2017-2018年天津市滨海新区九年级上学期期中数学试卷及答案

2017-2018学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36）1．（3分）抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴是（）A．直线x=﹣4 B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=42．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜3 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞33．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠ACD=50°，则∠BAD的大小为（）A．35°B．50°C．40°D．60°5．（3分）若抛物线y=x2﹣6x+m﹣2（m是常数）与x轴只有一个交点A，则点A 的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣2，0）C．（3，0） D．（6，0）6．（3分）如图，在⊙O中，若点C是弧BD的中点，则图中与∠BAC相等的角（∠BAC除外）有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．（3分）已知△ACB和△ADE，∠C=∠ADE=90°，D为AB的中点，∠B=60°，将△ADE绕点D顺时针旋转，旋转后DE的对应边DE1恰好经过点C，则旋转角∠ADA1等于（）A．20°B．25°C．30°D．35°8．（3分）如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=31°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数等于（）A．28°B．29°C．30°D．31°9．（3分）如图，△ABC为等边三角形，BC=4，AD是高，O为AD的中点，若⊙O与AB边相切，则⊙O的半径应等于（）A．B．C．D．10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线交于点P，若⊙O的半径为1，则PA的长等于（）A．B．C．D．211．（3分）正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．（3分）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在这个范围内，下列结论：①y有最大值1，没有最小值；②当﹣3＜x＜﹣1时，随着x增大而增大；③方程ax2+bx+c﹣=0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）将抛物线y=2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是．14．（3分）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O 于点E，∠BAC=46°．则∠EBC的度数等于度．15．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ACB绕点B顺时针旋转得到△EDB，且点E在CB的延长线上，连接CD，则∠CDB=度．16．（3分）如图，△ACB中，BC=4，将△ACB绕点B逆时针旋转120°得到△A1C1B，过点C1作C1D⊥CB，与CB的延长线交于点D，则BD的长等于．17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径等于．18．（3分）若抛物线y=mx2+（m﹣3）x+1（m≠0）与x轴的交点至少有一个在原点的右侧．（Ⅰ）当抛物线的开口方向向下时，m的取值范围是；（Ⅱ）当抛物线的开口方向向上时，m的取值范围是．三、解答题（本大题共7小题，共66）19．（8分）已知二次函数y=x2﹣2x．（Ⅰ）求此函数图象的顶点坐标；（Ⅱ）求顶点及抛物线与x轴的两个交点形成的三角形的面积．20．（8分）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2，∠BAC=60°，以AC为边作正方形ACDE，绕点C顺时针旋转Rt△ACB得到△A1CB1，使斜边A1B1恰好经过正方形的顶点D，A1C与AB交于点F．求AF的长．21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠BAC=120°，AB=AC．若AB=3，求AD的长．22．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C是OA的中点，CD⊥OA交⊙O于点D，连接OD．（Ⅰ）如图①，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图②，PD切⊙O于点D，交BA的延长线于点P，过点A作AE∥PD交⊙O于点E，交OD于点F，若⊙O的半径为2，求AE的长．23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的定价增加x个10元．（Ⅰ）填写下表：180190200210…180+10x 每个房间每天定价（元）50494847…住满房间个数（个）（Ⅱ）若游客居住的房间的当天收入为y（元），写出y关于x的函数关系式；（Ⅲ）如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．当房间定价为多少时，宾馆获得的利润W（元）最大？24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，1），点P（0，3），OM 是第一象限的角平分线，过点A作直线AB垂直于y轴，交OM于点B，将线段PB绕点B顺时针旋转90°得到P1B．（Ⅰ）求PP1的长；（Ⅱ）求点P1的坐标．25．（10分）已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（Ⅰ）求该抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；（Ⅱ）点P（m，1）为抛物线上的一个动点，点P关于原点的对称点为P′．①当点P′落在该抛物线上时，求m的值；②当P′落在第二象限内，P′A取得最大值时，求m的值．2017-2018学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36）1．（3分）抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴是（）A．直线x=﹣4 B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=4【解答】解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣4）2﹣5，∴解：抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴是直线x=4．故选：D．2．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜3 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞3【解答】解：因为抛物线过点（3，0），对称轴是x=1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣1，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣1＜x＜3．故选：B．3．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不可以看作是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不可以看作是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、可以看作是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不可以看作是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．4．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠ACD=50°，则∠BAD的大小为（）A．35°B．50°C．40°D．60°【解答】解：连接BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ACD=∠ABD=50°，∴∠BAD=90°﹣50°=40°．故选：C．5．（3分）若抛物线y=x2﹣6x+m﹣2（m是常数）与x轴只有一个交点A，则点A 的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣2，0）C．（3，0） D．（6，0）【解答】解：∵抛物线y=x2﹣6x+m﹣2（m是常数）与x轴只有一个交点，∴△=（﹣6）2﹣4×1×（m﹣2）=0，m=11，∴抛物线y=x2﹣6x+9=（x﹣3）2，∴A（3，0），故选：C．6．（3分）如图，在⊙O中，若点C是弧BD的中点，则图中与∠BAC相等的角（∠BAC除外）有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵点C是弧BD的中点，∴=，∴∠BAC=∠CAD，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∴∠CAD=∠BDC=∠CBD=∠BAC，于是图中与∠BAC相等的角共有3个，故选：B．7．（3分）已知△ACB和△ADE，∠C=∠ADE=90°，D为AB的中点，∠B=60°，将△ADE绕点D顺时针旋转，旋转后DE的对应边DE1恰好经过点C，则旋转角∠ADA1等于（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，由旋转的性质得∠A1DE1=ADE=90°，∵∠C=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADA1=∠ADC﹣∠A1DE1=120°﹣90°=30°，故选：C．8．（3分）如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=31°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数等于（）A．28°B．29°C．30°D．31°【解答】解：连接OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠COB=2∠A=2×31°=62°，∴∠D=90°﹣62°=28°．故选：A．9．（3分）如图，△ABC为等边三角形，BC=4，AD是高，O为AD的中点，若⊙O与AB边相切，则⊙O的半径应等于（）A．B．C．D．【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，AD是高，∴∠BAD=60°，BD=CD=2，∴AD=BD=2，∵O点为AD的中点，∴AO=×2=，在Rt△AOH中，OH=OA=，∵⊙O与AB边相切，OH⊥AB，∴OH为⊙O的半径，即半径为．故选：D．10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线交于点P，若⊙O的半径为1，则PA的长等于（）A．B．C．D．2【解答】解：连接AD、OA，如图，∵PA为切线，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠ADO=∠B=60°，而OD=OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD=60°，在Rt△OAP中，PA=OA=×1=．故选：B．11．（3分）正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接AC；∵四边形ABCD是圆的内接正方形，∴∠ACD=45°；而∠ABP=∠ACP，则∠ABP+∠DCP=∠ACD=45°，故选：C．12．（3分）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在这个范围内，下列结论：①y有最大值1，没有最小值；②当﹣3＜x＜﹣1时，随着x增大而增大；③方程ax2+bx+c﹣=0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：∵当x=﹣3时，y=﹣3，结合图象可知y=﹣3为函数的最小值，∴①y有最大值1，没有最小值，错误；∵二次函数开口向下，且对称轴为x=﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴②当﹣3＜x＜﹣1时，随着x增大而增大，正确；令y=，则方程ax2+bx+c﹣=0的根的个数与抛物线与直线y=的交点的个数一致，结合图象可知当y=时，与抛物线有两个交点，∴③方程ax2+bx+c﹣=0有两个不相等的实数根，正确，∴正确结论的个数是2，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）将抛物线y=2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是y=2x2+3．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是y=2x2+3．故答案为：y=2x2+3．14．（3分）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O 于点E，∠BAC=46°．则∠EBC的度数等于23度．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠ABC=（180°﹣46°）=67°，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°﹣46°=44°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=67°﹣44°=23°．故答案为23．15．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ACB绕点B顺时针旋转得到△EDB，且点E在CB的延长线上，连接CD，则∠CDB=15度．【解答】解：∵∠ABC=30°，∴∠ABE=180°﹣30°=150°，∵△ABC 绕顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，∴∠ABE等于旋转角，即旋转角的度数为150°，∵△ABC 绕顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，∴BC=BD，∠CBD=∠ABE=150°，∴△BCD为等腰三角形，∴∠BDC=（180°﹣150°）=15°．故答案为：15．16．（3分）如图，△ACB中，BC=4，将△ACB绕点B逆时针旋转120°得到△A1C1B，过点C1作C1D⊥CB，与CB的延长线交于点D，则BD的长等于2．【解答】解：由旋转可得，∠CBC1=120°，BC=BC1=4，∵C1D⊥BC，∴∠BC1D=30°，∴BD=BC1=2，故答案为：2．17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径等于2．【解答】解：如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8；根据勾股定理AB==10；四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC﹣AB）；即：r=（6+8﹣10）=2．故答案是：2．18．（3分）若抛物线y=mx2+（m﹣3）x+1（m≠0）与x轴的交点至少有一个在原点的右侧．（Ⅰ）当抛物线的开口方向向下时，m的取值范围是m＜0；（Ⅱ）当抛物线的开口方向向上时，m的取值范围是0＜m≤1．【解答】解：（1）∵抛物线y=mx2+（m﹣3）x+1（m≠0）与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，∴m≠0，∵抛物线的开口向下，∴m＜0，令x=0，则y=1，即当二次函数的y=mx2+（m﹣3）x+1图象向下时，该抛物线与y轴交与正半轴，所以方程mx2+（m﹣3）x+1=0有一正一负两个根，符合题意，故答案为：m＜0；（2）∵抛物线的开口向上，∴m＞0，则，解得，0＜m≤1，故答案为：0＜m≤1．三、解答题（本大题共7小题，共66）19．（8分）已知二次函数y=x2﹣2x．（Ⅰ）求此函数图象的顶点坐标；（Ⅱ）求顶点及抛物线与x轴的两个交点形成的三角形的面积．【解答】解：（I）∵二次函数解析式为y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴此函数图象的顶点坐标为（2，﹣2）．（II）当y=0时，有x2﹣2x=0，解得：x1=0，x2=4，∴S=×（4﹣0）×|﹣2|=4．20．（8分）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2，∠BAC=60°，以AC为边作正方形ACDE，绕点C顺时针旋转Rt△ACB得到△A1CB1，使斜边A1B1恰好经过正方形的顶点D，A1C与AB交于点F．求AF的长．【解答】解：∵四边形ACDE是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°，∵△ACB≌△A1CB1，∴AC=A1C，∠CAB=∠CA1B1=60°，∴A1C=CD，∴△A1CD是等边三角形，∴∠A1CD=60°，∴∠ACF=30°，∴∠AFC=90°，∴AF=AC=1．21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠BAC=120°，AB=AC．若AB=3，求AD的长．【解答】解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠BDC=180°﹣∠BAC=60°，∵AB=AC，∴=，∴∠ADB=∠ADC=30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴AD=AB=3．22．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C是OA的中点，CD⊥OA交⊙O于点D，连接OD．（Ⅰ）如图①，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图②，PD切⊙O于点D，交BA的延长线于点P，过点A作AE∥PD交⊙O于点E，交OD于点F，若⊙O的半径为2，求AE的长．【解答】解：（Ⅰ）连接DA，如图1，∵AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，DC⊥OA，∴DA=DO，又OA=OD，∴AO=OD=DA，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°；（Ⅱ）连接AD，如图2，∵PD与⊙O相切，∴PD⊥DO，∵AE∥PD，∴AE⊥OD，∵△AOD是等边三角形，∴∠DAO=60°，∴∠FAO=30°，∴FO=AO=1，AF=，∴AE=2AF=2．23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的定价增加x个10元．（Ⅰ）填写下表：180190200210…180+10x 每个房间每天定价（元）50494847…50﹣x 住满房间个数（个）（Ⅱ）若游客居住的房间的当天收入为y（元），写出y关于x的函数关系式；（Ⅲ）如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．当房间定价为多少时，宾馆获得的利润W（元）最大？【解答】解：（Ⅰ）180190200210…180+10x 每个房间每天定价（元）50494847…50﹣x 住满房间个数（个）故答案为：50﹣x；（Ⅱ）y=（180+10x）×（50﹣x）=﹣10x2+320x+9000．（Ⅲ）w=（180+10x﹣20）（50﹣x）=﹣10x2+340x+8000=﹣10（x﹣17）2+10890，当x=17时，w取得最大值，最大值为10890元．所以当房价定为350元时，宾馆利润最大，最大利润是10890元．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，1），点P（0，3），OM 是第一象限的角平分线，过点A作直线AB垂直于y轴，交OM于点B，将线段PB绕点B顺时针旋转90°得到P1B．（Ⅰ）求PP1的长；（Ⅱ）求点P1的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵∠AOB=45°，AB⊥y轴，∴∠OBA=45°，∴OA=AB=1，∴PB===，∵∠PBP1=90°，PB=P1B，∴PP1=PB=；（Ⅱ）过P1点作P1E⊥x轴于E，交直线AB于F点，则P1F⊥AB，∵∠PBA+∠P1BF=90°，∠PBA+∠AB=90°，∴∠APB=∠P1BF，在△PAB和△P1BF中，∴△PAB≌△P1FB（AAS），∴P1F=AB=1，BF=PA=2，∵AF∥OE，∴EF=OA=1，∴P1（3，2）．25．（10分）已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（Ⅰ）求该抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；（Ⅱ）点P（m，1）为抛物线上的一个动点，点P关于原点的对称点为P′．①当点P′落在该抛物线上时，求m的值；②当P′落在第二象限内，P′A取得最大值时，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴0=a（3﹣1）2﹣4，解得a=1，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，令y=0可得x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或x=﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0）；（Ⅱ）①由点P（m，1）在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，有l=m2﹣2m﹣3．又点P关于原点的对称点为P′，∴P′（﹣m，﹣1）．∵点P′落在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣l=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即l=﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m1=，m2=﹣；②∵P′落在第二象限内，∴点P（m，1）在第四象限，即m＞0，l＜0．。