矩阵分析习题

矩阵分析第3章习题答案第三章1、 已知()ijA a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 定义内积为(,)HA αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。

2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。

提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。

3、 已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HUAU是上三角矩阵。

提示：参见教材上的例子4、 试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。

5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU为对角矩阵，已知133261(1)6322312623A ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、 试求正交矩阵Q ，使TQAQ为对角矩阵，已知 220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、 试求矩阵P ，使HPAP E=（或TPAP E=），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。

反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。

114试证1-1412kkm nn m××试证：tr tr ()(),,,1,2,AB BA A CB Ck =∈∈=证：mn⎛n mtr 11()ik ki i k AB a b ==⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑=tr 11()jl lj j l b a BA ==⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑()tr tr ()())kAB ABAB A B = ()=tr tr ()()kB ABAB A BA =证明22设，证明：阶矩阵0ε≠n ⎡2-21a ⎤⎢⎥ a ε⎡⎤⎢⎥ 1a A ⎢⎥=⎢⎥⎥ a B ε⎢⎥=⎢⎥⎥ 与a ⎢⎣⎦a ⎢⎣⎦相似。

121()()()1,n D D D λλλ−=== ()()nn D a λλ=−n 阶矩阵2-31a ⎡⎤1a ⎡⎤a A ⎢⎥⎢⎥=⎥ 与a B ⎢⎥⎢⎥=⎥1⎢⎢⎥ 1⎢⎢⎥a ⎣⎦a ε⎣⎦不相似。

=== n =−0ε≠121:()()()1,n A D D D λλλ−()()n D a λλ()()nn D a λλ≠−121:()()()1,n B D D D λλλ−===27(4)求方阵308⎡⎤⎢⎥2-7(4)316205A =−⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦的Jordan 标准形及其相似变换矩阵。

P 解：首先用初等变换法求其Jordan 标准形：308100λλλ−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥2316010205001()I A λλλ−=+−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦A 故的初等因子为21,(1)λλ++从而的Jordan 标准形为A ()100−⎡⎤⎢⎥−011001J =⎢⎥−⎢⎥⎣⎦再求相似变换矩阵：则−设所求矩阵为，则，按列分块记为P 1P AP J =P =[]123,,P X X X于是有123123,,,,AP A X X X AX AX AX ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦100−⎡⎤123011001,,PJ X X X ⎢⎥==−⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥−1223,,X X X X ⎣⎦=−−−⎡⎤⎣⎦从而可得1122323,,AX X AX X AX X X =−=−=−整理以后可得三个线性方程组整以后可得个线性方程组1()0I A X +=2()0I A X +==32()I A X X +前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的个基础解系T T==−一个基础解系：[][]120,1,0,2,0,1αα可以取，但是不能简单地取这11X α=,X α=是因为如果选取不当，会使得第三个非齐次线性方程组无解。

波士顿矩阵案例及习题1波士顿矩阵波士顿矩阵BCG Matrix, 又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询集团法、分析法、产品系列结构管理法等,是由着名的管理学家、波士顿咨询公司创始人布鲁斯·亨德森于1970年首创的一种用来分析和规划企业产品组合的方法.这种方法以发展率和相对市场份额为坐标,将企业业务分为：明星业务、奶牛业务、瘦狗业务和问题业务四种.这种方法的核心在于,要解决如何使企业的产品品种及其结构适合市场需求的变化,只有这样,企业的生产才有意义.同时,如何将企业有限的资源有效地分配到合理的产品结构中去,以保证企业收益,是企业在激烈竞争中能否取胜的关键.它用来帮助管理层实现他们对多种产品的组合进行分析,以提高企业整体的财务业绩. 两个指标的计算：市场增长率＝本期的销售额－上期的销售额÷上期的销售额高低分界点无绝对的标准市场份额是指一个企业的产品或者服务在特定市场中的销售收入占所有在这个市场中销售收入总额的百分比.相对市场份额能够通过比率来评估,同最大竞争者的市场份额进行比较.相对市场占有率＝本企业某产品的市场占有率÷该产品最大竞争对手的市场占有率以1为高低分界点产品1：20%÷40%=产品2：20%÷10%=2波士顿矩阵的纵坐标表示产品的市场增长率,横坐标表示本企业的相对市场份额.根据市场增长率和市场份额的不同组合,可以将企业的产品分成四种类型：明星产品、金牛产品、问号产品和瘦狗产品.一个企业的所有产品,都可以归入这四种类型,依据其所处的地位采取不同的战略.明星产品.双高产品明星产品代表在高增长的市场中占有高份额.市场占有率高使得产品可以获得较多利润和营业现金流入；市场增长率高使得产品具有投资价值,短期需要资本投入超过产生的现金,以便保持它们的市场地位,但是未来会带来高额的回报.市场份额有足够大的开发机会,但高增长率将吸引新来者或竞争者.因此,必须再次大量投入现金以维持企业现有的地位并加以巩固.此时,明星产品需要的现金流量和产生的现金流量都很大,两者相抵净现金流量很小.明星产品要发展成为金牛产品适合于采用成长战略建设.金牛产品.市场增长率较低而市场占有率较高的产品较高的市场占有率使得产品具有较多的利润和营业现金流入；市场增长率低使之继续投资的价值有限,投资的现金需求小.因此,金牛产品会创造大量的净现金流入.对于金牛产品,首选的战略是巩固市场份额,尽量延长获取大量现金流入的时间.金牛产品适合采用稳定战略持有或在虚弱的时候收获.,目的是保持业务战略单位的市场份额.问号产品.市场增长率较高而市场占有率较低的产品市场增长率高——具有投资价值,需要大量进行投资；市场占有率低——产品盈利性不好,营业现金流入较少.因此,问号产品的净现金流量是负数.对于问号产品,首选的战略扩大市场占有率,大力投资使其转变为明星产品.如果失去转变的希望,则应及时退出.很艰难的选择,进退维谷.所用的战略是建设或收获.瘦狗产品.双低产品市场占有率低——盈利水平低,只有很少的营业现金流入.市场的增长率低——不具追加投资的价值.为了扩大市场占有率继续投资,往往得不偿失,成为资金的陷阱.首选的战略是控制成本,获取最后利润.如果不能维持盈利状态,剩下的选择是退出或清算.对瘦狗产品来说所用策略是剥离或者持有.2案例分析宝洁公司简介宝洁公司Procter & Gamble,简称P&G,是一家美国消费生产商,也是目前全球最大的日用品公司之一.总部位于美国俄亥俄州辛辛那堤,全球员工近110,000人.2008年,宝洁公司是世界上市值第6大公司,世界上利润第14大公司.他同时是财富500强中第十大最受赞誉的公司.在全球80多个国家设有工厂及分公司,所经营的300多个品牌的产品畅销160多个国家和地区.其产品包括洗发、护发、护肤用品、化妆品、婴儿护理产品、医药、食品、饮料、织物、家居护理及个人清洁用品.1987年,自从宝洁公司登陆中国市场以来,在日用消费品市场可谓是所向披靡,一往无前,仅用了十余年时间,就成为中国日化市场的第一品牌在中国,宝洁旗下共有六大洗发水品牌,二十多个系列,包括飘柔、潘婷、海飞丝、沙宣洗发护发系列、润妍、伊卡璐等洗发护发用品品牌.宝洁公司的企业文化由企业愿景,企业精神,企业使命共同构成.企业愿景是亲近和美化人们生活；企业精神是创新,团队；企业使命是提供名优产品,真正改变客户的日常生活.宝洁洗发系列产品波士顿矩阵分析和占有率,强势品牌特征非常明显,占绝对优势.而且拥有了稳定的顾客群,这类产品可能成为企业的奶牛产品,因而需要加大投资以支持其迅速发展.第二、奶牛产品--飘柔、海飞丝.上述两个产品低销量增长率,相对市场占有率高,已进入成熟期.可以为企业提供资金,因而成为企业回收资金,支持其他产品尤其明星产品投资的后盾.第三、问题产品--伊卡璐.伊卡璐是宝洁为击败联合利华、德国汉高、日本花王,花费巨资从百时美施贵宝公司购买的品牌,主要定位于染发,此举为了构筑一条完整的美发护法染发的产品线.宝洁的市场细分很大程度不是靠功能和价格来区分,而是通过广告诉求给予消费者不同心理暗示.把它定位问题产品,主要是它“出生”的较其他洗发产品晚,市场占有率低,产生的现金流不多.但是公司对它的发展抱有很大希望.第四、瘦狗产品--润妍.该品牌销售增长率低,相对市场占有率也偏低,采用撤退战略,首先应减少批量,逐渐撤退,对那些销售增长率和市场占有率均极低的产品应立即淘汰.其次是将剩余资源向其它产品转移.第三是整顿产品系列,最好将瘦狗产品与其它事业部合并,统一管理.明星业务组合转移分析宝洁中国行销十年,占据中高端市场的60%市场份额 ,堪称中国奇迹,也是全球奇迹.但是宝洁的优势集中在一般零售通路,对于专业通路美容美发宝洁一直没有特定品牌经营.中国市场由于美容美发院洗发价格便宜,女性在美发沙龙洗发的频率高于全世界水平沿海发达城市市场存在巨大潜力.中高端专业通路当时威娜德国品牌独大,市场占有率超过50%.而全球知名专业品牌欧莱雅当时并未进入中国专业市场,但据悉将大举入攻,高端市场的争夺战一触即发.宝洁公司因此决定引进旗下专业品牌---沙宣进军高端专业市场.由于其定位明确,营销势头强劲,沙宣打入市场不多时日便快速抢占专业沙龙市场份额,成为专业的代名词.沙宣的营销策略主要有：聘请专业美发大师的电视广告；营销大赛；赞助模特大赛,建立专业美发学校等.这系列手段都与其企业经营风格相当契合,体现了集团专业、合作的企业精神.而这种与整体企业经营风格的同步,也保证了企业战略实施的稳定性,既方便企业高层合理调配资源,又在客户中树立了良好的企业形象.问题业务组合转移分析始创于1931年的伊卡璐品牌,代表着美丽发色和健康秀发.伊卡璐采用天然植物精华,蕴含天然花草芬芳,在染发和洗护发领域处于领先地位.伊卡璐草本精华系列,延续品牌自然独特的个性,主张畅享愉悦生活.伊卡璐于1996年进入中国市场,同样是中高端的路线,同类产品沙宣的成功在于：细分市场,将产品定位于专业沙龙以及营销策略的本土化.反观伊卡璐,它的广告一直采用金发美女作为主角,美则美矣,但是也给人国外译制片的感觉,产品形象不够亲民.而除了广告营销外,便没有更多有影响的营销手段,更没有与宝洁公司的经营风格相呼应,没有利用母公司的优质资源.尽管如此,伊卡璐依旧拥有较高的销售增长率,可见其产品的可塑性还是很高的,是有潜力成为明星业务甚至是奶牛业务的.可采取的措施例如,将客户群定位为追求生活品质的轻熟女,启用本土明星代言等等.瘦狗业务组合转移分析2001年5月,宝洁收购伊卡璐,由此宣告了润妍的消亡,2002年4月,润妍全面停产,一个经历3年酝酿、上市刚刚2年的产品就这样退出了市场.润妍是宝洁旗下唯一失败的产品.据业内的资料显示,润研产品在过去两年间的销售额大约在1个亿左右,品牌的投入大约占到其中的10%两年中,润妍虽获得不少消费者认知,但据有关资料,其最高市场占有率,不超过3%——这个数字,不过是飘柔市场份额的1／10一份对北京、上海、广州和成都女性居民的调查也显示,在女性最喜爱的品牌和女性常用的品牌中,同样是定位黑头发的夏士莲排在第6位,而润妍榜上无名,同样是宝洁麾下的飘柔等四大品牌分列1、2、4、5位.润妍成为瘦狗业务的原因有：1目标人群有误,失去需求基础润妍的主推产品功能是黑发,而目标人群定位为18-35岁的城市高知女性,于是我们可以看到润妍具有唯美的广告形象和唯美的视觉冲击,其包装也是素雅和高贵的但问题在于这部分人群是否是真正的购买者事实上,夏仕莲的黑芝麻洗发水也是与润妍差不多的时间推出的,其很好的借用了奥妮遗留的市场空间,针对大众人群,以低价格快速占领了市场,也许应该成为宝洁的反衬.2未突出新功能和配方,购买诱因不足润妍刚刚上市之初的策略还是较为有效的,突出中草药的概念而不是简单的黑头发,其所做的促销及赠品也都是在这一点上突破的.但其后的营销则过多的偏重于产品的形象,将润妍的品牌完全形象化,在推广时犯了炫耀性销售的毛病广告和赞助活动高潮迭起,但却不能给消费者真正的触摸.习题背景甲公司有三个事业部,分别从事A、B、C三类家电产品的生产和销售.这些产品的有关市场数据如表1-1和图1-1.在A、B、C三类产品市场上,甲公司的最大竞争对手分别是乙公司、丙公司和丁公司.1.问题用波士顿矩阵分析甲公司的A、B、C三类产品分别属于何种业务解答1三类产品的相对市场份额,如表1-3所示.2计算结果画出波士顿矩阵,如图1-2所示.图1-2波士顿矩阵所以A产品是问题业务,B产品是瘦狗业务,C产品是金牛业务.2.问题甲公司对A、C两类产品应分别采取什么策略为什么解答1产品A处于是问题业务,对产品A的策略是进一步深入分析企业是否具有发展潜力和竞争力优势,从而决定是否追加投资,扩大市场份额.因为该业务特点是市场增长率较高,需要企业投入大量资金予以支持,但企业该业务的市场占有率不高,不能给企业带来较高的资金回报.2产品C是金牛业务,对业务C采取的策略是维持稳定生产,不再追加投资,尽可能回收资金,获取利润.因为其特点是市场占有率较高,但行业成长率较低,行业可能处于生命周期中的成熟期,企业生产规模较大,能带来大量稳定的现金收益.。

题型1：求V ∩M 的一个基 方法：课本习题一第9题1.求R 4的子空间V = {( a1 , a2 , a3 , a4 ) |a1 - a2 + a3 - a4 = 0} , W = {( a1 , a2 , a3 , a4 ) |a1 + a2 + a3 + a4 = 0} 的交V ∩ W 的一个基.（课本习题一第9题）2. 求3R 的子空间}02|),,{(}032,0|),,{(32132131321321=++==+=+-=a a a a a a W a a a a a a a a V的交W V⋂的一组基。

题型2：求V1+V2的维数及一个基 方法：课本习题一第10题1．)0,2,4(),0,1,2(),4,0,2(),2,0,1(2121====ββαα.若),(),,(212211ββααL V L V ==，求21V V +的维数及一组基。

初等行变换可参考/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0603.html方法：课本习题二第3题方法：课本习题二第6题1.设321,,e e e 是三维欧氏空间的一组标准正交基，证明：)22(31),22(31),22(31321332123211e e e e e e e e e -+=++=+-=ααα也是一组标准正交基。

题型5：求方程组的标准正交基 方法：课本习题二第7题1.求齐次线性方程组022043214321=---=+-+x x x x x x x x 的解空间（作为的子空间）的一组标准正交基。

正交化标准化可参考https:///article/5bbb5a1be10d4813eba179ce.html方法：课本习题二第11题1.证明:如果一个上三角矩阵是正交矩阵, 则A 必为对角形矩阵, 且主对角线上的元素a ii = ±1 ( i = 1 , 2 , ⋯, n ) . （习题二第11题）方法：如下例题1.如果矩阵是正交矩阵, 求a ij ( i = 1，2 ,3，4；i<=j) .题型8：求最小二乘解方法：课本P32例2-9方法：课本习题二13题1.设Q P ,各为m 阶及n 阶方阵，证明：若n m +阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q B P A 0是酉矩阵，则Q P ,也是酉矩阵，且B 是零矩阵。

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++=1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ.方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββI ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -. 方法二 不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span αααL 的基底就是12,,,n αααL 的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n αααL .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββI 就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==L L ,则11,,,,,k l ααββL L 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξL A AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξL A A A②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===L ，于是21,(),(),,()k -ξξξξL A AA 线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξL A AA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]00000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξL L L L L L L M M M M L LA A A AA A A A AAA A A 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξL A AA下矩阵表示为n 阶矩阵00001000010000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L L评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξL A A A是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==L L L L L 设11,,,,,,r r s ξξξξξL L L 是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s αααααL L L 是的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα 设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。

2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。

（1）证明在上述定义下，n C 是酉空间；（2）写出n C 中的Canchy －Schwarz 不等式。

(1)证明：),(αβ＝HA αβ=HHA )(βα=HA βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H=),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+HHHA A AHA αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知c n是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==njnij ijiHy ax A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==njnij ij i y a y ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤njnij ij i njninjnij ijij ijiy a y x ax y ax *3－3（1）已知.A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝0000201于是ε1＝（0，1，0）T 是A 的特征向量。

选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001010则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---52830631取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2λ= －1是A 1的特征值。

当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝21，于是，α1＝（ --52，51）T 是A 的特征向量，选择与α1正交的向量组成酉阵U 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152-，U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。