9二次函数的图像和性质

二次函数的图像和性质
1.二次函数的定义：形如2(0,,)y ax bx c a a b c =++≠且为常数的函数叫关于x 的二次函数。

2.二次函数的解析式的三种形式
（1）一般式（三点式）：2(0)y ax bx c a =++≠，配方后为 。

其中顶点坐标为 ，对称轴为 。

（2）顶点式（配方式）：20()()y a x h k a ≠=-+，其中顶点坐标为 ，对称轴为 。

（3）两根式（零点式）：120()()()y a x x x x a ≠=--，其中12,x x 是方程2
0ax bx c ++=的两个根，同时也是二次函数的图像与x 轴交点()()12,00x x ，，
的横坐标。

求函数解析式时，一般采用 待定系数法 3.二次函数的图像和性质
（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像是一条 ，其对称轴为 ，顶点
坐标为 ，开口方向由 决定。

（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的单调性以对称轴为分界。

当0a >时，函数图像开口向 ，当x ∈ 时，()f x 单调递增， 当x ∈ 时，()f x 单调递减，当x = 时，()f x 有最小值。

min y = 当0a <时，函数图像开口向 ，当x ∈ 时，()f x 单调递增， 当x ∈ 时，()f x 单调递减，当x = 时，()f x 有最大值。

max y = 在作二次函数草图时，往往抓住：开口方向，对称轴，与x 轴交点，与y 轴交点，顶点等。

（3）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当2
40b ac ∆=->时，图像与x 轴有两个交点11(,0)M x ，22(,0)M x ，则
12M M =21x x -==（4）关于二次函数()y f x =的对称轴的判断方法：
①若二次函数对定义域内所有x ，都有12()()f x f x =，则其对称轴为122x x x +=
②若二次函数对定义域内所有x ，都有()()f m x f m x +=-，则其对称轴为x m =。

③若二次函数对定义域内所有x ，都有()()f m x f n x +=-，则对称轴为2m n x +=
④.若二次函数对应方程为()0f x =两根为12,x x ,则对称轴方程为：122
x x x += 4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值
（1）在(,)-∞+∞上的最值
当0a >时，min y =()2f b a -=244ac b a -，当0a <时， ()2f b a -=244ac b a
- （2）在闭区间[],m n 上的最值————“轴变区间定”
二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在闭区间[],m n 上的最值问题，一般情况下，需要分三种情况讨论，依据对称轴与区间的位置关系：2b m a <-，2b n a m ≤≤-,2b n a
>-。

再结合图像分析。

对于二次函数20()()y a x h k a =-+>在闭区间[],m n 上的最值问题，有以下结论： ①若[],h m n ∈，则min ()f k y h ==，{}max max (),()y f m f n =
②若[],h m n ∉，则{}min min (),()y f m f n =，{}max max (),()y f m f n =
（0a <时可仿此讨论） 二、基础题组
1、函数y = -x 2
+1的单调增区间为 。

2、函数f(x)=x 2+mx+1的图像关于直线x = 1对称，则m 的值为 。

3、函数f(x)= 2x 2 –mx +3，当x ]1,(--∞∈时为减函数，则实数m 的取值范围
是 。

4、已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，且其定义域为[a-1,-2a],则a= b= .
三、课内探究
①定轴定区间
例1.求函数y = 2x 2 – 4x -3在下列条件的最值
∈x )1(R ; (2)x ∈[-2,0]; （3）x ∈[2,4]; (4) x ∈[0,3].
[反思]: 请指出以上4个小问题的区别与联系，并抽象概括比较此类二次函数最值的求法。

2、动轴定区间
例2. 已知函数2142
a y x ax =-+-+在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值.
3、定轴动区间
例3. 已知函数2
8()x f x x +=-，求函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值()h t
总结提升
1. 解二次函数最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为2
()y a x h k =-+的形式，得
顶点(,)h k 或对称轴方程x h =
2. 对含有参数的二次函数在闭区间上的值域与最值问题，主要考虑其对称轴与定义域区间
的位置关系，由此进行分类讨论。

如果利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图像对称轴与闭区间的位置关系。

3. 二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域区间左侧，
②对称轴在定义域区间右侧，③对称轴在定义域区间内。

1、已知函数2()2()81f x x m x =-+-的对称轴为10x +=，则m = ，对称轴方程为 ，顶点坐标为 ，当22x -<≤时，最小值为 ，值域为 。

2、若函数2()(2)3f x x a x =+++,[],x a b ∈的图象关于1x =对称，则b = .
★3、已知函数
2()23f x x x =-+在闭区间[]0,m 上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为
4、函数24()4f x x x -=-在闭区间[],1()t t t R +∈上的最小值为()g t
（1）试写出()g t 的函数表达式；（2）求()g t 的最小值。