小学五年级下因数与倍数奥数辅导讲义汇编

五年级春季第二讲《因数与倍数下》知识点一：质数与合数写出1-20各数的所有因数1的因数:12的因数:1，23的因数:1，34的因数:1，4，25的因数:1，56的因数:1，6，2，37的因数:1，78的因数:1，8，2，49的因数:1，9，310的因数:1，10，2，511的因数:1，1112的因数:1，12，2，6，3，413的因数:1，1314的因数:1，14，2，715的因数:1，15，3，516的因数:1，16，2，8，417的因数:1，1718的因数:1，18，2，9，3，619的因数:1，1920的因数:1，20，2，10，4，5①一个数，如果只有和它本身两个因数，这个数叫做质数。

②一个数，如果除了1和它本身以外还有别的因数这个数叫做合数。

③1既不是质数，也不是合数小练习如何快速找出100以内的质数?筛选法1.首先划掉1，因为1既不是质数，也不是合数;2.接着划掉2的倍数(2除外)3.再划掉3的倍数(3除外)4.然后划掉5的倍数(5除外)5.最后划掉7的倍数(7除外)笔记部分质数与合数1、质数:只有1和它本身两个因数2、合数:有两个以上的因数(除了1和它本身以外还有别的因数)3.1既不是质数，也不是合数例题1、将下面的数进行分类，哪些是质数?些是台数?1、3、5、6、12、14、21、24、29、31、35、37、41、49、51、63、87质数：合教：答案:质数:3、5、29、31、37、41;合数:6、12、14、21、2435、49、51、63、87练习1(1)最小的质数是（）最小的合数是（）(2)20以内(包括20)最小的质数与最大的合数之和是（）20以内(包括20)最大的质数与最小的合数之和是（）(3)10以内不是偶数的质数有（）(4)100以内最大的质数是（）答案：①2，4②22，23③3，5，7④97例题2、解答题(1)两个质数的和是20，乘积是91，那么这两个质数分別是多少?(2)两个台数的差是2，乘积是168，那么这两个合数分别是多少？答案：(1)这两个质数分别是7和13(2)这两个台数分别是12和14练习2(1)两个合数的和是27，乘积是180，那么这两个合数分别是多少?(2)一个质数和一个合数的差是5，乘积是104，那么这两个数分別是多少?答案(1)这两个合数分別是12和15(2)两个数分別是13和8例题3、解答题(1)一个两位质数，个位和十位交换之后还是质数，这样的质数我们称之为“绝対质数，请写出全部的“绝对质数”(2)有一个一位质数，把它加上60或者加上90后都是质数，那么这个一位质数是多少?答案：(1)11、1317、31、37、71、73.79、97:(3)这个一位质数是7练习3(1)个位和十位都是质数的两位质数最小是多少?2)有一个两位质数，十位和个位的数字之和是8，数字之差是6，那么这个两位数是多少?答案：(1)23:(2)17和71知识点二：奇数与偶数奇数与偶数奇数:个位是1、3、5、7、9的数偶数:个位是0、2、4、6、8的数;小练习1.幼儿园玩躲猫猫游戏，有三个小朋友躲到宿舍楼里，老师只记得三个小朋友所在的楼层为连续的偶数层，并且三个层的层数之和为24，你能帮助老师找到小朋友所在的楼层吗?答案：小朋友所在的楼层为6、8、102.幼儿园玩躲猫猫游戏，有三个小朋友躲到宿舍楼里，老师只记得三个小朋友所在的楼层为连续的奇数层，并且三个层的层数之和为21，你能帮助老师找到小朋友所在的楼层吗?答案：小朋友所在的楼层为5、7、9例题4、下列数中，哪些是奇数，哪些是偶数？所有奇数的和是多少？所有偶数的和是多少？12 57 46 1 25 33 23 26 54 7 10 48答案：奇数57，1，25，33，23，7奇数和：146偶数：12，46，26，54，10，48偶数和：196练习4(1)2个连偶数的和是22，这两个偶数分别是多少?(2)3个连续奇数的和是45，这三个奇数分別是多少答案：(1)连续的两个偶数是10和12:(2)连的三个数是13、15、17例题5、54个蛋放到9个篮子里，要求每个篮子里的鸡蛋数量部是奇数个，能做到吗?如果能，请始出一种分配的方法;如不能，请简述理由。

第7讲因数与倍数（公因数与公倍数2）知识概述这一讲我们主要介绍最小公倍数与最大公约数之间的关系。

定理一:两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质，即如果(a，b)＝d那么(a÷d，b÷a)＝1定理二:两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。

即[a，b]×(a，b)＝a×b。

定理三:两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。

例1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少?练习1.某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，这个数是多少?2.甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。

3.四个连续奇数的最小公倍数为6435，这四个奇数中最大的一个为多少?例2、两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。

练习2、1.两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。

2、已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。

3、两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少？例3、两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这两个数的和。

练习3、1.两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77。

求这两个数。

2.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？3.两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54。

求这两个数的和。

例4、两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。

练习4、1.两个数的差是4，最大公因数与最小公倍数的积是252，求这两个数。

2.两个数的差是30，它们最小公倍数与最大公因数的差是450，求这两个数3.两个自然数的差是2，它们的最大公因数与最小公倍数之和是86，求这两个数。

课后练习1.两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少2.两个自然数的最大公因数是15，最小公倍数是180，其中一个数是45，求这两个自然数的差。

因数和倍数学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容奇数与偶数、因数与倍数、2,3,5的倍数特征、质数与合数课型一对一/一对N教学目标1、理解因数与倍数概念，能举例说明；2、了解奇数与偶数，能准确判断奇数与偶数，通过探索奇数、偶数相加的结果是奇数还是偶数（奇偶性）；3、了解质数与合数，在1～100的自然数中，能找出质数与合数，并能熟练判断20以内的数哪个是质数，哪个是合数。

重、难点2,3,5的倍数特征、质数与合数知识导图导学一：因数与倍数知识点讲解 1：因数与倍数1、自然数的个数是（）的，最小的自然数是（），（）最大的自然数。

2、在自然数中，是（）的数叫做偶数，（）的数叫做奇数。

3、因数和倍数的意义：如果整数a（a≠0）乘整数b（b≠0）得到整数c，那么a和b都是（）的因数，c是（）的倍数， c也是（）的倍数。

因数和倍数是相互（）的，不能说哪个数是因数，哪个数是倍数。

例 1. 判断（对的打“√”，错的打“×”）（1）18是倍数，2是因数。

（）（2）因为1.4÷0.2＝7，所以1.4是0.2的倍数，0.2是1.4的因数。

（）（3）一个非零自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。

（）例 2. [单选题] 属于因数和倍数关系的等式是（）。

A、2×0.25=0.5B、2×25=50C、2×0=0例 3. 在12、6、3、4中，（）是（）的倍数，（）是（）的因数。

例 4. [单选题] 15的最大因数是（），最小倍数是（）。

A、1B、3C、5D、15 我爱展示1. 10×3＝30，（）是（）的因数，（）是（）的倍数。

60÷5＝12，60是（）的倍数，（）是（）的因数。

1.一个数既是20的因数，又是20的倍数，这个数是（）。

2.[单选题] 一个数既是4的因数，又是2的倍数，这个数是（）。

A、2B、4C、2或43.[单选题] a是b的倍数，c是b的因数，则a是c的（）。

五年下册数学因数和倍数集体讲解引言本文档旨在对五年级下册的数学因数和倍数进行集体讲解。

通过深入讲解和示范题目，希望能够帮助学生们更好地理解和应用这一知识点。

一、因数概念及性质1.1 因数的定义在数学中，我们将一个数能够整除另一个数的数称为后者的因数。

例如，4是8的因数，因为4可以整除8。

1.2 试除法求因数试除法是求解因数的一种常用方法。

其基本思路是从小到大不断试除，直至无法整除为止。

1.3 因数的性质- 一个数的所有因数都小于等于它本身；- 1和这个数本身是它的因数；- 除了1和这个数本身之外，其他因数都是成对出现的。

二、倍数概念及性质2.1 倍数的定义在数学中，一个数如果能够被另一个数整除，则前者称为后者的倍数。

例如，16是8的倍数，因为16可以被8整除。

2.2 如何判断一个数是另一个数的倍数一个数是否是另一个数的倍数，可以使用取余运算进行判断。

如果一个数除以另一个数的余数为0，则前者是后者的倍数。

2.3 倍数的性质- 一个数的所有倍数都大于等于它本身；- 一个数的倍数可以是无穷多个。

三、因数和倍数的应用3.1 公约数和公倍数- 公约数是指多个数共有的因数，即能够同时整除这些数的数；- 公倍数是指多个数共同的倍数，即能够同时被这些数整除的数。

3.2 求最大公因数最大公因数又称为最大公约数，是指多个数的公约数中最大的那个数。

可以使用辗转相除法或质因数分解法来求解最大公因数。

3.3 求最小公倍数最小公倍数是指多个数的公倍数中最小的那个数。

可以使用求最大公因数的方法来求解最小公倍数。

四、示范题目下面给出一些示范题目，帮助学生们更好地理解和应用因数和倍数的知识点。

1. 求8和12的最大公因数和最小公倍数。

2. 判断36是否是24的倍数。

3. 求24和36的公约数和公倍数。

4. 设有一个数的因数有3和9，求这个数。

五、总结通过本次集体讲解，我们对五年下册的数学因数和倍数进行了深入的研究和理解。

因数和倍数在数学中具有重要的应用价值，可以帮助我们解决实际问题。

第二讲因数与倍数（下）1、自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。

奇数：不能被2整除的数。

叫奇数。

也就是个位上是1、3、5、7、9的数。

偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。

最小的奇数是1，最小的偶数是0.关系：奇数+、- 偶数=奇数奇数+、- 奇数=偶数偶数+、-偶数=偶数。

2、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。

合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。

1：只有1个因数。

“1”既不是质数，也不是合数。

0：最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：A；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：A；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。

比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）5、互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。

两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和8两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；例1 观察下面各式得数的奇偶性与加数或者被减数和减数的奇偶性。

讲义2 因数与倍数一、自学自补（一）因数和倍数。

1、在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数. 又如整数a能被b整除(a÷b＝c),那么a就是b的倍数，b就是a的因数。

因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。

2、因数：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的因数的求法：成对地按顺序找,或用除法找。

3、倍数：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

4、一个数的倍数的求法：依次乘自然数。

（二）自然数按能不能被2整除分为：奇数、偶数奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。

偶数：是2的倍数的数叫做偶数。

1、最小的奇数是1，最小的偶数是0。

2、2、3、5倍数的特征：①个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

②个位上是0或5的数，是5的倍数。

③一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

④如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。

⑤同时是2、3、5的倍数：个位上是0并且各位上的数的和是3的倍数⑥同时是2、3、5的倍数中，最大的两位数是90，最小的两位数是30，最小的三位数是120。

（三）自然数按因数的个数来分：质数、合数、1.质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

如2,3,5,7，11，13,17,19……都是质数。

合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

如4,6,8,9，10,12,14，15,16,18,20,22,26，49……都是合数。

1、合数至少有三个因数，包括1、它本身和别的因数2、数1：只有1个因数。

“1”既不是质数，也不是合数。

3、最小的质数是2，最小的合数是4。

4、20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）（1）所有的奇数都是质数。

不对，因为9是奇数，但不是质数，而是合数。

（2）所有的偶数都是合数。

不对，因为2是偶数，但不是合数，是质数。

秋季班五年级奥数两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216，这两个数分别是多少？两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。

那么这些小朋友最多有多少人？一次考试，参加的学生中有七分之一得优，四分之一得良，三分之一得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有人。

有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。

已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次同时回到出发点？因数与倍数（二）—约数倍数综合运用(10年希望杯五年级初赛第11题)夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走。

小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。

那么这条小路长__ 米。

连续7个自然数的和既是5的倍数，也是9的倍数，那么这7个自然数中最大的一个数的最小值是_______。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．有两个自然数，它们的最大公因数是12，最小公倍数是180，并且两数不成倍数关系。

这两个数分别是( )A．36，60 B．12，180 C．12，150 D．36，1502．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，这两个数分别是( ) A．45，72 B．36，90 C．24，135 D．18，1803．鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端开始向另一端挖洞。

鼹鼠每隔3米挖一个洞，老鼠每隔5米挖一个洞，老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖。

”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖( )个洞。

因数与倍数知识点一、因数与倍数的概念思考：观察以下两组式子，它们分别有什么特征？10÷5=2 15÷2=7 (1)16÷2=8 15÷10=1 (5)28÷7=4 15÷10=1.5第一组第二组1、在整数除法中，有两个非0整数a、b，如果a÷b的商是整数而且没有余数，那么我们就说a能被b（），也可以说b能（）a 。

例1、10÷5=2 。

则（）能被（）整除，或者可以说（）能整除（）。

2、在整数除法中，如果两个数的商是整数而且没有余数，我们就说除数和商是被除数的（）。

因数又叫（）；被除数是除数和商的（）。

例2、10÷5=2 。

则5和2都是10的（），10是5和2的（）。

3、因数和倍数是互相依存的。

也就是说：①如果a是b的因数，那么b就是a的（）。

②如果a是b的倍数，那么b就是a的（）。

例3、2是10的因数，则10是2的倍数。

4、饮料厂要把70瓶纯净水包装起来批发给超市,厂里只有下面三种包装盒。

选哪种包装盒能正好把纯净水包完?为什么?知识点二、找因数的方法1、找一个数的因数的方法是列举法：用这个数依次除以1、2、3、4、5…，如果该算式没有（），那么算式中除数和商都是这个数的因数。

例1、18的因数有（）。

例2、20的因数有（）。

分析：分析：18÷1=18 20÷1=2018÷2=9 20÷2=1018÷3=6 20÷4=518÷6=3 20÷5=418÷9=2 20÷10=218÷18=1 20÷20=1思考：上述方法得一个一个数来试，那如果我们要求100的因数，岂不是很麻烦？怎么改进我们的算法呢？2、找一个数的因数的改进方法：用这个数依次除以1、2、3、4、5…，直到（）在（）中出现，我们就可以停止了。

讲义内容知识概括1.找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式，从1开始，一对一对地找（2）列除法算式，先列出这个数可以写成哪些除法算式，算式中的商和除数就是这个数的因数。

注意：一个数的因数的特征：一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

2.质数与合数的意义：（1）一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。

（2）一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。

（3）1既不是质数，也不是合数。

3. 判断一个数是质数或合数的方法：方法一：看这个数的因数的个数，只有2个因数的数一定是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。

方法二：判断一个自然数是不是质数，可以用所有比它小的质数从小到大依次去除这个自然数，除不尽且有余数，它就是质数，否则就是合数。

4. 100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个。

温馨提示：（1）奇数不一定只有1和它本身两个因数，还可能有其它因数。

（2）自然数中最小的偶数是0，最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。

典型例题【例题1】（1）找出12、18的因数；（2）判断2----12中的质数与合数；（3）写出100以内的质数【例题2】下面哪些数是合数，哪些数是质数？2，15，9，21，31，49，57，64【例题3】两个质数的和是40，这两个质数的乘积的最大值是多少？【例题4】一个长方形的周长是56厘米，它的长和宽的厘米数都是由一个质数和一个偶数组成，它的面积是多少平方厘米？【例题5】填空：（1）18的因数有____________个,分别是___________________；18的倍数有____________个,分别是___________________；（2）25的最大因数是___________，最小倍数是___________；（3）16的因数有___________个,分别是___________________；有______个，也是32的因数。