小学五年级奥数复习：第二讲 数表-从杨辉三角谈起

杨辉三角的数学规律《杨辉三角的数学规律》杨辉三角有着独特而有趣的数学规律：杨辉三角中的每个数等于它上方两数之和，且每行数字左右对称，由1开始逐渐变大再变小到1。

那我们来幽默风趣地解释一下这个规律吧。

把杨辉三角想象成一个金字塔，每个数字就像是金字塔里的小砖块。

这些小砖块可都是有“组织纪律”的呢。

每一个砖块的价值（数值）都是由它头顶上的两个小伙伴相加得来的，就好像它是这两个小伙伴的“结合体”。

而从整体看这个金字塔，每行的数字就像照镜子一样左右对称，1就像是守护在每行两端的忠诚卫士，保卫着中间的数字伙伴们。

再来看实例吧。

我们可以从一个简单的展开式来看杨辉三角的规律体现。

例如，(a + b)²=a²+2ab + b²。

这里的系数1、2、1正好就是杨辉三角第三行的数字。

再看(a + b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，系数1、3、3、1就是杨辉三角的第四行。

这可不是巧合哦，在二项式展开(a + b)ⁿ中，各项的系数正好就是杨辉三角第n + 1行的数字。

这就像是杨辉三角提前就把这些二项式展开的密码给藏在自己的身体里了。

还有一个有趣的现象。

如果我们看杨辉三角中每行数字之和，会发现也是有规律的。

第一行数字之和是1，第二行1+1 = 2，第三行1+2+1 = 4，第四行1+3+3+1 = 8……你会发现第n行数字之和就是2ⁿ⁻¹。

这就像杨辉三角在默默地按照2的幂次来安排每行数字的总和。

比如说，如果把杨辉三角想象成一个兵力分配图，每一行的数字总和就像是这一行的总兵力，那么这个兵力是按照2的幂次增长的，从1个开始，然后2个、4个、8个……在数学研究中，杨辉三角的规律也有着广泛的应用。

在组合数学中，杨辉三角中的数字可以表示组合数。

比如第n行第k个数字就等于从n - 1个元素中选取k - 1个元素的组合数。

这在计算概率等问题时非常有用。

杨辉三角知识讲解
杨辉三角，又被称为杨辉梯形或帕斯卡三角形，是一种数学图形，以数学家杨辉命名。

它的形式如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
..........
杨辉三角的特点是，每个数等于它上方两个数之和。

首行只有一个数为1，其余行每行的第一个数和最后一个数也为1。

杨辉三角中的数字具有很多有趣的性质。

以下是一些常见的性质：
1. 对称性：杨辉三角是关于中心垂直线对称的。

也就是说，从中心列开始，每个数都等于它对称位置的数。

2. 任意行数之和等于2的n次方：杨辉三角的任意一行数字之和等于2的n次方，这里n表示杨辉三角的行数。

3. 组合数性质：杨辉三角的每个数都可以表示为一个组合数。

例如，第n行的第k个数可以表示为C(n-1, k-1)，其中C是组合数。

4. 形成二项式展开式：杨辉三角的每一行的数字依次对应二项式展开式的系数。

例如，第n行的数字依次表示(x+y)^n展开式中的各项系数。

杨辉三角在数学和计算机科学中有着广泛的应用。

它可以用于求解组合数、排列组合问题，以及在动态规划算法中的应用等。

通过杨辉三角，我们可以深入理解数学中的组合数性质和二项式展开式，进一步拓展数学思维。

同时，杨辉三角也为我们提供了一种简便的计算和记忆组合数的方法。

总之，杨辉三角是数学中一个有趣而重要的概念，它的形状和数字特性使得它成为了数学教学和应用的重要工具。

+ 数表—从杨辉三角谈起 2下面是按规律排列的杨辉三角：图(1) 图(2)(1)杨辉三角第8行第2个数是_________;(2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第8行的第3个数是_____．(3)杨辉三角第1行的所有数之和为1，第2行的所有数之和为2，第3行为4，第4行为8，…，那么，第n 行的所有数之和是________.(4)杨辉三角中，第101行中左起第三个数是 ．(5) 5050可能是杨辉三角中第几行的第几个数?[杨辉三角]★★【分析】 ⑴根据题意：每一行第2个数是1n -；所以第8行第2个数是7.(2) 1+2+3+L +6=21．老师可拓展到第n 行的第3个数．(3)第n 行的和是12n -，所以第10行所有数的和是1012512-=.(4)考查学生对杨辉三角形特性的认识． ………………………... (110511051)61441313112111------------------------------------------------------------------------------------------- 例1第三行左起第三个数是11=；第四行左起第三个数是312=+；第五行左起第三个数是6123=++；第六行左起第三个数是101234=+++；……归纳可知，第101行左起第三个数是991001239949502⨯++++==L . 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足21n C -，所以第101行的第三个数是2210111001009949502CC -⨯===. (5)杨辉三角第m 行第n 个数实际就是11n m C --． 11(1)!5050()!(1)!n m m C m n n ---==--，而，101是质数，因此m -1≥101，0<n -1<m -1.当n =2，m =5051;当n ＝3时，m =102；当12m -≥n >3时，存在122111015050n m m C C C --->>=.不会再出现5050.因此5050在左侧只能出现在第5051行第2个数和第102行第3个数．由对称可知，第5051行第5051个数和第102行第100个数也是5050.杨辉三角中，55可能是杨辉三角中第几行的第几个数?[杨辉三角]★★------------------------------------------------------------------------------------------- 练一练【分析】 第56行第2个和第55个；第13行第3个和第11个．(1)如图所示的三角形数表中，满足：①第一行的数为1；②第n 行首尾两数均为n ，其余的数都是等于它肩上的两个数相加；则第50行第2个数是_________.1223434774511141156162525166L L L (2) 下图是按规律排列的三角形数表：1111123211367631①在方格中填上第五行的各个数．②求第10行各数的和．[杨辉三角]★★☆ 【解析】(1)每一行的第二个数是22223(1)2n n n -+++++-=L ，代入50n =后，得第50行第2个数是1226.------------------------------------------------------------------------------------------- 例2(2)由数表可以得到如下的规律，(a )两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包1，其他的数等于上一行对应的数和相邻数的和；(b )每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第n 行数的和是3n -1，由此解决．①1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后面的数就是16、10、4、1；故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1；②93=19683；如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”，有111=+122、111=+236、111=+3412、……、则第11行第2个数（从左往右数）为________。

+五年级第2讲数表――从杨辉三角谈起（A 版）1数表—从杨辉三角谈起2本讲巩固1.观察数表，发现有这样的规律：5131=++，2116104=+++，那么_______B D +=。

[杨辉三角]★0112513213455111121133114641110105116201561172135352171128567056288119368411045ABC D ELL L L L L LL L L L L L L L【答案】23【解析】观察规律.1438B =++=；1710134D ++++=，得15D =；23B D +=。

0112513213455111121133114641110105116201561172135352171128567056288119368411045ABC D ELL L L L L LL L L L L L L L(注：也可解释为：上方是斐波那契数列，下方是杨辉三角)2.如图所示，a 、b 是某行的前两个数，当7a =时，________b =.[杨辉三角]★五年级第2讲数表――从杨辉三角谈起（A 版）2122343 477451114115ab g g g g g g g g g g g【答案】22【解析】第n 行首尾两数均为n ，其余的数都是等于它肩上的两个数相加；7a =，651122b =++=.3.自然数按一定规律排成下表，问第50行的最后一个数是________.[三角形数表]★★12345678910L L L【答案】1275【解析】1+2+3++50=1275L .4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，如下图所示的三角形数表，第一个三角形数表中有1个点，第二个三角形数表有3个点，第三个三角形数表有6个点，…，将1、3、6、10…记为“三角形数”，那么第30个“三角形数”和第28个“三角形数”的差是___________.[三角形数表]★★13610∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙【答案】59【解析】观察图中各项的点数，可知三角形数表的每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，因而可知第30项点数比第29项点数多30个，而第29项比第28项多29个，故可求出第30个“三角形数”比第28个“三角形数”多59．5.将自然数列如下排列：[三角形数表]★★1 2 3 4 5 6 7 8 9 LL则100是第___行第___个数.【答案】10,19【解析】每行最后一个数是行数的平方．100是10的平方，因此是第10行最后一个数．第10行共19个数，因此是第10行的第19个数．复习巩固1.如果规定a ※b =13×a -b ÷8，那么17※24的最后结果是______五年级第2讲数表――从杨辉三角谈起（A 版）3【答案】218【解析】17※24=13×17-24÷8=221-3=2182.王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走50米，就要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远?【答案】700米【解析】设从教室去图书馆闭馆时所用时间是x 分钟7025027014050100705010014012x x x x x x x -=+-=+-=+=（）（）70122700⨯-=（）（米）3.一个无盖的长方体纸盒，长、宽、高分别为8厘米、5厘米、4厘米，表面积是多少平方厘米?【答案】144【解析】表面积为85(8454)2144⨯+⨯+⨯⨯=平方厘米。