江苏省南京市2014届高三考前冲刺训练(南京市教研室) 数学 Word版含答案

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.01 说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷纸指定区．．．．．．域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．． A．选修 4—1：几何证明选讲解：因为 P 为 AB 中点，所以 OP⊥AB．所以 PB＝ r2－OP2＝ 9 因为 PC·PD＝PA·PB＝PB2，PC＝，8 2 所以 PD＝． 3 B．选修 4—2：矩阵与变换解：设曲线 C 上一点(x′，y′对应于曲线C′上一点(x，y．………………10 分 3 ．2 ………………5 分 22 由 2 2 － x′ x＝ ，得2x′－2y′＝x，2x′＋2y′＝y． 2 2 2 2 y′ y 2 2 2 2 …………………5 分所以x′＝ 2 2 (x＋y，y′＝ (y－x． 2 2 因为x′y′＝1，所以 y2－x2＝2．所以曲线C′的方程为 y2－x2＝2． C．选修 4—4：坐标系与参数方程解：直线 l 的普通方程为 4x－3y－2＝0，圆 C 的直角坐标方程为(x－a2＋y2＝a2．………………5 分由题意，得 |4a－2| 2 …………………10 分 4 ＋(－3 2＝|a|，解得 2 a＝－2 或a＝．9 ………………10 分 D．选修 4—5：不等式选讲证：因为 x1，x2，x3 为正实数，2 2 2 x2 x3 x1 所以＋x1＋＋x2＋＋x3≥2 x1 x2 x3 2 x2 ·x ＋2 x1 1 2 x3 ·x ＋2 x2 2 2 x1 ·x ＝2(x1＋x2＋x3＝2． x3 32 2 2 x2 x3 x1 即＋＋≥1．x1 x2 x3 …………………10 分 22．（本小题满分 10 分）解：（1）由点 A(1，2在抛物线 M∶y2＝2px 上，得 p＝2．所以抛物线 M 的方程为 y2＝4x． 2 2 y1 y2 设 B( ，y1，C( ，y2． 4 4 2 2 2 2 y1 y2 y1 y2 －1 －－1 4 4 4 y1＋2 y2＋y1 y2＋2 1 1 1 4 所以－＋＝－＋＝－＋＝1． k1 k2 k3 y1－2 y2－y1 y2－2 4 4 4 …………………3 分…………………7 分 2 y3 1 1 1 1 y1＋2 y2＋y1 y3＋y2 y3＋2 （2）设 D( ，y3．则－＋－＝－＋－＝0．………………10 分 4 k1 k2 k3 k4 4 4 4 4 23．设m 是给定的正整数，有序数组(a1，a2，a3，…，a2m中，ai＝2 或－2(1≤i≤2m． a2k－1 （1）求满足“对任意的1≤k≤m，都有＝－1”的有序数组(a1，a2，a3，…，a2m 的个数 A； a2k 2l （2）若对任意的1≤k≤l≤m，都有| ∑ ai|≤4 成立，求满足“存在1≤k≤m，使得 i=2k－1 a2k－1 ≠－1”的有 a2k 序数组(a1，a2，a3，…，a2m的个数B． a2k－1 解：（1）因为对任意的1≤k≤m，都有 a2k ＝－1，所以(a2k－1，a2k ＝(2，－2或(a2k－1，a2k＝(－2，2．共有 2 种情况． m 由乘法原理，得序数组(a1，a2，a3，…，a2m的个数 A＝2 ． 1 （2）当存在一个 k 时，那么这一组有 2Cm 种，其余的由（1）知有 2m －1 …………………5 分 1 m 种，所有共有 2Cm 2 －1 种． 2 当存在二个 k 时，因为对任意的1≤k≤l≤m，都有| ∑ ai|≤4 成立，所以这两组共有 2Cm 种， 2l i=2k－1 其余的由（1）知有2m … －2 2 m 种，所有共有 2Cm 2 －2 种． 1 m 1 2 m 2 m 依次类推得：B＝2Cm 2 ＋2Cm 2 ＋…＋2Cm ＝2(3m－2m．－－…………………10 分。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）统编版质量检测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若，则（）A．6B．16C．26D．36第(2)题已知函数在处导数值为3，则的解析式可能是A．B．C．D．第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(4)题已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（）A．B．C．D．第(5)题若，，，，则a，b，c，d中最大的是（）A．a B．b C．c D．d第(6)题在复平面内，复数满足方程，则所对应的向量的坐标为（）A．B．C．D．第(7)题下列函数在区间单调递增的是（）.A．B．C．D．第(8)题某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A．90B．129C．132D．138二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题高中提倡学生假期培养阅读习惯，提高阅读能力，某班级统计了假期阅读中英两本书籍的时长，其频率分布如下：则下列说法正确的是（）阅读时长天7654中文书籍0.50.30.10.1英文书籍0.40.30.20.1A．从阅读的的平均时长来看，中文书籍比外文书籍更受欢迎B．中、英文书籍阅读时长的第40百分位数都是6天C．若将频率视为概率，小华阅读中文和英文两本书籍，则阅读总时长少于10天的概率为0.04D．任选一本书籍，“阅读时长低于5天”与“阅读时长为高于6天”是对立事件第(2)题已知直线，圆，则下列结论正确的是（）A．直线l恒过定点B．直线l与圆C恒有两个公共点C．直线l与圆C的相交弦长的最大值为D．当时，圆C与圆关于直线l对称第(3)题二进制是计算中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学家莱布尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数，其中（），记.如，，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：设是坐标平面内的两点，则A，B两点间的曼哈顿距离为．在平面直角坐标系中中，下列说法中正确说法的序号为__________①．若，则；②．若O为坐标原点，且动点P满足：，则P的轨迹长度为；③．设是坐标平面内的定点，动点N满足：，则N的轨迹是以点为顶点的正方形；④．设，则动点构成的平面区域的面积为10．第(2)题当时，，则实数的取值范围为______．第(3)题已知曲线，直线，若对任意，直线始终在曲线下方，则实数的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列．第(2)题已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，已知方程在时有且仅有两个根，求实数a的取值范围．第(3)题已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点，点在线段上．(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．第(4)题已知椭圆的离心率为分别为的左、右焦点，为上顶点，且的内切圆半径为．(1)求的方程；(2)是上位于直线异侧的两点，且，证明：直线经过定点．第(5)题已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若当时，，求a的取值范围．。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（）A．增加了一项B ．增加了两项，C．增加了两项，，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项第(2)题已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（）．A．B．C．D．第(3)题已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题函数的图象大致是A．B．C．D．第(5)题如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天B．这15天日平均温度的极差为15℃C．由折线图能预测16日温度要低于19℃D．由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数第(6)题若函数的图象关于直线对称，则的值的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(7)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知，且，则（）A．B．C．D．或二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题全班学生到工厂劳动实践，各自用，的长方体切割出四棱锥模型.产品标准要求：分别为的中点，可以是线段(不含端点)上的任意一点，有四位同学完成制作后，对自己所做的产品分别作了以下描述，你认为有可能符合标准的是( )A．使直线与平面所成角取到了最大值B．使直线与平面所成角取到了最大值C．使平面与平面的夹角取到了最大值D．使平面与平面的夹角取到了最大值第(2)题三棱锥中，平面平面ABC，，，则（）A．B．三棱锥的外接球的表面积为C．点A到平面SBC的距离为D．二面角的正切值为第(3)题已知函数的定义域为，，则（）．A．B．C．是偶函数D．为的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知为虚数单位，若复数，为的共轭复数，则等于___________．第(2)题某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．第(3)题已知函数，则当时，函数有最小值，则____________．此时___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，a>0.(1)求函数的最值；(2)当a>1时，证明：函数有两个零点.第(2)题已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)设为坐标原点，过点的直线（斜率不为0）交椭圆于不同的两点（异于点），直线分别与直线交于两点，的中点为，是否存在实数，使直线的斜率为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.第(3)题已知函数f(x)=.（1）若f(x)在上是增函数，求实数a的取值范围;（2）若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在上的最小值和最大值．第(4)题已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.(1)若，，求k的值；(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点，且，求直线l的方程.第(5)题如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．。

南京市2014届高三年级第二次模拟考试数 学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．a(第3题图)(第6题图)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)错误！未找到引用源。

的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且． 若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．(第7题图)PBDEA因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面P AB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面P AB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A ．因为PB ⊥P A ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以P A ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以P A ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分 16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． (2)所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2……4分(第16题图)又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 2 10． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分 17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)． 解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AM sin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………6分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60︒时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分APMNBC(第17题图)解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠P AB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，A PMNBC第17题图D∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分 MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3，k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2 ∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22． ∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →． MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1，3x 2)．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即 x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MN sin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分 ∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线． 设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23． 答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 APMNBCF E解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分 因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号． 所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 22．所以11(1)(222OP OQ ⋅=-⨯-+=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题平面向量，若，则（）A．B．2C．D．第(2)题若，则（）A．B．C．D．第(3)题17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，设，则所在的区间为（）A．B．C．D．第(4)题已知双曲线：，O为坐标原点，、分别为的左、右焦点，点P在双曲线上，且轴，M在外角平分线上，且.若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．第(5)题已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若、是关于x的方程在内的两根，则（）A．B．C．D．第(6)题若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．第(7)题Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小张根据Keep记录的2022年1月至2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（）A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出现在10月C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小第(8)题设A，B，C，D是曲线上的四个动点，若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个，则实数m的值为（）．A．4B．C．3D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（）A．是等差数列B．C．D．第(2)题设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A．B．C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形第(3)题数列{}中，设.若存在最大值，则可以是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1）_______．（2）_______．第(2)题圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为______．第(3)题已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，，.（1）当时，解不等式；（2）对任意，，若不等式恒成立，求实数a的取值范围.第(2)题如图所示，在直角坐标系xOy中，A，B是抛物线上两点，M，N是椭圆两点，若AB与MN相交于点，.（1）求实数的值及抛物线C的准线方程.（2）设的面积为S，、的重心分别为G，T，当GT平行于x轴时，求的最大值.第(3)题如图，已知椭圆经过和，过原点的一条直线l交椭圆于A，B两点（A在第一象限），椭圆C上点D满足，连直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，的重心在直线的左侧.（1）求椭圆的标准方程；（2）记、面积分别为、，求的取值范围.第(4)题某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（），A学员已经训练了1年，下表记录了学员最近七周“准点球”的百分比：周次（x）12345675252.853.55454.554.955.3若.(1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）（精确到）(2)求关于的回归方程，并预测第周“准点球”的百分比.（精确到）参考公式和数据：，，.第(5)题已知函数．(1)证明：；(2)证明：，．。