2019-2020年高中数学 数学建模综合测试 新人教A版选修4

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x<－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－23或x>2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－23<x<2【解析】 因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23.【答案】 C2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )【解析】 根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B. 【答案】 B3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tany |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD.|tan y |－|tan x |【解析】 由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0.故|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 【答案】 B4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )【导学号：32750076】A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab2<1a2b D.b a <a b【解析】 对于C 中，1ab2－1a2b ＝a －b a2b2<0， ∴1ab2<1a2b. 【答案】 C5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 【答案】 C6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C.2D.16【解析】 由(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4. 【答案】 B7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D.4楼【解析】 设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n＝9n，即n ＝3时取等号，故选C. 【答案】 C8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3B ．k <－3C ．k ≤3 D.k ≤－3【解析】 ∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3. ∴不等式恒成立，应有k <－3. 【答案】 B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1 B.错误! C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋2k ＋1【解析】 当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )， 当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·错误!. 【答案】 B10．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，6)C ．(0，＋∞)D.[6，＋∞)【解析】 要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥338＝6，∴n <6.【答案】 B11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋nD.f (n )＋2【解析】 由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.【答案】 B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC．g(x)∉M D.不能确定【解析】∵g(x1)－g(x2)＝x21＋2x1－x2－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，∴|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤6|x1－x2|，所以g(x)∈M.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)13．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________.【导学号：32750077】【解析】∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8，∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，要使|x－5|＋|x＋3|<a无解，只需a≤8.【答案】(－∞，8]14．若正数a，b满足ab＝a＋b＋8，则ab的最小值为________．【解析】∵ab＝a＋b＋8，且a＞0，b＞0，∴ab－8＝a＋b≥2ab，∴(ab)2－2ab－8≥0，∴ab≥4或ab≤－2(舍去)，∴ab≥16，即ab的最小值为16.【答案】1615．用数学归纳法证明an＋bn2≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2n(a，b是非负实数，n∈N＋)，假设n＝k时不等式ak＋bk2≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2k(*)成立，再推证n＝k＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________．【解析】要想办法出现ak＋1＋bk＋12，两边同乘以a＋b2，右边也出现了要求证的⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2k＋1.【答案】a＋b 216．设a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝ab＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________． 【解析】 由柯西不等式 P ＝ am·b m＋nc·dn≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 【答案】 P ≤Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 【证明】 因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]1a －b ＋1b －c ＝a －b b －c ＋b －c a －b ＋2≥2a －b b －c ·b －ca －b＋2＝4，当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时等号成立． 故1a －b ＋1b －c ≥4a －c成立． 18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f(x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．图1【解】 (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x≤－1，3x －2，－1＜x≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m＋1n≥4p，并指出等号成立的条件． 【证明】 根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m·1m＋n·1n 2＝4， 于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，当m ＝n ＝p2时，等号成立．20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．【解】 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为S＝2bc＋2ac＋ab.由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥332bc·2ac·ab＝334×5002＝3×102＝300.当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，S＝2bc＋2ac＋ab＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1)(2)(3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f (2)＝4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．【解】(1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.∵f(n)>0(n∈N＋)，∴f(1)＝2，取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，初步归纳猜想f(n)＝2n.证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立；②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，即当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n∈N＋，f(n)＝2n都成立．22．(本小题满分12分)设数列{a n}的首项a1∈(0,1)，a n＝3－an－12，n＝2,3,4，….【导学号：32750078】(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2an ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数． 【解】 (1)由a n ＝3－an －12，得2a n ＝3－a n －1， 即1－an 1－an －1＝－12，所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－12为公比的等比数列，所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)证明：由(1)可知0<a n <32，故b n >0.那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－an 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×3－an 2－a 2n (3－2a n ) ＝9an4(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1， 故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。

2019-2020年高中数学 模块综合测试 新人教A 版必修4一、选择题(每小题5分，共60分)1．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝cos β解析：因为α，β的终边关于y 轴对称，所以β＝2k π＋π－α，k ∈Z ，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin α.答案：A2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53B ．－19C.19D.53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.答案：B3．设θ是第二象限角，则点P (sin(cos θ)，cos(cos θ))在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：θ是第二象限角，－1<cos θ<0， 所以sin(cos θ)<0，cos(cos θ)>0，故选B. 答案：B4．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．答案：B5．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO →的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫－12，－5 D.⎝⎛⎭⎫12，－5 解析：由AD →＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD →＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.故应选C. 答案：C6．已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a －3b |等于( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析：|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1－3＋9＝7，则 |a －3b |＝7. 答案：A7．要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以将函数y ＝3sin2x 的图象( ) A ．沿x 轴向左平移π8个单位B ．沿x 轴向右平移π8个单位C ．沿x 轴向左平移π4个单位D ．沿x 轴向右平移π4个单位解析：y ＝3sin2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2， 要得到y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象， 常将y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，向左平移π8得 y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象， ∴选A. 答案：A8．已知向量a 的同向的单位向量为a 0＝(－32，12)，若向量a 的起点坐标为(1，－2)，模为43，则a 的终点坐标是( ) A ．(－5,23－2) B ．(1－23，4)C ．(－5,23－2)或(7，－2－23)D ．(1－23，4)或(1＋23，－6)解析：设a 的终点B 的坐标为(x ，y )，则a ＝(x －1，y ＋2)．又a ＝43a 0＝(－6,23)，∴B (－5,23－2)．答案：A9．在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，则此三角形为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B＋C )]＝1－cos(B ＋C )，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，∴B ＝C .答案：B10．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( )A ．1B ．－1 C.2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.答案：C11．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos2α＝( )A.179B ．±179C ．－179D.173解析：(cos α＋sin α)2＝19，sin αcos α＝－49，故sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α＝－cos α＋sin α2－4sin αcos α＝－173，cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝－13×(－173)＝179.答案：A 12．函数f (x )＝sin x ·cos x1＋sin x ＋cos x的最大值为( )A ．－3－1 B.2－12 C.－2－12D.3－12解析：设sin x ＋cos x ＝t ，则t ∈[－2，2]， sin x cos x ＝t 2－12，∴f (x )＝μ(t )＝t 2－121＋t ＝t －12(t ≠－1)，∴μ(t )max ＝2－12. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝a sin2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________. 解析：显然T ＝π，f (π＋3)＝f (3)． F (x )＝f (x )－1＝a sin2x ＋b tan x 为奇函数，则F (－3)＝f (－3)－1＝4，F (3)＝f (3)－1＝－4，f (3)＝－3. 答案：－314．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案：5415．已知点P (cos α，sin α)在直线y ＝2x 上，则cos2αsin α－cos α2＝________.解析：由点P(cosα，sinα)在直线y＝2x上可知，tanα＝2.则cos2αsin α－cos α2＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－tan 2αtan 2α＋1－2tan α ＝1－44＋1－4＝－3.答案：－316．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是________．解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错； ③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ，∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z . 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错；④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对． 答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知tan(π＋α)＝3， 求2cos π－α－3sin π＋α4cos －α＋sin 2π－α的值．解：∵tan(π＋α)＝3，∴tan α＝3. ∴2cos π－α－3sin π＋α4cos －α＋sin 2π－α＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2cos α＋3sin αcos α4cos α－sin αcos α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求： (1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·b .解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间． 解：(1)由图象可知 A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T ＝π，ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2，|φ|<π，∴φ＝34π. ∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．(2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为[k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )． 20．(12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a ＝(sin B ＋cos B ，cos C )，b ＝(sin C ，sin B －cos B )．(1)若a ·b ＝0，求角A ； (2)若a ·b ＝－15，求tan2A .解：(1)由已知a ·b ＝0，得(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝0， 化简得sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝0，即sin A ＋cos A ＝0，tan A ＝－1，而A ∈(0，π)，∴A ＝34π.(2)a ·b ＝－15，即sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15①平方得2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75②联立①②得，sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2×－341－916＝－247.21．(12分)已知向量a ＝(cos x ，－12)，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．解：f (x )＝(cos x ，－12)·(3sin x ，cos2x )＝3cos x sin x －12cos2x＝32sin2x －12cos2x ＝cos π6sin2x －sin π6cos2x＝sin(2x －π6)．(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质知，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12，因此，f (x )在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.22．(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin(53x －π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．.。

教学资料参考范本【2019-2020】高中数学模块综合评价检测含解析新人教A版选修4_4撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，)，则点M 的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.D.(k ∈Z)解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是. 答案：C2．极坐标方程cos θ＝(ρ∈R)表示的曲线是( )A ．两条相交直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线解析：由cos θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线．答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝对称的曲线的方程是( )A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2解析：因为M(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点是N ，从而所求曲线方程为ρcos ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0.答案：A4．直线(t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A．(3，－3) B．(－，3)C．(，－3) D．(3，－)解析：将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，得＋＝16，所以t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，因此AB的中点M对应参数t＝＝4，所以x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，故AB中点M的坐标为(3，－)．答案：D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0或ρcos θ＝x＝1.答案：C6．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ的两个圆的圆心距是( )A．2 B. C．5 D.5解析：ρ＝2cos θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心为，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是.答案：D7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意易知圆的圆心M(1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝＝2.答案：B8．点M 关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 解析：点M 的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点关于直线y ＝x 的对称点为，再化为极坐标为.答案：A9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程(θ为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、射线和圆B ．圆、射线和双曲线C ．两直线和椭圆D ．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程(θ为参数)化为普通方程为－x2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( )A.∪(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎨⎧at＝1＋cos θ，a2t－1＝2sin θ，则4(at －1)2＋(a2t －1)2＝4，即a2(a2＋4)t2－2a(a ＋4)t ＋1＝0，Δ＝4a2(a ＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a ＋3)．直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，即a≥－.答案：C11．已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0，)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF2的极坐标方程为( )A ．ρcos θ＋ρsin θ＝3B ．ρcos θ－ρsin θ＝3C.ρcos θ＋ρsin θ＝3D.ρcos θ－ρsin θ＝3解析：圆锥曲线为椭圆，c ＝1，故F2的坐标为(1，0)，直线AF2的直角坐标方程是x ＋＝1，即x ＋y ＝，化为极坐标方程就是ρcos θ＋ρsin θ＝.答案：C12．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2－6y ＝0，即x2＋(y －3)2＝9，直线的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝＝，所以直线l 与圆C 相交所得弦长为2＝2＝4.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________．解析：结合图形不难知道点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4 14．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝时，代入渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3cos π4＋3·π4·sin π4，y＝3sin π4－3·π4·cos π4，x ＝＋，y ＝－，所以当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8 15．若直线l 的极坐标方程为ρcos ＝3，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x2＋y2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax ＝＋1＝3＋1.答案：3＋116．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为(θ为参数，a>b>0)．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ＝，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝________.解析：椭圆C 的普通方程为＋＝1(a>b>0)，直线l 的直角坐标方程为x －y －＝0，令x ＝0，则y ＝－1，令y ＝0，则x ＝，所以c ＝，b ＝1，所以a2＝3＋1＝4，所以a ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数)，曲线C 的参数方程为(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为(t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y2＝2x.联立方程组⎩⎨⎧y＝2（x－1），y2＝2x，解得公共点的坐标为(2，2)，.18．(本小题满分12分)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ＝.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解：(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， ⎩⎨⎧ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，代入得⊙O：x2＋y2－x －y ＝0，由l ：ρsin ＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1，又代入得：x －y ＋1＝0.(2)由解得⎩⎨⎧x＝0，y＝1，又得ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB|的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.由得x＝y＋m，即x－y－m＝0，所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.(2)设圆心到直线l的距离为d，由(1)可知直线l：x－y－2＝0，曲线C：(x－1)2＋y2＝1，圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l的距离为d＝＝.所以|AB|＝2 ＝.因此|AB|的值为.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1.因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值．解：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，圆心到直线l的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝，点P到直线AB距离的最大值为＋＝，故最大面积Smax＝××＝.22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.11 / 11 (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a ＝1.。

模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.将正弦曲线y=sin x 作如下变换得到的曲线方程为A.y'=3siC.y'2.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=2 B.θ∈R )和ρcos θ=2 C.θ∈R )和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1, 所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程为x=0和x=2. 将它们化为极坐标方程为θ∈R )和ρcos θ=2.故选B . 3.若a ,b ∈R ,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值是( ) A.-为参数),则a+bα=3sin(α+φ),其中φ为锐角,tan φ故a+b 的最小值为-3. 4.若点M 的柱坐标为则 的直角坐标是A.(12co5.当t ∈R 时,参数方程--为参数 表示的图形是A.双曲线的一部分B.椭圆(去掉一个点)C.抛物线的一部分D.圆(去掉一个点)方法一)原参数方程可化为- ①②①÷②,得代入②,得≠-1).(方法二--令tanθ∈则-消去2θ,得≠-1).6.将点P的直角坐标(3化为极坐标可能是ACx=3∴ρ-tanθ--又点P在第一象限,∴θ7.已知曲线C与曲线ρ=关于极轴对称则曲线的方程为A.ρ=-10co--C.ρ=-10coρ=θ-5sinθ的直角坐标方程为x2+y2=它关于极轴对称的直角坐标方程为x2+y2=所以极坐标方程为ρ2=θ+5ρsinθ.易知曲线过极点,所以方程可简化为ρ=θ+5sinθ=10co-8.若曲线的参数方程为--为参数≠ 则它的普通方程是()A.(x-1)2(y-1)=1(x≠B.y--C.y-x=1≠∴t----9.曲线-为参数的焦点坐标是A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2)(y-1)2=4(x+1),该曲线是将抛物线y2=4x向左、向上各平移一个单位长度得到的,所以焦点坐标为(0,1).10.已知曲线满足:①对称轴为坐标轴;②对称中心为(0,0);③渐近线互相垂直.则符合以上条件的曲线的参数方程为()A为参数B为参数C --为参数D为参数,将所给选项中的参数方程化为普通方程,然后进行判断即可.选项A对应的普通方程为x2-y2=1,符合题目条件.11.过点P(4,3),且斜率为的直线的参数方程为A为参数B为参数C为参数D为参数α满足tanα所以sinα故所求参数方程为为参数).12.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l的参数方程为-为参数若直线与轴的交点为是曲线上的动点则的最大值为AC的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ,又x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.将直线l的参数方程化为普通方程是y=令y=0,得x=2,即点M的坐标为(2,0).又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为C(0,1),半径r=1,则|MC|故|MN|≤|MC|+r二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.在极坐标系中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为.(ρ> ≤θ<2π)ρ=2sinθ,ρcosθ=-1,得2sinθcosθ=-1,即sin2θ=-1,2θ所以交点的极坐标为14.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线为参数交于两点且以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系则直线的极坐标方程是C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,则直线l过曲线C的圆心(2,1).所以直线方程为y-1=x-2,即x-y-1=0,故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1.(cos θ-sin θ)=115.直线-为参数上任一点到的距离为P(x0+t,y0则|PP0|2=t2+(故|PP0|=2|t|.|t|16.若直线-为参数与圆交于两点则线段的中点坐标为x=1代入x2+y2=16中,得t2-8t+12=0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8.故线段AB的中点对应的参数为t0将t0=4代入直线的参数方程,可求得中点的坐标为(3,三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在极坐标系中,直线l的方程为ρsi求极点在直线上的射影的极坐标l的极坐标方程化为直角坐标方程,得x过极点且与l垂直的直线方程为y由-得射影的直角坐标为(1化为极坐标为故极点在直线l上的射影的极坐标为18.(12分)函数y=2x的图象经过伸缩变换得到函数y=4x-3+1的图象,求该伸缩变换.4x-3+1可化为y'-1=22x'-6,与y=2x比较可得--即故所求的伸缩变换为19.(12分)已知直线的参数方程为--为参数它与曲线交于两点(1)求|AB|的长;(2)求点P(-1,2)到线段AB中点C的距离.把直线的参数方程代入曲线的方程并化简,得7t2+6t-2=0.设点A,B对应的参数分别为t1,t2, 则t1+t2=·t2=所以,线段AB的长度|AB|-·|t1-t2|=-(2)根据中点坐标的性质可得线段AB的中点C对应的参数为所以由t的几何意义可得点P(-1,2)到线段AB中点C的距离为--=.20.(12分)已知椭圆C1:(φ为参数)及抛物线C2:y2=6-.当C1∩C2≠⌀时,求m的取值范围.C1的参数方程代入C2:y2=6-,整理,得3sin2φ=6-,∴1-cos2φ=2m+4cosφ-3,即(cosφ+2)2=8-2m.∵ ≤ φ+2)2≤9 ∴ ≤ -2m≤9.解之,得-≤m≤.∴当C1∩C2≠⌀时,m∈-.21.(12分)以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为.若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心、4为半径.(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;(2)试判断直线l和圆C的位置关系.直线l的参数方程为-(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ.(2)因为M对应的直角坐标为(0,4),直线l化为普通方程为x-y-5-=0,所以圆心M到直线l的距离d== 9>4.故直线与圆相离.22.(14分 ·全国Ⅱ高考,理23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.由|AB|= 得cos2α=,tanα=±.所以l的斜率为或-.。

2019-2020年高中数学数学建模综合测试新人教A版选修4数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。

数学建模可以通过以下框图体现：数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

要求1. 在数学建模中，问题是关键。

数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面。

同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。

2. 通过数学建模，学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。

3. 每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。

4. 学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。

5. 学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验。

6. 高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动。

还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。

我们不对数学建模的课时和内容做具体安排。

学校和教师可根据各自的实际情况，统筹安排数学建模活动的内容和时间。

例如，可以结合统计、线性规划、数列等内容安排数学建模活动。

说明与建议1. 学校和学生可根据各自的实际情况，确定数学建模活动的次数和时间安排。

数学建模可以由教师根据教学内容以及学生的实际情况提出一些问题供学生选择；或者提供一些实际情景，引导学生提出问题；特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题、提出问题。

模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.将正弦曲线y=sin x 作如下变换:{x '=2x ,x '=3x ,得到的曲线方程为( )A.y'=3si n 12x′B .x′=13sin 2x′ C.y'=12sin 2x′D .x′=3sin 2x′2.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=2 B.θ=π2(x ∈R )和ρcos θ=2 C.θ=π2(x ∈R )和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1, 所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程为x=0和x=2. 将它们化为极坐标方程为θ=π2(x ∈R )和ρcos θ=2.故选B .3.若a ,b ∈R ,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值是( ) A.-2√2B .−5√33C .−3D .−72{x =√6cos x ,x =√3sin x(x 为参数),则a+b =√6cos x +√3sin α=3sin(α+φ),其中φ为锐角,tan φ=√2. 故a+b 的最小值为-3.4.若点M 的柱坐标为(2,π6,7),则x 的直角坐标是( )A.(1,√3,7)B .(√3,1,7)C .(1,7,√3)D .(√3,7,1)2co s π6=√3,x =2sinπ6=1,x =7.5.当t ∈R 时,参数方程{x =-8x4+x 2,x =4-x 24+x 2(x 为参数)表示的图形是( )A .双曲线的一部分B .椭圆(去掉一个点)C .抛物线的一部分D .圆(去掉一个点)方法一)原参数方程可化为{x =-8x4+x 2,①x +1=84+x2,②①÷②,得xx +1=−x , 代入②,得x 24+x 2=1(x ≠-1).(方法二){x =(-2)×2(x2)1+(x2)2,x =1-(x 2)21+(x 2)2,令tan θ=x 2(x ≠x π+π2,x ∈Z ),则{x =-2sin2x ,x =cos2x ,消去2θ,得x 24+x 2=1(x ≠-1).6.将点P 的直角坐标(3+√3,3−√3)化为极坐标可能是( ) A .(2√6,π12)B .(√6,π12)C .(2√6,5π12)D .(√6,5π12)x=3+√3,x =3−√3,∴ρ=√x 2+x 2=√(3+√3)2+(3-√3)2=2√6, tan θ=x x=√3=1-√331+√33=tan (π4-π6)=tan π12.又点P 在第一象限,∴θ=π12. 7.已知曲线C 与曲线ρ=5√3cos x −5sin x 关于极轴对称,则曲线x 的方程为( ) A.ρ=-10co s (x -π6)B .x =10cos (x -π6)C.ρ=-10co s (x +π6)D .x =10cos (x +π6)ρ=5√3cos θ-5sin θ的直角坐标方程为x 2+y 2=5√3x −5x ,它关于极轴对称的直角坐标方程为x 2+y 2=5√3x +5x .所以极坐标方程为ρ2=5√3x cos θ+5ρsin θ.易知曲线过极点,所以方程可简化为ρ=5√3cos θ+5sin θ=10co s (x -π6).8.若曲线的参数方程为{x =1-1x ,x =1-x2(x 为参数,x ≠0),则它的普通方程是( ) A.(x-1)2(y-1)=1(x ≠1)B.y =x (x -2)(1-x )2C.y =1(1-x )2−1D .x =x1-x 2+1x=1−1x (x ≠1), ∴t =11-x ,x =1−x 2=1−1(1-x )2=x (x -2)(1-x )2.9.曲线{x =x 2-1,x =2x +1(x 为参数)的焦点坐标是( )A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2)(y-1)2=4(x+1),该曲线是将抛物线y 2=4x 向左、向上各平移一个单位长度得到的,所以焦点坐标为(0,1).10.已知曲线满足:①对称轴为坐标轴;②对称中心为(0,0);③渐近线互相垂直.则符合以上条件的曲线的参数方程为( ) A .{x =sec x ,x =tan x (x 为参数)B .{x =2x 2,x =4x(x 为参数) C .{x =1-sec x ,x =1-tan x(x 为参数) D .{x =3cos x ,x =2sin x(x 为参数),将所给选项中的参数方程化为普通方程,然后进行判断即可.选项A 对应的普通方程为x 2-y 2=1,符合题目条件.11.过点P (4,3),且斜率为2的直线的参数方程为( )A .{x =4+13,x =3+√13(x 为参数)B .{x =3+13,x =4+√13(x 为参数)C .{x =4+13,x =3+√13(x 为参数)D .{x =3+13,x =4+√13(x 为参数)α满足tan α=23, 所以sin α=√13cos x =√13.故所求参数方程为{x =4√13,x =3√13(x 为参数).12.已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l 的参数方程为{x =-35x +2,x =45x(x 为参数).若直线x 与x 轴的交点为x ,x 是曲线x 上的动点,则|xx |的最大值为( ) A .√5+1B .√5C .√3+1D .√3C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ, 又x 2+y 2=ρ2,y=ρsin θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0.将直线l 的参数方程化为普通方程是y=−43(x −2).令y=0,得x=2,即点M 的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆,圆C 的圆心坐标为C (0,1),半径r=1,则|MC|=√5.故|MN|≤|MC|+r =√5+1.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 13.在极坐标系中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为 .(ρ>0,0≤θ<2π)ρ=2sin θ,ρcos θ=-1,得2sin θcos θ=-1,即sin2θ=-1,2θ=3π2,x =3π4,x =√2,所以交点的极坐标为(√2,3π).14.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线x 与曲线x :{x =2+cos x ,x =1+sin x(x 为参数)交于x ,x 两点,且|xx |=2.以坐标原点x 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线x 的极坐标方程是 .C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,则直线l 过曲线C 的圆心(2,1).所以直线方程为y-1=x-2,即x-y-1=0,故直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ-sin θ)=1.(cos θ-sin θ)=1 15.直线{x =x 0+x ,x =x 0-√3x(x 为参数)上任一点x 到x 0(x 0,x 0)的距离为 .P (x 0+t ,y 0−√3x ),则|PP 0|2=t 2+(−√3x )2=4x 2,故|PP 0|=2|t|. |t| 16.若直线{x =1+12x ,x =-3√3+√32x (x 为参数)与圆x 2+x 2=16交于x ,x 两点,则线段xx 的中点坐标为 .x=1+12x ,x =−3√3+√32x 代入x 2+y 2=16中,得t 2-8t+12=0.设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8.故线段AB 的中点对应的参数为t 0=12(x 1+x 2)=12×8=4.将t 0=4代入直线的参数方程,可求得中点的坐标为(3,−√3).−√3)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在极坐标系中,直线l 的方程为ρsi n (x +π6)=2,求极点在直线x 上的射影的极坐标.l 的极坐标方程化为直角坐标方程,得x +√3x −4=0,过极点且与l 垂直的直线方程为y =√3x .由{x +√3x -4=0,x =√3x ,得射影的直角坐标为(1,√3),化为极坐标为(2,π3).故极点在直线l 上的射影的极坐标为(2,π3).18.(12分)函数y=2x 的图象经过伸缩变换得到函数y=4x-3+1的图象,求该伸缩变换.4x-3+1可化为y'-1=22x'-6,与y=2x比较可得{x =2x '-6,x =x '-1,即{x '=x +62,x '=x +1.故所求的伸缩变换为{x '=x +62,x '=x +1.19.(12分)已知直线的参数方程为{x =-1+3x ,x =2-4x(x 为参数),它与曲线(x −2)2−x 2=1交于x ,x 两点. (1)求|AB|的长;(2)求点P (-1,2)到线段AB 中点C 的距离.把直线的参数方程代入曲线的方程并化简,得7t 2+6t-2=0.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=−67,x 1·t 2=−27.所以,线段AB 的长度|AB|=√32+(-4)2·|t 1-t 2|=5√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10√237. (2)根据中点坐标的性质可得线段AB 的中点C 对应的参数为x 1+x 22=−37,所以由t 的几何意义可得点P (-1,2)到线段AB 中点C 的距离为√32+(-4)2·|-37|=157. 20.(12分)已知椭圆C 1:{x =x +2cos x ,x =√3sin x(φ为参数)及抛物线C 2:y 2=6(x -32).当C 1∩C 2≠⌀时,求m 的取值范围.C 1的参数方程代入C 2:y 2=6(x -32),整理,得3sin 2φ=6(x +2cos x -32), ∴1-cos 2φ=2m+4cos φ-3,即(cos φ+2)2=8-2m.∵1≤(cos φ+2)2≤9,∴1≤8-2m ≤9.解之,得-12≤m ≤72.∴当C 1∩C 2≠⌀时,m ∈[-12,72].21.(12分)以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知点P 的直角坐标为(1,-5),点M 的极坐标为(4,π2).若直线l 过点P ,且倾斜角为π3,圆C 以M 为圆心、4为半径.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程; (2)试判断直线l 和圆C 的位置关系.直线l 的参数方程为{x =1+12x ,x =-5+√32x(t 为参数),圆C 的极坐标方程为ρ=8sin θ.(2)因为M (4,π2)对应的直角坐标为(0,4),直线l 化为普通方程为√3x-y-5-√3=0, 所以圆心M 到直线l 的距离d=√3|√3+1=|9+√3|2>4.故直线与圆相离.22.(14分)(2016·全国Ⅱ高考,理23)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是{x =x cos x ,x =x sin x ,(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√144cos 2x -44.由|AB|=√10得cos 2α=38,tan α=±√153. 所以l 的斜率为√153或-√153.。