人教版A数学必修二综合测试题(含答案)

最新人教A版高一数学必修二测试题全套及答案第一章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列关于投影的说法中不正确的是( )A．平行投影的投影线是互相平行的B．中心投影的投影线是互相垂直的C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上D．平行的直线的中心投影不一定是平行直线答案：B2．下列说法中，正确的个数为( )①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1 B．2C．3 D．4解析：①③④正确．答案：C3．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是( )解析：根据三种视图的对角线位置关系，容易判断A是正确结论．答案：A4．如图所示，该直观图表示的平面图形为( )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．正三角形解析：直观图中三角形有2条边与坐标轴平行，这2条边互相垂直．答案：C5．如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数是( )A．2 B．3C．4 D．6解析：由正视图可知，几何体的最右边有2个小正方体，中间和左边各有1个小正方体．答案：C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5；截去的锥体的底面是两直角边的长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以该几何体的体积为V ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24.答案：C7．棱台上、下底面面积分别为16,81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为( )A ．11B ．12C ．23D ．34解析：将棱台还原为棱锥，设顶端小棱锥的高为h. 两棱台的高分别为x 1，x 2，则 ⎝ ⎛⎭⎪⎫h h ＋x 12＝1636，解得x 1＝h 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫h h ＋x 1＋x 22＝1681，解得x 2＝34h.故x 1x 2＝23. 答案：C8．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S为底面面积，h为高)( )A．3 B．2C. 3 D．1解析：由图可知，三棱锥的底面为边长为2的正三角形，左侧面垂直于底面，且为边长为2的正三角形，所以该三棱锥的底面积S＝12×2×3，高h＝3，所以其体积V＝13Sh＝13×3×3＝1.故选D.答案：D9．若圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A．缩小到原来的一半B．扩大到原来的两倍C．不变D．缩小到原来的1 6解析：设变化前的圆锥的高为h，底面半径为r，体积为V，变化后的圆锥的高为h′，底面半径为r′，体积为V′，则V′V＝13πr′2h′13πr2h＝14r2·2hr2h＝12.答案：A10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解析：该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积V＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积V毛坯＝π×32×6＝54π(cm3)，被切部分的体积V切＝V毛坯－V＝54π－34π＝20π(cm3)，所以V切V毛坯＝20π54π＝1027.答案：C11．如图，如果底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是( )A.13πr2(a＋b) B.12πr2(a＋b)C．πr2(a＋b) D．2r2(a＋b)解析：将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个高为a＋b的圆柱，故圆柱被截后剩下部分的体积为12πr2(a＋b)．答案：B12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A．96 3 B．16 3 C．24 3 D．48 3解析：由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有a2×33＝R＝2，解得a＝4 3.故此三棱柱的体积V＝12×32×(43)2×4＝48 3.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．如图所示的螺母是由________和______两个简单几何体构成的．答案：正六棱柱圆柱14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：由三视图知该几何体是一个底面半径为r＝2，高为h＝4的圆柱，中间挖去一个底面边长为a＝2的正四棱柱，则其体积是V＝πr2h－a2h＝16π－16.答案：16π－1615．如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________.解析：由三视图可知几何体是一个三棱柱，其底面三角形的一边长为2，其边上的高为a，则V三棱柱＝12×2×a×3＝33a＝ 3.答案： 316．如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图，A，B，C，D为其上四个点，则以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积为________．题图答图解析：将展开图还原为正方体如图．故以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积V＝VC－ABD＝1 3×⎝⎛⎭⎪⎫12×12×1＝16×1＝16.答案：16三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64 cm2故该几何体的表面积是64 cm2.(2)由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径．记长方体的对角线为d，球的半径是r，d＝16＋16＋4＝36＝6，所以球的半径r＝3.因此球的体积V＝43πr3＝43×27π＝36π cm3.所以外接球的体积是36π cm3.18．(10分)把一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与等腰三角形的底边边长x的函数关系式，并求出函数的定义域．解：在Rt△EOF中，EF＝5 cm，OF＝12x cm，则EO＝25－14x2 cm，于是V＝13x225－14x2 cm3.依题意，函数的定义域为{x|0<x<10}．19．(10分)某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图(如图)，其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示(单位cm)．(1)求出这个工件的体积；(2)工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用(精确到整数部分)．解：(1)由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，母线长为3，设圆锥高为h，则h＝32－22＝5，则V＝13Sh＝13πR2h＝13π×4×5＝453π(cm3)．(2)圆锥的侧面积S1＝πRl＝6π，则表面积＝侧面积＋底面积＝6π＋4π＝10π(cm2)，喷漆总费用＝10π×10＝100π≈314(元)．20．(10分)已知圆柱OO1的底面半径为2，高为4.(1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一，求截面面积；(3)在(2)的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求V Ⅰ:VⅡ(体积之比)．解：(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形，邻边长分别是4π和4，则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长41＋π2.(2)连接OA，OB，因为截面ABCD将底面圆周截去14，所以∠AOB＝90°，因为OA＝OB＝2，所以AB＝22，而截面ABCD是矩形且AD＝4，所以SABCD＝8 2.(3)依题知V圆柱＝Sh＝16π，三棱柱AOB－DO1C的体积是8，则VⅠ＋8＝14V圆柱＝4π，所以VⅠ＝4π－8，而VⅡ＝V圆柱－VⅠ＝12π＋8，于是VⅠ:VⅡ＝π－23π＋2.第二章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列推理不正确的是( )A．A∈b，A∈β，B∈b，B∈βbβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈βα∩β＝直线MNC．直线m不在α内，A∈m AαD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线α与β重合解析：由空间中点线面的位置关系知选C.答案：C2．下列说法中正确的是( )A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析：考查确定平面的公理二及其推论，易知选D.答案：D3．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：D∈l，lβ，∴D∈β，又C∈β，∴CDβ；同理，CD平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.答案：C4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( ) A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若aα，bβ，a∥b，则a∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析：A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．答案：D5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.答案：C6．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A 1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．答案：C6题图7题图7．如上图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则异面直线AB与A1C1所成的角、AA1与B1C所成的角分别为( )A．30°，30° B．30°，45°C．45°，45° D．60°，45°解析：∵AB∥A1B1，∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角，又BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝3a，∴B1C1＝BC＝a，则BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.答案：B8．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )A．2 3 B．27C．4 3 D．47解析：连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得P C⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×3 2＝23，所以PM的最小值为27.答案：B9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．当A1M＋MC取得最小值时，B1M的长为( )A. 3B. 6C．2 3 D．2 6题图答图解析：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，连接A1C′，当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1的中点．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1A1⊥平面A1D1DA，则B1A1⊥A1M，又A1M＝2，故B1M＝B1A21＋A1M2＝12＋22＝ 3.故选A.答案：A10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n等于( )A．8 B．9C．10 D．11解析：取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF 相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.答案：A11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°解析：因为AH⊥平面A 1BD ，BD 平面A 1BD ， 所以BD⊥AH.又BD ⊥AA 1，且AH∩AA 1＝A ， 所以BD⊥平面AA 1H.又A 1H 平面AA 1H.所以A 1H⊥BD，同理可证BH⊥A 1D ， 所以点H 是△A 1BD 的垂心，A 正确． 因为平面A 1BD∥平面CB 1D 1， 所以AH⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角． 因为∠AA 1H≠45°，所以∠A 1AH≠45°，故D 错误． 答案：D12．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO⊥平面ABC ，连接OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3， 则S ＝34×(3)2＝334，VABC －A 1B 1C 1＝S×PO＝94，∴PO＝ 3.又AO ＝33×3＝1， ∴tan∠PAO＝PO AO ＝3，∴∠PAO＝π3. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD 一定是________． 解析：如图，∵PA⊥平面ABCD ， ∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC. ∴AC⊥BD. 答案：菱形14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．解析：∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN 平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN， 又∠B 1MN 为直角，∴B 1M⊥MN 而B 1M∩B 1C 1＝B 1.∴MN⊥平面MB 1C 1，又MC 1平面MB 1C 1， ∴MN⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 答案：90°15．如图，圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O ，且AB⊥CD，SO ＝OB＝2，P为SB的中点．则异面直线SA与PD所成角的正切值为________．题图答图解析：连接PO，则PO∥SA，PO＝SA2＝2，∴∠OPD即为异面直线SA与PD所成的角，且△OPD为直角三角形，∠POD为直角，∴tan∠OPD＝ODOP＝22＝ 2.答案： 216．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，给出下列四个结论：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P－AD1－C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点运动的路线是过D1点的直线．其中正确结论的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析：因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值，所以VA－D1PC＝VP－ACD1为定值，①正确；因为P到平面ACD1的距离不变，但AP的长度在变化，所以AP与平面ACD1所成角的大小是变量，②错误；平面PAD1即平面ABC1D1，又平面ABC1D1与平面ACD1所成二面角的大小不变，故③正确；M点运动的路线为A1D1，④正确．答案：①③④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形．证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又DE平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．18．(10分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B 1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC 1⊥平面B 1AC.因为AB 1平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.19．(10分)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．证明：(1)如图，因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM∥VB. 因为VB 平面MOC ， 所以VB∥平面MOC.(2)因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC⊥AB. 因为平面VAB⊥平面ABC ，且OC 平面ABC ， 所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以S △VAB ＝3， 又因为OC⊥平面VAB ，所以 V C －VAB ＝13OC·S △VAB ＝33.因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 的体积为33.20．(10分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1 BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又EF平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又AE平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝12B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝B1M2＋A1M2＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝A1NA1B1＝12，因此∠A1B1N＝30°.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.第三章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为( )A．30°B．45°C．60°D．135°解析：由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°.答案：D2．已知点A(0,4)，B(4,0)在直线l上，则l的方程为( )A．x＋y－4＝0 B．x－y－4＝0C．x＋y＋4＝0 D．x－y＋4＝0解析：由截距式方程可得l的方程为x4＋y4＝1，即x＋y－4＝0.答案：A3．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是( )A.π3B.π4C.2π3D.3π4解析：因为kMN ＝－3－22＋3＝－1，所以kl＝1，由此可得，直线l的倾斜角为π4.答案：B4．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x－y＝33的倾斜角的2倍，则( )A．m＝－3，n＝1 B．m＝－3，n＝－3C．m＝3，n＝－3 D．m＝3，n＝1解析：依题意得－3n＝－3，－mn＝tan120°＝－3，得m＝3，n＝1.故选D.答案：D5．两条直线l1：2x＋y＋c＝0，l2：x－2y＋1＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定解析：l 1的斜率k 1＝－2，l 2的斜率k 2＝12，因k 1k 2＝－1，所以两直线垂直．故选B.答案：B6．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0 D ．x －y ＋1＝0解析：由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －52，整理得x －y ＋1＝0.故选D.答案：D7．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3解析：由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n＝－3，m ＝－4.答案：C8．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：设所求直线上的任一点为(x ，y)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y)，因为点(x ，－y)在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.答案：A9．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D(4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD|＝210.答案：A10．点P(7，－4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(5,6) B ．(2,3) C ．(－5,6) D ．(－2,3) 解析：设Q(m ，n)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4m －7×65＝－1，6×m ＋72－5×n －42－1＝0，解得m ＝－5，n ＝6，所以点P(7，－4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q 的坐标是(－5,6)，故选C.答案：C 11．已知点M(1,0)和N(－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D ．[0,2]解析：直线可化为y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2.所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．答案：A12．函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值是( ) A ．0 B.13 C ．13D ．不存在解析：y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8 ＝x －02＋0－12＋x －22＋0－22.令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则原问题转化为在x 轴上求一点P(x,0)，使它到A ，B 两点的距离之和最小．如图所示，取点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B，交x 轴于点P ，则|AP|＋|PB|＝|A′P|＋|PB|≥|A′B|. ∵A(0,1)，∴A′(0，－1)．∴|A′B|＝2－02＋2＋12＝13，即函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值是13. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．过点(1,3)且在x 轴的截距为2的直线方程是__________． 解析：由题意设所求直线的方程为x 2＋yb ＝1，又点(1,3)满足该方程，故12＋3b ＝1，∴b＝6.即所求直线的方程为x 2＋y6＝1，化为一般式得3x ＋y －6＝0. 答案：3x ＋y －6＝014．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．解析：设直线方程为y ＝16x ＋b ，与坐标轴截距分别为－6b ，b ，所以12|－6b|·|b|＝3，解得b ＝±1，所以直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝015．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．解析：设P(x,1)，则Q(2－x ，－3)，将Q 坐标代入x －y －7＝0得，2－x ＋3－7＝0.∴x ＝－2，∴P(－2,1)，∴k l ＝－23.答案：－2316．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：点(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，且m 2＋n 2为直线上的点到原点的距离的平方．当两直线垂直时，距离最小．故d ＝|a·0＋b·0＋2c|a 2＋b 2＝2c a 2＋b 2＝2c c ＝2.所以m 2＋n 2≥4.答案：4三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)(1)已知直线y＝33x－1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β＝2α，且过点M(2，－1)，求l的方程；(2)已知直线l过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．解：(1)∵已知直线的斜率为33，即tanα＝33，∴α＝30°.∴直线l的斜率k＝tan2α＝tan60°＝ 3.又l过点(2，－1)，∴l的方程为y－(－1)＝3(x－2)，即3x－y－23－1＝0.(2)显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y－3＝k(x＋2)．令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－3k－2.于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为1 2|(2k＋3)(－3k－2)|＝4，即(2k＋3)(3k＋2)＝±8，解得k＝－12或k＝－92.∴l的方程为y－3＝－12(x＋2)，或y－3＝－92(x＋2)．即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.18．(10分)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，(1)若l1与l2交于点P(m，－1)，求m，n的值；(2)若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；(3)若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．解：(1)将点P(m，－1)代入两直线方程得：m2－8＋n＝0和2m－m－1＝0，解得m＝1，n ＝7.(2)由l1∥l2得：m2－8×2＝0m＝±4，又两直线不能重合，所以有8×(－1)－nm≠0，对应得n≠±2，所以当m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当m＝0时，直线l1：y＝－n8和l2：x＝12，此时l1⊥l2，当m≠0时，此时两直线的斜率之积等于1 4，显然l1与l2不垂直，所以当m＝0，n∈R时直线l1和l2垂直．19．(10分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A 的坐标为(－1,0)．又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2， 所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－6.即顶点C 的坐标为(5，－6)．20．(10分)如图所示，已知A(－2,0)，B(2，－2)，C(0,5)，过点M(－4,2)且平行于AB 的直线l 将△ABC 分成两部分，求此两部分面积的比．解：由已知可得k AB ＝－12，过点M(－4,2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0.直线AC 的方程为5x －2y ＋10＝0，由方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，5x －2y ＋10＝0，得直线l 与AC 的交点坐标为P(－53，56)．所以|CP||CA|＝|x P ||x A |＝56.所以两部分的面积之比为5262－52＝2511.第四章检测试题 时间：90分钟 分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．以点A(1，－2)，B(3,4)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝10解析：圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，－2＋42，即(2,1)，r ＝12|AB|＝10，故方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.答案：D2．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A(0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B(3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB|＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．答案：C3．点P(1，－2,5)到坐标平面xOz 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．－2解析：因为空间一点到平面xOz 的距离等于|y|，所以点P(1，－2,5)到坐标平面xOz 的距离为2.故选B.答案：B4．要使圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴的两个交点分别位于原点的两侧，则有( ) A ．D 2＋E 2－4F>0，且F<0 B ．D<0，F>0 C ．D≠0，F≠0 D ．F<0解析：令y ＝0，则x 2＋Dx ＋F ＝0.设两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝F<0，且x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时D 2＋E 2－4F>0.答案：A5．圆x 2＋y 2－4x －2y －20＝0的斜率为－43的切线方程是( )A ．4x ＋3y －36＝0B ．4x ＋3y ＋14＝0C ．4x ＋3y －36＝0或4x ＋3y ＋14＝0D ．不能确定解析：由直线与圆的位置关系可知，一定有两条斜率都为－43的平行直线与圆相切．答案：C6．如图，等腰梯形ABCD 的底边长分别为2和14，腰长为10，则这个等腰梯形的外接圆E 的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝53B ．x 2＋(y －2)2＝64C ．x 2＋(y －1)2＝50 D ．x 2＋(y －1)2＝64解析：由题图易知，等腰梯形的高为102－62＝8，显然，外接圆的圆心E 一定在y 轴上，设圆心E 到下底边的距离为a ，则72＋a 2＝12＋(8－a)2，解得a ＝1.故外接圆E 的圆心为(0,1)，半径为72＋12＝52，故所求外接圆E 的方程为x 2＋(y －1)2＝50.答案：C7．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a 等于( )A ．±12B ．±22C.12或－22D ．－12或22解析：将(y ，x)代入曲线方程，得 y 2＋x 2＋a 2y ＋(1－a 2)x －4＝0. 于是1－a 2＝a 2，解得a ＝±22. 答案：B8．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设圆C 2的圆心为(a ，b)．因为圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2.又因为圆C 2的半径与圆C 1的半径长相等， 所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|＝23，则k 的值是( )A ．－34B ．0C ．0或－34D.34解析：圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1，则|MN|＝24－3k ＋12k 2＋1＝23，解得k ＝0或k ＝－34.答案：C10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13)D ．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d<r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m|5<3，解得m∈(－17，－7)∪(3,13)．答案：C11．设点M(x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN＝45°，则x 0的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22解析：点M(x 0,1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N(0,1)，如图，则只需∠OMN≥45°即可，此时有tan∠OMN＝|ON||MN|≥tan45°，得0<|MN|≤|ON|＝1，即0<|x 0|≤1.当M 位于点(0,1)时，显然在圆上存在点N 满足要求．综上可知，－1≤x 0≤1.答案：A12．已知线段AB 的端点B 的坐标为(m ，n)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，且线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，则m ＋n 等于( )A ．－1B ．7C ．1D ．－7解析：设点M ，A 的坐标分别为(x ，y)，(x 0，y 0)，因为点M 是线段AB 的中点，所以⎩⎨⎧x 0＝2x －m ，y 0＝2y －n ，又点A 在圆C 上，所以(2x －m ＋1)2＋(2y －n)2＝4，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －n 22＝1，即为中点M 的轨迹方程，又中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，比较得⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝－32，－n 2＝－32，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ＝3.所以m ＋n ＝7.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．点M(4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 坐标平面的距离为n ，则m 2＋n ＝________. 解析：由题意，得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，所以m 2＋n ＝39. 答案：3914．若P(2,1)是圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：由圆的方程得圆心坐标为O(1,0)，所以k PO ＝12－1＝1.则直线AB 的斜率为k ＝－1，由点斜式方程得x ＋y －3＝0.答案：x＋y－3＝015．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为________．解析：将圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为直径，所以AC＝10，最短弦为与AC垂直的弦，所以BD＝46，所以四边形ABCD的面积为12 AC·BD＝20 6.答案：20 616．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．解析：(1)过点C作CM⊥AB于M，连接AC，则|CM|＝|OT|＝1，|AM|＝12|AB|＝1，所以圆的半径r＝|AC|＝|CM|2＋|AM|2＝2，从而圆心C(1，2)，即圆的标准方程为(x－1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x＝0得，y＝2±1，则B(0，2＋1)，所以直线BC的斜率为k＝2＋1－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C在点B处的切线的斜率为1，则圆C在点B处的切线方程为y－(2＋1)＝1×(x－0)，即y＝x＋2＋1，令y＝0得x＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2 (2)－2－1三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)已知一圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心C在直线l：x－2y－3＝0上，(1)求此圆的标准方程；(2)判断点M1(0,1)，M2(2，－5)与该圆的位置关系．解：(1)如图，因为点A(2，－3)，B(－2，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为(0，－4)．又k AB ＝－5－－3－2－2＝12，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝－2x －4. 联立方程组⎩⎨⎧x －2y －3＝0，y ＝－2x －4，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心坐标为C(－1，－2)，半径 r ＝|CA|＝2＋12＋－3＋22＝10.所以此圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.(2)将点M 1(0,1)，M 2(2，－5)分别代入(x ＋1)2＋(y ＋2)2中，得值分别为10,18， 故点M 1(0,1)在圆上，点M 2(2，－5)在圆外．18．(10分)自点A(－3,3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线L 所在的直线方程．解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1， 它关于x 轴对称的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 设光线L 所在直线方程是y －3＝k(x ＋3)．由题设知对称圆的圆心C′(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d ＝|5k ＋5|1＋k 2＝1. 整理得12k 2＋25k ＋12＝0， 解得k ＝－34或k ＝－43.故所求的直线方程是y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y＋3＝0.19．(10分)已知点P(2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程．(2)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设直线l 的斜率为k(k 存在)，则方程为y －0＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0. 又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，由|3k ＋2－2k|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件．(2)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点， 故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0，解得a<0. 则实数a 的取值范围是(－∞，0)． 设符合条件的实数a 存在．由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C(3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2. 而k AB ＝a ＝－1k PC ，所以a ＝12. 由于12(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB.20．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A(4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，所以圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝4－2322＝1，由点到直线的距离公式得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝ －724.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P 的坐标为(m ，n)，直线l 1，l 2的方程分别为y －n ＝k 1(x －m)，y －n ＝－1k 1(x －m)，即k 1x －y ＋n －k 1m ＝0，－1k 1x －y ＋n ＋1k 1m ＝0.因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得：圆心C 1(－3,1)到直线l 1的距离与圆心C 2(4,5)到直线l 2的距离相等，故|－3k 1－1＋n －k 1m|k 21＋1＝|－4k 1－5＋n ＋1k 1m|1k 2＋1，化简得(2－m －n)k 1＝m －n －3或(m －n ＋8)k 1＝m ＋。

第八章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若m ∥α，n ∥α，则m n ∥ B.若⊥αγ，⊥βγ，则∥αβ C.若m ∥α，m ⊥β，则⊥αβD.若m ∥α，⊥αβ，则m ⊥β2.如图，O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图，6A O =′′，2B O =′′，则OAB △的面积是（ ）A.6B.C.D.123.BC 是Rt ABC △的斜边，PA ABC ⊥平面，PD BC D ⊥于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（ ）A.8B.7C.6D.54.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（ ）A.1BC MN ⊥B.1B N CM ∥C.11ABN C MD 平面∥平面D.1111CDM A B C D 平面⊥平面5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（ ） A.18B.12C.6D.12π6.如图8-7-39所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积为（ ） A.30 B.18 C.15D.127.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）B.1D.2+8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ）A.AC BE ⊥B.EF ABCD ∥平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF △的面积与BEF △的面积相等9.如图8-7-42，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，则下列结论中不正确的是（ ）A.111A B CD BC D ⊥平面平面B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点，使得∥平面D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点，使得平面10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 11.如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC △折起，若°60DAB ∠=，则二面角D AC B --的平面角的大小为________.12.在正三棱锥S ABC -中，AB =，SA =，E ，F 分别为AC ，SB 的中点.平面α过点A ，SBC ∥平面α，ABC l α= 平面，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.14.如图8-7-46，直角梯形ABCD 中，°90DAB ∠=，AB CD ∥，CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==，°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.[12分]在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且12CF CG BF DG ==.求证： （1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中，EF AEB ⊥平面，AE EB ⊥，AD EF ∥，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点。

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设某项试验成功的概率是失败的概率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=0)等于( )A．0B．12C．13D．232.若∣a⃗∣=1，∣b⃗⃗∣=2，且(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，则a⃗与b⃗⃗的夹角θ=( )A．π3B．−π3C．2π3D．2π3或−π33.已知i为虚数单位，若复数z满足z(1−i)=1+i，则z=( )A．i B．−12i C．1D．124.在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点间的距离为( )A．2B．3C．4D．55.甲、乙两名同学在高考前的5次模拟考中的数学成绩如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均成绩分别为x，y，下列说法正确的是( )A．x<y，且乙比甲的成绩稳定B．x>y，且乙比甲的成绩稳定C．x<y，且甲比乙的成绩稳定D．x>y，且甲比乙的成绩稳定6.复数z(1−i)=i（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.设a⃗=(32,sinα)，b⃗⃗=(cosα,13)，且a⃗∥b⃗⃗，则锐角α为( )A．45∘B．30∘C．75∘D．60∘8.已知实数a∈[−3,3]，则复数z=a+i2−i在复平面内对应的点位于第二象限的概率为( )A．512B．12C．712D．349. 下列叙述中，错误的一项为 ( ) A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形 D ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行10. 在 △ABC 中，a =5，b =3，则 sinA:sinB 的值是 ( ) A ． 53B ． 35C ． 37D ． 57二、填空题（共6题） 11. 思考辨析 判断正误两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )12. 已知非零向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣，则 (a ⃗−12b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗= ．13. 设两个非零向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线．若 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb ⃗⃗ 共线，则 k = ．14. 已知 (a −i )2=2i ，其中 i 是虚数单位，那么实数 a = ．15. 若复数 z 满足 2z +z =3−2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ．16. 已知 O 为 △ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则 S△ABC S △AOC= ．三、解答题（共6题）17. 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上 1，2，3，⋯，10 这 10 个数字，现随机地抽取两个小球，如果： （1）小球是不放回的； （2）小球是有放回的．分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．18. 正六边形 ABCDEF 中，O 是其中心，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=n ⃗⃗，用 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 表示 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为 O ，钉尖为 A i （i =1,2,3,4）．(1) 设OA1=a（a>0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．(2) 若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为3√2cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是1+2i，向量20.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2+i，向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是3−i，求点C在复平面内的坐标．BC21.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．22.定义：对于两个非零向量p⃗和q⃗，如果存在不全为零的常数α，β，使αp⃗+βq⃗=0⃗⃗，那么称p⃗和q⃗是线性相关的，否则称p⃗和q⃗是线性无关的．已知a⃗=3i⃗−4j⃗，a⃗+b⃗⃗=4i⃗−3j⃗，试判断a⃗与b⃗⃗的线性关系（相关还是无关），并证明你的结论．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】C【解析】因为(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，所以(a⃗+b⃗⃗)⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗⃗=1+2cosθ=0，解得cosθ=−12，又θ∈[0,π],所以θ=2π3．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】A【解析】由z(1−i)=1+i，得z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i．【知识点】复数的乘除运算4. 【答案】D【解析】在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点的坐标分别为(3,−1)，(−1,2)，则两点间的距离为∣z2−z1∣=√(−1−3)2+[2−(−1)]2=5．【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义5. 【答案】A【解析】由题，x=15×(101+102+105+114+138)=112，y=15×(108+118+117+124+123)=118，所以x<y，由茎叶图可知，乙的成绩更集中，故乙比甲的成绩稳定．【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】因为z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i，所以z=−12−12i，对应点为(−12,−12)，在第三象限．【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算7. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义8. 【答案】A【解析】 z =a+i2−i =(a+i )(2+i )(2−i )(2+i )=2a+(a+2)i+i 24−i 2=2a−1+(a+2)i5，由于点位于第二象限， 所以 {2a −1<0,a +z >0,则 −2<a <12， P =∣∣12−(−2)∣∣∣3−(−3)∣=512．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义9. 【答案】A【解析】在A 中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面， 例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A 错误；在B 中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B 正确； 在C 中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C 正确； 在D 中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D 正确． 【知识点】棱柱的结构特征10. 【答案】A【解析】根据正弦定理，得 sinAsinB =ab =53． 【知识点】正弦定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 ×【知识点】直线与直线的位置关系12. 【答案】 0【知识点】平面向量的数量积与垂直13. 【答案】 ±1【解析】因为 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb⃗⃗ 共线，所以存在实数 λ，使 ka ⃗+b ⃗⃗=λ(a ⃗+kb ⃗⃗)，即 (k −λ)a ⃗=(λk −1)b⃗⃗． 又 a ⃗，b ⃗⃗ 是两个不共线的非零向量，所以 k −λ=λk −1=0． 消去 λ，得 k 2−1=0，所以 k =±1． 【知识点】平面向量的数乘及其几何意义14. 【答案】 −1【解析】 a 2−2ai −1=a 2−1−2ai =2i ，a =−1． 【知识点】复数的乘除运算15. 【答案】 1−2i【解析】设 z =a +bi （a,b ∈R ）， 则 z =a −bi ， 因为 2z +z =3−2i ，所以 2a +2bi +a −bi =3−2i ， 所以 3a =3，b =−2， 解得 a =1，b =−2， 所以 z =1−2i ．【知识点】复数的加减运算16. 【答案】 3【解析】如图所示，取 BC 的中点 D ，AC 的中点 E ，连接 OD ，OE ， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,所以 OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 D ，O ，E 三点共线， 所以 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=32OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 又 DE 为 △ABC 的中位线，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 设在 △ABC 和 △AOC 中，AC 边上的高分别为 ℎ1，ℎ2，则 ℎ1=3ℎ2， 所以 S△ABC S △AOC=3．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义三、解答题（共6题）17. 【答案】从十个小球中随机抽取两个小球，记事件 A 为“两个小球上的数字为相邻整数”，其所有可能的结果为 (1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)，共 18 种．（1）如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，共有 90 种可能的结果， 因此，事件 A 的概率是 1890=15．（2）如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 10 种可能，共有 100 种可能的结果， 因此，事件 A 的概率是 18100=950． 【知识点】古典概型18. 【答案】 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(m ⃗⃗⃗+n ⃗⃗)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗+2n ⃗⃗．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义19. 【答案】(1) 根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4 两两连接后得到的四面体 A 1A 2A 3A 4 为正四面体，延长 A 4O 交平面 A 1A 2A 3 于 B ，则 A 4B ⊥平面A 1A 2A 3，连接 A 1B ，则 A 1B 是 OA 1 在平面 A 1A 2A 3 上的射影， 所以 ∠OA 1B 即为 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角． 设 A 1A 4=l ， 则 A 1B =√33l ． 在 Rt △A 4A 1B 中，A 1A 42=A 1B 2+A 4B 2，即 l 2=(√33l)2+(a +√a 2−(√33l)2)2，所以 l =2√63a ， 故 A 1B =√33×2√63a =2√23a ，cos∠OA 1B =A 1B OA 1=2√23（其中 0<∠OA 1B <π2），所以 ∠OA 1B =arccos2√23， 故 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角的大小为 arccos 2√23．(2) 12A 1A 22⋅√32=3√2，根据（1）可得 A 1A 2=2√63a ，所以 a =√2724cm ，1100⋅100⋅(4a )=4a =2√2164m ． 答：复制 100 枚这种“钉”，共需材料 2√2164米．【知识点】棱锥的结构特征、线面角20. 【答案】因为 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为 (3−i )−(1+2i )=2−3i ， 设 C (x,y )，则 (x +yi )−(2+i )=2−3i ，所以 x +yi =(2+i )+(2−3i )=4−2i ， 故 x =4，y =−2．所以点 C 在复平面内的坐标为 (4,−2)． 【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义21. 【答案】如图设球心为 O ，球的半径为 R ，作 OO 1⊥平面ABC 于点 O 1，则 OA =OB =OC =R ，且 O 1 是 △ABC 的外心，设 M 是 AB 的中点， 因为 AC =BC ， 所以 O 1∈CM ， 所以 O 1M ⊥AB ， 设 O 1M =x ，则 O 1A =√22+x 2，O 1C =CM −O 1M =√62−22−x ． 又 O 1A =O 1C ，所以 √22+x 2=√62−22−x ，解得 x =7√24． 所以 O 1A =O 1B =O 1C =9√24．在 Rt △OO 1A 中，O 1O =R 2，∠OO 1A =90∘，OA =R ， 由勾股定理得 (R 2)2+(9√24)2=R 2，解得 R =3√62， 所以 S 球=4πR 2=54π，V 球=43πR 3=27√6π． 【知识点】球的表面积与体积22. 【答案】线性无关．对照定义，可求得 α=β=0．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义。

第九章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某公司从代理的,,,A B C D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知,,,A B C D 四种产品的数量比是2:3:2:4，则该样本中D 类产品的数量为（ ） A .22件 B .33件 C .40件 D .55件2.已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是（ ） A .1，2，…，106 B .0，1，2，…，105 C .00，01，…，105 D .000，001，…，1053.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[20,60)内的频率为（ ） A .0.11 B .0.5 C .0.45 D .0.554.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，100,[102)，102,[104)，104,[106]，则在区间[98,100)内的频数为（ ）A .10B .30C .20D .405.图甲和图乙分别表示某地区中小学生人数和近视情况.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）图甲图乙A .100，10B .100，20C .200，10D .200，206.某学校高一年级有1 802人，高二年级有1 600人，高三年级有1 499人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ） A .33，33，30 B .36，32，30C .36，33，29D .35，32，31 7.若数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1235,35,,35n x x x +++的平均数和标准差分别为（ ）A . ,x sB .35,x s +C .35,3x s +D .3x +8.如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s 则（ ）ABA .,AB A B x x s s ＞＞B .,A B A B x x s s ＜＞C .A ,B A B x x s s ＞＜D .,A B A B x x s s ＜＜9.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg ），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（ ）A .4:3:1B .5:3:1C .5:3:2D .3:2:110.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数为1234,,,x x x x ，且满足324123x x x x x x ==，后6组的频数123456,,,,,y y y y y y ，且后6组各频数之间差值相同，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为（ ）A .0.27，78B .0.27，83C .2.7，78D .2.7，83二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）A .成绩在[70,80)分的考生人数最多B .不及格的考生人数为1 000C .考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D .考生竞赛成绩的中位数为75分12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） A .平均数3x ≤B .平均数3x ≤且标准差2s ≤C .平均数3x ≤且极差小于或等于2D .众数等于1且极差小于或等于4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：3，3，4，7，9，10，11，12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________.（本题第一空2分，第二空3分）14.1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665~1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度（单位：mm ），数据如下：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140 138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143 134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141则95%分位数是________mm.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组，单位：人）：16.从一堆苹果中任取20个称其重量，它们的质量（单位：克）数据分布如下：则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.15.（1）求x的值；（2）现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？18.（本小题满分12分）从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.试利用频率分布直方图估算：（结果保留小数点后一位）（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.19.（本小题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学,A B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分分别为5，8，9，9，9；B班5名学生得分分别为6，7，8，9，10（单位：分）.请你估计A，B两个班中哪个班的预防知识的问卷得分要稳定一些。

全册综合检测试题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不肯定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个同学在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50个同学的午餐费的平均值和方差分别是( A )A ．7.2,0.56B ．7.2，0.56C ．7,0.6D ．7，0.6解析：依据题意，计算这50个同学午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有很多条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有很多条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，由于侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，由于AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，由于E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，由于F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5， 所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，所以|AF →|＝(32)2＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：由于OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →， 所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|， 则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ， 所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为大事A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，大事A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]．二、多项选择题(每小题5分，共20分)9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的状况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与选购联合会和中储进展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2021年1月至2022年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．依据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2021年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2022年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2022年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2021年1月至4月的仓储指数相对于2022年1月至4月，波动性更大 解析：2021年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2022年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2022年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2021年1月至4月的仓储指数比2022年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个一般职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，假如再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数肯定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个一般职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能略微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1-DEM 的体积的最大值为212 D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 由于DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，依据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52，由于EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确； 由于M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C -A 1DE 的体积是三棱锥M -A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C -A 1DE 的体积V C -A 1DE ＝V A 1-DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时V A 1-DEC 取到最大值26，所以三棱锥M -A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1-DEM 体积的最大值为212，故C 正确；考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1C D ，由于平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ，故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ， 则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°， A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又由于A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ， 故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 冲突，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(每小题5分，共20分)13．随着社会的进展，食品平安问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高同学的食品平安意识，某学校组织全校同学参与食品平安学问竞赛，成果的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的同学总人数为3 000，则成果不超过60分的同学人数大约为900.解析：由题图知，成果不超过60分的同学的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成果不超过60分的同学人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710.解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，共有10种状况．若选出的2名同学恰有1名女生，有6种状况，若选出的2名同学都是女生，有1种状况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：由于OC →＝2OA →＋OB →， 所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎨⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M -EFGH 的体积为23.解析：由于底面EFGH 的对角线EG 与FH 相互垂直， 所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2， 又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半， 即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M -EFGH 的体积： V M -EFGH ＝13×S EFGH×h ＝13×2×1＝23.四、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)某市举方法律学问问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的状况进行统计后，绘制了下表．组号 分组 回答正确的人数回答正确的人数 占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5 第2组 [28,38) 18 a 第3组[38,48) 27 0.9 第4组 [48,58) x 0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a ，x 的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10， 第1组的频率为0.010×10＝0.1， 所以n ＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2， 人数为100×0.2＝20， 所以a ＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25， 人数为100×0.25＝25， 所以x ＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为大事A ，设抽取的6人中，第2组的2人为a 1，a 2，第3组的3人为b 1，b 2，b 3，第4组的1人为c ，则从6人中任意抽取2人全部可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c )，(b 2，b 3)，(b 2，c )，(b 3，c )，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )，共9种．故P (A )＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成果进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成果的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀同学中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)由于样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．大事“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值范围．解：(1)由于sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32， 由于C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4， 所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )] ＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A ) ＝4sin(A ＋π6)，由于A ∈(0，π6)， 所以A ＋π6∈(π6，π3)， 所以sin(A ＋π6)∈(12，32)， 所以3a ＋b 的取值范围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛动身，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.依据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里．(2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314， 故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面P AD ； (2)求证：P A ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD ，如图，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH ，又BG ＝PG ，故GH ∥PD ，又由于GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ， 所以GH ∥平面P AD .(2)证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，如图，依题意，得DN ⊥PC ， 又由于平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ，所以DN ⊥平面P AC ，又P A ⊂平面P AC ，故DN ⊥P A ，又由于P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ，所以P A ⊥平面PCD .(3)连接AN ，如图，由(2)中DN ⊥平面P AC ， 可知∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角． 由于△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点， 所以DN ＝3，又DN ⊥AN ， 在Rt △AND 中，sin ∠DAN ＝DN AD ＝33，所以直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 为正三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ＝2AD ＝4.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AD ； (2)求三棱锥P -ABC 的体积；(3)在棱PC 上是否存在点E ，使得BE ∥平面P AD ？若存在，请确定点E 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由于AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 所以CD ⊥AD .由于平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面P AD . 由于CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面P AD .(2)取AD 的中点O ，连接PO ，如图．由于△P AD 为正三角形，所以PO ⊥AD .由于平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 为三棱锥P -ABC 的高．由于△P AD 为正三角形，CD ＝2AB ＝2AD ＝4，所以PO ＝3，所以V 三棱锥P -ABC ＝S △ABC ·PO ＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC 上存在点E ，当E 为PC 的中点时， BE ∥平面P AD .证明：如图，分别取CP ，CD 的中点E ，F ， 连接BE ，BF ，EF ，所以EF ∥PD . 由于AB ∥CD ，CD ＝2AB ， 所以AB ∥FD ，AB ＝FD ，所以四边形ABFD 为平行四边形，所以BF ∥AD . 由于BF ∩EF ＝F ，AD ∩PD ＝D ， 所以平面BEF ∥平面P AD .由于BE ⊂平面BEF ，所以BE ∥平面P AD .。

综合质量评估(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心到直线的距离d=错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

>2,所以直线与圆相离.【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关【解析】选 A.对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.3.(2015·乌海高一检测)已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( ) A.错误！未找到引用源。

B.3错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.所以两圆的圆心距为错误！未找到引用源。

=5,又r1+r2=5,所以两圆外切.5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-错误！未找到引用源。

点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设a、b为两条直线α、β为两个平面则正确的命题是()【09960089】A．若a、b与α所成的角相等则a∥bB．若a∥αb∥βα∥β则a∥bC．若a⊂αb⊂βa∥b则α∥βD．若a⊥αb⊥βα⊥β则a⊥b【解析】A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．【答案】 D2．(2016·山西山大附中高二检测)如图1在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图连接A1B、BC1、A1C1则A1B＝BC1＝A1C1且EF∥A1B、GH∥BC1所以异面直线EF与GH所成的角等于60°【答案】 B3．设l为直线αβ是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥αl∥β则α∥βB．若l⊥αl⊥β则α∥βC．若l⊥αl∥β则α∥βD．若α⊥βl∥α则l⊥β【解析】选项A平行于同一条直线的两个平面也可能相交故选项A错误；选项B垂直于同一直线的两个平面互相平行选项B正确；选项C由条件应得α⊥β故选项C错误；选项D l与β的位置不确定故选项D错误．故选B【答案】 B7．(2015·洛阳高一检测)如图2△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且∠BAC＝60°下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由题可知AD⊥BDAD⊥DC所以AD⊥平面BDC又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形所以AB＝ACBD＝DC＝22AB又∠BAC＝60°所以△ABC为等边三角形故BC＝AB＝2BD所以∠BDC＝90°即BD⊥DC所以BD⊥平面ADC同理DC⊥平面ABD所以A、B、C项均正确．选D【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12底面对角线的长为26则侧面与底面所成的二面角为() A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23高为3在底面正方形的任一边上取其中点连接棱锥的顶点及其在底面的射影根据二面角定义即可判定其平面角在直角三角形中因为tan θ＝3(设θ为所求平面角)所以二面角为60°选C【答案】 C9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角M为CD的中点则∠AMD 的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】 如图设正方形边长为a 作AO ⊥BD 则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a又AD ＝aDM ＝a2∴AD 2＝DM 2＋AM 2∴∠AMD ＝90° 【答案】 D10．在矩形ABCD 中若AB ＝3BC ＝4P A ⊥平面AC 且P A ＝1则点P 到对角线BD 的距离为( )A 292B 135C 175D 1195【解析】 如图过点A 作AE ⊥BD 于点E 连接PE∵P A ⊥平面ABCDBD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BD ∴BD ⊥平面P AE ∴BD ⊥PE∵AE ＝AB ·AD BD ＝125P A ＝1 ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135 【答案】 B11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直体积为94底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【09960090】A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】如图所示P为正三角形A1B1C1的中心设O为△ABC的中心由题意知：PO⊥平面ABC连接OA则∠P AO即为P A与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC中AB＝BC＝AC＝ 3则S＝34×(3)2＝334VABC-A1B1C1＝S×PO＝94∴PO＝ 3又AO＝33×3＝1∴tan ∠P AO＝POAO＝3∴∠P AO＝60°【答案】 B12．正方体ABCD-A1B1C1D1中过点A作平面A1BD的垂线垂足为点H以下结论中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BDBD⊂平面A1BD所以BD⊥AH又BD⊥AA1且AH∩AA1＝A所以BD⊥平面AA1H又A1H⊂平面AA1H所以A1H⊥BD同理可证BH⊥A1D所以点H是△A1BD的垂心A正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1所以AH⊥平面CB1D1B正确．易证AC1⊥平面A1BD因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直所以AC1和AH重合．故C正确．因为AA1∥BB1所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°所以∠A1AH≠45°故D错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面βA、C∈αB、D∈β直线AB与CD交于点S 且点S位于平面αβ之间AS＝8BS＝6CS＝12则SD＝________【解析】由面面平行的性质得AC∥BD ASBS＝CSSD解得SD＝9【答案】914．如图3四棱锥S-ABCD中底面ABCD为平行四边形E是SA上一点当点E满足条件：________时SC∥平面EBD图3【解析】当E是SA的中点时连接EBEDAC设AC与BD的交点为O连接EO∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是AC的中点．又E是SA的中点∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC∵SC⊄平面EBDOE⊂平面EBD∴SC∥平面EBD【答案】E是SA的中点15．如图4所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是棱AA1和AB上的点若∠B1MN是直角则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN⊂平面A1ABB1∴B1C1⊥MN又∠B1MN为直角∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1∴∠C 1MN ＝90° 【答案】 90°16．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形P A ⊥底面ABCD 点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】 由条件可得AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC得PB ⊥平面ABCD 从而P A ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝12CD ·PDS △P AB ＝12AB ·P A由AB ＝CDPD >P A 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点 可得EF ∥CD 又AB ∥CD∴EF ∥AB 故AE 与BF 共面④错． 【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示已知△ABC 中∠ACB ＝90°SA ⊥平面ABCAD ⊥SC 求证：AD ⊥平面SBC图5【证明】∵∠ACB＝90°∴BC⊥AC又∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC∵SA∩AC＝A∴BC⊥平面SAC∴BC⊥AD又∵SC⊥ADSC∩BC＝C∴AD⊥平面SBC18．(本小题满分12分)如图6三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直AC＝9BC＝12AB＝15AA1＝12点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC＝9BC＝12AB＝15∴AC2＋BC2＝AB2∴AC⊥BC又BC∩C1C＝C∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于O点连接OD如图∵OD分别为BC1AB的中点∴OD∥AC1又OD⊂平面CDB1AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1 19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示P是正方形ABCD对角线的交点G是PB的中点．(1)根据三视图画出该几何体的直观图；(2)在直观图中①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接ACBD交于点O连接OG因为G为PB的中点O为BD 的中点所以OG ∥PD②连接PO 由三视图知PO ⊥平面ABCD 所以AO ⊥PO又AO ⊥BO 所以AO ⊥平面PBD因为AO ⊂平面AGC所以平面PBD ⊥平面AGC20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直EF ∥ACAB ＝2CE ＝EF ＝1图8(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE【09960091】【证明】 (1)如图设AC 与BD 交于点G因为EF ∥AG 且EF ＝1AG ＝12AC ＝1所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG因为EG⊂平面BDEAF⊄平面BDE所以AF∥平面BDE(2)连接FG∵EF∥CGEF＝CG＝1∴四边形CEFG为平行四边形又∵CE＝EF＝1∴▱CEFG为菱形∴EG⊥CF在正方形ABCD中AC⊥BD∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直∴BD⊥平面CEFG∴BD⊥CF又∵EG∩BD＝G∴CF⊥平面BDE21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9三棱台DEF-ABC 中AB＝2DEGH分别为ACBC的中点．图9(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BCAB⊥BC求证：平面BCD⊥平面EGH【解】(1)证法一：连接DGCD设CD∩GF＝M连接MH在三棱台DEF-ABC中AB＝2DEG为AC的中点可得DF∥GCDF＝GC所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点．又H为BC的中点所以MH∥BD又MH⊂平面FGHBD⊄平面FGH所以BD∥平面FGH 证法二：在三棱台DEF-ABC中由BC＝2EFH为BC的中点可得BH∥EFBH＝EF所以四边形BHFE为平行四边形可得BE∥HF在△ABC中G为AC的中点H为BC的中点所以GH∥AB又GH∩HF＝H所以平面FGH∥平面ABED因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH(2)连接HE因为GH分别为ACBC的中点所以GH∥AB由AB⊥BC得GH⊥BC又H为BC的中点所以EF∥HCEF＝HC因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE又CF⊥BC所以HE⊥BC又HEGH⊂平面EGHHE∩GH＝H所以BC⊥平面EGH又BC⊂平面BCD所以平面BCD⊥平面EGH22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示ABCD是正方形O是正方形的中心PO⊥底面ABCD底面边长为aE是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点∴OE∥P A∵OE⊂平面BDEP A⊄平面BDE∴P A∥平面BDE∵PO⊥平面ABCD∴PO⊥BD在正方形ABCD中BD⊥AC又∵PO∩AC＝O∴BD⊥平面P AC又∵BD⊂平面BDE∴平面P AC⊥平面BDE(2)取OC中点F连接EF∵E为PC中点∴EF为△POC的中位线∴EF∥PO又∵PO⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵OF ⊥BD ∴OE ⊥BD∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角 ∴∠EOF ＝30°在Rt △OEF 中OF ＝12OC ＝14AC ＝24a∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ∴OP ＝2EF ＝66a∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3。

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．(2019年河南二模)已知复数z ＝2＋a i(a ∈R )，若|(1－i)z |＝4，则a 的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．0D ．±1【答案】B 【解析】∵z ＝2＋a i ，∴(1－i)z ＝(1－i)(2＋a i)＝(2＋a )＋(a －2)i ，由|(1－i)z |＝4，得(2＋a )2＋(a －2)2＝4，解得a ＝±2.故选B ．2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则sin B ＝( ) A ．13B ．23C ．23D ．223【答案】A 【解析】由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13.3．(2019年淄博月考)样本量为100的样本数据被分为6组，如表：第5组的频率是(A ．0.15 B ．0.16 C ．0.18D ．0.20【答案】B 【解析】由图表可知，第5组的频数为100－14－17－18－20－15＝16，∴第5组的频率为16100＝0.16.故选B ．4．(2019年南昌期末)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|a ＋b|＝7，|a －b|＝3，则|b|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B 【解析】∵|a|＝1，|a ＋b|＝7，|a －b|＝3，∴(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)＝2＋2b 2＝10，∴b 2＝4，∴|b|＝2.故选B ．5．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D 【解析】根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4.∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选D ．6．(2019年河南月考)市场调查发现，大约45的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为1720，而实体店里的家用小电器的合格率约为910.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是( )A ．67B ．56C ．45D ．25【答案】A 【解析】由题意，网上购买的家用小电器被投诉的概率为45×⎝⎛⎭⎫1－1720＝12100，实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－910＝2100，故所求概率为p ＝1210012100＋2100＝67.故选A ．7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C 【解析】设在△ABC 中，a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513，∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥A -BCD 中，△ABC 与△BCD 都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为2015π，则△ABC 边长为( )A ．332 B ．634 C ．633D ．6【答案】D 【解析】如图，取BC 中点M ，连接AM ，DM .设等边三角形ABC 与等边三角形BCD 的外心分别为N ，G ，三棱锥外接球的球心为O ，连接OA ，OD ，ON ，OG .由V ＝4π3R 3＝2015π，得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ，则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ，AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中，由ON 2＋AN 2＝R 2，得a 212＋a 23＝15，解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥，则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD 【解析】若事件A 与事件B 互斥，则有可能P (A )＋P (B )<1，故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件，且P (A )＝0.5，则满足P (A )＋P (B )＝1，但事件A 与事件B 不是对立事件，B 不正确；互斥不一定对立，对立一定互斥，故C 正确；某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立，D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】ABC 【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD 【解析】由AB →＝2a ，得a ＝12AB →，又AB ＝2，所以|a|＝1，即a 是单位向量，A 正确；a ，b 的夹角为120°，B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ，所以BC →＝b ，C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a·b ＋b 2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0，D 正确．故选ACD ．12．如图，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则( )A ．三棱锥A -D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD 【解析】连接BD 交AC 于点O ，连接DC 1交D 1C 于点O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以三棱锥P -AD 1C 的体积不变，又因为V 三棱锥P -AD 1C ＝V 三棱锥A -D 1PC ，所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ，所以A 1P ∥平面ACD 1，B 正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1，所以DB 1⊥平面AD 1C ，又因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，D 正确．故选ABD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知复数z ＝1＋3i1－i，z 为z 的共轭复数，则z 的虚部为________．【答案】－2 【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i2＝－1＋2i ，得z ＝－1－2i ，∴复数z 的虚部为－2.14．(2019年郑州高一期末)水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，这5个班级中抽取的人数分别为5，a,7,7,10，若把每个班级抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，则样本数据中的方差是________．【答案】2.8 【解析】由15×(5＋a ＋7＋7＋10)＝7，得a ＝6.所以样本数据的方差s 2＝15×[(5－7)＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(10－7)2]＝2.8.15．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2，A ＝45°，a ＝2，则c ＝________.【答案】4105 【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2，得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab ＝2cosC ＝－2cos(A ＋B )，整理，得3cos A cos B ＝sin A sin B ，所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°，所以tan A ＝1，tan B ＝3.由sin B cos B ＝3，sin 2B ＋cos 2B ＝1，得sin B ＝31010，cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫31010＋1010＝255.由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．(2020年北京期末)在平行四边形ABCD 中，已知AB →·AC →＝AC →·AD →，|AC →|＝4，|BD →|＝2，则四边形ABCD 的面积是________．【答案】4 【解析】如图，∵AB →·AC →＝AC →·AD →，∴AB →·(AB →＋AD →)＝(AB →＋AD →)·AD →，∴AB →2＋AB →·AD →＝AD →2＋AB →·AD →，∴AB →2＝AD →2，∴|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 为菱形．又|AC →|＝4，|BD →|＝2，∴四边形ABCD 的面积为12×4×2＝4.四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R )，若|z |＝2，且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i ，|z |＝2，∴m 4＋m 2＝2，得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限，∴m ＝－1，即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i ，∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. ∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3，b ＝4.18．(2019年揭阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积S ＝3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即12＝a 2＋b 2－42ab，化简得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为12ab sin C ＝3，所以ab ＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋sin B cos A －cos B sin A ＝2sin A cos A ， 化简得sin B cos A ＝sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，△ABC 为直角三角形．当cos A ≠0时，得sin B ＝sin A ，即b ＝a ，△ABC 为等腰三角形．19．(2019年重庆期末)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，底面ABCD 是边长为3的正方形，E ，F ，G 分别是棱AB ，PB ，PC 的中点，P A ＝6，∠P AD ＝60°.(1)求证：平面EFG ∥平面P AD ； (2)求三棱锥B -EFG 的体积．解：(1)证明：∵E ，F ，G 分别是棱AB ，PB ，PC 的中点， ∴EF ∥P A ，FG ∥BC ．∵底面ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ．∴AD ∥FG . ∵AD ⊂平面P AD ，FG ⊄平面P AD ，∴FG ∥平面P AD ． 同理可证EF ∥平面P AD ．又EF ∩FG ＝F ，∴平面EFG ∥平面P AD ．(2)∵底面ABCD 是正方形，∴AB ⊥AD ． ∵P A ⊥AB ，且AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD ． 由(1)知平面EFG ∥平面P AD ，∴BE ⊥平面EFG . ∴V B -EFG ＝13S △EFG ·BE .易知∠EFG ＝120°，EF ＝12P A ＝3，FG ＝12BC ＝32，BE ＝12AB ＝32.∴S △EFG ＝12·EF ·FG ·sin ∠EFG ＝938.∴V B -EFG ＝13×938×32＝9316.20．(2020年昆明月考)某冰糖橙为甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如表：(1)(2)按照分层抽样的方法，从这100箱橙子中抽取10箱，试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起，再从中抽取2箱，求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知，样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)．(2)依题意，珍品抽到110×40＝4(箱)，特级抽到110×30＝3(箱)，优级抽到110×10＝1(箱)，一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱，编号为A 1，A 2，A 3，抽到的一级有2箱，编号为B 1，B 2. 从中抽取2箱，有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种可能，两种等级均有的有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)共6种可能，∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数f (x )＝a·b . (1)若函数f (x )的最小正周期为π，求ω的值；(2)在(1)的条件下，已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，且a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3(cos 2ωx ＋1)2＋sin 2ωx 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， ∴2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. ∵f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π，得π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝2π3，解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－bc . 联立b ＋c ＝5，得bc ＝3.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户，五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴6x ＝0.05，解得x ＝120.(2)设中位数为a ，则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5，∴a ＝953≈32，则中位数为32.(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

第九章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下面抽样方法是简单随机抽样的是（）A ．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B ．从仓库中的1 000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查C ．从某连队200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D ．从l0个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）2．对某校1 200名学生的耐力进行调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500 m 跑步的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（ ）A ．l20名学生B ．1200名学生C ．120名学生的成绩D ．1200名学生的成绩3．简单随机抽样和分层随机抽样之间的共同点是（ ）A ．都是从总体中逐个抽取的B ．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C ．抽样过程中每个个体被抽到的机会相等D ．将总体分成几层，然后各层按照比例抽取4．某市有大型、中型与小型商店共1 500家，它们的数量之比为l:5:9，用分层随机抽样的方法抽取其中的30家进行调查，则中型商店应抽取（ ）A ．10家B ．18家C ．2家D ．20家5．抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ）A ．88.5B ．89C ．91D ．89.56．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图9-4-1，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x 甲，x 乙，标准差分别为s 甲，s 乙，则（）A ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＜B ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＞C ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＜D ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＞7．某校高中三个年级的人数扇形统计图如图9-4-2所示，按年级用分层随机抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本量为（）A ．24B ．30C ．32D ．358．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表2635790033709160162038827757495032114919730649167677873399746732274861987164414870862888851916207477011l 163024042979799196835125A ．3B ．16C ．38D ．499．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（ ）甲：8121327243722202526乙：9141311181920212123A ．甲的极差是29B ．甲的中位数是25C ．乙的众数是21D ．甲的平均数比乙的大10．某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，高中生中男生、女生人数之比为3:7，初中生中男生、女生人数之比为6:4，为了解学生的学习状况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从初中生中抽取男生12人，则从高中生中抽取女生的人数是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．2111．如果一组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 1+2，…n + ）A ，2s B +，2sC +，23s D +212．在去年某地区的足球比赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4．下列说法：①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球，其中正确的有（）A．l个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某种福利彩票的中奖号码是从1~36个号码中，选出7个号码来按规则确定中奖情况，从36个号码中选出7个号码，适宜的抽样方法是________．14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．15．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”、现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的相关记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2这三地肯定进入夏季的地区有________个．16．某校为了解本校中、老年教师的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从中年教师中抽取20人，从老年教师中抽取10人参加体检，经医院反馈信息知某项体检指标：中年教师均值为90，方差为4，老年教师均值为96，方差为6．据此估计该校中、老年教师该项指标的方差为________．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）某电视台举行颁奖典礼，邀请来自三个地区的20名演员演出，其中从30名A地区演员中随机挑选10人，从18名B地区演员中随机挑选6人，从10名C地区演员中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的演员，并确定他们的表演顺序．18．（12分）某市组织了一次普法知识竞赛，从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，统计如下：甲单位职工的成绩（分）8788919193甲单位职工的成绩（分）8589919293根据表中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对法律知识的掌握更为稳定．19．（12分）某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个．为挑选优秀团队，现用分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个．（1）应从大三中抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？20．（12分）某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护仍是百姓最为关心的问题，参与调查者中关注此问题的约占80%现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,56，得到的频率分布直方图如图9-4-3所示。

新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。