第二章 矩阵的数值运算4课时

第一节 MATLAB 中的矩阵的输入§1 直接输入一、直接在工作窗中输入：A=[2, 4, 6, 8;1 3 5 7; 0 0 0 0;1,0,1,0]其意义是定义了矩阵 ,0101000075318642⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 二、如果矩阵中的元素是等步长的，可以用下面的方法A=[1:0.2:2;1:6;2:2:12]A=[1:5]' “'”号在这里表示为转置，而 1:5 中间少了一个循环步长，此时将步长自动取为 1 。

§2 增删改设已经定义 A=[1 2 3 4 5；10 8 6 4 2]; B=[0 1;1 0]; C=[1 2;2 4]，即已定义A= B= C= 1 2 3 4 5 0 1 1 2 10 8 6 4 2 1 0 2 4 则命令：A=[[A(:,1:4);[C ,B]],[0 2 0 4]'] 将 A 定义成：A= 而 A(:,3)=[]； 将删除 A 的第三列 ，得1 2 3 4 0 A= 1 2 4 0 10 8 6 4 2 10 8 4 2 1 2 0 1 0 1 2 1 0 2 4 1 0 4 2 4 0 4§3 命令生成使用 MATLAB 命令生成矩阵一般使用下面的命令 １ 命令 linspace ，它有两个格式：a1=linspace(1,100)%生成一个从1到100的有100 个元素的向量 a2=linspace(0,1)%仍然是有 100 个元素但是是从 0 到 1 的向量 a3=linspace(0,-1) %请与上一个向量进行比较上面是第一种格式 linspace(a,b)，它是将 a 到 b 等分成 100份形成的向量。

第二种格式 linspace(a,b,n) 中的 n 为一个正整数，表示是从 a 到 b 等分成 n 份后形成的向量。

例如a4=linspace(1,100,11)%从1 到100 但只形成11 个元素的向量a5=linspace(1,100,10) %自己体会这个命令作用a6=linspace(0,1,11)'%加上了“'”表示转置a7=linspace(0,-1,10) %自己体会这个命令作用2 命令ones,zeros 分别形成元素全为1或全为零的矩阵它也有两种格式。

选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)189～191页)1. 设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1012，求MN . 解：MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01210. 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a，求a 、b 的值．解：由题意，知MM－1＝E ，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3.3. 求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12－12的特征多项式． 解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[ 1 6－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8， 当λ1＝－3时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1；当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，故特征值λ2＝8的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1 求逆矩阵与逆变换例1 用解方程组的方法求下列矩阵M 的逆矩阵．(1) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101； (2) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221. 解：(1) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－10 1. (2) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝23，d ＝－13，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 23 23－13. 备选变式（教师专享） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)．题型2 求特征值与特征向量 例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.变式训练已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤17，计算M 5β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2) ＝4(λ51α1)－3(λ52α2) ＝4×35⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤975969. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， (1) 求e 1和e 2对应的特征值； (2) 对向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1916， M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，求M 100α→.解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1， 又Me 1→＝λ1e 1→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2→＝λ2e 2→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝x e 1→＋y e 2→，所以M 100α→＝M 100(x e 1→＋y·e 2→)＝xM 100e 1→＋yM 100e 2→＝xλ1001e 1→＋yλ2100e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2100x y .1. 求函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cosx sinx －1的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx ＝－2－12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.2. 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，求矩阵A 的特征值．解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，∴ A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321.∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.∴ 矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，∴ A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 0 3. 4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝[]axbx ＋y，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y.因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上， 所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1， 依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1，而由a>0可得a ＝b ＝1.(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－21. 1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－8，得a ＋1＝－8， 所以a ＝－9. (2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－91，则矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N .解：(解法1)设X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，据题意有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1，所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221.所以X ＝M－1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. 3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－40，∴ 2－2a ＝－4a ＝3.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4. 当λ＝－1时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120013.(2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .(2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc. 若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD，y ＝DyD .请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

2.4 逆变换与逆矩阵2． 4.1逆矩阵的概念课标解读1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件．2．会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质． 3．会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.1二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′)．反过来，若是已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原先的(x ，y )，咱们称它为原变换的逆变换．2．逆矩阵关于二阶矩阵A ，B ，假设AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B . 3．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，那么逆矩阵是惟一的．(2)假设二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，那么AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，假设矩阵A 存在逆矩阵，那么B ＝C . 4．逆矩阵的求法一样地，关于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bcaad －bc . 1．2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？什么缘故？【提示】 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射．2．是不是每一个二阶矩阵都可逆？【提示】 不是，只有当⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 0不可逆． 3．假设二阶矩阵A ，B ，C 都是可逆矩阵，如何求(ACB )－1? 【提示】 依照逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得： (ACB )－1＝[]AC B－1＝B －1(AC )－1＝B －1C －1A －1.利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵从几何变换的观点判定以下矩阵是不是存在逆矩阵，假设存在，请把它求出来；假设不存在，请说明理由．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1； (3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12；(4)D ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 0.【思路探讨】 矩阵→对应的几何变换→判定是不是存在逆变换→假设存在写出逆变换→逆矩阵【自主解答】 (1)矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标维持不变，纵坐标沿y 轴方向紧缩为原先的12，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标维持不变，纵坐标沿y 轴方向伸长为原先的2倍，所对应的变换矩阵记为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (2)矩阵B 对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标维持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )．它存在逆变换：将平面内点的纵坐标维持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )，所对应的变换矩阵记为B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1. (3)矩阵C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y ＝x 上，它不是一一映射，在那个变换下，直线y ＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y ＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C 不存在逆矩阵．(4)矩阵D 对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0. 用几何变换的观点判定矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一样思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)依照逆变换的概念判定该变换是不是具有逆变换；(3)假设有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵．假设将本例中矩阵变成以下矩阵，情形如何？(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －1212 32；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 0； (3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1；(4)D ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. 【解】 (1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 30° －sin 30°sin 30° cos 30°，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 12－12 32. (2)矩阵B 表示的是将平面内所有点垂直投影到x 轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，因此不存在逆变换，故不存在逆矩阵．(3)矩阵C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y y 的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标维持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －y y 的切变变换，故C －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1. (4)矩阵D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向拉伸为原先2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向紧缩为原先的12的伸压变换，故D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12. 求矩阵A 的逆矩阵求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵．【思路探讨】 思路一：设出A －1，利用AA －1＝E ，构建方程组求解．思路二：利用公式A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bca ad －bc 求解． 【自主解答】 法一 设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 因此⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153 －23. 法二 注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3－3－3－5－32－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153 －23. 求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，经常使用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，依照逆矩阵的概念AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的概念列方程组求解，假设方程组有解，即可求出其逆矩阵，假设方程组无解，那么说明此矩阵不可逆，此种方式称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ：①若ad －bc ＝0，那么A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，那么A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bcaad －bc . 求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5. 【解】 法一 利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 31 －11－2111＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－2 1.(2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2－3－2－4－22－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1. 法二 利用待定系数法．(1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1. 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1.从而A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1. 故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.求矩阵AB 的逆矩阵已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1，求矩阵AB 的逆矩阵．【思路探讨】【自主解答】 法一因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 且1×12－0＝12≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎥⎤1212 012012112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2，同理B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1. 因此(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 2. 法二因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1， ∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1. ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×01×1＋0×10×1＋12×0 0×1＋12×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 112. 且1×12－0×1＝12≠0，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎥⎤1212 －112012 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－20 2. 已知矩阵A ，B ，求矩阵AB 的逆矩阵的一样思路： 先求A －1，B －1，再求(AB )－1＝B －1A －1或先求AB ，再求 (AB )－1.已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10－2 1，试求出 (AB )－1.【解】 反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1， (AB )－1＝B －1A －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 454535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25115. (教材第65页习题2.4第5题)已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，试求A －1.(2021·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .【命题用意】 考查逆矩阵、矩阵的乘法，和考查运算求解能力．【解】 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12， 因此A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 1．对任意的二阶非零矩阵A ，B ，C ，考察以下说法： ①(AB )－1＝B －1A －1； ②A (BC )＝(AB )C ； ③若AB ＝AC ，那么B ＝C . 其中正确的选项是________．【解析】 ①中只有当A ，B 都可逆方可，对任意的非零矩阵不必然成立，故①不正确． ②为矩阵乘法的结合律故正确．③中只有当A 存在逆矩阵方可，故③不正确． 【答案】 ②2．矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 b 0 d 可逆的条件是________．【解析】 当1×d －0×b ＝d ≠0时可逆． 【答案】 d ≠03．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0k 1(k ≠0)，那么A －1等于________．【解析】 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0k 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a b ak ＋c bk ＋d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，k ＋c ＝0，d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－k ，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－k 1. 【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－k 14．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 1 2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤213－1 13，那么x ＋y ＝________. 【解析】 ∵AA －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 213－1 13 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －y13x ＋13y 0 1＝E ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，13x ＋13y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－13.∴x ＋y ＝0.【答案】 0n1．已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求那个变换的逆变换的矩阵．【解】 那个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos －π4 －sin －π4sin －π4cos －π4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －22－22 －22. 2．求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1的逆矩阵．【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 1 0. 法二 A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1中，0×1－1×1＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1－1－1－1－10－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 1 0.3．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．【证明】 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－1 1，因此AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，BA ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 因此B 是A 的逆矩阵．4．已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵．【解】 因为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 因此MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12.设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2 d 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c2＝0，d2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 0 2.5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)别离变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判定变换矩阵A 是不是可逆，若是可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．【解】(1)设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，依题意，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.因此A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 1－1 2.(2)变换矩阵A 是可逆的．设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，那么由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 6．设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 a b 1.若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1.【解】 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 1， 因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，因此x 1＋2x 2＝1,3x 1＋x 2＝0，y 1＋2y 2＝0,3y 1＋y 2＝1， 即x 1＝－15，y 1＝25，x 2＝35，y 2＝－15，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 25 35－15. 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1，求知足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－4 3，因此A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，因此A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，因此(A －1A )X ＝A －1B ，因此X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－1 5 －1. 教师备选8．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)别离变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下取得了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－2，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.因此M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，因此2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.2． 4.2二阶矩阵与二元一次方程组课标解读1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义．2．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性．3．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.1将矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 两边的“[ ]”改成“| |”，把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc . 2．二阶行列式与二元一次方程组关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，那么当D ≠0时方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xDy ＝D yD.3．二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .(1)逆矩阵与二元一次方程组令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 为系数矩阵，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为待求向量，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n 是经A 将X 变换后的向量，那么上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AX ＝B ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n . 当A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A －1，那么有X ＝A －1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bca ad －bc . (2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解那个方程组事实上确实是已知变换矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 和变换后的象⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n ，去求在那个变换的作用下的原象．1．二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 与二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 的要紧区别是什么？【提示】 二阶矩阵对应的是变换，是4个数组成的数的方阵，而行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 那么是一个数．写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示．二阶矩阵反映的是变换，二阶行列式是用来判定矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 是不是可逆的．2．二元一次方程组的系数矩阵知足什么条件时，方程组有惟一解？【提示】 当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 是可逆的，那么方程组有惟一解⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n . 3．结合上一节试总结求逆矩阵的经常使用方式有哪几种？【提示】 (1)待定矩阵法：利用AA －1＝E 取得方程组，再用行列式法解方程组即可．(2)行列式法：假设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，且det(A )≠0，则A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ddet A－b detA －c det Aa detA. 利用行列式解方程组利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.【思路探讨】 将方程化成一样形式→求出D ，D x 、D y →求解 【自主解答】 先将方程组改写成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝－2≠0，此方程组存在惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 1 4＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4，因此x ＝D x D＝3，y ＝D y D＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用行列式解方程组的一样思路：先将方程组化成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .再别离求出D ，D x ，D y 然后用求解公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xDy ＝DyD求解．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y －1＝0，－x ＋4y －3＝0.【解】 先将方程组写成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组有惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.因此x ＝D x D＝139，y ＝D y D＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.利用行列式知识求矩阵的逆矩阵利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －11 2的逆矩阵A －1.【思路探讨】 思路一：(待定矩阵法)设待求矩阵→ 利用AA －1＝E 构建二元一次方程组→用行列式解方程组 →A －1思路二：(用行列式法)计算Det(A )→A －1 【自主解答】 法一 (待定矩阵法) 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4a －c 4b －d a ＋2c b ＋2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧4a －c ＝1，a ＋2c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4b －d ＝0，b ＋2d ＝1.先将a ，c 看成未知数，那么D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 －11 2＝9≠0. D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －10 2＝2，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 11 0＝－1， 因此a ＝29，c ＝－19，同理可得：b ＝19，d ＝49，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 29 19－1949. 法二 (用行列式法求逆矩阵)∵det(A )＝4×2－1×(－1)＝9≠0，∴A 可逆，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 29 19－1949. 利用行列式知识求逆矩阵，有两种情形，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A )时用．判定以下矩阵是不是有逆矩阵，假设有，求出逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 14 3；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 31 1. 【解】 (1)∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 14 3＝2×3－4×1＝2，∴A 存在逆矩阵，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32－12－21. (2)∵det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 31 1＝a －3，当a ＝3时，B 不存在逆矩阵； 当a ≠3时，B 存在逆矩阵，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －3－3a －3－1a －3a a －3. 利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例1中的方程组．【思路探讨】 找到A ，X ，B →对应矩阵方程AX ＝B →A －1→X ＝A －1B →得解【自主解答】 令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1，AX ＝B ，因为： A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12， 因此X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用逆矩阵的知识解方程组一样思路；先由方程组找到A ，X ，B ，找到其对应的矩阵方程AX ＝B ，再求出A －1然后由X ＝A －1B ，求出x ，y 即可．利用逆矩阵知识解变式1中的方程组．【解】 令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －3－1 4，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，AX ＝B ，因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 131913， 因此X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49131913⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤139109.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.从几何变换的角度研究方程组解的情况已知二元一次方程组AX ＝B ，A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，试从几何变换的角度研究方程组解的情形．【思路探讨】 找到矩阵A 对应的几何变换→ 判定几何变换的逆变换情形→方程组解的存在情形【自主解答】 对方程AX ＝B ，由于A 对应的是将平面上的点(向量)维持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )的切变变换，2分因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)维持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x－2y ，y )的切变变换，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1，于是原方程组的解X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32在变换矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1对应的变换作用以后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2，故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.从几何变换的角度研究方程组解的情形，关键是找到系数矩阵A 对应的几何变换，将方程组解的情形转化为判定几何变换的逆变换的存在情形研究．假设将本例中A 变成⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，情形如何？ 【解】 矩阵A 对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线y ＝x 上．于是，该方程组的求解就转化为已知投影变换的象B ，试求它的原象，注意到当B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32时，它不在直线y ＝x 上，故它没有原象，也即方程组无解．(教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，4x ＋5y －6＝0.(2021·徐州模拟)利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【命题用意】 此题要紧考查逆矩阵的求法及运算求解能力．【解】 方程组可写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 14 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 14 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32， 因此原方程组的解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝－5，那么x 的值为________．【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝2x －(－3x )＝5x ＝－5， ∴x ＝－1. 【答案】 －12．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝32x －y ＝1的解是________．【解析】 二元一次方程组改写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －32 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31，设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －32 －1.那么det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －32 －1＝5，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－2515. ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1535－25 15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－1. ∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＝3，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－13．假设二阶矩阵X ，知足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 2－1 1则X ＝________.【解析】 因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 2－1 1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 1＝7≠0，因此X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －23 1－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 27－37 17⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57.【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －574．已知某点在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2对应的变换作用下取得点(2,1)，那么该点坐标为________．【解析】 设该点的坐标为(x ，y )，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 00 2＝2≠0，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2可逆，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝错误!)，因此所求点的坐标为错误!. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，121．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.【解】 先将方程组改写成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 3＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 24 3＝1×3－2×4＝－5， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 4＝1×4－2×1＝2， 因此x ＝D x D＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2， 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2．利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵．【解】 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么由AA －1＝E 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋3c 2b ＋3d 5a ＋6c 5b ＋6d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 因此⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，5a ＋6c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3d ＝0，5b ＋6d ＝1. 先将a ，c 看成未知数，那么D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 35 6＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 30 6＝6， D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 15 0＝－5，因此a ＝D a D ＝－2，c ＝D c D ＝53， 同理可得b ＝1，d ＝－23，故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53 －23.3．假设关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x－2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值范围．【解】 该二元一次方程组的一样形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m 2 －3≠0，解得m ≠－32.4．利用逆矩阵解以下方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5.【解】 (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11.令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11， 因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝4－6＝－2≠0，那么矩阵A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－21－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12， 如此，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.(2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 2 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05.同(1)，能够计算⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 2 3的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 2515， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3515 25 15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11， 即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5．设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B . 【解】 ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，因此矩阵A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110310， ∴Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11.6．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00. 【证明】 因为A 是可逆矩阵，那么原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，因此Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的． 7．试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情形，那个地址A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 1，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35.【解】 由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35在A －1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－1 1作用以后的向量， 即Z ＝A －1B . 因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有 Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.教师备选8．试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性．【解】 设A ＝错误!)，X ＝错误!，B ＝错误!，那么AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 1，因此方程组的解X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32在变换矩阵A －1作用以后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝ 2.逆变换与逆矩阵初等变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵可逆矩阵与二元一次方程组综合应用一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方式有两种： 方式一：用代数方式：即待定矩阵法和行列式法求解； 方式二：从几何变换的角度求解．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 5－1 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3 1，求(AB )－1.【解】 法一 ∵AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 5－1 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×4＋5×3 2×4＋5×1－1×－1＋3×3 －1×2＋3×1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 1310 1， ∴det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪11 1310 1＝11－130＝－119.∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11191311910119－11119. 法二 ∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 5－1 3，∴det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4 5－1 3＝12＋5＝17，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117417； 又∵B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3 1，∴det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 3 1＝－1－6＝－7.∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17 27 3717. ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17 27 3717⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17×317＋27×117 －17×－517＋27×417 37×317＋17×117 37×－517＋17×417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11191311910119 －11119. 二、二元一次方程组的解的情形的判定及求解方式 1．二元一次方程组的解的情形的判定．经常使用两种方式：法一：利用Det(A )与0的大小情形判定． 法二：从几何变换的角度判定．2．二元一次方程组的求解经常使用两种方式： (1)用行列式法求解记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n ，于是方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ，y ＝DyD .(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么det(A )＝ad －bc ，假设det(A )＝0，判定方程组解的情形；假设det(A )≠0，方程组有惟一解，求出A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ddet A－b detA －c det Aa detA，令⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤αβ＝A－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n ，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝β.即为方程组的解．解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，2x ＋3y ＝6.【解】 法一 方程组可写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤76.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0， 因此方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1－2 1. 因此原方程组的解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －1－2 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤76＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3×7－1×6－2×7＋1×6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 15－8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.法二 记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 16 3＝7×3－6×1＝15， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 72 6＝1×6－2×7＝－8. ∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程表现了函数方程思想的普遍应用．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －11 1，求A －1.【解】 法一 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －z y －w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝1，y －w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1.解得x ＝12，y ＝12，z ＝－12，w ＝12，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 12－1212. 法二 矩阵A 表示的变换为线性变换，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′知足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ， 因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′＋12y ′，y ＝－12x ′＋12y ′，因此逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 12－1212. 综合检测(四)1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5. 【解】 法一 (1)∵|A |＝1×3－2＝1， ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －1－2 1. (2)∵|B |＝2×5－4×3＝－2，∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2－1.法二 (1)设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么AA －1＝E ， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，2a ＋3c ＝0，2b ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，c ＝－2，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1－2 1. 同理求出B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5232 2 －1.2．试从代数和几何角度别离求矩阵的乘积⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0的逆矩阵． 【解】 代数角度：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 11 0＝－1，∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 0－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －2， ∴(⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －2. 几何角度：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x ，y )→(x ＋2y ，y )，又切变变换的逆变换为切变变换．∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x ，y )→(x －2y ，y )，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1.矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0对应的变换为关于直线y ＝x 的反射变换，其逆变换为其本身， 故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0. ∴(⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －2. 3．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－3232 12，求A －1.【解】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12， ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－321－32. 4．用矩阵方式求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．【解】 方程组可写为：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤46， 令M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －53 1，那么det(M )＝2×1－3×(－5)＝17，∴M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤117 517－317217， 因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤46＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.5．设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 2－2 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 4.(1)计算det(A )，det(B )；(2)判定矩阵AB 是不是可逆，假设可逆，求其逆矩阵，假设不可逆，说明理由． 【解】(1)det(A )＝1×3－2×(－2)＝7， det(B )＝1×4－2×2＝0. (2)矩阵AB 不可逆．理由如下：AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 2－2 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 104 8，det(AB )＝0， ∴AB 不可逆．6．利用行列式求M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1的逆矩阵．【解】 设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1的逆矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，由MN ＝E 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋2c b ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1. 先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 1＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 0＝－2， 因此a ＝－13，c ＝23，同理可得b ＝23，d ＝－13，故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323－13. 7．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．【解】 依题意，得det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －31 －1＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3－1 2，从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3－1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．8．m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 7－2 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 10 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 有惟一解？ 【解】 二元一次方程组即为⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋7y ＝2mx ＋my ，－2x ＋3y ＝－my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－2m x ＋7－m y ＝0，－2x ＋m ＋3y ＝0，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2m 7－m －2 m ＋3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－2m 7－m －2 m ＋3 ＝(－1－2m )(m ＋3)＋2(7－m ) ＝－2m 2－9m ＋11， 令－2m 2－9m ＋11＝0， 得m ＝1或m ＝－112，∴当m ≠1或m ≠－112时，方程组有惟一解．9．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －323212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200 1，求圆x 2＋y 2＝1在(AB )－1变换作用下的图形的方程． 【解】 (AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －323212－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－3212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 14 34－3212. 设圆x 2＋y 2＝1上任一点P ′(x ′，y ′)在(AB )－1作用下的点为P (x ，y )，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1434－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤ 1434－32 12－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －323 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －32y ，y ′＝3x ＋12y ，因为点P ′(x ′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，因此⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －32y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12y 2＝1，化简得4x 2＋y 2＝1.10．设a ，b ∈R ，假设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0－1b ，把直线l ：2x ＋y －7＝0变换为另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，求矩阵A 的逆矩阵．【解】 设P (x ，y )为直线2x ＋y －7＝0上任意一点，那么其对应点P ′(x ′，y ′)，且知足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ ax －x ＋by ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝－x ＋by ，∵P ′在直线l ′： 9x ＋y －91＝0上， ∴9ax －x ＋by －91＝0， 即(9a －1)x ＋by －91＝0. ∵9a －12＝b 1＝－91－7＝13，∴b ＝13，a ＝3，∴A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 0－1 13. ∵det(A )＝13×3－(－1)×0＝39，。

输入简单矩阵的最简单的方法是采用直接输入法。

直接输入的元素用空格或逗号隔开，用“;”表示一行的结束，并用中括号[ ] 将所有元素括起来以形成矩阵。

1.A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]复制代码这里，逗号也可以用空格代替，然后按回车看看会有什么结果。

继续，现在我想把这个矩阵的第二行取出来。

可以运行下面的代码：1.a=A(2,：)复制代码继续，现在我想取出这个矩阵的第三行第二列的元素也就是8，可以运行下面的代码,在输入“b”看结果1.b=A(3,2)复制代码继续，现在我要把若干个上面的矩阵拼在一起组成一个大的矩阵，定义的方式和定义数字矩阵的格式一样，只不过是刚才相应位置上的数字变成的矩阵的名字，可以运行下面的代码，看看有什么结果：1.[A,A]2.[A,A;A,A]3.[A,[10,11,12]]复制代码注意：在MATLAB里，冒号有很多种含义，可以表示很多种运算的方式，这里可以简单的理解为：“全部元素”。

冒号“：”的使用，可以从大矩阵中提取小矩阵。

较大的矩阵可以分成若干行输入，以回车键代替分号，或者用...三个点代替。

例如上面的A矩阵，可以用三行输入表示：矩阵可以从扩展名为.m 的磁盘文件中输入，例如，名叫aa.m的文件包含以上A 矩阵的三行，在Matlab的状态空间中运行aa，则可输出A 矩阵。

运行aa相当于将A矩阵调入到Matlab 的状态空间里。

（也可以用excel生成矩阵矩阵，因为这是一个重要的部分打算以后再讨论。

）注意：如果语句的最后一个字符是分号“；”，则执行后的结果将不被显示，但语句照常完成。

若最后一个字符为逗号“，”或无任何字符，则结果将进行显示。

如果表达式很复杂，无法在一行中写完，那么可三点省略号“.”后紧跟回车键表明下一行是该行的续行。

注意：Matlab的变量和函数，其名字的第一个字符必须是字母，后跟任意个字母或数字，但系统只记前19个字符；Matlab对字体很敏感，一般它都区分大小写，所以a 和A 是两个不同的变量。

2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad－bc .2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解． 3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝mzx ＋dy ＝n ，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，D x＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D yD .4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A.[对应学生用书P34][例1] 求⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2θ)＝1.2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x 2 y 2－1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.[例2] 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．[精解详析]AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－3 1. 因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 －3838 －18. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，利用行列式求矩阵A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，当det(A )≠0时，逆矩阵存在． (2)利用A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d A－bA －cAa A，求出逆矩阵A －1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 01；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a001.解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 1 1 1＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 12 12 12. (2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 01＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －a 0 1. (3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 001＝a ，当a ＝0时，矩阵不可逆，当a ≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 0 0 1. 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 96 x 2存在逆矩阵，求x 的取值范围． 解：据题意det(A )≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96 x 2≠0.∴3x 2－54≠0. ∴x ≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝D xD ，y ＝D y D求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －2－1 4＝12－2＝10， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 4＝4＋6＝10，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝9＋1＝10， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ＝1010＝1y ＝D yD ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －2－1 4，则其行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且 M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310，这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2515110 310 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡ab cd (4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡ab cd⎦⎥⎤e f. 5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝－2≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解． [精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－m x －2y ＝0，x －＋m y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －＋m ＝0，即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解．∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝b d，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 32－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4. 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100.2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0， 即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 021＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解．5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 264＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56.故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡1 234⎦⎥⎤56 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解． 解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 346 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？ 解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＋2y ＝0，x ＋－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4， 当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z ↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26 并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321进行加密． (1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40， 于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40. (2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象， 可得。

矩阵与数值分析公式总结绝对误差:a = ±1(/><0.%2 •…"“ |x-«| <^xl(/_/l ,则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值相对误差: 如果a 有n 位有效数字，则升詁旷；如果喘也諾护旷，则a 至 少有n 位有效数字。

近似绝对误差估计式：|/(x)- f(a)\«|/ («)||x-a\ 近似相对误差界为：喘叽關向量范数：1范数侶广刼r-12 范数:||x||2 =乞卜『=A /?7? = yl(x.x) \ f-1 °°范数:Mo =酸闻(“ \/PP 范数制卩=丈吋，l<p<+oO\ r-1/谱半径：Q (A) = max|^-|(A 的最大特征值)第二章正规矩阵：A HA = AA H,A H^A 的共轨转置。

常见的Hermite 阵（A 〃=A ）、实对称矩 阵（”=A ）、斜Hermite 阵（A 〃=-A ）、实反对称矩阵（"=「4）、酉阵 （AnA = AA H=I ）和正交矩阵（/^人二必丁二/）等均为正规矩阵.正定的充分必要条件是：A 的各阶顺序主子式都为正。

A 的特征值全为正。

正交矩阵：A rA = AA r=E A~l=A r正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规 矩阵。

奇异矩阵：对应的行列式等于0的方阵。

第一章算子范数：mHili = 1^Zl rt ul （列和范数）IK = --f|^l<行和范数）■ J-1（谱范数） in nHL=E Z KI/-1 >1N 元函数误差界:1、矩阵的LU分解或Doolittle分解对于〃阶方阵A,如果存在/?阶单位下三角矩阵乙和刀阶上三角矩阵〃，使得A = LU f 则称其为矩阵A的LU分解，也称为.Gauss消去法对应的矩阵形式即为分解, 其中厶为所有行乘子组成的单位下三角矩阵，〃为Gauss消去法结束后得到的上三Ly = b<角矩阵.原方程组分解为两个三角形方程组=儿2、矩阵分解的的存在和唯一性（各阶顺丿子主子式均不为零）如果〃阶矩阵A的各阶顺序主子式卩伙= 1,2,…均不为零，则必有单位下三角矩阵£和上三角矩阵〃，使得A = LU f而且乙和卩是唯一存在的.3、矩阵的Cholesky分解或平方根法（正定矩阵）对任意"阶对称正定矩阵均存在下三角矩阵L使A = LlI f称其为对称正定矩阵A 的Cholesky分解.进一步地，如果规定工的对角元为正数，则厶是唯一确定的.原方程组= b分解为两个三角形方程组 ^' = b .L x = y利用矩阵乘法规则和厶的下三角结构可得计算次序为厶山，…人「22,4…人2,…心•由于|々|S“7, Q'、2,…、j.因此在分解 过程中I 的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元.4、设A 为非奇异矩阵，INI 为矩阵的算子范数，称cond(A) = ||A||||A-|||为矩阵A 的条件数°条件数越大，矩阵和方程组越为病态，反之越小为良态。

矩阵相乘的快速算法算法介绍矩阵相乘在进行3D变换的时候是经常用到的。

在应用中常用矩阵相乘的定义算法对其进行计算。

这个算法用到了大量的循环和相乘运算，这使得算法效率不高。

而矩阵相乘的计算效率很大程度上的影响了整个程序的运行速度，所以对矩阵相乘算法进行一些改进是必要的。

这里要介绍的矩阵算法称为斯特拉森方法，它是由v.斯特拉森在1969年提出的一个方法。

我们先讨论二阶矩阵的计算方法。

对于二阶矩阵a11 a12 b11 b12A = a21 a22B = b21 b22先计算下面7个量(1)x1 = (a11 + a22) * (b11 + b22);x2 = (a21 + a22) * b11;x3 = a11 * (b12 - b22);x4 = a22 * (b21 - b11);x5 = (a11 + a12) * b22;x6 = (a21 - a11) * (b11 + b12);x7 = (a12 - a22) * (b21 + b22);再设C = AB。

根据矩阵相乘的规则，C的各元素为(2)c11 = a11 * b11 + a12 * b21c12 = a11 * b12 + a12 * b22c21 = a21 * b11 + a22 * b21c22 = a21 * b12 + a22 * b22比较(1)(2)，C的各元素可以表示为(3)c11 = x1 + x4 - x5 + x7c12 = x3 + x5c21 = x2 + x4c22 = x1 + x3 - x2 + x6根据以上的方法，我们就可以计算4阶矩阵了，先将4阶矩阵A和B划分成四块2阶矩阵，分别利用公式计算它们的乘积，再使用(1)(3)来计算出最后结果。

ma11 ma12 mb11 mb12A4 = ma21 ma22 B4 = mb21 mb22其中a11 a12 a13 a14 b11 b12 b13 b14ma11 = a21 a22 ma12 = a23 a24 mb11 = b21 b22 mb12 = b23 b24a31 a32 a33 a34 b31 b32 b33 b34ma21 = a41 a42 ma22 = a43 a44 mb21 = b41 b42 mb22 = b43 b44实现// 计算2X2矩阵void Multiply2X2(float& fOut_11, float& fOut_12, float& fOut_21, float& fOut_22,float f1_11, float f1_12, float f1_21, float f1_22,float f2_11, float f2_12, float f2_21, float f2_22){const float x1((f1_11 + f1_22) * (f2_11 + f2_22));const float x2((f1_21 + f1_22) * f2_11);const float x3(f1_11 * (f2_12 - f2_22));const float x4(f1_22 * (f2_21 - f2_11));const float x5((f1_11 + f1_12) * f2_22);const float x6((f1_21 - f1_11) * (f2_11 + f2_12)); const float x7((f1_12 - f1_22) * (f2_21 + f2_22)); fOut_11 = x1 + x4 - x5 + x7;fOut_12 = x3 + x5;fOut_21 = x2 + x4;fOut_22 = x1 - x2 + x3 + x6;}//计算4X4矩阵void Multiply(CLAYMATRIX& mOut, const CLAYMATRIX& m1, const CLAYMATRIX& m2) {float fTmp[7][4];// (ma11 + ma22) * (mb11 + mb22)Multiply2X2(fTmp[0][0], fTmp[0][1], fTmp[0][2], fTmp[0][3],m1._11 + m1._33, m1._12 + m1._34, m1._21 + m1._43, m1._22 + m1._44,m2._11 + m2._33, m2._12 + m2._34, m2._21 + m2._43, m2._22 + m2._44);// (ma21 + ma22) * mb11Multiply2X2(fTmp[1][0], fTmp[1][1], fTmp[1][2], fTmp[1][3],m1._31 + m1._33, m1._32 + m1._34, m1._41 + m1._43, m1._42 + m1._44,m2._11, m2._12, m2._21, m2._22);// ma11 * (mb12 - mb22)Multiply2X2(fTmp[2][0], fTmp[2][1], fTmp[2][2], fTmp[2][3],m1._11, m1._12, m1._21, m1._22,m2._13 - m2._33, m2._14 - m2._34, m2._23 - m2._43, m2._24 - m2._44);// ma22 * (mb21 - mb11)Multiply2X2(fTmp[3][0], fTmp[3][1], fTmp[3][2], fTmp[3][3],m1._33, m1._34, m1._43, m1._44,m2._31 - m2._11, m2._32 - m2._12, m2._41 - m2._21, m2._42 - m2._22);// (ma11 + ma12) * mb22Multiply2X2(fTmp[4][0], fTmp[4][1], fTmp[4][2], fTmp[4][3],m1._11 + m1._13, m1._12 + m1._14, m1._21 + m1._23, m1._22 + m1._24,m2._33, m2._34, m2._43, m2._44);// (ma21 - ma11) * (mb11 + mb12)Multiply2X2(fTmp[5][0], fTmp[5][1], fTmp[5][2], fTmp[5][3],m1._31 - m1._11, m1._32 - m1._12, m1._41 - m1._21, m1._42 - m1._22,m2._11 + m2._13, m2._12 + m2._14, m2._21 + m2._23, m2._22 + m2._24);// (ma12 - ma22) * (mb21 + mb22)Multiply2X2(fTmp[6][0], fTmp[6][1], fTmp[6][2], fTmp[6][3],m1._13 - m1._33, m1._14 - m1._34, m1._23 - m1._43, m1._24 - m1._44,m2._31 + m2._33, m2._32 + m2._34, m2._41 + m2._43, m2._42 + m2._44);// 第一块mOut._11 = fTmp[0][0] + fTmp[3][0] - fTmp[4][0] + fTmp[6][0];mOut._12 = fTmp[0][1] + fTmp[3][1] - fTmp[4][1] + fTmp[6][1];mOut._21 = fTmp[0][2] + fTmp[3][2] - fTmp[4][2] + fTmp[6][2];mOut._22 = fTmp[0][3] + fTmp[3][3] - fTmp[4][3] + fTmp[6][3];// 第二块mOut._13 = fTmp[2][0] + fTmp[4][0];mOut._14 = fTmp[2][1] + fTmp[4][1];mOut._23 = fTmp[2][2] + fTmp[4][2];mOut._24 = fTmp[2][3] + fTmp[4][3];// 第三块mOut._31 = fTmp[1][0] + fTmp[3][0];mOut._32 = fTmp[1][1] + fTmp[3][1];mOut._41 = fTmp[1][2] + fTmp[3][2];mOut._42 = fTmp[1][3] + fTmp[3][3];// 第四块mOut._33 = fTmp[0][0] - fTmp[1][0] + fTmp[2][0] + fTmp[5][0];mOut._34 = fTmp[0][1] - fTmp[1][1] + fTmp[2][1] + fTmp[5][1];mOut._43 = fTmp[0][2] - fTmp[1][2] + fTmp[2][2] + fTmp[5][2];mOut._44 = fTmp[0][3] - fTmp[1][3] + fTmp[2][3] + fTmp[5][3];}比较在标准的定义算法中我们需要进行n * n * n次乘法运算，新算法中我们需要进行7log2n次乘法，对于最常用的4阶矩阵：原算法新算法加法次数 48 72(48次加法，24次减法)乘法次数 64 49需要额外空间 16 * sizeof(float) 28 * sizeof(float)新算法要比原算法多了24次减法运算，少了15次乘法。

第五专题矩阵的数值特征（行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根）讲解学习第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。

二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。

下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。

若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) ? tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。

矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。

矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。

本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。

（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。

矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。

2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。

4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。

（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。

假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。

矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。

2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。

3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。

（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。

教学大纲课程编号：13000071课程名称：数值分析（Numerical Analysis）学分：4总学时：72学时分配：课时总学时：64学时。

其中：理论课学时：60学时；习题课学时：12学时；实验学时：课内0学时，课外16学时。

适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学预修课程：数学分析/高等数学，高等代数/线性代数◇课程教学目标：数值分析是研究利用计算机求解各种数学模型的数值计算方法及理论，包括误差基本理论、插值方法、函数逼近、数值微分与积分、常微分方程数值解、非线性方程组数值解法、矩阵特征值计算等经典问题的数值方法与基本理论。

通过本课程的学习，要求学生掌握数值分析的基本思想、基本方法和基本理论，具备一定的设计、分析和实现算法的能力，培养应用计算机进行科学与工程计算的能力，提高学生应用数学与计算机解决实际问题的能力。

◇教学要求：通过本课程的学习，要求学生掌握数值计算的基本理论和方法：掌握数值逼近、数值微分与积分、微分方程初值问题、方程（组）求根的直接与迭代解法及矩阵特征值计算等方面的基本理论及经典算法，并能对算法进行误差分析。

能使用计算机对基本数值计算问题进行求解，能初步用数值分析方法进行算法分析，为解决较复杂的实际科学与工程计算问题打下必要的基础。

◇教学方法：将多媒体教学和传统的黑板板书教学相结合。

在背景知识的讲解、数值方法的意义以及计算实例的程序演示时，应充分发挥多媒体直观生动的优势，帮助学生进行感性认识。

在算法推导、理论分析等方面，可采用传统的板书讲解，引导学生去感受和思考数学逻辑的过程以及创造性的思维过程，加深对数学理论的理解和认识，培养学生的逻辑和思维能力。

在课堂教学中应将课堂讲解、课堂提问、课堂讨论相结合，注重培养学生的创新意识。

在课外已到学生积极开展数值试验，撰写实验报告、让学生在初步开展科研工作方面得到更好、更有效的训练。

◇课程主要内容：第一章绪论1．该章的基本要求与基本知识点：（1）了解数值分析的特点及其研究对象；（2）了解误差来源，掌握误差的基本概念与数值的精度表示；（3）掌握数值运算中的基本方法与原则；（4）向量和矩阵的范数。

南京邮电大学通达学院程序设计(上机)报告题目：R018M P007M专业市场营销（物流管理）学生姓名班级学号指导教师日期2010.6.14注：评分等级分为五种：优秀、良好、中等、及格、不及矩阵运算程序设计报告一、问题描述设计一个支持矩阵加减乘运算的程序二课题分析根据上图显示的功能要求，可以将问题转化为设计一个具有三个主要功能模块（矩阵相加、矩阵相减、矩阵相乘）的矩阵运算系统。

同时，为了配合矩阵运算的需要，该矩阵运算系统必须包含输入和输出矩阵的功能。

为简化运算量，这里，只考虑任意两个矩阵相加、相减和相乘的问题，三个或三个以上矩阵的运算并不执行。

程序运行后，计划达到的目标如下：（1）提供可操作的主菜单：程序运行时，首先输出菜单，用于显示若干个可选的功能选项。

根据用户输入的选项来运行不同的功能，运行不同的函数。

（2）输入信息：根据不同用户的需要，输入参与运算的矩阵，系统临时保存。

（3）输出信息：将运算结果以矩阵的格式显现出来。

（4）矩阵相加：任意输入两个矩阵，如果满足相加条件，界面输出相加结果。

如果不满足相加条件，输出“矩阵不匹配”的提示，请用户重新操作。

（5）矩阵相减：任意输入两个矩阵，如果满足相加条件，界面输出相减结果。

如果不满足相减条件，输出“矩阵不匹配”的提示，请用户重新操作。

（6）矩阵相乘：任意输入两个矩阵，如果满足相乘条件，界面输出相乘结果。

如果不满足相乘条件，输出“矩阵不匹配”的提示，请用户重新操作。

三数据结构的设计class Str{private:int m,n;//表示矩阵的行数和列数double s[100][100];//双精度，定义二维数组存储矩阵public:int getm();int getn();//调用私有数据void input();//输入矩阵函数void output();//输出矩阵函数friend Str operator+(Str A,Str B);friend Str operator-(Str A,Str B);friend Str operator*(Str A,Str B);//运算符的重载};矩阵类的各个主要部分具体设计方案如下：（1）矩阵相加：首先判断要进行相加的两个矩阵是否匹配，即行数和列数是否相等，如果相等，则将两个矩阵类中对应位置的数组元素相加，结果保存到另一个矩阵类的数组中。