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棱锥棱台的结构特征
棱锥和棱台是几何图形中的一种，它们有着特殊的结构特征。
棱锥是
一种三维图形，由一个多边形的底面和与底面连接的直线段（称为侧面）
组成。
而棱台则是一种棱锥的特殊情况，它的底面和顶面是相同的多边形。
下面将对棱锥和棱台的结构特征进行详细描述。
1.棱锥的结构特征：
棱锥的底面是一个多边形，它可以是任意形状的多边形，如三角形、
四边形、五边形等。
棱锥的顶点称为顶点，它是由底面直线段的所有端点
连接而成。
棱锥的侧面由顶点和底面上的各个点以直线段连接而成，每个
侧面都是一个三角形。
2.棱台的结构特征：
棱台是一种特殊的棱锥，它的底面和顶面是相同的多边形。
棱台的底
面和顶面可以是任意形状的多边形，如三角形、四边形、五边形等。
棱台
的侧面是由底面和顶面上的各个点以直线段连接而成，每个侧面都是一个
梯形或者矩形。
总结：
棱锥和棱台的结构特征可以归纳为以下几点：
1.棱锥由一个底面和连接底面和顶点的直线段组成，侧面为三角形。
2.棱台是一种特殊的棱锥，其底面和顶面相同，侧面为梯形或矩形。
3.棱锥和棱台的底面可以是任意形状的多边形，如三角形、四边形等。
4.棱锥和棱台的顶点为连接底面各个点的直线段的交点。
5.棱锥和棱台的侧面为由底面和顶面上的各个点以直线段连接而成的三角形、梯形或矩形。
棱锥和棱台在几何学中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程测量和计算几何等领域。
他们的结构特征使得它们成为解决空间问题的重要工具，并且在实际应用中具有较高的实用价值。
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征参考答案知识点1．空间几何体(1)空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)多面体定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．1．判断下列命题．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等．()(2)五棱锥只有五条棱．()解析：(1)根据四棱锥的结构特征可知，(1)错误．(2)五棱锥有十条棱，其中五条侧棱，(2)错误．答案：(1)×(2)×2．下列几何体中是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C．观察图形可知，①③⑤是棱柱，其他的几何体不是棱柱．3．下列命题正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台解析：选C．由棱柱的定义可知，A，B不正确，C正确，而根据棱台的定义可知，D不正确．4．由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形的几何体是________．解析：由棱柱的定义和其分类可知该几何体是五棱柱．答案：五棱柱几何体的概念理解与应用(1)下面描述中，不是棱锥的结构特征的为()A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱相交于一点(2)下列说法中正确的是()A．有一个面是平行四边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥[解析](1)根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形．(2)根据棱柱的结构特征可知，A，B不符合，所以A，B错误；C不符合棱台的结构特征，所以错误；D满足棱锥的定义，正确．[答案](1)B(2)D1．下列三个命题中，正确的有()①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④五棱台的各侧棱的延长线可能无法交于一点．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A．①错误．底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行，但不能作为底面．②错误．如图所示的几何体各面均为三角形，但不是棱锥．③错误．因为不能保证侧棱相交于同一点．④错误．棱台的侧棱延长后一定相交于同一点．几何体的结构特征如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？你能说出它们的名称吗？[解]根据棱柱的几何特征可知：剩下的几何体为五棱柱ABFEA′-DCGHD′，截去的几何体为三棱柱EFB′-HGC′.(3)棱柱、棱锥、棱台之间的关系：棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形，它们的关系如图所示：2．下面的多面体是棱台的有________个．解析：由棱台的定义和结构特征可知三个几何体都不是棱台．答案：0下图中能围成正方体的是________．(填序号)[解析]根据展开图的特点和正方体的结构特征，能围成正方体的是①②③.[答案]①②③3．如图是三个几何体的平面展开图，则原几何体应为：(1)________________；(2)________________； (3)________________．解析：由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台． 答案：(1)五棱柱 (2)五棱锥 (3)三棱台如图(1)所示，在侧棱长为23的正棱锥V -ABC (底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心)中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过A 作截面△AEF ，求截面△AEF 周长的最小值．[解] 将三棱锥沿侧棱VA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图(2)所示， 线段AA 1的长为所求△AEF 周长的最小值． 取AA 1的中点D ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°，可求AD ＝3，则AA 1＝6.A 组训练1．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( ) A ．棱柱 B ．棱锥 C ．棱台 D ．一定不是棱柱、棱锥解析：选D ．两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，这样的多面体有可能是棱台，不可能为棱柱、棱锥． 2．(2014·聊城高一检测)下列说法正确的是( ) A ．棱锥的侧面不一定是三角形 B ．棱锥的各侧棱长一定相等C ．棱台的各侧棱的延长线交于一点D ．用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台 解析：选C ．由棱台的结构特征可知棱台的侧棱的延长线交于一点． 3．如图，下列能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1 解析：选C ．因为三棱台的上、下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则△A 1B 1C 1∽△ABC ，所以A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC.4．如图，判断下列四个长方体，哪一个是由所给平面展开图围成的几何体( )解析：选D．根据所给平面展开图及涂色的对应关系，可知D是由所给平面图形围成的．5. 下列叙述，其中正确的有()①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A．根据棱台、棱锥的定义和结构特征可知①②③都不正确．6．一个棱柱至少有________个面，面数最少的棱柱有________条棱，有________条侧棱，有________个顶点．解析：根据棱柱的定义可知，三棱柱为面数最少的棱柱，其中有5个面，9条棱，3条侧棱，6个顶点．答案：593 67. 如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是______c m.解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别是1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：138．(2014·临沂高一检测)如图，在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．①矩形②不是矩形的平行四边形③每个面都是等边三角形的四面体解析：在正方体中任意选择4个顶点，可以是矩形，例如ABC1D1.可以是每个面都是等边三角形的四面体例如A1C1DB．答案：①③9．试用两个平面将如图所示的三棱台分成三个三棱锥．解：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC-A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′-ABC，B-A′B′C′，A′-BCC′(答案不唯一)．10. 如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？解：依题意，长方体ABCD-A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．展开后，A，C1两点间的距离分别为：（3＋4）2＋52＝74(cm)，（5＋3）2＋42＝45(cm)，（5＋4）2＋32＝310(cm)，三者比较得74 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．B组训练1．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱的对角线共有()A．20条B．15条C ．12条D ．10条解析：选D ．正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D ．2．一个棱柱有12个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm. 解析：因为棱柱有12个顶点，故该棱柱为六棱柱，每条侧棱长为60÷6＝10(cm)． 答案：103．已知三棱台ABC -A 1B 1C 1的上、下底面均为等边三角形，边长分别为3和6，平行于底面的截面将侧棱分为1∶2两部分，求截面的面积． 解：如图所示．延长A 1A ，B 1B ，C 1C 交于点S ，设截面为A 2B 2C 2.由题意知A 2A ∶A 1A 2＝1∶2，SASA 1＝AB A 1B 1＝12，所以SA SA 2＝34.因为AB ＝3，所以A 2B 2＝4，所以S △A 2B 2C 2＝12×32×16＝4 3. 4．如图，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②，③，④，⑤的木块．(1)我们知道，正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图②，③，④，⑤的木块(2)F 之间的关系； (3)看图⑥中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确． 解：(1)通过观察各几何体(2)由特殊到一般，(3)该木块的顶点数为10，面数为7，棱数为15，有10＋7－15＝2，与(2)中归纳的数量关系式“V ＋F －E ＝2”相符．。
棱柱、棱锥、棱台的结构特征[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.知识点一空间几何体1.概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.2.多面体与旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形知识点二棱柱、棱锥、棱台的结构特征平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的如图可记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′底面的面侧面：其余各面侧棱：顶点：顶点边形，其余各面都是有一个公共顶点的底面侧面：三角形面用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之.如图可记作：棱台ABCD-A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：顶点：侧面与上的公共顶点思考(1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？(2)棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？答(1)根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.(2)根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.题型一棱柱的结构特征例1下列说法中，正确的是()A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案 D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.跟踪训练1下列关于棱柱的说法错误．．的是()A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面答案 C解析对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.题型二棱锥、棱台的结构特征例2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.跟踪训练2下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等.A.①②B.①③C.②③D.②④答案 B解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错.题型三多面体的表面展开图例3画出如图所示的几何体的表面展开图.解表面展开图如图所示：跟踪训练3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱；(2)为五棱锥；(3)为三棱台.截面周长最小问题例4 如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过点A 作截面AEF 分别交VB ，VC 于点E ，F ，求截面△AEF 周长的最小值.分析 将正三棱锥沿侧棱VA 展开→求截面周长转化为求线段长→ 利用正三棱锥的性质求解解 将三棱锥V －ABC 沿侧棱VA 剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示，则△AEF 的周长＝AE ＋EF ＋F A 1. 因为AE ＋EF ＋F A 1≥AA 1，所以线段AA 1(即A ，E ，F ，A 1四点共线时)的长即为所求△AEF 周长的最小值.作VD ⊥AA 1，垂足为点D . 由VA ＝VA 1，知D 为AA 1的中点. 由已知∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA 1＝40°， 得∠AVD ＝60°.在Rt △AVD 中，AD ＝VA sin 60°＝23×32＝3， 即AA 1＝2AD ＝6.所以截面△AEF 周长的最小值是6.1.下列命题中，真命题是( )A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥2.下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中，正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个3.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A.①③B.②④C.③④D.①②4.下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台(仅填相应序号).5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.一、选择题1.下列四个命题中，真命题有()①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的直平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④直平行六面体是长方体.A.1个B.2个C.3个D.4个2.一般棱台不具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点3.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为()A.20B.15C.12D.104.某棱台的上、下底面对应边之比为1∶2，则上、下底面面积之比是()A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶15.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1∶4，且截去的棱锥的高是3 m，则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm6.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()7.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE＋BF是定值.其中，正确的说法是()A.①②B.①C.①②③D.①③8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________cm.9.下列叙述正确的是________.(只填序号)①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；②三棱锥的四个面都可以是直角三角形；③用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.11.如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为______.12.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？13.长方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.当堂检测答案1.答案 D解析对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若P A＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△P AB，△PBC，△P AC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.2.答案 A解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故②错；③用反例验证(如图)，故③错.3.答案 C解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.4.答案①③④⑥⑤解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.5.答案四棱柱解析由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析根据平行六面体的定义，知①为真命题；根据长方体的定义，知②为真命题；直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，所以其底面必是平行四边形，而直四棱柱的底面不一定是平行四边形，所以③为假命题；同理，长方体是底面为矩形的直平行六面体，所以④为假命题.2.答案 C解析当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.3.答案 D解析正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.4.答案 B解析因为棱台的上下底面相似，所以上下底面面积之比等于边长比的平方.5.答案 D解析由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积比为1∶4，所以上、下底面的边长比为1∶2，所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2，则棱台的高是3 cm.6.答案 A解析两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定.7.答案 D解析显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH 的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确.所以四个命题中①③正确.故选D.二、填空题8.答案13解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.答案①②解析如图，当四棱锥的底面是一个矩形，并且一条侧棱垂直于底面时，四棱锥的四个侧面就可以都是直角三角形，所以①是正确的；如图，当三棱锥满足侧棱AD⊥底面DCB(其中△BCD中，∠BCD是直角)时，三棱锥的四个面就都是直角三角形，所以②是正确的；③中的平面不一定平行于底面，所以③是错误的；若④中多面体的侧棱延长后不能交于一点，则相应的多面体就不是棱台，所以④是错误的.10.答案①③④⑤解析在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.11.答案 2解析如图所示，将三棱锥S－ABC沿SA剪开，连接AA′，则AA′为最短距离，∠ASA′＝90°，SA＝SA′＝1，∴AA′＝ 2.三、解答题12.解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－12a2－a2－a2＝32a2.13.解把长方体的部分面展开，如图所示.再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.。
