这两个同学说的都对吗？为什么？提示：A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合，x∉(A∩B)可分三种情况：x∉A且x∈B，x∈A且x∉B，x∉A且x∉B，即小强同学说的不正确．A∪B是由属于A或属于B的元素确定的集合，即A、B两集合的元素都在A∪B中，若x∉(A∪B)，则必有x∉A且x∉B，即小刚同学说的正确．2．当集合A与B没有公共元素时，A与B没有交集，对吗？提示：不对，当A与B没有公共元素时，A与B的交集为空集，即A∩B＝∅.3．能否认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？为什么？提示：不能，因为A与B可能有公共元素，上述观点违背了集合元素的互异性．讲一讲1．(1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N ＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于() A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.[尝试解答](1)选B由已知M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1，0,1,2,3}，∴M∩N＝{－2，－1,0,1}∩{－1,0,1,2,3}＝{－1,0,1}．(2)分别在数轴上表示集合A和B，根据A∩B、A∪B的定义，由图知，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．若本例(2)中集合B＝{x|x≤a}，求A∩B.解：因为A＝{x|－4≤x＜2}，∴当a＜－4时，A∩B＝∅，当－4≤a＜2时，A∩B＝{x|－4≤x≤a}，当a≥2时，A∩B＝A＝{x|－4≤x＜2}．解决此类题目首先应看清集合中元素的属性，是数集还是点集，并化简．然后再按下列规律进行运算：(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并集的定义分别求出；(2)如果集合中的元素是部分连续实数构成时，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．练一练1．(重庆高考)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3}，则A ∩B ＝ ( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,3}D ．{1,2,3} 解析：选C A ∩B ＝{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}．2．已知集合A ＝{x |1≤x ＜3}，B ＝{x |x ＞2}，试求A ∩B 和A ∪B.解：利用数轴易知A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |x ≥1}．讲一讲2．已知A ＝{x |x 2－px －2＝0}，B ＝{x |x 2＋qx ＋r ＝0}，且A ∪B ＝{－2,1,5}，A ∩B ＝{－2}，求p ，q ，r 的值．[尝试解答] ∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈A .将x ＝－2代入x 2－px －2＝0，得p ＝ －1.∴A ＝{1，－2}．∵A ∪B ＝{－2,1,5}，A ∩B ＝{－2}， ∴B ＝{－2,5}．∴4－2q ＋r ＝0且25＋5q ＋r ＝0.解得q ＝－3，r ＝－10.故p ＝－1，q ＝－3，r ＝－10.应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程，不等式(组)等求解，但当出现交集为空集的情形，应首先讨论集合是否为空集．练一练3．设集合A ＝{|a ＋1|,3,5}，集合B ＝{2a ＋1，a 2＋2a ，a 2＋2a －1}，当A ∩B ＝{2,3}时，求A ∪B .解：∵2∈A ， ∴|a ＋1|＝2. ∴a ＝1或a ＝－3.当a ＝1时，集合B 的元素a 2＋2a ＝3,2a ＋1＝3.由集合中元素的互异性知a ≠1. 当a ＝－3时，2a ＋1＝－5，a 2＋2a ＝3，a 2＋2a －1＝2，即集合B ＝{－5,3,2}． ∴A ∪B ＝{－5,2,3,5}．讲一讲3．设A ＝{x |x 2－2x ＝0}；B ＝{x |x 2－2ax＋a 2－a ＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．[尝试解答] 由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.∴A ＝{0,2}． (1)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，B ＝∅，{0}，{2}，{0,2}． 当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a )＝4a <0，∴a <0；当B ＝{0}时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＝0，4a ＝0，∴a ＝0；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＋a 2－a ＝0，4a ＝0，无解；当B ＝{0,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2－a ＝0，得a ＝1.综上所述，得a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤0}．(2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，又∵A ＝{0,2}，而B 中方程至多有两个根，∴A ＝B ，由(1)知a ＝1.解答此类题的关键是利用交集与并集的运算性质，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，将运算结果转化为两集合间的关系，从而构造方程或不等式求解．练一练4．已知集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |m＜x ＜m ＋9}．(1)若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋9≥3，∴－6≤m ≤－2为所求范围． (2)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋9＞－2，m ＜3， ∴－11＜m ＜3为所求范围．在2016年春季召开的校运会上，某班共有28名运动员参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛．同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的运动员．则同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的运动员有多少人？[巧思] 设同时参加田赛和球类比赛的人数为x ，利用Venn 图和题设条件向图中填数，然后利用总人数为28得关于x 的方程求解即可．[妙解] 设参加径赛的运动员组成集合A ，参加田赛的运动员组成集合B ，参加球类比赛的运动员组成集合C .根据题意画出Venn 图，如图所示．设同时参加田赛和球类比赛的人数为x .由题意，得9＋3＋3＋(8－3－x )＋x ＋(14－3－x )＝28，解得x ＝3.所以，同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人．1．(福建高考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( )A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2} 解析：选D 因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}．2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3) 解析：选A 将集合A 与B 在数轴上画出(如图)．由图可知A ∪B ＝(－1,3)，故选A. 3．(浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝( )A ．[－4，＋∞)B ．(－2, ＋∞)C ．[－4,1]D ．(－2,1]解析：选D 由已知得S ∩T ＝{x |x >－2}∩{x |－4≤x ≤1}＝{x |－2<x ≤1}＝(－2,1]，故选D.4．设A ＝{0,1,2,4,5,7}，B ＝{1,3,6,8,9}，C ＝{3,7,8}，则A ∩B ＝________，(A ∩B )∪C ＝________.解析：∵A ∩B ＝{1}，∴(A ∩B )∪C ＝{1}∪{3,7,8}＝{1,3,7,8}． 答案：{1} {1,3,7,8}5．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x >a }且满足A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为________．解析：利用数轴，∵A ∩B ＝∅，∴a ≥1.答案：[1，＋∞)6．已知关于x 的方程3x 2＋px －7＝0的解集为A ，方程3x 2－7x ＋q ＝0的解集为B ，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，求A ∪B .解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，∴－13∈A 且－13∈B .∴3⎝⎛⎭⎫－132＋p ⎝⎛⎭⎫－13－7＝0且3·⎝⎛⎭⎫－132－7×⎝⎛⎭⎫－13＋q ＝0.∴p ＝－20，q ＝－83. 由3x 2－20x －7＝0得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，7，由3x 2－7x －83＝0得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，83，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，83，7.一、选择题1．(四川高考)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则A ∪B ＝ ( )A ．{b }B ．{b ，c ，d }C ．{a ，c ，d }D ．{a ，b ，c ，d } 解析：选D 依题意得知，A ∪B ＝{a ，b ，c ，d }．2．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由已知A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4， ∴a ＝4.3．如图，图形中的阴影部分表示的是 ( )A ．(A ∪C )∩(B ∪C ) B ．(A ∪B )∩(A ∪C ) C ．(A ∪B )∩(B ∪C )D ．(A ∪B )∩C解析：选A 由并集、交集的定义知(A∪C )∩(B ∪C )正确．4．设I ＝{ 1,2,3,4}，A 与B 是I 的子集，若A ∩B ＝{1,3}，则称(A ，B )为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A ，B )与(B ，A )是两个不同的“理想配集”)( )A ．4B ．8C ．9D ．16解析：选C 由题意，可用Venn 图表示所有理想配集如下：所以，符合条件的“理想配集”共有9个． 二、填空题5．(江苏高考)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2，4,6}．答案：{1,2,4,6}6．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．解析：由题意知：a 2＋4＞3，故a ＋2＝3，即a ＝1，经验证，a ＝1符合题意．∴a ＝1.答案：17．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出V enn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．答案：128．已知集合T 是方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ＞0)的解组成的集合，A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,4,7,10}，且T ∩A ＝∅，T ∩B ＝T ，则实数p ＝________，q ＝________.解析：∵Δ＝p 2－4q ＞0，∴方程x 2＋px ＋q ＝0必有两个不等的实数根，即集合T 中含有两个元素．∵A ∩T ＝∅，∴1,3,5,7,9∉T . 又T ∩B ＝T ，∴T B .∴T ＝{4,10}，即4和10是方程x 2＋px ＋q ＝0的根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋10＝－p ，4×10＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－14，q ＝40. 答案：－14 40 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且A ∪B ＝A ，试求实数m 的取值范围．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 又∵A ＝{x |－2≤x ≤5}≠∅， ∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，有m ＋1＞2m －1，∴m ＜2. 当B ≠∅时，如图所示，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可得，实数m 的取值范围是m ＜2或2≤m ≤3，即m ≤3.10．已知集合A ＝{x |x 2－mx ＋m 2－19＝0}，B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}，C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}，是否存在实数m ，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，则说明理由．解：假设存在这样的实数m ， ∵B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}＝{2,3}， C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}＝{－4,2}， 又A ∩C ＝∅，∴2∉A ，－4∉A . 又A ∩B ≠∅，∴3∈A ，把x ＝3代入x 2－mx ＋m 2－19＝0中，解得m ＝5或m ＝－2.当m ＝5时，A ＝{2,3}，与A ∩C ＝∅矛盾，当m ＝－2时，A ＝{－5,3}，符合题意，∴m ＝－2.故存在m ＝－2，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立．第2课时 全集与补集[核心必知]1．全集(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．(2)符号表示：全集通常记作U . 2．补集(1)定义：设U 是全集，A 是U 的一个子集(即A ⊆U )，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的补集(或余集)．(2)符号表示：U 中子集A 的补集记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．(3)图示：用Venn 图表示∁U A ，如图所示．(4)运算性质：①A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅. ②∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )， ∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[问题思考]1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素．2．∁U A 在U 中的补集∁U (∁U A )与集合A 有什么关系？提示：相等．3．∁A C 与∁B C 相等吗？为什么？ 提示：不一定．依据补集的含义，符号∁A C 和∁B C 都表示集合C 的补集，但是∁A C 表示集合C 在全集A 中的补集，而∁B C 表示集合C 在全集B 中的补集，由于集合A 和B 不一定相等，所以∁A C 与∁B C 不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．如集合A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B ＝{0,1,2,3,4}，C ＝{1,3,4}，则∁A C ＝{2,5,6,7,8,9}，∁B C ＝{0,2}，很明显∁A C ≠∁B C .讲一讲1．(1)(广东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，则∁U M＝() A．U B．{1,3,5}C．{3,4,6} D．{2,4,6}(2)U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－8x ＋15＝0}，B＝{2,3,4}，求∁U A，∁U B.[尝试解答](1)选C由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，从而∁U M＝{3,4,6}．(2)法一：U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,5}，∴∁U A＝{1,2,4}，∁U B＝{1,5}．法二：Venn图表示．∴∁U A＝{1,2,4}，∁U B＝{1,5}．在求集合的补集运算时，①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．练一练1．(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，求∁U A，(∁UB)∩A；(2)已知全集U＝{不大于10的非负偶数}，A＝{0,2,4,6}，B＝{x|x∈A且x<4}，求∁U A，A∩(∁U B)．解：(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，结合数轴(如图)：可知∁U A＝{x|1<x≤4}，∁U B＝{x|3<x≤4或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}；(2)法一：由题意知U＝{0,2,4,6,8,10}，A＝{0,2,4,6}，B＝{0,2}，∴∁U A＝{8,10}，∁U B＝{4,6,8,10}．∴A∩(∁U B)＝{4,6}．法二：可用Venn图：∴∁U A＝{8,10}，A∩(∁U B)＝{4,6}．讲一讲2．(1)已知全集U＝{2,0,3－a2}，子集P ＝{2，a2－a－2}，且∁U P＝{－1}，求实数a；(2)已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∁R B，求a的取值范围．[尝试解答](1)∵∁U P＝{－1}，∴－1∈U且－1∉P.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a2＝－1，a2－a－2＝0⇒a＝2.经检验知：a＝2适合题意．(2)∁R B＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，∵A∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＜a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＜a ，2a －2≥2.∴a ≤1. 综上所述，a ≤1或a ≥2.解决此类问题要充分利用补集的定义，借助题干条件，建立关于参数的方程或不等式(组)求解，必要时可借助数轴或Venn 图．练一练2．设集合A ＝{|2a －1|,2}，B ＝{2,3，a 2＋2a －3}且∁B A ＝{5}，则实数a 的值是________．解析：由补集的性质可知：∴⎩⎪⎨⎪⎧|2a －1|＝3，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2. 答案：23．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞2解析：选C ∵B ＝{x |1＜x ＜2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，由A ∪(∁R B )＝R ，如图所示可知a ≥2.讲一讲3．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[尝试解答]在数轴上分别表示出全集U 及集合A ，B (如图所示)，先求出∁U A 及∁U B ，再求解．则∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}， ∁U B ＝{x |x ＜－3，或2＜x ≤4}． 所以A ∩B ＝{x |－2＜x ≤2}； (∁U A )∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}； A ∩(∁U B )＝{x |2＜x ＜3}．解答此类交、并、补综合运算问题，常用方法有两种：(1)通法，利用定义，注意求解的顺序．(2)利用Venn图：要善于用图示法来解决集合的交、并、补的运算问题，注意(∁U A)∩B，(∁U B)∩A等在图示法中的表示如图(1)所示：如图(2)所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：①(∁U A)∩B；②(∁U B)∩A；③A∩B；④∁U(A∪B)．练一练4．已知全集U＝{x|x∈N，且x是不大于20的素数}，M⊆U，N⊆U，且M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求集合M，N.解：用图示法表示集合U，M，N(如图)，将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内．由图可知，M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求：A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.[解]法一：A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}．∵∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二：A∩B，A∪B，A∩(∁U B)求法同解法一．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{1,2,6}，(∁U A)∪B＝∁U(A∩∁U B)＝{1,2,4,6,7,8}．[尝试用另一种方法解题]法三：画出Venn图，如图所示，可得A∩B ＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．1．(辽宁高考)已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}解析：选B 因为A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}．2．设集合A ＝{4,5,6,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选B A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}∴∁U (A ∩B )＝{3,5,6,8}．3．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,2}，N ＝{2,5}，则如图阴影部分表示的集合是()A ．{3,4,5}B ．{1,3,4}C ．{1,2,5}D ．{3,4}解析：选D 由题知，阴影部分是∁U (M ∪N )＝{3,4}．4．(湖南高考)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________.解析：∁U B ＝{2}，A ∪(∁U B )＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}5．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，则实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }．∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)6．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ≤3}，求∁U A ，A ∩B ，∁U (A ∩B )，(∁U A )∩B .解：把全集U 和集合A ，B 在数轴上表示如图所示，则由图可知∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}， A ∩B ＝{x |－2＜x ＜3}，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}， (∁U A )∩B ＝{x |－3＜x ≤－2或x ＝3}．一、选择题1．(山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：选C∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B ＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．2．图中阴影部分表示的集合是()A．A∩(∁U B)B．(∁U A)∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选A显然图中阴影部分为B的补集与集合A的公共部分．即：A∩∁U B.3．(浙江高考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}解析：选D∁U Q＝{1,2,6}，故P∩(∁U Q)＝{1,2}．4．(重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：选D因为A∪B＝{1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.二、填空题5．已知全集U＝R，A＝{x|x＞2}，m∈∁U A，则实数m的取值范围是________．解析：∵U＝R，A＝{x|x＞2}，∴∁U A＝{x|x≤2}．又m∈∁U A，∴m≤2.答案：[2，＋∞)6．已知U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：∁U A＝{钝角三角形或直角三角形}，∁U B＝{锐角三角形或直角三角形}，∴(∁U A)∪(∁U B)＝U.答案：U7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,5}．答案：{2,5}8．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为________．解析：∵M⊆U，∁U M＝{5,7}，∴a－5＝3，∴a＝8.答案：8三、解答题9．设全集U＝{1,2,3,4}，且集合A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若∁U A＝{1,4}，求m 的值．解：∵U＝{1,2,3,4}，∁U A＝{1,4}，又A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}∴A＝{2,3}．∴2,3是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得：2×3＝m，得：m ＝6.10．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．据此，回答以下问题：(1)若U是高一(1)班全体同学的集合，A 是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁U A；(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；(3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男生}，∁U A＝{x|x是高一(1)班的男生}．(2)阴影部分如下图所示．(3)若A－B＝∅，则A⊆B.1.集合的含义与表示 (1)集合中元素的特征：集合中元素具有三大特征：①确定性；②互异性；③无序性．正确理解一个集合应从这三个性质入手去分析，集合中的元素是不能重复的，它是题干中隐含的条件，必须引起注意．含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论．(2)集合的表示法：集合通常有列举法、描述法和图示法三种表示方法．列举法常用来表示有限个或有特殊规律的无限个元素构成的集合；描述法是表示具有某种共同属性的元素构成的集合，要特别注意集合中的代表元素是什么及具备怎样的特征性质．而图示法主要是指集合可借助Venn 图、数轴等直观呈现，体现了数形结合的思想．2．元素与集合、集合与集合的关系 (1)元素与集合的关系有且仅有两种；属于(用符号∈表示)和不属于(用符号∉表示)．如a ∈A ，a ∉B 等．(2)集合与集合的关系是：3．空集的性质空集是一个特殊的集合，它不含任何元素．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中空集极易被忽视，特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时，忽视空集的特殊性往往导致错解．4．集合的基本运算(1)集合的基本运算包括交集、并集和补集运算．要理解三种运算的自然语言、集合语言和图形语言，正确地处理集合与集合之间的关系．(2)在进行集合的交、并、补集的运算时，要善于采用数形结合的思想，用数轴可以形象地表示集合的交集、并集和补集，特别是方程或不等式组的解集在借用数轴分析时，除要正确表示出各不等式的相关的集合外，还需特别注意不等式端点的虚实．Venn 图是集合的图形语言，集合的交、并、补的运算均可以通过Venn 图表示．[典例1] 已知M ＝{1，t }，N ＝{t 2－t ＋1}，若M ∪N ＝M ，求t 的取值集合．[解] ∵M ∪N ＝M ， ∴N ⊆M ，即t 2－t ＋1∈M .(1)若t 2－t ＋1＝1，即t 2－t ＝0，解得t ＝0或t ＝1，而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0.(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由(1)知不合题意．综上所述，t的取值集合为{0}．[借题发挥]对集合含义的考查主要集中于集合中元素的特征，特别是元素互异性的考查，题目中常含有字母参数，解答时，常常先用分类讨论的方法对所给字母逐个讨论，确定出待定字母，再讨论集合间的关系和运算．[对点训练]1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是()A．－1B．0C．1 D．1或－1解析：选A由M∪N＝M知N⊆M.∴a2＝0，或a2＝1.∴a＝0，或a＝1，或a＝－1.而当a＝0，或a＝1时，不满足集合中元素的互异性．∴a＝－1.[典例2]已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B ＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若(∁R A)∪B＝R，求a的取值范围；(3)是否存在a，使(∁R A)∪B＝R，且A∩B ＝∅？[解](1)∵A∩B＝A.∴A⊆B.结合数轴可知，⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋3≥2，即－1≤a≤0.(2)∵A＝{x|0≤x≤2}，∴∁R A＝{x|x<0或x>2}．∵(∁R A)∪B＝R，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋3≥2.∴－1≤a≤0.(3)∵(∁R A)∪B＝R，∴－1≤a≤0，故a＋3∈[2,3]，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾，故a不存在．[借题发挥]解答这类问题，首先要在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简，然后再进行求解，一般规律为：当所给集合是数集，用数轴求解；当所给集合是点集，用数形结合求解；当所给集合是抽象集合，用Venn图求解．[对点训练]2．已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞0}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∩B＝{x|0＜x≤2}，A∪B＝{x|x＞－2}，求a，b的值．解：将集合A，A∩B，A∪B分别在数轴上表示．由A∩B＝{x|0＜x≤2}，知b＝2，且－1≤a≤0，由A∪B＝{x|x＞－2}，知－2＜a≤－1.综上可知a ＝－1，b ＝2.[典例3] 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，A ∩B ＝B ，且B ≠A ，求实数a 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝B ，且B ≠A ， ∴BA .又∵A ＝{1,2}， ∴B ＝∅，{1}，{2}． 当B ＝∅时，Δ＝4－4(a －1)＝4(2－a )<0，a >2. 当B ＝{1}时， 得a －1＝1，a ＝2. 当B ＝{2}时， 无解．综上所述，得a 的取值范围为{a |a ≥2}． [借题发挥] 此类问题常利用集合运算的等价性转化为集合之间的关系求解，注意分类讨论和数形结合思想方法的应用．[对点训练]3．已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}，B ＝{x |2a ＜x ≤a ＋1，a ＜1}，B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：∵a ＜1，∴2a ＜a ＋1，∴B ≠∅. 在数轴上表示集合A ，B ，如图所示．由B ⊆A 知，a ＋1＜－1或2a ≥1，即a ＜－2或a ≥12.又∵a ＜1，∴a ＜－2或12≤a ＜1.故所求a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa <－2或12≤a <1.[典例4] 对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|a ∈A ，b ∈B }记作A ×B .例如，A ＝{1,2}，B ＝{3,4}，则有A ×B ＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B ×A ＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A ×A ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B ×B ＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题．(1)已知C ＝{a }，D ＝{1,2,3}，求C ×D ； (2)已知A ×B ＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A ，B ；(3)A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A ×B 中元素的个数．[解] (1)C ×D ＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}． (2)∵A ×B ＝{(1,2)，(2,2)}， ∴A ＝{1,2}，B ＝{2}．(3)集合A 中的任意一个元素与B 中的一个元素对应后，得到A ×B 中的一个新元素．若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A ×B 中的元素应为mn 个．所以，若A 中有3个元素，B 中有4个元素，则A ×B 中有3×4＝12个元素．[借题发挥] 以集合为背景的新信息题，常见的有定义新概念型，定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是正确理解新的概念或运算再结合集合的含义和运算来解决．[对点训练]4．若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1＝A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是()A．27 B．26C．9 D．8解析：选A当A1为空集时，A2只有一种可能A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆．故集合A的不同分拆种数为27种．（时间：90分钟满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a满足()A．a≤－1B．a≥1C．－1≤a≤1 D．a≤－1或a≥1解析：选C由P∪M＝P，得M⊆P，又M＝{a}，所以－1≤a≤1.2．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于()A．{2,4} B．{1,2,4}C．{2,4,8} D．{1,2,4,8}解析：选C∵M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x 是2的倍数}，∴M∩N＝{2,4,8}．3．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x －1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：选B M＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}．而集合N是连续正奇数构成的集合，∴M∩N＝{1,3}．4．已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x|x ＝2a，a∈A}，则()A．A∩B＝A B．A∩B AC．A∪B＝B D．A∩B A解析：选D∵B＝{x|x＝2a，a∈A}，∴B＝{0,2,4,6}．又A＝{0,1,2,3}，∴A∩B＝{0,2}A.5．(安徽高考)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：选A集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．6．已知非空集合P、Q，定义P－Q＝{x|x ∈P，但x∉Q}，则P－(P－Q)等于() A．P B．QC．P∩Q D．P∪Q解析：选C法一：结合V enn进行分析推理即可得出答案．法二：采用赋值法进行验证可得．令P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{2,3,4,5}，则P －Q＝{1}＝M，P－(P－Q)＝P－M＝{x|x∈P，但x∉M}＝{2,3,4,5}，结合选项应选C.7．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是() A．1 B．2C．3 D．4解析：选B∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，∴集合M必含有a1，a2，且不含有a3.又∵M⊆{a1，a2，a3，a4}，∴M＝{a1，a2}，{a1，a2，a4}，共2个．8．设I是全集，集合P，Q满足P Q，则下列结论中错误的是()A．P∪(∁I Q)≠∅B．(∁I P)∪P＝IC．P∩(∁I Q)≠∅D．(∁I P)∩(∁I Q)≠∁I P解析：选C依题意画出V enn图，如下图所示，显然A，B，D正确．9．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x∈Q6x∈N是有限集．其中，正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．0解析：选D①∵{0}是含有一个元素0的集合，而不是空集，∴①不正确．②当a＝0时，∵0∈N，∴②不正确．③∵x2－2x＋1＝0，x1＝x2＝1，∴{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，∴③不正确．④当x为正整数的倒数时，∵6x∈N，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x∈Q|6x∈N是无限集，∴④不正确．10．若非空集合A，B，U满足A∪B＝U，A∩B＝∅，则称(A，B)为U的一个分割，则集合U＝{1,2,3}的不同分割有()A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B依题意可得，当集合A为{1}时，B为{2,3}；当A为{2}时，B为{1,3}；当A为{3}时，B为{1,2}；同时对调A、B的位置，也可得到三对集合，所以符合条件的有6个．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B 的个数是________．解析：B＝{c}或{a，c}，或{b，c}，或{a，b，c}，共4个．答案：412．设U＝R，M＝{x|x≥2}，N＝{x|－1≤x<5}，则(∁U M)∪(M∩N)等于________．解析：∁U M＝{x|x<2}，M∩N＝{x|2≤x<5}，(∁U M)∪(M∩N)＝{x|x<5}．答案：{x|x<5}13．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人．解析：结合Venn图可知两种都没买的有2人．答案：214．已知集合A、B，定义集合A*B＝{x|x ∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{－2 011,0,2 012}，B＝{－2 012,0，2 012}，则集合A*B ＝________.解析：由题意知，集合A*B中的元素由集合A，B的并集A∪B中的元素去掉交集A∩B中的元素组成．由于A∪B＝{－2 012，－2 011,0,2 012}，A∩B＝{0，2 012}，于是A*B＝{－2 011，－2 012}．答案：{－2 011，－2 012}三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U ＝R.(1)求A∪B，(∁U A)∩B；(2)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}．又∁U A＝{x|x<2或x>8}．∴(∁U A)∩B＝{x|x<2或x>8}∩{x|1<x<6}＝{x|1<x<2}．(2)∵A∩C≠∅，结合数轴可知，a<8.16．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{a|a≥2或a≤－2}，B＝{a|关于x 的方程ax2－x＋1＝0有实数根}．求A∪B，A∩B，A∩(∁U B)．解：对于方程ax2－x＋1＝0，当a＝0时，x＝1，满足题意．当a≠0时，要使该方程有实数根．则Δ＝1－4a≥0，∴a≤14.综上知：a≤14.∴B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa≤14.∴A∪B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa≤14或a≥2，A∩B＝{a|a≤－2}．又∵∁U B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa＞14，∴A∩∁U B＝{a|a≥2}．17.(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A ＝{x |3≤x ≤7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |5－a <x <a }．(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若C ⊆(A ∪B )，求a 的取值范围． 解：(1)借助数轴可知： A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}． ∁R A ＝{x |x <3或x >7}．∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7<x <10}． (2)当5－a ≥a 即a ≤52时，C ＝∅，满足C ⊆A ∪B.当5－a <a 即a >52时，由C ⊆A ∪B ，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ≥2，a ≤10，解得a ≤3. ∴a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≤52∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 52＜a ≤3＝{a |a ≤3}．18．(本小题满分14分)已知A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，若B ∪A ≠A ，求实数a 的取值范围．解：若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ，又∵A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2,4}，|a |>4.∴集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＜0， 即a 2＞16，|a |>4，∴a ＜－4或a ＞4； ②当B 是单元素集时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，∴a ＝－4或a ＝4.若a ＝－4，则B ＝{2}A ；若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ；③当B ＝{－2,4}时，－2,4是方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－2＋4，a 2－12＝－2×4.∴a ＝－2. 综上可得，B ∪A ＝A 时，a 的取值范围为a ＜－4或a ＝－2或a ≥4.∴B ∪A ≠A 时，实数a 的取值范围为－4≤a ＜4，且a ≠－2.。

3．1交集与并集学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、V enn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．知识点一并集思考某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？梳理(1)定义：一般地，________________________________的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__________(读作“A并B”)．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________.(3)图形语言：、，阴影部分为A∪B.(4)性质：A∪B＝__________，A∪A＝________，A∪∅＝________，A∪B＝A⇔__________，A________A∪B.知识点二交集思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？梳理(1)定义：一般地，由既______________________________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作__________(读作“A交B”)．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_____________________________________.(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.(4)性质：A∩B＝__________，A∩A＝________，A∩∅＝________，A∩B＝A⇔________，A∩B______A∪B，A∩B________A，A∩B________B.类型一求并集命题角度1数集求并集例1(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是()A．{1,3,4,5,6} B．{3}C．{3,4,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.反思与感悟有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．跟踪训练1(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.命题角度2点集求并集例2集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．反思与感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．跟踪训练2A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．类型二求交集例3(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()A．{0} B．{1} C．{0,1,2} D．{0,1}(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．反思与感悟 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．数轴是集合运算的好帮手，但要画得规范．跟踪训练3 (1)集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∩B ； (2)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ； (3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∩B .类型三 并集、交集性质的应用例4 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围．反思与感悟 解此类题，首先要准确翻译，诸如“A ∪B ＝B ”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．跟踪训练4 设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于()A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>0} B．{x|x>1}C．{x|1<x<2} D．{x|0<x<2}4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于()A．∅B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或31．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B 但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．答案精析问题导学知识点一思考19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．梳理(1)由属于集合A或属于集合B A∪B(2){x|x∈A，或x∈B}(4)B∪A A A B⊆A⊆知识点二思考1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．梳理(1)属于集合A又属于集合BA∩B(2){x|x∈A，且x∈B}(4)B∩A A∅A⊆B⊆⊆⊆题型探究例1(1)A[A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此A ∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.](2)解如图：由图知A∪B＝{x|－1<x<3}．跟踪训练1解(1)B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．(2)如图：由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．例2解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．跟踪训练2解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．例3(1)A[在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.](2)D[M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M ∩N ＝{0,1}，故选D.](3)解 A ∩B ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，其几何意义为第一象限所有点的集合． 跟踪训练3 解 (1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤1}． (2)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}． (3)A ∩B ＝∅.例4 解 A ∪B ＝B ⇔A ⊆B . 当2a >a ＋3，即a >3时， A ＝∅，满足A ⊆B . 当2a ＝a ＋3，即a ＝3时， A ＝{6}，满足A ⊆B .当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a >5，解得a <－4，或52<a <3.综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4或52<a <3}＝{a |a <－4，或a >52}．跟踪训练4 解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A ， ∴2×(12)2＋3p ×12＋2＝0，∴p ＝－53，∴A ＝{12，2}．又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B ，∴2×(12)2＋12＋q ＝0，∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．当堂训练1．B 2.C 3.A 4.A 5.B。