小学数学中的抽象与推理(史宁中)

史宁中漫谈数学的基本思想史宁中，国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，中国教育学会副会长，教育部第五届科技委数理学部委员，原东北师范大学校长数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。

其中思想是本质的，没有思想就没有文化。

一、数学思想是什么数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。

可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型。

通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁。

二、什么是抽象数学抽象包括：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。

通过抽象得到数学的基本概念：研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和运算方法。

这是从感性具体上升到理性具体的思维过程，只是第一次抽象。

在此基础可以凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法。

数量与数量关系的抽象。

数学把数量抽象成数；数量关系的本质是多与少，抽象到数学内部就是数的大小。

由大小关系派生出自然数的加法。

数的四则运算，都是基于加法的。

数学还有一种运算，就是极限运算，这涉及到数学的第二次抽象，微积分的运算基础是极限。

为了合理解释极限，1821年柯西给出了-语言，开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，逻辑推理的公理化。

数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。

图形与图形关系的抽象。

欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，随着几何学研究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审视传统的欧几里得几何学。

1898年希尔伯特给出了符号化的定义，基于五组公理，实现了几何研究的公理体系。

这些公理体系的建立，完成了数学的第二次抽象。

史宁中解读小学数学教育：思维发展是核心本文共3218字，仔细阅读需9分钟数学教育的终极目标是“三会”从2005年开始，教育部让我主导国家数学课程标准的制定，这些年以来，数学的课程标准一直在发展和变化中，从“双基”到“四基”，再到数学核心素养。

今天，我想重点来谈谈数学核心素养以及未来的方向。

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。

通俗一点而言，就是通过数学学科教育，我们最终要培养一个什么样的人？我们提出了数学教育的终极目标，无论我们的学生未来是否从事与数学相关的职业，我们都希望他们具备以下三点能力：1.会用数学的眼光观察世界2.会用数学的思维思考世界3.会用数学的语言表达世界这其中，数学眼光指的是数学抽象、直观想象，代表数学的一般性；数学思维指的是逻辑推理、数学运算，代表数学的严谨性；数学语言指的是数学模型、数据分析，代表数学应用的广泛性。

“三会”就是我们对学生在数学能力和数学思维习惯培养上的终极目标。

我们教师无论处在哪一个学段，在进行数学教育的时候脑子里应该始终想着这一终极目标。

“三会”的内涵包括数学基本思想：数学眼光：数学抽象数学思维：逻辑推理数学语言：数学模型因此，数学核心素养的主线是“三会”，内涵是数学思想，基础是知识，获取方式是过程，是经验的累积，是思维的习惯和做事的习惯。

我们目前所使用的数学教材存在一定的问题，没有有意识地让学生感悟数学的基本思想，没有有意识地引发学生思考、帮助学生积累思维和实践的经验。

比如初中和高中都教函数，初中教函数是用变量的方式，高中教函数是用对应的方式，但教材并没有阐述这样教背后的原因，没有让孩子理解背后的数学思想，这就是有问题的。

我曾经调查过一所中学的中学生，为什么要学函数？居然有孩子这么回答：函数是老师考察学生数学学得好坏与否最重要的指标。

如果数学教到这个份上就没有意义了。

抽象数学模型增强应用意识——“单价、数量和总价”教学实践与思考摘要：小学数学是培养学生数学思维的基础性课程，对于提高学生数学应用意识和能力具有深远意义。

课堂教学是教师与学生进行互动的过程，教师需要从学生认知特点和已有经验出发，采取有效措施来提升其核心素养。

本文以教学人教版数学四年级上册第四单元《单价、数量和总价》为例，主要探讨如何帮助学生正确理解数学概念、经历建模过程、抽象数量关系以及培养应用意识，并提出具备可行性的有效策略,希望能给同行带来帮助。

关键词：概念化疑；模型观念；应用意识引言：最新推行的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）确定了小学阶段的11个数学核心素养，与前一版相比，《标准》将“模型思想”修改为“模型意识”，强调模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。

《标准》中还强调“应用意识”主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题。

本文通过聚焦“模型意识”与“应用意识”，切实提升学生的数学核心素养。

【教学前测】本节课主要教学一种常见的数量关系：单价、数量和总价。

在前几册通过解答应用题，学生们已接触到这些数量关系，有一定的感性认识，但是还没有概括出规律，给出有关的概念术语。

四年级学生的思维主要以形象思维为主，抽象逻辑思维较弱。

因此，在教学中关键是要如何通过实际的例子使学生理解和掌握用术语，以及表达数量关系，建构数学模型，并能在实际问题中灵活地加以应用。

课前通过对全班同学的调查，笔者发现在实际生活当中，学生们已经对“单价”、“数量”和“总价”有了一定程度的认识，积攒了一定的经验。

于是在开课之前，教师就提前让同学们去逛逛超市，并拍摄了2-3张自己喜欢的商品“价格标签”照片发布在班级QQ群相册中，这一“课前准备环节”不仅充分调动了学生们的学习兴趣，极大促进了学生们对“单价”、“数量”和“总价”三个概念的理解，也为之后模型的构建提供了大量的实例支撑，奠定了基础。

关注归纳推理提升数学智慧——关于小学生归纳推理能力培养的研究与实践内容摘要：史宁中教授强调培养创新性人才必须重视对学生的归纳推理能力的培养。

目前，教师专业知识缺乏，应试教育，以及教师的实践研究不足和实践策略缺失，直接影响了学生归纳推理能力的发展。

由此，本文阐述了归纳推理能力的要义和重要性，梳理了承载培养学生归纳推理能力的教学内容，以及结合实践提出了四条引导路径。

关键词：归纳推理教学内容引导路径一、对学生归纳推理能力培养现状的调研与分析史宁中教授指出：归纳推理能力的培养对学生数学智慧的发展有着十分重要的意义；归纳推理应该引起数学课堂教学的重视。

那么，目前小学数学教育对学生归纳推理能力培养的现实状况如何？于是，我对某镇中心校、村完小的23位数学老师以及六年级105名学生进行了调研和分析。

1、从教师层面调查结果分析现状一：教师专业知识缺乏对教师的访谈和调查显示（见表一）：有21.7%的教师不了解归纳推理。

有47.8%的教师表示有所了解，但不能准确地举例说明。

部分教师说：“好像在读师范时《心理学》课上听老师讲过，现在已经忘了。

”只有30.4%的教师了解归纳推理，并能正确举例。

现状二：应试教育影响巨大培养归纳推理推理，更重要的意义在于发展学生的创新思维和数学智慧。

调查显示只有17.3%的教师表示比较重视对学生归纳推理能力的培养（见表一），其余教师在课堂教学中并没有培养学生归纳推理能力的主动意识。

经访谈得知，其中主要的原因是不了解和考试不会考到。

可见，考试这根指挥棒仍然在发挥着巨大地影响。

现状三：研究不足，策略缺失经访谈得知，23名教师中没有哪位教师对本主题进行深入实践研究过。

52.1%的教师表示不知道如何有效地在实践中培养学生的归纳推理能力,47.8%的教师不完全清楚哪些教学内容的教学可以培养学生的归纳推理能力。

表一：教师调查统计表2、从学生层面调研结果分析题1：观察①、②两个等式有什么特点，在其它等式的（ ）里填上适当的分数。

国家数学课程标准修改组组长史宁中讲座材料《小学数学教学中的几个问题》讲稿整理学习资料一、早期阶段培养学生什么能力：思维能力教育要充分彰显人与动物的最大区别：器官：扩充的脑容量；位置偏下的喉头行为：制造工具，说话思维：想像能力与抽象能力想象能力：观察----联想------想象-----验证------结论抽象能力：形式----分类----性质----概念（描述）------规律（符号）1231231.与位数）23522052200223+2×(3+2)语言操场上有一队同学，每排三名女生、两名男生，共四排，问有多少学生？总人数=每排同学数×排数=(3+2)×43、分数乘除运算法则有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？教学目的：4÷1/3=4×3=12。

为什么必须用除法计算？？=4÷1/3的原本是？×1/3=4。

破题：3只鸭子：1只鹅(破解1/3的含义:1÷1/3=3)6只鸭子：2只鹅(推广1/3的含义:2÷1/3=6)9只鸭子：3只鹅(推广1/3的含义:3÷1/3=9)？只鸭子：4只鹅(最后到结论:4÷1/3=12)教师应该知道：除法是乘法的逆运算的具体含义。

（求证）4÷1/3=4×3（证明）？=4÷1/3等价于？×1/3=4？×1/3×3=4×3→？=4×3结论4÷1/3=4×3最后是符号表达：a÷1/b=a×b4、分数的加法：术与理的区别51/4、65–x=?7.60个，尝试：160415141424也可以用尝试的方法列出方程椅子数凳子数腿的总数a=1616-a=04×a﹢3×(16-a)=64a=1516-a=14×a﹢3×(16-a)=63a=1416-a=24×a﹢3×(16-a)=62这样，合题意的方程为4×a﹢3×(16-a)=60。

2008年第5期东北师大学报(哲学社会科学版)N o .5　2008总第235期Journal of No rtheast N ormal U niversity (Philosophy and Social Sciences )Sum N o .235 [编者按]　《数学的抽象》这篇论文,将会成为作者一本关于数学思想的著作的一章,其讨论的问题是我们这个时代特别需要解决的,论文自始至终贯穿着强烈的问题意识和文化的针对性。

因此我们对这篇文字进行了整理,并发表于本刊,以飨读者。

严格地说,数学是一种西学,作者大概是出于对思想史的尊重,出于寻找数学抽象的思想源流和资源的意图,仿佛怀旧式地对西方思想史进行了一次游历,作者在与柏拉图、亚理士多德、培根、笛卡尔、洛克、休谟、康德、叔本华等经典哲学家的对话间,以一双敏锐的现代数学家的眼睛,时而以十分虔敬的心情充分欣赏思想家们的伟大观点,时而尖刻而亲切地指出思想家们的历史局限,时而又以操纵式姿态调侃着某些思想家的某些观点,这种对话和攀谈如同发生在老熟人、老同行、老朋友之间一样,这让我们好像在观看名为“数学的抽象”的一场精彩表演,在一种轻松的,然而又严肃的心情中了解到作者所谈论的话题的论证过程和观点。

读来令人颇多回味和想象。

[收稿日期]2008-07-10 [作者简介]史宁中(1950-),男,江苏宜兴人,东北师范大学校长,教授,博士生导师。

数学的抽象史宁中(东北师范大学,吉林长春130024) [摘　要]数学在本质上研究的是抽象的东西,数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象,只有通过抽象才能得到抽象的东西。

在柏拉图的理念论之下,数学的概念就不应当是经验意义上的存在,而应当是一种永恒的存在;亚里士多德不赞成柏拉图的想法,认为一般概念是人们在日常生活的经验中,通过对于许多具体存在事物的共同性质抽象而得到的,所以一般概念不可能是真正的存在。

亚里士多德的观点仍然需要补充,数学研究所涉及的基本概念并不一定都是直接从现实的具体的存在中抽象出来的,也可以借助符号与类比得到更高层次的抽象,这里既包括感性具体也包括理性具体。

对《义务教育数学课程标准》（2011年版）的理解国家基础教育实验中心孔凡哲史宁中*福建教育(A)2012年第6期中国基础教育课程改革发展的基本动因，一方面在于，使得基础教育能够真正满足我国经济社会快速发展的需求，进而促进国家的可持续发展和民族的振兴；另一方面则在于，实现每位学生的全面、健康、和谐、可持续发展。

也就是说，国家利益、学生需要是改革的根本动因。

《义务教育数学课程标准》（实验稿）的修订工作正是基于这两个基本动因，根据义务教育法的有关规定，按照基础教育课程改革的总体方向，根据2001年9月实施新课程实验以来总结的经验和发现的问题，以促进义务教育阶段实施素质教育为目标，本着实事求是、严谨科学、顾全大局、求同存异的态度，通过充分的研究与认真的讨论，最终形成《义务教育数学课程标准》（2011年版）。

本文详细分析《义务教育数学课程标准》（2011年版）的特点、基本理念、课程目标和内容结构。

一、从数学课程标准与教学大纲的差异看课程标准的特点问：对于广大的中小学教师来说，理解数学课程标准的特点，总是将其与以往的数学教学大纲相比较。

数学课程标准与教学大纲有哪些不同的特点呢？答：理解这个问题，需要从课程标准、教学大纲的不同作用和不同关注点等方面加以细致分析：首先，作为中小学数学教学的核心文件之一，教学大纲关心的是应当教哪些内容？应当教到什么程度。

而作为中小学数学课程、教学的核心文件之一，课程标准关心的是学什么、学到什么程度，教什么、教到什么程度，考什么、考到什么程度，教材如何编写、课程资源如何开发；在此基础上，教学大纲的考核关注规定的内容是否教了、学生的掌握是否达到了要求。

其次，教学大纲规定的课程目标是一维，即着眼于知识、技能，亦即“双基”。

而课程标准不仅关注知识、技能的掌握情况，而且更加关注学生在实践能力、数学科学精神等方面的均衡发展。

也就说，课程标准考核的是人的全面发展状况，其课程目标是三维的，即知识技能、过程方法、情感态度价值观。

培养小学生数学推理能力的策略摘要：数学推理是一种重要的数学能力，也是数学思维的一种主要形式。

在小学数学教学中，可通过创设问题情境，先引发学生推理猜想；再组织探究活动，提升学生推理能力；接着基于学生原有经验，推进推理深度；最后引导学生探寻规律，掌握推理方法，最终有效促进学生数学推理能力的提升。

关键词：推理能力;培养;小学数学;在小学数学教学中，教师需要关注每一个教学环节，设置合理的教学目标，培养学生的数学推理能力。

史宁中教授指出，数学知识点的学习过程，实际上就是一个从抽象到推理，再由推理到建模的过程。

具体而言，“推理”指的是借助已知条件，对未知结论进行推导的过程。

一、创设问题情境，引发推理猜想结合教育心理学相关理论展开分析，我们可了解到：当学生具备了一定的质疑意识与能力之后，就能够主动提出问题和高效解决问题，这对于他们推理猜想能力的发展是很有利的。

在数学教学过程中，教师需要围绕教材知识点，设计相应的教学环节，创设问题情境，以引发学生认知冲突，从而调动学生的思维和能力，帮助学生完成知识经验的积累，强化学生的直观感受，同时促进学生通过亲身实践，自行推导数学结论。

而整个过程，就是学生自主探究学习的过程。

1. 在具体问题中引发推理猜想例如，在“圆的周长”一课中，教师可以针对圆的图形特征，引导学生区别圆和三角形、长方形等。

在以往的学习活动中，学生了解到直线可以构成图形，而圆则是由曲线构成的。

教师就可以由此切入，引导学生围绕“周长与直线之间的关系”问题展开探索。

具体地，教师可以创设如下教学情境：让一只蜗牛沿着圆框爬行，另外一只蜗牛沿着正方形框爬行。

假设两只蜗牛的爬行速度相同，那么哪只蜗牛最先到达终点？”在提出了这个问题之后，教师可以给予学生适当的点拨，让学生围绕“圆和正方形的周长会受什么因素影响”这一问题展开互动交流。

在此环节中，有学生采取折叠的方式，将圆的直径进行平移，使之达到与圆相切的状态，之后得出一个正方形。

小学数学疑难问题史宁中将小学教师提出的疑难问题整理分类，选择以下20问题15几个，请史校长根据情况在讲座中解答和讲解。

有几个问题是您以前讲过的，有的是新增加了。

数与代数问题1 为什么先乘除后加减？问题2 如何理解小数与分数、百分数的区别与联系？问题3 为什么除以一个数等于乘以这个数的倒数？问题4 “5-x=2 ，x=？为什么？即小学方程与初中方程的异同，等式基本性质的理解。

x=0是不是方程？问题5 为什么负负得正？问题6 估算与精算的区别及作用，如何理解？问题7 如何理解分数的无量纲性？问题8 最小的余数是几？小数除法中，尽量回避了有余数除法的内容，在小数除法中，对于有余数的情况应该如何把握？问题9 如何理解自然数的概念，0到底算不算自然数到现在为止还存在争议，在小学的很多知识中都要对0进行一些特殊规定，如倍数和因数要强调在非0自然数的范围内研究，为什么？问题10 在小学阶段对数的界定为什么是最小的一位数是1，最小的自然数是0？问题11 五年级（人教版）学生学习方程时教材呈现方式重点是以等式的性质来理解、解方程的。

没有提及用加、减、乘、除各部分间的关系来解方程。

当未知数是减数和除数时用等式的性质来解方程很麻烦。

在解方程时是否应交给学生用加、减、乘、除各部分间的关系来解方程？问题12 五年级教材中找最大公因数、最小公倍数用的都是列举的方法，学生理解、接受和掌握起来都很容易，但当遇到较大的数或多个数时很麻烦，不好找，对于短除法，教师是否应简单介绍，究竟在教学时对短除法的教学尺度把握到什么程度合适？问题13 5.32 X 0.255积的小数部分末尾有几位小数？问题14 怎样讲解百分数和分母是一百的分数的区别和联系，学生才更容易掌握？在讲解比、除法和分数的关系时，如何讲解学生容易理解。

问题15 在国培听得最多的一句话，就是“一堂好的数学课，必须体现出数学的本质”。

那么，在小学数学课堂上要体现出数学的本质，有哪些秘诀？图形与几何问题1 如何理解平移、旋转与反射？问题2 正方体是特殊的长方体问题3 怎样理解“直线、射线、线段”的本质区别？怎样建立对“直线、射线、线段”的空间感？问题4“直线无限延伸”怎么理解？问题5 线段可以取多长？问题6 量角器为什么不做成圆形的？统计与概率问题1 统计的基本思想是什么？问题2 如何理解小学数学中的三种关系？确定数学（如函数）与概率、统计有何区别？（成龙、周星驰的例子）问题3 关于中位数、众数、平均数，在不同的实际问题中，对于分析一组数据，确定一件事情，要根据实际情况或者选用中位来表示数据水平，或者选用众数来表示数据水平，或者选用平均数来表示数据水平，该如何进行有效恰当的选择是即符合数学学科要求，又符合实际情况。