运输问题的表上作业法
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运输问题 表上作业法
A B C 销量（ 销量（bj）
第一步：从表4 中找出最小运价“1”， 第一步：从表4-1中找出最小运价“1”， 最小运 价所确定的供应关系为（ ），在 价所确定的供应关系为（B，甲），在（B，甲） 的交叉格处填上“3”，形成表4 的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的 甲列运价划去得表4 甲列运价划去得表4-3.
8.伏格尔法 8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤： 伏格尔法的基本步骤： 1.计算每行、列两个最小运价的差； 1.计算每行、列两个最小运价的差； 计算每行 2.找出最大差所在的行或列 找出最大差所在的行或列； 2.找出最大差所在的行或列； 3.找出该行或列的最小运价 确定供求关系， 找出该行或列的最小运价， 3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量 的供应 ； 4.划掉已满足要求的行或 4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划 去行和列， 去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个 0”； “0”； 5.在剩余的运价表中重复1~4步 在剩余的运价表中重复1~4 5.在剩余的运价表中重复1~4步，直到得到初始基可 行解。 行解。
2.表上作业法与单纯形法的关系 2.表上作业法与单纯形法的关系
表上作业法中的最小元素法和伏格尔法实质 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 表上作业法中的“位势法” 表上作业法中的“位势法”实质上是在求单 纯形表中的检验数； 纯形表中的检验数； 调运方案表中数字格的数实质上就是单纯形 法中基变量的值； 法中基变量的值； 调运方案表上的“闭回路法” 调运方案表上的“闭回路法”实质上是在做 单纯形表上的换基迭代。 单纯形表上的换基迭代。
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-14 A B C
两最小元素之差
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是一种常见的工业应用问题,涉及到如何安排运输工具和货物,以最小化总成本或最大化利润。
表上作业法(Tableau Programming)是解决运输问题的一种有效方法,其解题思路和原理、具体步骤如下:1. 确定问题的状态在表上作业法中,我们需要先确定问题的状态。
状态是指某个特定时间段内,某个运输问题需要满足的条件。
例如,在一个例子中,我们可以将运输问题的状态定义为“需要从A城市运输货物到B城市,运输工具数量为3,运输距离为100公里”。
2. 定义状态转移方程接下来,我们需要定义状态转移方程,以描述在不同状态下可能采取的行动。
例如,在这个问题中,我们可以定义一个状态转移方程,表示当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,而运输距离为80公里。
3. 确定最优解一旦我们定义了状态转移方程,我们就可以计算出在不同状态下的最优解。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,运输距离为80公里,总成本为200元。
因此,该状态下的最优解是运输距离为80公里,运输工具数量为2,总成本为200元。
4. 确定边界条件最后,我们需要确定边界条件,以确保问题的状态不会无限制地变化。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为3时,运输距离为120公里,超过了B城市的运输距离范围。
因此,我们需要设置一个限制条件,以确保运输工具数量不超过3,且运输距离不超过120公里。
表上作业法是一种简单有效的解决运输问题的方法,其原理和具体步骤如下。
通过定义状态转移方程、确定最优解、确定边界条件,我们可以计算出问题的最优解,从而实现最小化总成本和最大化利润的目标。
运输问题的求解方法
第3节 运输问题的求解方法 ——表上作业法
产销平衡表与单位运价表
表上作业法
产销不平衡的运输问题的求解方法
一、产销平衡表与单位运价表
运输问题还可用产销平衡表与单位运价表 进行描述。 假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1， 2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1， 2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n）， 其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。 从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将 这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价 表5.3.1。
P ,P ,P ,P ,P B ik lk ls us uj
而这些向量构成了闭回路见图
位势法
一种较为简便的求检验数的方法。
设 u1, , u2 ,, um ; v1 , v2 ,, vn 是对应运输问题的m+n 个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量Xa的初始 基矩阵。 Xa在目标函数中的系数Ca ，由线性规划的对 偶理论可知
（1）确定初始调运方案，即找出初始 基可行解,在产销平衡表上给出 m+n-1个数 字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算 空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存 在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始 调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非 负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果 已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转 入下一步。
考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。 xi ,n1 设 是产地Ai的储存量，于是有
n n 1 xij xi,n1 xij ai (i 1,2,, m) j 1 m j 1 xij b j ( j 1,2, n) m i 1 m n x i ,n 1 ai b j bn 1 i 1 j 1 i 1
产销平衡表与单位运价表
表上作业法
产销不平衡的运输问题的求解方法
一、产销平衡表与单位运价表
运输问题还可用产销平衡表与单位运价表 进行描述。 假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1， 2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1， 2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n）， 其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。 从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将 这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价 表5.3.1。
P ,P ,P ,P ,P B ik lk ls us uj
而这些向量构成了闭回路见图
位势法
一种较为简便的求检验数的方法。
设 u1, , u2 ,, um ; v1 , v2 ,, vn 是对应运输问题的m+n 个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量Xa的初始 基矩阵。 Xa在目标函数中的系数Ca ，由线性规划的对 偶理论可知
（1）确定初始调运方案，即找出初始 基可行解,在产销平衡表上给出 m+n-1个数 字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算 空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存 在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始 调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非 负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果 已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转 入下一步。
考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。 xi ,n1 设 是产地Ai的储存量，于是有
n n 1 xij xi,n1 xij ai (i 1,2,, m) j 1 m j 1 xij b j ( j 1,2, n) m i 1 m n x i ,n 1 ai b j bn 1 i 1 j 1 i 1
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
第二节运输问题求解表上作业法-精品文档
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
如何检验运输问题表上作业法的初始解
如何检验运输问题表上作业法的初始解如何检验运输问题表上作业法的初始解1. 引言运输问题是线性规划中的一个重要问题，被广泛应用于物流、供应链管理等领域。
在解决运输问题时，常常利用表上作业法来寻找初始解，并通过检验该初始解的可行性和优化程度来验证其是否满足实际需求。
本文将探讨如何检验运输问题表上作业法的初始解，并分享个人对这个主题的个人观点和理解。
2. 运输问题的表上作业法运输问题的表上作业法是一种常用的启发式算法，旨在寻找运输问题的初始解。
它的基本思想是通过按照某一优化准则选取合适的供应地与需求地进行配对，直至满足需求量和供给量的平衡，并形成初始的运输方案。
在表上作业法中，首先需要构建一个供应地与需求地的供需矩阵，矩阵中的元素表示对应的供应地与需求地之间的运输成本或运输量。
然后按照一定规则选取某一供应地与需求地进行配对，同时更新供需矩阵中的元素值。
重复以上步骤，直至所有供应地与需求地的供求平衡。
3. 检验初始解的可行性在使用表上作业法得到初始解后，需要对其进行可行性检验。
可行性检验的目的是确定初始解是否满足运输问题中的资源约束条件。
需要检验初始解的供应量和需求量是否平衡。
即对于每个供应地和需求地，初始解中所分配的运输量之和是否等于其对应的供应量和需求量。
如果供求平衡，则初始解满足资源约束条件，进入下一步检验；如果不平衡，则初始解需要进行修正或重新生成。
需要检验初始解是否满足运输问题中的非负约束条件。
即初始解中的运输量是否均为非负数。
如果初始解中存在负数运输量，则需进行调整或重新生成初始解。
还可以根据具体的业务需求，对初始解进行其他的可行性检验。
检验初始解中是否存在未满足的需求或未使用的供应量，以及是否满足一定的时间限制等。
4. 检验初始解的优化程度除了检验初始解的可行性外，还需要评估其优化程度，即初始解所对应的运输方案是否能够在满足资源约束条件的前提下，以最小的总运输成本或最大的总运输收益来实现。
表上作业法求解运输问题的思考
表上作业法求解运输问题的思考
解决运输问题的表上作业法（Table Method）是一种用于解决线性
规划问题的数学方法。
它通过在一张表中，将运输需求、供求量及其
价格等信息进行对应的方式来寻找最优的供运输体系。
总的来说，表
上作业法的步骤有：
一、建立运输问题模型：
1. 根据要求绘制好运输管理模型，规定出配送来源和配送目的地，包
括途经站点；
2. 确定进行配送的各节点、道路等的运行路径及具体情况；
3. 整理出和计算出各节点之间运输量及单位运输成本，将这些信息录
入表格；
二、建立表上作业法：
1. 根据运输问题模型中的信息进行汇总，建立表格，计算出来的表格
有4个部分：
不变量，运输供求量，单位运输成本，最优总成本；
2. 根据具体情况，计算各节点之间的运输量；
3. 将运输量填入表格中，计算出每一节点的运输成本，找出最优方案；
三、调整成本：
1. 检查各个节点的运输成本，比较并调整，计算最小成本；
2. 对最小成本进行再探索，优化调整和最小化运输供求量；
四、总结结果：
根据计算结果，进行概括性总结和说明，得到最合理的解决方案。
表上作业法，通过模型的结果来完成最优运输体系，是一种实用性很
强的模型。
由于其最大的特点在于可以有效解决大量的运输安排问题，因此有助于企业在实现安全便捷物流运输的同时，节约物流成本，提
升企业竞争力。
第二节运输问题求解表上作业法
2
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是指在给定的供应地和需求地之间，选择最佳的运输方案，使总运输成本最低的问题。
表上作业法是一种常用的解决运输问题的方法，它基于线性规划的思想，通过逐步逼近最优解的方式来求解运输问题。
表上作业法的原理是将运输问题转化为一个线性规划问题，通过构建一个供需平衡表来描述运输问题。
在该表中，将供应地和需求地分别作为行和列，并在表中填入运输量的变量。
同时，引入一个辅助表来记录每个供应地和需求地的运输量。
具体的求解步骤如下：1. 构建供需平衡表：将给定的供应地和需求地以及对应的运输量填入表格中，并计算每个供应地和需求地的供应总量和需求总量。
2. 确定初始基本可行解：根据运输量的限制条件，确定一个初始的基本可行解。
可以选择将某些运输量设置为0，使得每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量。
3. 计算单位运输成本：根据给定的运输成本，计算每个供应地和需求地之间的单位运输成本，填入表格中。
4. 判断最优解条件：检查当前的基本可行解是否满足最优解的条件。
如果每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量，并且没有其他更低成本的运输方案，则当前解为最优解。
5. 迭代改进解：如果当前解不满足最优解的条件，则需要进行迭代改进。
在每一次迭代中，选择一个非基本变量（即非0运输量）进行改变，并计算改变后的基本可行解。
6. 更新供需平衡表和辅助表：根据改变后的基本可行解，更新供需平衡表和辅助表的运输量，并重新计算单位运输成本。
7. 重复步骤4-6，直到找到最优解为止。
通过以上的步骤，表上作业法能够有效地求解运输问题，并得到最优的运输方案。
它在实践中广泛应用于物流管理、供应链优化等领域，为运输问题的决策提供了科学的依据。
管理运筹学第七章运输问题之表上作业法
10 （12）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
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换入变量以负的检验数中最小的那个； 最优解出现时，若有某非基变量对应的检验数
为零，则无穷多最优解； 退化的处理
2020/6/28
运输问题的退化
产地
销地
S1
S2
S3 销量
2020/6/28
运输表
D1
D2
D3
8
5
7
4
9
4
6
2
2
1
3
2
3
3
2
6
4<3+3-1=5，问题出现退化！
产量 4 4 3
退化的处理（第1步）
单位物品的运价是cij; 问题：如何调运物品才能使总运费最小？
2020/6/28
数学模型
mn
min z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij s i , i 1,2 ,
,m
j1
s .t .
m
x ij d i ,
j 1,2,
,n
i1
x
ij
0, i 1,2,
,m;
j 1,2,
2对解作最优性判别；
若不是最优，则在运输表上进行改进，得到新解， 重复第2步；
若为最优解，则中止。
2020/6/28
初始解的产生办法
最小元素法：优先满足单位运价最小的供销业务； 西北角法：优先满足运输表西北角（左上角）空格的
供销需求； 沃格尔（Vogel）法：优先满足罚数最大的行（列）
Chapter 06 中文资料——运 输问题的表上作业法
2020/6/28
运输问题
单一品种 m个产地S1,S2,…,Sm，产量分别为s1,s2,…,sm； n个销地D1,D2,…,Dn，销量分别为d1,d2,…,dn ； 从产地Si(i=1,2,…,m)向销地Dj(j=1,2,…,n)运输
中单位运价最小的供销业务。
罚数：行（列）中单位运价最小和次小两个数的差值的绝对 值
该方法常可以得到近似最优解
拉塞尔（Russell）法：优先满足行列最大差额和的单 元的供销业务。
2020/6/28
解的最优性检验 ——闭回路法（cycle method）
对所有未填数字的空格（非基变量），先要找出它 在运输表上的闭回路。
解的改进
换入量的确定：检验数为负数且绝对值最大的 那个空格为换入量；
换出量的确定：
以闭合回路顺时针方向，空格为第1个奇数顶点， 编号为1，依次对所有顶点编号。
可分为奇数顶点和偶数顶点
偶数顶点中的运输量最小顶点，作为空格所要增加 的运量
奇数顶点和偶数顶点的计算
2020/6/28
几点说明
产地
销地
S1
S2
S3 销量
2020/6/28
运输表
D1
D2
8
5
2
0
49
4 2
1
3
3
3 =2
D3
7 4
6 2
2 0
6
产量 4 4 3
退化的处理（第2步）
产地
销地
S1
S2
S3 销量
2020/6/28
运输表
D1
D2
8
5
2
0
49
4 2
1 3
3
3
5
2
D3
产量
7
4
4
6
2
4
2
02
3
6
计算闭回路的检验数。
若检验数为负，说明解非最优 若检验数全为非负，说明解最优
运价为15，故增加15
(S2, D5)
减少17
(S1, D5)
增加13
(S1, D3)
减少13
(S2, D3)
目标函数总变化：15-17+13-13=-2，即增加(2,5)一单位运量可使总运费降低2单位。
2020/6/28
,n
2020/6/28
产销平衡与产销不平衡
产销平衡：
m
n
si d j
i1
j 1
产销不平衡： m
n
si d j
i 1
j 1
注意：对于产销平衡问题，约束条件有一个是多余的。
2020/6/28
表上作业法
2020/6/28
基本步骤
1按某种规则找出一个初始解；
最小元素法 西北角法 沃格尔（Vogel）法 拉塞尔（Russell）法
为零，则无穷多最优解； 退化的处理
2020/6/28
运输问题的退化
产地
销地
S1
S2
S3 销量
2020/6/28
运输表
D1
D2
D3
8
5
7
4
9
4
6
2
2
1
3
2
3
3
2
6
4<3+3-1=5，问题出现退化！
产量 4 4 3
退化的处理（第1步）
单位物品的运价是cij; 问题：如何调运物品才能使总运费最小？
2020/6/28
数学模型
mn
min z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij s i , i 1,2 ,
,m
j1
s .t .
m
x ij d i ,
j 1,2,
,n
i1
x
ij
0, i 1,2,
,m;
j 1,2,
2对解作最优性判别；
若不是最优，则在运输表上进行改进，得到新解， 重复第2步；
若为最优解，则中止。
2020/6/28
初始解的产生办法
最小元素法：优先满足单位运价最小的供销业务； 西北角法：优先满足运输表西北角（左上角）空格的
供销需求； 沃格尔（Vogel）法：优先满足罚数最大的行（列）
Chapter 06 中文资料——运 输问题的表上作业法
2020/6/28
运输问题
单一品种 m个产地S1,S2,…,Sm，产量分别为s1,s2,…,sm； n个销地D1,D2,…,Dn，销量分别为d1,d2,…,dn ； 从产地Si(i=1,2,…,m)向销地Dj(j=1,2,…,n)运输
中单位运价最小的供销业务。
罚数：行（列）中单位运价最小和次小两个数的差值的绝对 值
该方法常可以得到近似最优解
拉塞尔（Russell）法：优先满足行列最大差额和的单 元的供销业务。
2020/6/28
解的最优性检验 ——闭回路法（cycle method）
对所有未填数字的空格（非基变量），先要找出它 在运输表上的闭回路。
解的改进
换入量的确定：检验数为负数且绝对值最大的 那个空格为换入量；
换出量的确定：
以闭合回路顺时针方向，空格为第1个奇数顶点， 编号为1，依次对所有顶点编号。
可分为奇数顶点和偶数顶点
偶数顶点中的运输量最小顶点，作为空格所要增加 的运量
奇数顶点和偶数顶点的计算
2020/6/28
几点说明
产地
销地
S1
S2
S3 销量
2020/6/28
运输表
D1
D2
8
5
2
0
49
4 2
1
3
3
3 =2
D3
7 4
6 2
2 0
6
产量 4 4 3
退化的处理（第2步）
产地
销地
S1
S2
S3 销量
2020/6/28
运输表
D1
D2
8
5
2
0
49
4 2
1 3
3
3
5
2
D3
产量
7
4
4
6
2
4
2
02
3
6
计算闭回路的检验数。
若检验数为负，说明解非最优 若检验数全为非负，说明解最优
运价为15，故增加15
(S2, D5)
减少17
(S1, D5)
增加13
(S1, D3)
减少13
(S2, D3)
目标函数总变化：15-17+13-13=-2，即增加(2,5)一单位运量可使总运费降低2单位。
2020/6/28
,n
2020/6/28
产销平衡与产销不平衡
产销平衡：
m
n
si d j
i1
j 1
产销不平衡： m
n
si d j
i 1
j 1
注意：对于产销平衡问题，约束条件有一个是多余的。
2020/6/28
表上作业法
2020/6/28
基本步骤
1按某种规则找出一个初始解；
最小元素法 西北角法 沃格尔（Vogel）法 拉塞尔（Russell）法