高三数学下册课时精练测试19

课时作业19 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．sin600°的值为( B )A ．－12B ．－32C ．12D ．32 解析：sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.2．(2019·福州质检)已知直线2x ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ的值是( C )A ．－3B ．－2C ．13D ．3解析：由已知得tan θ＝－2， ∴sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13. 3．(2019·陕西宝鸡金台区质检)已知sin2α＝23，则tan α＋1tan α＝( C )A ． 3B．2C．3D ．2解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin2α＝223＝3.故选C ．4．(2019·山东寿光一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( A )A ．－255 B ．－55 C ．55D ．255解析：根据三角函数的定义可知cos α＝25＝255，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255，故选A ． 5．(2019·兰州质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( A )A ．－13B ．13C ．－23D ．－223解析：∵a ＝⎝⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( A )A ．－79 B ．－13 C ．13D ．79解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.7．(2019·山东菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝( A )A ．427 B ．±225 C ．±427D ．225解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，由同角三角函数的商数关系知tan α＝sin αcos α＝－22， ∴tan(π＋2α)＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－(－22)2＝427，故选A ． 8．(2019·咸阳月考)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 018)的值为( C )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3.9．化简：1＋2sin (π－3)cos (π＋3)＝sin3－cos3__. 解析：因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， 所以原式＝1－2sin3cos3＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3|， 又因为π2＜3＜π，所以sin3＞0，cos3＜0，即sin3－cos3＞0，故原式＝sin3－cos3. 10．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝912 .解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.11．(2019·安徽六校联考)是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值？若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．12．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018 ＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.13．(2019·山西康杰中学等五校联考)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( C )A ．195B ．165C ．2310D ．1710解析：解法一：sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan θ＋tan 2θtan 2θ＋1，将tan θ＝2代入，得原式＝2310，故选C ．解法二：tan θ＝2＝21，在平面直角坐标系xOy 中，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上取点P (1,2)，则|OP |＝5，由三角函数的定义， 得sin θ＝25，cos θ＝15，所以sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝25＋1525＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝2310，故选C ．14．(2019·湖南衡阳模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( C )A ．－3B ．3或13 C ．－13D ．－3或－13解析：由sin θ＋cos θ＝a ， 两边平方可得2sin θ·cos θ＝a 2－1. 由a ∈(0,1)，得sin θ·cos θ＜0.又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ＞0，sin θ＜0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.又由sin θ＋cos θ＝a ＞0，知|sin θ|＜|cos θ|.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)．故选C ． 15．已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于3π4 .解析：由题意知sin θ·cos θ＝－12，联立⎩⎨⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ·cos θ＝－12. 得⎩⎨⎧sin θ＝22，cos θ＝－22或⎩⎨⎧sin θ＝－22，cos θ＝22，又θ为三角形的一个内角，∴sin θ＞0，则cos θ＝－22，∴θ＝3π4.16．已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值为52或－52 . 解析：因为sin α＝255＞0， 所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.(1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.(2)当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52. 综合(1)(2)知，原式＝52或－52.。

课时达标训练（十九）[即时达标对点练]题组1 面积、体积的最值问题1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π2．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm 题组2 成本最低(费用最省)问题3．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6 m B ．8 m C ．4 m D ．2 m4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为12x 2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________．5．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ，(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 题组3 利润最大问题6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )A．30 元 B．60 元C．28 000 元 D．23 000 元8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．9．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．[能力提升综合练]1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )A.3V B.32V C.34V D．23V3．某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )A．32 m，16 m B．30 m，15 mC．40 m，20 m D．36 m，18 m4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3900＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A．150 B．200 C．250 D．3005．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.6．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．7．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P (万件)与每台机器的日产量x (万件)(4≤x ≤12)之间满足关系：P ＝0.1x 2－3.2 ln x ＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数； (2)当每台机器的日产量x (万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？ 8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为y ，x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．答 案 即时达标对点练1. 解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r2，V ＝πr 2h ＝12πr 2l －2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.2. 解析：选B 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积V cm 3.由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －24)(x －8)，令V ′＝0，得x ＝8或x ＝24(舍去)．当x ∈(0，8)时，V ′>0；当x ∈(8，24)时，V ′<0. ∴当x ＝8时，V 取得最大值．3. 解析： 选C 设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．4. 解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝2 000x，总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋12x 2＝8 000x ＋12x 2，令f ′(x )＝x －8 000x2＝0，解得x ＝20.且当0<x <20时f ′(x )<0，当x >20时f ′(x )>0，故x ＝20时，f (x )最小． 答案：205. 解：(1)Q ＝P ·400v＝⎝⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400＝v 348－52v 2＋6 000(0<v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80，当0<v <80时，Q ′<0； 当80<v ≤100时，Q ′>0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元)．6. 解析：选C 因为y ′＝－x 2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y ′<0；当x ∈(0，9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9时函数取最大值．7. 解析：选D 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．8. 解析：存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0，0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．答案：0.0329. 解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 之间的关系为：L (x )＝(x －3－4)(12－x )2＝(x －7)(12－x )2，即L (x )＝(x －7)(12－x )2，其中x ∈[8，11]． (2)由于L (x )＝(x －7)(12－x )2，∴L ′(x )＝(12－x )2＋(x －7)·2(12－x )·(－1) ＝(12－x )(12－x －2x ＋14)＝(12－x )(26－3x )， 令L ′(x )＝0得x ＝12或x ＝263，由于x ∈[8，11]，所以取x ＝263，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，263时，L ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤263，11时，L ′(x )<0，所以当x ＝263时，L (x )在[8，11]上取到极大值，也是最大值，L ⎝ ⎛⎭⎪⎫263＝50027(万元)． 故当每件售价为263元时，公司一年的利润L 最大，最大利润是50027万元．能力提升综合练1. 解析：选B 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 最小．2. 解析：选C 设底面边长为x ，高为h ， ∴34x 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3x2＝43V3x 2.∴S 表＝2·34x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43V x， S ′(x )＝3x －43Vx2，令S ′(x )＝0可得3x ＝43V x2，x 3＝4V ，x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′(x )<0；当x >34V 时，S ′(x )>0， ∴当x ＝34V 时，S (x )最小．3. 解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m ，其他两边边长为y m ，则xy ＝512，堆料场的周长l ＝x ＋2y ＝512y ＋2y (y >0)，令l ′＝－512y2＋2＝0，解得y ＝16(另一负根舍去)，当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0，所以当y ＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x ＝51216＝32.4. 解析：选D 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝－x 2300＋300＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．5. 解析：设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2，0<h <20，V ＝13π·r 2·h ＝13π·(400－h 2)·h ＝4003πh －π3h 3.由V ′＝4003π－πh 2＝0得h 2＝4003，h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，因为当0<h <2033时，V ′>0，当h >2033时，V ′<0，所以当h ＝2033时，V 最大．答案：20336. 解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0， 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ACBD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0，2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， ∴当x ＝233时，f (x )取最大值439.答案：4397. 解：(1)由题意得，所获得的利润为y ＝10[2(x －P )－P ]＝20x －3x 2＋96ln x －90(4≤x ≤12)．(2)由(1)知，y ′＝－6x 2＋20x ＋96x ＝－2（3x ＋8）（x －6）x.当4≤x <6时，y ′＞0，函数在[4，6)上为增函数；当6<x ≤12时，y ′＜0，函数在(6，12]上为减函数，所以当x ＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y ＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元)．故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元． 8. 解：(1)由题意知，M 点的坐标为(5，40)，N 点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C 的方程y ＝ax 2＋b，可得⎩⎪⎨⎪⎧40＝a52＋b ，2.5＝a202＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知曲线C 的方程为y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，y ′＝－2 000x3， 所以y ′|x ＝t ＝－2 000t3即为l 的斜率．又当x ＝t 时，y ＝1 000t2，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，所以l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )． 令x ＝0，得y ＝3 000t2；令y ＝0，得x ＝32t .所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20. ②由①知f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20.令g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝94t 2＋9×106t4，所以g ′(t )＝92t －4×9×106t 5＝92·t 6－8×106t 5＝92·t 6－（102）6t 5.因为5≤t ≤20，令g ′(t )<0，得5≤t ＜102；令g ′(t )＝0，得t ＝102；g ′(t )>0，得102<t ≤20.所以g (t )在区间[5，102)单调递减，在(102，20]单调递增．所以g (102)＝675是g (t )的极小值，也是最小值．所以当t ＝102时，f (t )取得最小值，最小值为f (102)＝15 3.即最短长度为15 3.。

课时规范练19函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用基础巩固组1.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动个单位长度,所得图象的函数解析式是()A.y=sin-B.y=sin-C.y=sin-D.y=sin-2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.(2017湖南邵阳一模,文6)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ的最小值是()A. B. C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2017天津,文7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=〚导学号24190738〛6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=()A. B. C. D.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为()A.-∈B.-∈C.-∈D.-∈〚导学号24190739〛8.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=.10.(2017北京,文16)已知函数f(x)=cos--2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.〚导学号24190740〛综合提升组11.(2017辽宁大连一模,文11)若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]12.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为.13.已知函数y=3sin-.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.〚导学号24190741〛创新应用组14.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2〚导学号24190742〛15.如图所示,某地夏天8—14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b,ω>0,φ∈(0,π).(1)求这期间的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.答案：1.B由题意,y=sin x的图象进行伸缩变换后得到y=sin x的图象,再进行平移后所得图象的函数为y=sin-=sin-.故选B.2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=1时,x=,故选D.3.C函数f(x)=sin2x+cos2x=sin的图象向左平移φ个单位长度,所得函数y=sin的图象关于y轴对称,则有2φ+=kπ+,k∈Z.解得φ=kπ+,k∈Z.由φ>0,则当k=0时,φ的最小值为.故选C.4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.A由题意可知,>2π,,所以≤ω<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=.故选A.6.C由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.故-φ=,即φ=.7.B根据所给图象,周期T=4×-=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ).又图象经过,代入有2×+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值. 8.因为y=sin x-cos x=2sin-,所以函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=.x=关于x=对称的直线为x=,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=.10.(1)解f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.11.C方程2sin=m可化为sin,当x∈时,2x+,画出函数y=f(x)=sin在x∈上的图象如图所示.由题意,得<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.12.∵函数的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,∴f(x)=cos-,k∈Z.∵f(x)的图象平移后得函数y=cos--(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-.∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).13.解(1)列表:描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图象上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图象,再把y=sin-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象,再把y=sin x图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.14.D曲线C1的方程可化为y=cos x=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin2,为得到曲线C2:y=sin2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.15.解(1)由图象,知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)A=(50-30)=10,b=(50+30)=40,T==2×(14-8)=12,所以ω=,所以y=10sin+40.把x=8,y=30代入上式,得φ=.所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].。

元
(1)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程；
(2)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年，试估计他的年推销金额．
【解】 (1)设所求的线性回归方程为 y＝bx＋a，
5
∑xi－xyi－y
i＝1
10
则 b＝
＝ ＝0.5，
5
20
∑xi－x2 i＝1
a＝y－bx＝0.4.
所以年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为 y＝0.5x＋0.4.
归系数 b( )
A．可以小于 0
B．只能大于 0
C．可能等于 0
D．只能小于 0
【解析】 b 可能大于 0，也可能小于 0，但当 b＝0 时，x，y 不具有线性
相关关系．
【答案】 A
2．下列两个变量间的关系不是函数关系的是( )
A．正方体的棱长与体积
B．角的弧度数与它的正弦值
C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量
(8,5)，(12,8)，(14,9)，(16,11)．
Байду номын сангаас
每增加 1 万元，年饮食支出平均增加________万元．
【解析】 由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.
【答案】 0.254
三、解答题
9．某电脑公司有 6 名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限 x/年 3 5 6 7 9 推销金额 y/万 2 3 3 4 5
n
i∑＝1xiyi－nx·y C．直线 y＝bx＋a 的斜率为
n
i∑＝1x2i －nx2
D．直线 y＝bx＋a 的纵截距为y－bx 【解析】 回归直线可以不经过任何一个点．其中 A：由 a＝y－b x代入回 归直线方程 y＝bx＋y－ax，即 y＝b(x－x)＋y过点(x，y)．∴B 错误． 【答案】 B 5．已知两个变量 x 和 y 之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地 做了 10 次和 15 次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为 l1 和 l2，已知两个人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均数都为 s，对变量 y 的 观测数据的平均数都是 t，则下列说法正确的是( ) A．l1 与 l2 一定有公共点(s，t) B．l1 与 l2 相交，但交点一定不是(s，t) C．l1 与 l2 必定平行 D．l1 与 l2 必定重合 【解析】 由于回归直线 y＝bx＋a 恒过(x，y)点，又两人对变量 x 的观测 数据的平均值为 s，对变量 y 的观测数据的平均值为 t，所以 l1 和 l2 恒过点(s， t)． 【答案】 A 二、填空题 6．从某大学随机选取 8 名女大学生，其身高 x(cm)和体重 y(kg)的线性回归 方程为 y＝0.849x－85.712，则身高 172 cm 的女大学生，由线性回归方程可以