2016-2017学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
- 格式：doc
- 大小：395.50 KB
- 文档页数：20
2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣或x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）给定下列两个命题：p1：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p2：在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．则下列命题中的真命题为（）A．p1B．p1∧p2C．p1∨（￢p2）D．（￢p1）∧p23．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A．30 B．24 C．18 D．124．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．25．（5分）已知α，β是两个平面，直线l⊂α，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不要条件6．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形7．（5分）若x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）A．B．8 C．D．58．（5分）若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（，）B．（，+∞） C．[，+∞） D．[2，+∞）9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为（）A．B．C．πD．π10．（5分）函数f（x）=|2x•log x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=log2（x2﹣2x﹣3）的定义域为．12．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．13．（5分）△ABC是边长为2的正三角形，已知向量，满足=2，=2+，给出下列四个结论．①||=1，②•=﹣1③⊥④（4+）⊥其中正确结论的序号是．14．（5分）（文）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分75分）16．（12分）已知f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+sin2（π+x）（m＞0）的最小值为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosA﹣acosB，求f（C）的取值范围．17．（12分）在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP=AC．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面AOF；（Ⅱ）求证：BP∥平面AOF．18．（12分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+1=a2S n+a1，S3=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣1，求++…+．19．（12分）已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（Ⅰ）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润．20．（13分）已知函数f（x）=e x+mx﹣3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，若不等式（t﹣x）e x＜t+2恒成立，求实数t的最大整数值．21．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设过点M（0，t）（t＞0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围．2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2016秋•泰安期末）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣或x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A），然后根据集合的基本运算即可．【解答】解：∵A={x|x＜﹣或x＞1}，全集U=R，∴∁U A={x|﹣≤x≤1}，∵B={﹣1，0，1，2}，∴由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A）={0，1}．故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2016秋•泰安期末）给定下列两个命题：p1：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p2：在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．则下列命题中的真命题为（）A．p1B．p1∧p2C．p1∨（￢p2）D．（￢p1）∧p2【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∵a2﹣ab+b2=（a﹣b）2+b2≥0，∴∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0不成立，即命题p1为假命题．在三角形ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB成立，即命题p2为真命题．则（￢p1）∧p2为真命题，其余为假命题，故选：D【点评】本题主要考查复合命题的真假判断，根据条件分别判断两个命题的真假是解决本题的关键．3．（5分）（2016秋•泰安期末）在等差数列{a n}中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A．30 B．24 C．18 D．12【分析】由等差数列的性质得2a1+13d=12，再由3a7+a9=4a1+26d，能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10=12，∴2a1+13d=12，∴3a7+a9=4a1+26d=2（2a1+13d）=24．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．4．（5分）（2016•新课标Ⅱ）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．5．（5分）（2016秋•泰安期末）已知α，β是两个平面，直线l⊂α，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不要条件【分析】利用面面垂直的判定定理即可判断出结论．【解答】解：l⊥β，直线l⊂α⇒α⊥β，反之不成立．∴“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、面面垂直的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2013•济宁一模）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【分析】根据，得线段AB、CD平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形．再由，得对角线AC、BD互相垂直，即可得到四边形ABCD是菱形．【解答】解：∵，∴即，可得线段AB、CD平行且相等∴四边形ABCD是平行四边形又∵，∴⊥，即⊥，四边形ABCD的对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选：B【点评】本题给出向量条件，判断四边形ABCD的形状，着重考查了平面向量的线性运算、数量积运算及其性质，考查了菱形的判定方法，属于中档题．7．（5分）（2016秋•泰安期末）若x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）A．B．8 C．D．5【分析】画出满足约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断目标函数经过的点，可得最优解．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：∵目标函数z=2x+y，平移目标函数，当目标函数经过可行域的点A时，取得最小值．，可得A（2，1）故在A（2，1）处目标函数达到最小值：5．故选：D．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，掌握目标函数的几何意义，熟练掌握其解答过程和步骤是解答的关键．8．（5分）（2016秋•泰安期末）若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（，）B．（，+∞） C．[，+∞） D．[2，+∞）【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥x+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x ∈（，3），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+x+1，∴f′（x）=x2﹣ax+1，若函数f（x）在区间（，3）上递减，故x2﹣ax+1≤0在（，3）恒成立，即a≥x+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x∈（，3），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，∴g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增，而g（）=，g（3）=，故a≥故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，是中档题．9．（5分）（2016秋•泰安期末）将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为（）A．B．C．πD．π【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后，得到函数g（x）=sin[2（x﹣φ）+θ]=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，由于f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），∴sinθ=，sin（﹣2φ+θ）=，∴θ=，﹣2φ+θ=﹣，∴φ=，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．（5分）（2016秋•泰安期末）函数f（x）=|2x•log x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由f（x）=0，转化为老公函数的交点，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=|2x•log x|﹣1，∴由f（x）=0得||=2﹣x，作出y=||，y=2﹣x的图象，由图象可知两个图象的交点个数为2个，故选：B．【点评】本题主要考查根的个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2016秋•泰安期末）函数y=log2（x2﹣2x﹣3）的定义域为（3，+∝）∪（﹣∝，﹣1）．【分析】根据对数的定义得到负数和0没有对数得到一个一元二次不等式，求出解集即可得到函数的定义域．【解答】解：由题意得：x2﹣2x﹣3＞0即（x﹣3）（x+1）＞0∴x＞3或x＜﹣1∴函数y=log2（x2﹣2x﹣3）的定义域为（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）故答案为（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）【点评】本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．12．（5分）（2015•南关区校级三模）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．13．（5分）（2016秋•泰安期末）△ABC是边长为2的正三角形，已知向量，满足=2，=2+，给出下列四个结论．①||=1，②•=﹣1③⊥④（4+）⊥其中正确结论的序号是②④．【分析】先画出图形，由条件即可得出，从而判断出①错误，求得，进行数量积的运算即可求出的值，然后可求得，这样即可判断④正确．【解答】解：如图，根据条件：；∴；∴，；∵；∴=；∴；∴正确的序号为：②④．故答案为：②④．【点评】考查向量的数乘运算，向量的数量积运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．14．（5分）（2012•宁城县模拟）（文）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是80．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体．分别求得体积再相加．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=42×4=64V四棱锥=Sh1==16所以V=64+16=80故答案为：80．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键15．（5分）（2016秋•泰安期末）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用不等式的性质得到答案．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增，∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4，即2a+b＜4，又由a＞0．b＞0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与A（﹣2，﹣2）连线的斜率，直线AB，AC的斜率分别是，3；则∈（，3）；故答案为：（）．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．三、解答题（本大题共6小题，满分75分）16．（12分）（2016秋•泰安期末）已知f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+sin2（π+x）（m＞0）的最小值为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosA﹣acosB，求f（C）的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x﹣φ），其中tanφ=，由其最小值为﹣2，可得m，进而可求φ，求得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．（Ⅱ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=2sinCcosA，结合sinC≠0，可求A=，由范围C∈（0，），可得2C﹣的范围，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+sin2（π+x）=msinxcosx﹣cos2x+sin2x=msin2x﹣cos2x=sin（2x﹣φ），其中tanφ=，∴由其最小值为﹣2，可得：=2，解得：m2=12，∵m＞0，可得：m=2，tanφ=，φ=，∴f（x）=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…6分（Ⅱ）∵bcosA=2ccosA﹣acosB，即bcosA+acosB=2ccosA，∴由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，可得：sinC=2sinCcosA，∵C为三角形内角，sinC≠0，∴cosA=，可得A=，∴C∈（0，），可得：2C﹣∈（﹣，），∴sin（2C﹣）∈（﹣，1]，∴f（C）=2sin（2C﹣）∈（﹣1，2]…12分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．17．（12分）（2016秋•泰安期末）在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP=AC．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面AOF；（Ⅱ）求证：BP∥平面AOF．【分析】（I）连结BD，由菱形性质得出CE⊥BD，又AO⊥平面BCDE，故AO⊥CE，由中位线性质得BD∥EF，故而CE⊥平面AOF，所以平面AOF⊥平面ACE；（Ⅱ）设CE 与BD，OF 的交点分别为M，N，连结AN，PM．则当平面BPM∥平面AOF时，BP∥平面AOF．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，因为四边形BCDE 为菱形，所以CE⊥BD．因为O，F 分别为BE，DE 的中点，所以OF∥BD，所以CE⊥OF．由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE．因为CE⊂平面BCDE，所以AO⊥CE．因为AO∩OF=O，所以CE⊥平面AOF．又因为CE⊂平面ACE，所以平面AOF⊥平面ACE．（Ⅱ）设CE 与BD，OF 的交点分别为M，N，连结AN，PM．因为四边形BCDE 为菱形，O，F 分别为BE，DE 的中点，所以=．设P为AC上靠近A点的三等分点，则==，所以PM∥AN．因为AN⊂平面AOF，PM⊄平面AOF，所以PM∥平面AOF．由于BD∥OF，OF⊂平面AOF，BD⊄平面AOF，所以BD∥平面AOF，即BM∥平面AOF．因为BM∩PM=M，所以平面BMP∥平面AOF．因为BP⊂平面BMP，所以BP∥平面AOF．【点评】本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题．18．（12分）（2016秋•泰安期末）设正项数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+1=a2S n+a1，S3=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣1，求++…+．=a2S n+a1，S3=14．可得n=1时，a1+a2=+a1，a2＞0，解得a1．n=2时，【分析】（I）S n+12+a2+a3=+2=14，解得a2，可得S n+1=2S n+2，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（II）b n=a n﹣1=2n﹣1，可得==．利用“裂项求和”方法即可得出．=a2S n+a1，S3=14．∴n=1时，a1+a2=+a1，a2＞0，解得a1=2．【解答】解：（I）∵S n+1n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2=4，∴S n=2S n+2，+1n≥2时，S n=2S n﹣1+2，可得：a n+1=2a n（n=1时也成立）．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为2，∴a n=2n．（II）b n=a n﹣1=2n﹣1，∴==．∴++…+=++…+=1﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•泰安期末）已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（Ⅰ）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润．【分析】（Ⅰ）根据年利润=年销售收入﹣年总成本，可得年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，y=x（13.5﹣x2）﹣20﹣5.4x=8.1x﹣x3﹣20，当x＞10时，y=（﹣﹣）x﹣20﹣5.4x=148﹣2（+2.7x），∴y=，（Ⅱ）①当0＜x≤10时，y′=8.1﹣x2，令y′=0可得x=9，x∈（0，9）时，y′＞0；x∈（9，10]时，y′＜0，∴x=9时，y max=28.6万元；②当x＞10时，y=148﹣2（+2.7x）≤148﹣120=22（万元）（当且仅当x=时取等号）…（10分）综合①②知：当x=9时，y取最大值…（11分）故当年产量为9万件时，服装厂在这一高科技电子产品的生产中获年利润最大…（12分）【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．20．（13分）（2016秋•泰安期末）已知函数f（x）=e x+mx﹣3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，若不等式（t﹣x）e x＜t+2恒成立，求实数t的最大整数值．【分析】（Ⅰ）由条件，曲线在（0，f（0））处的切线斜率k=0，即f'（0）=1+a=0，可得a=﹣1，f'（x）=e x﹣1，再通过解不等式即可求出单调区间；（Ⅱ）利用转化思想，x＞0时，不等式（m﹣x）e x＜m+2等价于t＜，然后构造新函数，记g（x），根据（1）的结论可得存在x0∈（1，2），使得g'（x0）=0，且g（x）min=g（x0），再通过化简运算可得g（x）min=x0+1，由x0∈（1，2），即可求出t的最大整数值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）=e x+m，由条件，f'（0）=1+m=0，得m=﹣1，则f'（x）=e x﹣1由f'（x）=e x﹣1＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，故函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）．（Ⅱ）x＞0时，不等式（t﹣x）e x＜t+2等价于：t＜，令g（x）=，∴g′（x）=，由（1）得u（x）=e x﹣x﹣3在（0，+∞）上单调递增，又∵u（1）＜0，u（2）＞0，∴g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，且1＜x0＜2，∴当x∈（1，x0）时，g'（x）＜0，当x∈（x0+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）min=g（x0），由g'（x0）=0得e x0=x0+3，∴g（x）min=g（x0）=x0+1，∵1＜x0＜2，∴2＜g（x0）＜3，∵t＜g（x0），∴t的最大整数值为2．【点评】本题考查了利用导数求切线的斜率和函数的单调区间，以及函数恒成立问题，着重考查了数学转化思想方法，以及函数最值的求法，利用参数分离法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（14分）（2016秋•泰安期末）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设过点M（0，t）（t＞0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围．【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|AB|=2，点M在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，，解得a=，b=c=1．∴椭圆E的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，A，B为椭圆的上下顶点，且|AB|=2，∵点N总在以线段AB为直径的圆内，且t＞0，∴0＜t＜1，∴点M在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2=0，∵直线l与椭圆E有两个公共点，∴△=（4kt）2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设AB的中点G（x0，y0），则=，，∴G（，），∴|NG|==，|AB|==2••，∵点N总位于以线段AB为直径的圆内，∴|NG|＜对于k∈R恒成立，∴＜••，化简，得2t2k4+7t2k2+3t2＜2k4+3k2+1，整理，得t2＜，而g（k）==1﹣≥1﹣=，当且仅当k=0时，等号成立，∴t2＜，由t＞0，．解得0＜t＜，∴t的取值范围是（0，）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，关键是注意椭圆性质的合理运用，是中档题．。
