六、环形跑道相遇问题例1。
在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇,再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多久？解析：设跑到全长为S，甲乙第一次相遇共同走了AB，第二次相遇走了S+AB,第一次相遇两人走了8分钟，第二次相遇又走了6+10=16分钟，故两人共同走AB时间是走全长S时间的一半,根据速度和不变情况下，时间与路程成正比，故AB=0.5S，甲走AB用时6+8=14分钟，故甲环形一周用时28分钟。
（16+6)÷8=2 （全程是AB的2倍）（6+8)×2=28（分钟）答：甲环行一周需要28分钟。
2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。
如果他们同时出发,并在甲跑完60米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长度?解析,由上题的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此时甲跑了60*3=180米,已跑了全长减去80米,故1.5S=S-80+180,解得全长S等于200米。
解:设全长为x米.1.5x=x-80+60×3X=200答：跑道的长度为200米.例3。
甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米。
如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇了几次？分析：第一次相遇时行一个全程,用时:90÷（2+3）=18S；此后每次相遇都行两个全程，都用时18×2=36秒，（600-18）÷36=16……4，故10分钟内二者相遇了16+1=17次。
90÷(2+3)=18(秒）(10×60—18）÷(18×2）=16 (4)16+1=17（次）答：10分钟内共相遇了17次例4.甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈.跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2/3，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了1/5,已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，这条椭圆形跑道多长?解析：如下图所示，A点为出发点，因跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2/3，故第一次相遇点B距A为全程的3/5，当甲跑完一圈到达A点时,乙到达C点,距离A点为1/3,此时甲加速1/3，甲乙速度比变为2:1，故当乙跑完一圈到达A点时甲到达了C点，二者距离为全程的1/3，此时乙加速1/5，甲乙速度比变为4：12/5=5：3，此时变为路程为全长1/3的相遇问题，当甲乙第二次相遇时，乙走了全长1/3的3/8，也就是全长的1/8，所以两次相遇点之间距离BD为全长的3/5-1/8=19/40，故椭圆形跑道全长为190÷19/40=400米。
环形跑道相遇或追及的问题可以是数学中的一个经典问题。
当两个人或物体在一个环形跑道上以不同的速度出发时，我们可以使用一些基本的数学概念来找到它们相遇或追及的条件。
设想一个环形跑道，其总长度为\(L\)。
现在，两个人（或物体）从不同的起点开始，速度分别为\(v_1\) 和\(v_2\)。
我们想知道它们何时会相遇或者其中一个追及另一个。
当然，这个问题的答案取决于两个人（或物体）是在相反的方向跑，还是在相同的方向跑。
1. 相反方向的追及：
如果两个人从相反的方向出发，并希望一个追上另一个，那么它们的相遇时间可以用以下的公式来表示：
\[ \text{相遇时间} = \frac{L}{v_1 + v_2} \]
其中，\( L \) 是环形跑道的总长度，\( v_1 \) 和\( v_2 \) 是两个人（或物体）的速度。
2. 相同方向的追及：
如果两个人从相同的方向出发，并希望一个追上另一个，那么它们的相遇时间可以用以下的公式来表示：
\[ \text{相遇时间} = \frac{L}{|v_1 - v_2|} \]
其中，\( L \) 是环形跑道的总长度，\( v_1 \) 和\( v_2 \) 是两个人（或物体）的速度。
这两个公式可以帮助你解决环形跑道上相遇或追及的问题。
环形跑道知识框架本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。
是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间×速度和路程差=追及时间×速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
例题精讲【例 1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆【题型】解答【解析】黄莺和麻雀每分钟共行6659125+=（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即÷+=÷=（分钟）．500(6659)5001254【答案】4分钟【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。
已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆【题型】填空【解析】几分钟相遇一次：480÷（55＋65）=4（分钟）10次相遇共用：4×10=40（分钟）王老师40分钟行了：55×40=2200（米）2200÷480=4（圈）……280（米）所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米）答：再走200米回到出发点。
【答案】200米【例 2】上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300(64)150÷-=秒，小亚跑了6150900⨯=（米）。
