江西省抚州一中等八校2014届高三第二次联考数学理试题 Word版含答案

江西省新八校2014-2015学年度第二次联考高三数学理科试题卷参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

ACADA BCDAD CA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上.13.7114．023=+-y x 15.π10 16．),21[+∞-三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把答案做在答题卡上.17.解：（1）()1cos(2)3cos 21sin 23cos 212sin(2).23f x x x x x x ππ⎡⎤=-+-=+-=+-⎢⎥⎣⎦----3分 又,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则32326πππ≤-≤x ，故当232x ππ-=， 即512x πα==时，max () 3.f x = -------------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知123A ππα=-=，由2sin sin sin B C A =即2bc a =，又222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-， 则22b c bc bc +-=即2()0b c -=，故0.b c -= c b =∴ 又123A ππα=-=所以三角形为等边三角形. 12分18.解：（1）依题意可得，任意抽取一位市民会购买口罩的概率为41， 从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为43． 设“至少有一位市民会购买口罩”为事件A ，则，()6437642714313==⎪⎭⎫⎝⎛=--A P ，故至少有一位市民会购买口罩的概率6437． --------------------- 5分 （2）X 的所有可能取值为：0,1，2，3，4．-------------------------------6分()25681430404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()642725610841431314==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ()1282725654414322224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()6432561241433334==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()25614144=⎪⎭⎫⎝⎛==X P 所以X 的分布列为：X0 1 234P256816427 12827 643 2561 ---------------------------------------------------------------- 10分 ()125614643312827264271256810=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 12分 或⎪⎭⎫ ⎝⎛414，B ~X ，1==∴np EX -----------------------------12分19．【解析】【方法一】（1）证明：由题意知23,D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥= 面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥ 面在面内，（6分） （2）过E 作EH CD ⊥交CD 于H ，再过H 作HN ⊥AB 交AB 于N ，连结EN ，则AB EN ⊥，故ENH ∠为所求角。

江西省名校联盟2014届高三12月调研考试数学试卷（理科）考试范围集合与简单逻辑用语、函数与初等函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几何、解析几何，概率（直线，直线与圆的位置关系部分，可少量涉及圆锥曲线）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|ln(1)}M x y x ==-，集合{|,}xN y y e x R ==∈（e 为自然对数的底数）则M ∩N ＝A. {|1}x x <B. {|1}x x >C. {|01}x x <<D. ∅2. 已知等比数列{}n a 中，1234532a a a a a =，且118a =，则7a 的值为A. 4B. －4C. ±4D. ±3. 如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为12，则主视图中三角形的高x 的值为A.12B.34C. 1D.324. “22a b >”是“ln ln a b >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知函数1y x =与1,x y =轴和x e =所围成的图形的面积为M ，N ＝2tan 22.51tan 22.5︒-︒，则程序框图输出的S 为A. 1B. 2C.12D. 06. 设[,]22x ππ∈-，则()cos(cos )f x x =与()sin(sin )g x x =的大小关系是 A. ()()f x g x < B. ()()f x g x > C. ()()f x g x ≥D. 与x 的取值有关7. 已知实数x ，y 满足222242(1)(1)(0)y x x y y x y r r ≤⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪++-=>⎩，则r 的最小值为A.B. 1C.D.8. 随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具。

一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．若集合{}3,2,1,0=A ，集合{}A x A x xB ∉-∈-=1,，则集合B 的元素的个数为 （ ）A . 1B . 2C . 3D . 4 2．设i 为虚数单位，则ii3223-+=（ ） A.1 B.1- C.i D.i -3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不．是（ ）4．已知)3,1,2(-=a ，)2,4,1(--=b ，),5,7(λc =，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于（ ）A.762 B.763 C.764 D.765 5．已知数列{}n a 是等比数列，且dx x a a ⎰-=+22201520134，则)2(2016201420122014aa a a ++的值为（ ）A . 2π B . π2 C . π D . 24π6．从编号为001,002,……,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（ ） A. 480 B. 481 C. 482 D. 483 7．下图是一个算法的流程图，最后输出的=x ( )A ．4-B ．7-C ．10-D ．13-8．二项式n xi x )(2-展开式中的第三项与第五项的系数之比为143-，其中i 为虚数单位，则展开式的常数项为（ ）A . 72B . i 72-C .45D .i 45-9．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，21ΔF PF 的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，则线段OB 的长度为（ ）A ．b B. a C ．eb D ．ea10．右图是某果园的平面图，实线部分EF DF DE 、、游客观赏道路，其中曲线部分EF 是以AB 为直径的半圆上的一段弧，点O 为圆心，ABD ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，其中2＝AB 千米，x FOB EOA 2＝＝∠∠(40π<<x ),若游客在路线DF DE 、上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF 上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”y 是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映y 与x 的函数关系的是（ ）二、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分. 11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为4cos =θρ的直线与曲线⎩⎨⎧==32ty t x （t 为参数）相交于B A ,两点,则||AB =（ ）A.13B.14C.15D.1611．（2）（不等式选做题）若不等式2)|2||1(|log 2≥--++m x x 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A . ]3,(--∞B . ]1,3[--C . ]3,1[-D . ]1,(--∞三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.12．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，若p P =>)1(ξ,则=<<-)01(ξP __________.13．设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+011y x y x y ,则1+y x 的取值范围是__________.14．已知⎩⎨⎧≤<-≤=)0(,sin 2),0(,)(2πx x x x x f ，若3)]([0=x f f ，则=0x __________.15．已知一正整数的数阵如下图所示(从上至下第1行是1，第2行是3、2，......)，则数字2014是从上至下第__________行中的从左至右第__________个数．四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知向量))4sin(),6(cos()),4sin(),6(cos(ππππ+-=--=x x b x x a ,.12)(-⋅=b a x f .（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上的值域.17．（本小题满分12分）已知A 箱装有编号为1,2,3,4,5的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），B 箱装有编号为2,4的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从A 箱中任取一个小球，乙从B 箱中任取一个小球，用,X Y 分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.（1）求概率()P X Y >； （2）设随机变量,,X X YY X Yξ≥⎧=⎨<⎩，求ξ的分布列及数学期望.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，211-=a ，当2≥n 时，121-=-n n a a . (1) 求数列{}n a 的通项公式.(2) 设121+=n n nn a a b ,数列{}n b 前n 项的和为n S ,求证:2<n S . 19．（本小题满分12分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AD BC ABC ∠=，,E F 分别为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置，使AD AE =． （1）求证：AF //平面CBD ；（2）求平面CBD 与平面DAE 所成锐角的余弦值.20．（本小题满分13分）如图，线段AB 为半圆ADB 所在圆的直径，O 为半圆圆心，且AB OD ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知4||=AB ，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持||||PB PA +的值不变(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点N M ,，且M 在N D ,之间，设λDNDM=，求λ的取值范围21．（本小题满分14分） 已知函数)ln()(2a x x f += )0(>a (1) 若2=a ,求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程.（2） 令332)()(x x f x g -=，求证：在区间)1,0(a上，)(x g 存在唯一极值点. (3) 令xx f x h 2)()('=,定义数列{}n x :)(,011n n x h x x ==+.当2=a 且]21,0(∈k x )4,3,2( =k 时,求证:对于任意的*∈N m ,恒有1431-+⋅<-k k k m x x .数列（2）如图以AE 中点为原点，AE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，D ，(1,2,0)B --，(1,0,0)E所以DE的中点坐标为1(2因为12CF DE =，所以1(,2C -易知BA 是平面ADE 的一个法向量，1(0,2,0)BA n ==设平面BCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =由2233(,,)(,0,02222(,,)(1,20n BC x y z x z n BD x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=++=⎩ 令2,x =则2y =，z =-，2(2,2,n ∴=-将x 1=λx 2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+2222222225115)51(400)1(k x λk k x λ0111)1(,01)0(2<-+=>=a a a a a ϕϕ,所以原命题得证. …… 8分(3) 21)(2+=x x h ,94,21,0321===x x x ,18123=-x x]21,0(∈k x ,121211212141)2)(2()(2121-----+-<++-+=+-+=-k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（江西卷）数学答案解析1、【答案】D【解析】试题分析：设，则由得：，由得：，所以选D.考点：共轭复数2、【答案】C【解析】试题分析：由题意得：解得或，所以选C.考点：函数定义域3、【答案】A【解析】试题分析：因为，所以即选A.考点：求函数值4、【答案】C试题分析：因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.考点：余弦定理5、【答案】B【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B中图形.考点：三视图6、【答案】D【解析】试题分析：根据公式分别计算得：A.， B. C. D. ，选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.考点：关联判断7、【答案】B试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图8、【答案】B【解析】试题分析：设，则因此考点：定积分9、【答案】A【解析】试题分析：设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.考点：抛物线定义10、【答案】C【解析】试题分析：因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时,第三次反射点为在线段上，此时,第四次反射点为在线段上,由图可知，选C.考点：空间想象能力11、【答案】C【解析】试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.考点：含绝对值不等式性质12、【答案】A试题分析：根据，得：解得，选A.考点：极坐标13、【答案】【解析】试题分析：从10件产品中任取4件，共有种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有，因此所求概率为考点：古典概型概率14、【答案】【解析】试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是.考点：利用导数求切点.15、【答案】试题分析：因为所以考点：向量数量积及夹角16、【答案】【解析】试题分析：设，则由两式相减变形得：即，从而考点：点差法，椭圆离心率17、【答案】（1）最大值为最小值为-1. （2）【解析】试题分析：（1）求三角函数最值，首先将其化为基本三角函数形式：当时，，再结合基本三角函数性质求最值：因为，从而，故在上的最大值为最小值为-1.（2）两个独立条件求两个未知数，联立方程组求解即可. 由得，又知解得试题解析：解（1）当时，因为，从而故在上的最大值为最小值为-1.（2）由得，又知解得考点：三角函数性质18、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）已知数列，因此对变形为所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知，是等差乘等比型，所以求和用错位相减法.,相减得所以试题解析：（1）因为，所以所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知于是数列前n项和相减得所以考点：等差数列定义，错位相减求和19、【答案】（1）在取极小值，在取极大值4.（2）【解析】试题分析：（1）求函数极值，首先明确其定义域：，然后求导数：当时，再在定义域下求导函数的零点：或根据导数符号变化规律，确定极值：当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）已知函数单调性，求参数取值范围，一般转化为对应导数恒非负，再利用变量分离求最值. 由题意得对恒成立，即对恒成立，即，，即试题解析：（1）当时，由得或当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）因为当时,依题意当时，有，从而所以b的取值范围为考点：利用导数求极值，利用导数求参数取值范围20、【答案】（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以AB PD（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面积：设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC 的法向量及平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故AB PD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG,BC PG在直角三角形BPC中，设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.建立如图所示的空间直角坐标系，故设平面BPC的法向量，则由,得解得同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角21、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求双曲线的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：轴，∥，即可得：直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）本题证明实质为计算的值.分别用坐标表示直线与AF的交点及直线与直线的交点为，并利用化简.：.试题解析：（1）设，因为，所以直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）知，则直线的方程为，即因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点直线与直线的交点为则因为是C上一点，则，代入上式得，所求定值为考点：双曲线方程，直线的交点P（2）当时，，当时（3）当时，当时，【解析】试题分析：（1）当时，将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4，对应概率为，，，，（2）和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；以此类推：和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）先归纳：当时，因此当时，即证当时，这可用数学归纳法证明. 当时，，利用阶乘作差可得大小.试题解析：（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为2 3 4 5（2）和恰好相等的所有可能值为又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）由（2）当时，因此而当时，理由如下：等价于①用数学归纳法来证明：当时，①式左边①式右边所以①式成立假设时①式成立，即成立那么，当时，①式左边=①式右边即当时①式也成立综合得，对于的所有正整数，都有成立考点：概率分布及数学期望，概率，组合性质，数学归纳法。

2014年江西省抚州某校等八校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U ＝R ，集合M ＝{x|y ＝lg(x 2−1)}，N ＝{x|0<x <2}，则N ∩(∁U M)＝（ ） A {x|−2≤x <1} B {x|0<x ≤1} C {x|−1≤x ≤1} D {x|x <1}2. 复数Z =1+√3i ，则|Z 4|=( ) A 16 B 8 C 4 D 23. 函数f(x)=2√1−x+lg(3x +1)的定义域是( )A (−13, +∞) B (−13, 1) C (−13, 13) D (−∞, −13)4. 有若干个边长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的主视图和右视图均如图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是（ ） A 6 B 14 C 16 D 185. 公比为√23的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 5a 9=16，则log 2a 16=( ) A 4 B 5 C 6 D 76. 根据下列程序，可以算出输出的结果W 是（ ）A 18B 19C 20D 21 7. 若函数y =x 33−x 2+1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（ ）A π4 B π6 C 5π6 D 3π48. 今有10个大小相同的乒乓球都放在一个黑色的袋子里，其中4个球上标了数字1，3个球上标了数字2，剩下的球都标了数字5，现从中任取3个球，求所取的球数字总和超过8的概率是（ ）A 19120 B 23120 C 31120 D 37120 9. 函数y =3x +3−x3x −3−x 的图象大致是（ ）A B C D10.如图，Rt △ABC 的三个顶点都在给定的抛物线x 2=2py(p >0)上，且斜边AB // x 轴，则斜边上的高|CD|=( ) A p B 2p C p2 D p3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. 设x ，y ∈R ，向量a →=(x, 1)，b →=(1, y)，c →=(2, −4)且a →⊥c →，b → // c →，则|a →+b →|=________．12. 在三角形ABC 中，A =30∘，AC =4，BC =3，则三角形ABC 的面积等于________． 13. 直线y =kx +1被曲线x 23+y 24=1截得的线段长度最大值是________．14. 二项式(e 3+√33e x)3展开式的第三项系数为a ，则∫1xa 1dx =________．三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．(坐标系与参数方程）15. 在极坐标系中，直线ρsin(θ−π4)=√22与圆ρ=2cosθ的位置关系是________．四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(不等式选讲） (不等式选讲）16. 对于任意实数a(a ≠0)和b ，不等式|a +b|+|a −b|≥|a||x −1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．17. 已知向量OA →=(2−2cos x 2, 3sin x2)，OB →=(cos x 2, sin x2)x ∈R（1）求|AB →|； （2）求|AB →|的最值．18. 已知数列{a n }满足a n <0，a n 2+(n −1)a n −n =0， （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{an2n }的前n 项和S n ．19. 如图：等腰梯形ABCD ，E 为底AB 的中点，AD =DC =CB =12AB =2，沿ED 折成四棱锥A −BCDE ，使AC =√6．（1）证明：平面AED ⊥平面BCDE ； （2）求二面角E −AC −B 的余弦值．20. 将同样大小的颜色为红、黄、蓝、白的4个小球放入编号为1、2、3、4、5的五个格子中，每个格子的容量均大于4个，请计算： （1）恰有2个格子为空格的概率；（2）放入小球最多的格子中球的数量的分布列和期望．21. 如图：椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12，椭圆上点到直线l:x =4的最短距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦，P 是直线l 上的任意点，记PA ，PF ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1+k 3=λk 2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．22. 已知函数f(x)=(x −a)(x −b)2，(0<a <b)，g(x)=k(x −b)，(k ∈R)． (1)讨论函数f(x)在R 上的单调性； (2)讨论f(x)与g(x)的交点个数．2014年江西省抚州某校等八校联考高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. A3. B4. B5. B6. B7. D8. C9. C 10. B11. √1012. 2√3+√5或2√3−√5 13. 4 14. 1 15. 相离 16. [−1, 3]17. 解：（1）∵ AB →=OB →−OA →=(3cos x2−2, −2sin x2)， ∴ |AB →|=√(3cos x2−2)2+4sin 2x2 =√9cos 2x −12cos x +4+4sin 2x=√5cos 2x2−12cos x2+8；…（2）∵ |AB →|=√5cos 2x 2−12cos x 2+8=√5(cos x 2−65)2+45，∴ 当cos x2=−1时，|AB →|取得最大值，是|AB →|=√5×(−1−65)2+45=5；当cos x2=1时，|AB →|取得最小值，是|AB →|=√5×(1−65)2+45=1； ∴ |AB →|的最大值是5，最小值是1．…18. 解：（1）由a n 2+(n −1)a n −n =0得：(a n +n)(a n −1)=0， 由a n <0，得a n =−n…（2）由（1）得，a n 2n=−n 2n，∵ S n =a 12+a222+⋯+an 2n ，∴ S n =−12+−222+⋯+−n 2n =−(12+222+⋯+n2n ) ①则12S n =−(122+223+⋯+n2n+1) ②①-②得，12S n =−(12+122+123+⋯+12n −n 2n+1)=−[1−(12)n−n 2n+1]，即12S n =−(1−n+22n+1)=n+22n+1−1，则S n =n+22n−2．…19. （1）证明：取ED 的中点为O ， 由题意可得△AED 为等边三角形，AO =√3，OC =√3，∴ AC 2=AO 2+OC 2，AO ⊥OC ，又AO ⊥ED ，ED ∩OC =O ，AO ⊥面ECD ，又AO ⊆AED ， ∴ 平面AED ⊥平面BCDE ；…（2）如图，以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则E(0, −1, 0)，A(0, 0, √3)，C(√3, 0, 0)，B(√3, −2, 0)， EA →=(0,1,√3)，CA →=(−√3,0,√3)，BC →=(0,2,0)， 设面EAC 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)， 面BAC 的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)由{CA →⋅m →=0˙，得{y 1+√3z 1=0−√3x 1+√3z 1=0，∴ {x 1=√3y 1=−3z 1=√3，∴ m →=(√3,−3,√3)，由{CA →⋅n →=0˙，得{2y 2=0−√3x 2+√3z 2=0，∴ {x 2=√3y 2=0z 2=√3，∴ n →=(√3,0,√3)， ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√105， ∴ 二面角E −AC −B 的余弦值为√105．… 20. 解：（1）由题意知恰有2个格子为空格的概率： P =C 42×C 52A 3354=72125…（2）设放入小球数量最多的格子中球的数量为x ，由题意知x =1，2，3，4， P(x =1)=A 5454=24125，P(x=2)=C42C53A3354+C52C4254=84125，P(x=3)=C41C51C41C3354=16125，P(x=4)=C5154=1125，∴ x的分布列为：Ex=1×24125+2×84125+3×16125+4×1125=244125…21. 解：（1）由题意得4−a=2，∴ a=2∵ e=ca =12，∴ c=1，b2=3；∴ 椭圆C的方程为：x24+y23=1．（2）设P(4, m)，直线AB的方程为x=ty+1；代入x 24+y23=1消去x化简得，(3t2+4)y2+6ty−9=0设A(x1, y1)，B(x2, y2)则由韦达定理知，y1+y2=−6t3t+4，y1y2=−93t+4；∴ k1+k3=y1−mx1−4+y2−mx2−4=y1−mty1−3+y2−mty2−3=(y1−m)(ty2−3)+(y2−m)(ty1−3)(ty1−3)(ty2−3)=2ty1y2−(3+mt)(y1+y2)+6mt2y1y2−3t(y1+y2)+9=23m又∵ k2=m4−1=m3∴ k1+k3=2k2，则λ=2．22. 解：f(x)=(x−b)2+2(x−a)(x−b)=(x−b)(3x−2a−b)，∵ 0<a<b，∴ b>2a+b3∴ 单调递增区间是：(−∞,2a+b3)，(b, +∞)，单调递减区间是：(2a+b3，b)(2)由f(x)=g(x)得(x−a)(x−b)2=k(x−b)，(x−b)[x2−(a+b)x+ab−k]=0讨论x2−(a+b)x+ab−k=0根的个数，当x =b 是x 2−(a +b)x +ab −k =0的根时，代入得：b 2−b(a +b)+ab −k =0，∴ k =0∴ 当k =0时，方程两根为x 1=a ，x 2=b ∴ 当k =0时f(x)与g(x)有2个交点，…当x =b 不是x 2−(a +b)x +ab −k =0(∗)的根时，则k ≠0△=(a +b)2−4(ab −k)=(a −b)2+4k ∴ k <−(a−b)24，方程(∗)无解，k =−(a−b)24，方程(∗)有一个解，k >−(a−b)24，且k ≠0，方程(∗)有2个解，且根不为x ≠b ． ∴ 综上所述，当k <−(a−b)24，f(x)与g(x)有1个交点当k =0或−(a−b)24，f(x)与g(x)有2个交点当k >−(a−b)24，且k ≠0，f(x)与g(x)有3个交点 …。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ）A. i +1B. i --1C. i +-1D. i -1 2. 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞ 3. 已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -14.在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC∆的面积（ ）5.** B. C. D.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）** B.9 C.10 D.11 8.若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13D.1 9.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(625)π-D.54π10.如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.**件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.13.若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.14.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为四.简答题16.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- （1）当2,4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；(2)若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.17、（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列（），满足.(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若，求数列的前n 项和.18、（本小题满分12分） 已知函数.(1) 当时，求的极值； (2) 若在区间上单调递增，求b 的取值范围.19(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC 问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.20.（本小题满分13分）如图，已知双曲线)0(1222>=-a y ax C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a xx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值21.（满分14分）随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为1b ，记2112,a a b b ξη=-=-（1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由。

江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学（理）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =,集合2{|log (1)},{|||,}A x y x B x x a a R ==-=<∈,()U C A B =∅, 则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1)D ．(0,1]2.函数ln(1)11x y xx -=++的定义域是（ ） A.[1,0)(0,1)- B.[1,0)(0,1]- C.(1,0)(0,1]- D.(1,0)(0,1)-3.已知i 为虚数单位,若复数z 满足(2)12z i i -=+,则z 的共轭复数是( )A ．iB ．i -C ．35iD ．35i-4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；②在线性回归分析中，相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；③已知随机变量ξ服从正态分布(5,1)N ，且(46)0.6826,P ξ≤≤=则(6)0.1587;P ξ>=④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人.A ．1B ．2C ．3D ．45.已知锐角βα,满足：1sin cos ,6αα-=3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα,的大小关系是（ ） A ．βα< B ．αβ> C ．βαπ<<4 D. αβπ<<46.程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）1n = 开始 结束 否 是 输出S 3S = 1+=n n 2014n ≤ 11S S S+=-A ．3B ．12C ．13- D ．2-7.等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项积为n T ，若1284T T =，则813a a ⋅=( )A ．1±B ．2±C ．1D ．28.已知在二项式32()n x x -的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数2()2f x x x =-，(1,0)Q ，过点(1,0)P -的直线l 与()f x 的图像交于,A B 两点，则QAB S ∆的最大值为（）A. 1B.12C. 13D. 22 10.如图，过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点P 在第一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为()f x ，则 函数()y f x =的图像大致是( )二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5分. 11（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.3sin ρθ=B.3cos ρθ=C.sin 3ρθ=D.cos 3ρθ=11（2）．（不等式选讲选做题））若存在,R x ∈,使|2|2|3|1x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是( )A. [2,4]B. (5,7)C. [5,7]D. (,5][7,)-∞+∞第Ⅱ卷 yxo QP注意事项：第Ⅱ卷须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.12.已知2,=a e 为单位向量，当,a e 的夹角为32π时，+a e 在-a e 上的投影为 . 13.若一组数据1,2,0,,8,7,6,5a 的中位数为4，则直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积为 .14.已知双曲线22122:1x y C a b -=和双曲线22222:1y x C a b-=，其中0,b a >>，且双曲线1C 与2C 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线1C 的离心率是 .15.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数： ①1()f x x =；②()sin f x x =；③2()1f x x =-；④ln ()x f x x= 其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ．（1）求32S =的概率； （2）求S 的分布列及数学期望()E S ．17.(本小题满分12分） 在ABC ∆中，2sin 2cos sin 33cos 3A A A A -+=.(1)求角A 的大小；(2)已知,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若1a =且sin sin()2sin 2,A B C C +-= 求ABC ∆的面积.5P 6P 2P 3P 4P O P 118．（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若10,c =且对任意正整数n 都有112log n n n c c a +-=, 求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<都有.19．（本小题满分12分） 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，1,2==AB AD ， 60=∠ABC ，⊥PA 面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上且FD PF 2=．（1）求证：//BE 平面ACF ；（2）设二面角D CF A --的大小为θ，若1442|cos |=θ， 求PA 的长．20.（本小题满分13分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>的左焦点F 与抛物线24y x =-的焦点重合，直线202x y -+=与以原点O 为圆心,以椭圆的离心率e 为半径的圆相切.（1）求该椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记∆GFD 的面积为1S ，∆OED 的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．21．（本小题满分14分） 已知函数xa x x f ln )()(2-=（其中a 为常数）. (1)当0=a 时，求函数的单调区间；（2）当1a =时，对于任意大于1的实数x ，恒有()f x k ≥成立，求实数k 的取值范围；(3)当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<.求证：31x x +＞e2三、填空题： 12.377【解析】+a e 在-a e 上的投影为：222()()4137.||7412()+⋅---===-++-a e a e a e a e a e 13. 92【解析】由中位数的定义可得54,2a +=3a ∴=，∴直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积332230031(3)()23S x x dx x x =-=-⎰92=. 14.512+【解析】由题意,可得两双曲线在第一象限的交点为所以，()36312325C P S ===． (4分) （2）S 的所有可能取值为34，32，334． 34S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123PP P ），共6种， 所以，()36363410C P S ===． (6分) 334S =的为等边三角形（如△135PP P ），共2种， 所以，()363321410C P S ===， ( 8分)(2) sin sin()2sin 2,A B C C +-=∴sin()sin()4sin cos ,B C B C C C ++-=2sin cos 4sin cos ,B C C C ∴=,cos 0sin 2sin C B C ∴==或， (8分)①当cos 0C =时,3,,tan ,263C B b a B ππ=∴=∴==11331;2236ABC S ab ∆∴==⨯⨯= (10分)②当sin 2sin B C =时,由正弦定理可得2b c =,又由余弦定理2222cos ,a b c bc A =+-可得分)∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n c c c c c c c c ---=-+-+⋅⋅⋅+-+2(21)(23)301n n n =-+-+⋅⋅⋅++=- ， (9分) ∴11111()(1)(1)211nc n n n n ==--+-+ (10分)231111111111111(1)232435211n c c c n n n n ∴++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+---+111131113(1)()2214214n n n n =+--=-+<++ . (12分)),3,1(c PD --=， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0303cz y x cz y ，取(0,,3)c =m ． (9分)由1442|cos |=⋅=m n m n θ，得1442343222=++c c ．044724=-+c c ，2=c ，所以2=PA . (12分)20. 【解析】(1) 依题意，得1c =,2|00|12,22e -+==即1,2,1,2ca b a =∴=∴=∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=. (5分)△GFD ∽△OED ，∴2||||||||||,(),||||||||||GF DG GF DG DG OE OD OE OD OD =∴⋅= 即12S S 2||(),||DG OD =又12,||||S S GD OD =∴=, (11分)所以 22222222243()()43434343k k k kk k k k ----+=++++， 整理得 2890k +=,因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． (13分)21．【解析】(1) x x x x f 2ln )1ln 2()('-=当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ， ∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ， 此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=x ax x h 的两个零点，]1,0(e 上单调递增,()01=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，e x x 231>+. (14分)。

江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考理科数学试卷（带解析）1．已知集合2{|}M x x x =>，4{|,}2xN y y x M ==∈，则M N = ( )A.{x ｜0＜x ＜12} B.{x ｜12＜x ＜1} C.{x ｜0＜x ＜1} D.{x ｜1＜x ＜2}【答案】B 【解析】试题分析：2{|}M x x x =>={01}x x <<，4{|,}2x N y y x M ==∈=1{2}2y x <<，所以M N ={x ｜12＜x ＜1} ，故选B. 考点：1.集合的运算.2.指数函数的性质. 2．已知复数i m z 21+=，i z -=22，若21z z 为实数，则实数m 的值为 （ ） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4- 【答案】D 【解析】 试题分析：21z z =2(2)(2)(22)(4)2242(2)(2)555m i m i i m m i m m i i i i +++-++-+===+--+是实数，所以m+4=0，解得m=-4，故选D.考点：复数的运算和有关概念.3．如图给出了计算601614121++++ 的值的程序框图，其中 ①②分别是( )A ．i<30,n=n+2B ．i=30,n=n+2C ．i>30,n=n+2D ．i>30,n=n+1【答案】C 【解析】试题分析：因为2,4,6,8， ，60构成等差数列，首项为2，公差为2，所以2+2（n-1）=60，解得n=30,所以该程序循环了30次，即i>30，n=n+2 ，故选C. 考点：程序框图和算法.4．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．π320+B ．π324+C ．π420+D ．π424+ 【答案】A 【解析】试题分析：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体， 下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半， ∴该几何体的表面积S=5×22+π×12+12×2π×1×2=20+3π．故选A ． 考点：三视图求面积、体积．5．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若2132112364(..),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ）A ．27B ．81C ．243 D.729【答案】C 【解析】试题分析：由已知条件可得S 2=41a ，所以1214a a a +=，即q=213a a =，又因为12327a a a =，所以33127a q =，即1a =1，所以561a a q ==243，故选C.考点：等比数列的性质. 6．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ξ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=，则3019P().ζ≤-=； ④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；不符合分层抽样的定义，是系统抽样的做法，∴①不正确；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；满足线性相关的定义，②正确；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=，则3019P ().ζ≤-=；不符合正态分布的特点，∴③不正确；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．满足随机变量K 2的观测值的特点，④正确． 故选：C ．考点：1.系统与抽样的关系；2.线性相关；3.正态分布的应用.7．单位向量，且0=⋅b a ，则c b a-+的最小值为（ ）A 1B ．1C 1+D 【答案】A 【解析】试题分析：因为0=⋅b a ，所以222222a b a b a b +=++⋅=2则|2a b +=，所以c b a -+22222()22()a b c a b c a b c b a =++=+++⋅-⋅-=3-2()c b a ⋅-，则当c 与b a -同向时，()c b a ⋅-最大，cb a-+2最小，此时，()c b a ⋅-=2，所以c b a -+2≥3-2故c b a -+1，即c b a-+1，故选A ．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．8．已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线12222=-by a x 的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222c y x =+交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则=2e （ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：如图，设抛物线y 2=4cx 的准线为l ，作PQ ⊥l 于Q ，双曲线的右焦点为F '，由题意可知F F '为圆x 2+y 2=c 2的直径， ∴设P （x ，y ），（x ＞0），则P F '⊥PF ，且tan ∠PFF ′＝b a， ∴满足22224(1)(2)(3)y cx x y c y bx c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，将（1）代入（2）得x 2+4cx-c 2=0，则=-2c ，即x=2)c ，或x=(2)c （舍去） 将x=2)cb a ==y＝y 代242)c =2)=)，∴22b a ==22221c a e a -=-，即e 2=1+故选D ． 考点：双曲线的简单性质．9．已知圆C ：22(2)4x y -+=，圆M ：22(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则P E P F ⋅的最小值是 （ ）A ．5B ．6C ．10D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：（x-2）2+y 2=4的圆心C （2，0），半径等于2，圆M （x-2-5co sθ）2+（y-5sinθ）2=1，圆心M （2+5cosθ，5sinθ），半径等于1． ∵|CM|=5>2+1，故两圆相离．∵PE PF ⋅=cos ,PE PF PE PF ⋅<>，要使 PE PF ⋅ 最小，需PE 和PF 最小，且∠EPF 最大，如图所示，设直线CM 和圆M 交于H 、G 两点，则PE PF ⋅ 最小值是HE HF ⋅.|H C|=|CM|-1=5-1=4，=sin ∠CHE=12CE CH =， ∴cos ∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin 2∠CHE=12，∴HE HF ⋅=1cos 2HE HF EHF ⋅∠==6，故选 B ． 考点：1.圆的参数方程；2.平面向量数量积的运算；3.圆与圆的位置关系及其判定．10．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，底边AB ＝5，高AD ＝3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：根据已知可得：点E 在未到达C 之前，y=x （5-x ）=5x-x 2；且x≤3，当x 从0变化到2.5时，y 逐渐变大，当x=2.5时，y 有最大值，当x 从2.5变化到3时，y 逐渐变小， 到达C 之后，y=3（5-x ）=15-3x ，x ＞3， 根据二次函数和一次函数的性质．故选：A ． 考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．11．231()x x+的展开式中的常数项为a ，则直线y ax =与曲线2y x =围成图形的面积为 ； 【答案】29 【解析】试题分析：231()x x+的展开式的通项公式为 T r+1=323333r r r r r C x x C x --=， 令3r-3=0，r=1，故展开式的常数项为 a=3． 则直线y=ax 即 y=3x ，由23y xy x =⎧⎨=⎩求得直线y=ax 与曲线y=x 2围成交点坐标为（0，0）、（3，9），故直线y=ax 与曲线y=x 2围成图形的面积为 3322033(3)()023x x x dx x -=-⎰=29，故选C ．考点：二项式定理；定积分在求面积中的应用．12．方程23310(2)x a x a a +++=>两根βαt a n t a n 、，且,(,)22ππαβ∈-，则=+βα ；【答案】34π-或4π【解析】试题分析：由已知可得tan tan 3a αβ+=-，tan tan 31a αβ=+，tan tan 3tan()11tan tan 1(31)aa αβαβαβ+-+===--+因为,(,)22ππαβ∈-，所以παβπ-<+<，所以=+βα34π-或4π.考点：两角和差公式以及正切函数的性质.13．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。

江西省 联 合 考 试高三数学试卷（理）（.4）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,0|),(，{}R y R x y x y x N ∈∈=+=,,0|),(22，则有（ ）A.M N M =B.N N M =C.M N M =D.φ=N M 2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b 等于（ ） A.3 B.1- C.21-D.2 3.做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B 单位抽取20份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是（ ） A.30份 B.35份 C. 40份 D.65份 4.如图，已知四边形ABCD 在映射)2,1(),(:y x y x f +→作用下的象集为四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积是12，则四边形ABCD 的面积是（ ）A. 9B.6C. 36D.125. “⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=)1(2)1(11)(2x a x x x x f 是定义在),0(+∞上的连续函数”是“直线0)(2=+-y x a a 和直线0=-ay x 互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87.若三个数c a ,1,成等差数列，且22,1,c a 又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→等于（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在8.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ ）A. 12B.28C.36D.48 9.设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3,二面角l αβ--的平面角为150, 则球O 的表面积为（ ）A.π4B.π16C.π28D.π11210.已知定义域为R 的函数)(x f 对任意实数x 、y 满足y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++，且1)2(,0)0(==πf f .给出下列结论：①21)4(=πf ②)(x f 为奇函数 ③)(x f 为周期函数 ④),0()(π在x f 内单调递减其中正确的结论序号是（ ）A. ②③ B .②④ C. ①③ D. ①④11.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右准线分别为1l 、2l ，且分别交x 轴于C 、D 两点，从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B ，若AF BF ⊥，且75ABD ∠=︒，则椭圆的离心率等于（ ）A.624-B.31-C.622- D.312-12．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称)(x f y =为“成功函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） A.()+∞,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0二、填空题（每小题4分，共16分）13.在n xx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n 的值为14.空间一条直线1l 与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线2l 与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则=+βα22sin sin15.设实数b a 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-104230123a b a b a ,则2249b a +的最大值是16.设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列四个命题：A.)(x f 有最小值；B.当0=a 时，)(x f 的值域是R ；C.当0>a 时，)(x f 在区间[)+∞,2上有反函数；抚州一中 赣州一中 吉安一中 九江一中 萍乡中学 新余一中 宜春中学 上饶县中D.若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a . 其中正确的命题是三、解答题（共74分） 17.（本小题满分12分） 已知函数2()sin2cos 24x xf x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的分别是a b c 、、，若2cos a c b C （－）cosB ＝，求()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为21，乌克兰队赢的概率为31，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n 局的得分记为n a ，令12n n S a a a =++⋅⋅⋅+.（1）求43=S 的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行.设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且90=∠BCA ， 601=∠BC B ，21==BB BC ，若二面角C B B A --1为 30，（1）证明⊥AC 平面C C BB 11； （2）求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值；（3）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求点P 到平面C BB 1距离. 20．（本小题满分12分）已知0>a ，)1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线． （１）求切线l 的方程； （2）若切线l 与曲线)(x f y=有且只有一个公共点，求a 的值．21.（本小题满分12分）如图,过抛物线y x 42=的对称轴上任一点P ),0(m )0(>m 作直线与抛物线交于B A ,两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明)(QB QA QP λ-⊥；B1B(2)设直线AB 的方程是0122=+-y x ,过B A ,两点的圆C 与 抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程. 22．（本小题满分14分） 设数列}{n a ，}{n b 满足211=a ，n n a n na )1(21+=+且221)1ln(n n n a a b ++=，*N n ∈． （１）求数列}{n a 的通项公式； （２）对一切*N n ∈，证明nn n b a a <+22成立；（３）记数列}{2n a ,}{n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，证明：42<-n n A B ．高三数学答案（理科）及评分标准一、选择题：（每题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCBADCBDACD二、填空题（每题4分，共16分）13． 6 14． 1 15． 25 16． B 、C三、解答题（本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17题．（ 12分）解析：(1) ()2sin(122cos1)4x f x x =++-sin cos 122x x=++2sin(1)24x π=++()4f x T π∴=的最小正周期为 . （5分）(2) ()2cos cos a c B b C -=由得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin sin A B B C A ∴=+= （8分） sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=＝>3B π=， 23A C π∴+=()21)24f A A π=++又，203A π∴<<，742412A πππ∴<+<， （10分） 又∵7sinsin 412ππ<，2sin(12)24A π∴<≤+，()221f A ∴<≤. （12分） 18题．（ 12分）解：（1）43=S ，即前3局中国队1胜2平或2胜1负。

一、选择题：1.是的共轭复数. 若，（为虚数单位），则（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.已知函数，，若，则（）A.1B. 2C. 3D. -14.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A.3B.C.D.5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B中图形.考点：三视图6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A.7B.9C.10D.118.若则（）A. B. C. D.19.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】10.如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C【解析】试题分析：二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11.(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A. B. C. D.11.(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（）A. B. C. D.三、填空题12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.13.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.14.已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=【答案】【解析】15.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为三、解答题16.已知函数，其中（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；（2）若，求的值.解得17.（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列（），满足.（1）令，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和试题解析：（1）因为，所以所以数列是以首项，公差的等差数列，故18.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间上单调递增，求b的取值范围.所以b的取值范围为考点：利用导数求极值，利用导数求参数取值范围19.(本小题满分12分)如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC的法向量及平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角20.（本小题满分13分）如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥ (为坐标原点）.（1）求双曲线的方程；（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值.试题解析：（1）设，因为，所以直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为21.（满分14分）随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记（1）当时，求的分布列和数学期望；（2）令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；（3）对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。

2014年普通高等学校招生全国统一测试（江西卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年江西，理1，5分】z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()i 2z z -=（i 为虚数单位），则z =（ ） （A ）1i + （B ）1i -- （C ）1i -+ （D ）1i - 【答案】D【分析】由于()i 2z z -=，可得2i z z -=- ① 又2z z += ② 由①②解得1i z =-，故选D ． 【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题．（2）【2014年江西，理2，5分】函数()()2ln f x x x =-的定义域为（ ）（A ）()0,1 （B ）[]0,1 （C ）()(),01,-∞+∞U （D ）(][),01,-∞+∞U 【答案】C【分析】要使函数有意义，则20x x ->，即1x >或0x <，故函数的定义域为()(),01,-∞+∞U ，故选C ． 【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础． （3）【2014年江西，理3，5分】已知函数()||5x f x =，()()2g x ax x a R =-∈，若()()11f g =，则a =（ ） （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）1-【答案】A 【分析】()11g a =-，若()11f g =⎡⎤⎣⎦，则()11f a -=，即151a -=，则10a -=，解得1a =，故选A ． 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．（4）【2014年江西，理4，5分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若()226c a b =-+，060C ∠=，则ABC ∆的面积为（ ） （A ）3 （B ）93 （C ）33（D ）33【答案】C【分析】由题意得，22226c a b ab =+-+，又由余弦定理可知，222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，∴26ab ab -+=-，即6ab =．∴133sin 2ABC S ab C ∆==，故选C ．【点评】本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是使用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．（5）【2014年江西，理5，5分】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】B【分析】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确；几何体的上部的棱和正视图方向垂直，所以A 不正确，故选B ．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键． （6）【2014年江西，理6，5分】某人研究中学生的性别和成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则和性别有关联的可能性最大的变量是（ ）（A ）成绩 （B ）视力 （C ）智商 （D ）阅读量【答案】D【分析】表1：()225262210140.00916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯； 表2：()22524201216 1.76916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表3：()2252824812 1.316362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯； 表4：()22521430616223.4816362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴阅读量和性别有关联的可能性最大，故选D ．【点评】本题考查独立性检验的使用，考查学生的计算能力，属于中档题． （7）【2014年江西，理7，5分】阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）11 【答案】B【分析】由程序框图知：135i 0lg lg lg lg 357i 2S =++++++L 的值，∵1371lg lg lg lg 13599S =+++=>-L ，而1391lg lg lg lg 1351111S =+++=<-L ，∴跳出循环的i 值为9，∴输出i 9=，故选B ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（8）【2014年江西，理8，5分】若()()2102f x x f x dx =+⎰，则()10f x dx ⎰=（ ）（A ）1- （B ）13- （C ）13（D ）1 【答案】B【分析】若()101f x dx =-⎰，则：()22f x x =-，则()12222312001102222233x x x dx x x x x ⎛⎫-=+-=+-=- ⎪⎝⎭⎰，显然A 不正确；若()1013f x dx =-⎰，则()223f x x =-∴1222231200221222233333x x x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，显然B 正确；若()1013f x dx =⎰，则()223f x x =+∴122223120022122223333x x x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，显然C 不正确；若()101f x dx =⎰，则()22f x x =+∴()12222312001142222233x x x dx x x x x ⎛⎫+=++=++=+ ⎪⎝⎭⎰，显然D 不正确，故选B ．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的使用，回代验证有时也是解答问题的好方法． （9）【2014年江西，理9，5分】在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C和直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）（A ）45π （B ）34π （C ）(625π- （D ）54π【答案】A【分析】∵AB 为直径，90AOB ∠=︒，∴O 点必在圆C 上，由O 向直线做垂线，垂足为D ，则当D 恰为圆和直线的切点时，此时圆C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O 5，则圆C 的面积为：2455ππ⨯=，故选A ． 【点评】本题主要考查了直线和圆的位置关系．用数形结合的思想，解决问题较为直观． （10）【2014年江西，理10，5分】如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB =，7AD =，112AA =，一质点从顶点A 射向点()4,3,12E ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，i L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置 在同一水平线上，则大致的图形是（ ）EyxD 1C 1B 11D C（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C【分析】根据题意有：A 的坐标为：()0,0,0，B 的坐标为()11,0,0，C 的坐标为()11,7,0，D 的坐标为()0,7,0；1A 的坐标为：()0,0,12，1B 的坐标为()11,0,12，1C 的坐标为()11,7,12，1D 的坐标为()0,7,12；E 的坐标为()4,3,12．（1）1l 长度计算：()()()2221403012013l AE ==-+-+-=．（2）2l 长度计算：将平面1111A B C D 沿z 轴正向平移1AA 个单位，得到平面2222A B C D ；显然有：2A 的坐标为：()0,0,24，2B 的坐标为()11,0,24，2C 的坐标为()11,7,24，2D 的坐 标为()0,7,24；显然平面2222A B C D 和平面ABCD 关于平面1111A B C D 对称．设AE 和的延长线和平面2222A B C D 相交于：()222,,24E E E x y ，根据相识三角形易知：22248E E x x ==⨯=，22236E E y y ==⨯=，即：()28,6,24E ，根据坐标可知，2E 在长方形2222A B C D内．根据反射原理，2E 在平面ABCD 上的投影即为AE 反射光和平面ABCD 的交点． 所以F 的坐标为()8,6,0．因此：()()()2221846301213l EF ==-+-+-=．（3）3l 长度计算：设G 的坐标为：(),,G G G x y z ，如果G 落在平面11BCC B ；这个时候有：11G x =，7G y ≤，12G z ≤，根据反射原理有：//AE FG ，于是：向量AE u u u r和向量FG u u u r 共线；即有：AE FG λ=u u u r u u u r ，因为：()4,3,12AE =u u u r ；()()8,6,03,6,G G G G G FG x y z y z =---=-u u u r即有：()()4,3,123,6,G G y z λ=-，解得：334G y =，9G z =；故G 的坐标为：3311,,94⎛⎫⎪⎝⎭，因为：3374>，故G 点不在平面11BCC B 上，所以：G 点只能在平面11DCC D 上；因此有：7G y =；11G x ≤，12G z ≤此时：()()8,6,08,1,G G G G G FG x y z x z =---=-u u u r ，即有：()()4,3,128,1,G G x z λ=-解得：283G x =，4G z =； 满足：11G x ≤，12G z ≤，故G 的坐标为：28,7,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()222128138764033l FG ⎛⎫==-+-+-= ⎪⎝⎭． （4）4l 长度计算：设G 点在平面1111A B C D 的投影为G '，坐标为28,7,123⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：AEFGH 共面，故EG 的反射线GH 只能和平面1111A B C D 相交，且交点H 只能在1A G '；易知：431248l GG l '>=-=>．根据以上分析，可知1l ，2l ，3l ，4l 要满足以下关系：12l l =；且43l l >，对比ABCD 选项，可知，只有C 选项满足以上条件，故选C ．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的使用，回代验证有时也是解答问题的好方法．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （11（1））【2014年江西，理11（1），5分】（不等式选做题）对任意,x y ∈R ，|1||||1||1|x x y y -++-++的最小值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【分析】对任意,x y ∈R ，|1||||1||1||1||||1||1|1113x x y y x x y y x x y y -++-++=-+-+-++≥--+-++=，当且仅当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]0,1y ∈成立，故选C ．【点评】本题考查绝对值三角不等式的使用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法． （11（2））【2014年江西，理11（2），5分】（坐标系和参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴l 3l 4l 3l 4l 3l 4l 2l 2l 2l 1l 1l 1DC B A l 4l 3l 2l 1x的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ） （A ）1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ （B ）1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+（C ）cos sin ,04πρθθθ=+≤≤（D ）cos sin ,02πρθθθ=+≤≤【答案】A【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x cos ρθ=，sin y ρθ=，()101y x x =-≤≤，可得cos sin 1ρθρθ+=，即1cos sin ρθθ=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选A ．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（12）【2014年江西，理12，5分】10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 ． 【答案】12【分析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有410C 种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有3173C C 种结果，∴恰好有一件次品的概率是317341012C C P C ==．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．（13）【2014年江西，理13，5分】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 ． 【答案】()ln 2,2-【分析】设(),P x y ，则x y e -=，∵x y e -'=-，在点P 处的切线和直线210x y ++=平行，∴2x e --=-，解得ln2x =-，∴2x y e -'=-=，故()ln 2,2P -．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的使用．（14）【2014年江西，理14，5分】已知单位向量1e u r 和2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-r u r u u r 和123b e e =-r u r u u r 的夹角为β，则cos β= ． 22【分析】单位向量1e u r 和2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，不妨()11,0e =u r ，21223e ⎛= ⎝⎭u u r ，1274232,3a e e ⎛=-= ⎝⎭r u r u u r ，128223,3b e e ⎛=-= ⎝⎭r u r u u r ，∴2222784222223333cos 7428223333a b a b β⨯+⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭r rr r 【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．（15）【2014年江西，理15，5分】过点()1,1M 作斜率为12-的直线和椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．【答案】22()101y x x =-≤≤【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，∵过点()1,1M 作斜率为12-的直线和椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得2221202a b ⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭， ∴2a b =，∴22c a b b =-，∴2c e a =． 【点评】本题考查椭圆C 的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键． 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年江西，理16，12分】已知函数()()()sin cos 2f x x a x θθ=+++，其中a R ∈，,22ππθ-⎛⎫∈⎪⎝⎭． （1）当2a 4πθ=时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值；（2）若02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1f π=，求,a θ的值．解：（1）因2a =4πθ=，故()2222sin 2242f x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又0x π≤≤，故5444x πππ≤+≤，因此()21f x -≤，从而()min 1f x =-，()max 2f x（2）sin cos 2cos sin 2cos 2sin cos 0222f a a a πππθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故cos 0θ≠，2sin 1a θ=．()()()sin cos 2f a ππθπθ=+++=2sin cos2sin 2sin 1a a a θθθθ--=--+=，故1a =-，得1sin 2θ=-，从而6πθ=-．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．（17）【2014年江西，理17，12分】已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b （0n b ≠），满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=．（1）令n n nac b =，求数列{}n c 的通项公式；（2）若13n n b +=，求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（1）因11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，且0n b ≠，故112n n n n a a b b ++-=，即12n n c c +-=，所以{}n c 是首项为111ab =， 公差为2的等差数列，从而21nc n =-．（2）因n n nac b =，()1213n n a n +=-⋅，有()2311333213n n S n +=⋅+⋅++-⋅L ，()34231333213n n S n +=⋅+⋅++-⋅L ． 所以()()241223233213n n n S n ++-=+++--⋅=L ()218223n n +---⋅，从而()2913n n S n +=+-⋅．【点评】本题为等差等比数列的综合使用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题． （18）【2014年江西，理18，12分】已知函数()()212f x x bx b x b R =++-∈．（1）当4b =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围．解：（1）当2b =时，()()2212f x x x =+-的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()(())25222122221212x x f x x x x x x-+'=+-+-=--()0f x '=，解得12x =-，20x =． 当2x <-和102x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(),2-∞-和1,2⎛⎫⎪⎝⎭0上单调递减；当20x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在()2,0-上单调递增．所以，当2x =-时，()f x 取得极小值()20f -=；当12x =时，()f x 取得极大值()04f =． （2）()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增⇔()0f x '≥且不恒等于0对10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立．()()()()22212221212f x x b x x bx b x x'=+-+++-=--， 故25320x bx x --+≥，因此min253x b -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．因25139x ->，故19b ≤． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．（19）【2014年江西，理19，12分】如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB PD ⊥；（2）若090BPC ∠=，2PB =，2PC =，问3n =为何值时，四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面PBC 和平面DPC 夹角的余弦值．解：（1）因面PAD ⊥面ABCD ，面PAD I 面ABCD AD =，AB AD ⊥，故AB ⊥面ABCD ．又PD ⊂面ABCD ，故AB PD ⊥．（2）过P 作PO AD ⊥，由（1）有PO ⊥面ABCD ，作OM BC ⊥，连接PM ，作PM BC ⊥．设AB x =，则1133P ABCD ABCD V OP S OP AB BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯=224141686333x x x x -⋅⋅=-，故223x =即6x =时，max 26V =．如图建立空间直角坐标系，则()0,0,63P ，60,,0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 66,,0C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，6,0,0D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故660,,PM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ， 666,,PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，66,0,PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，6,0,0MC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，60,,0DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．设面PMC 、面PDC 的法向量分别为()111,,m x y z =u r ，()222,,n x y z =r．由000m PM m PC m MC ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u r uuu ru r uu u r ur uuu r 得111111000y z x y z x -=⎧⎪-+-=⎨⎪-=⎩．设11y =，则11z =，故()0,1,1m =u r ．同理可得()1,1,1n =r ．故6cos ,||||m n m n m n ⋅==u r ru r r u r r ，从而平面PBC 和平面DPC 夹角的余弦值为6．【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力和方程思想．（20）【2014年江西，理20，13分】如图，已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点F ，点,A B分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，//BF OA (O 为坐标原点）． （1）求双曲线C 的方程；（2）过η上一点()()000,0P x y y ≠的直线l ：0021x xy y a-=和直线AF 相交于点M ，和直线32x =相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，||||MF NF 恒为定值，并求此定值．解：（1）因,c A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,t B t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11c t a c t a +-⋅=--且()1t a a c t =-，因此2c t =，3=a ．所以所求方程为1322=-y x ．（2）由（1）知23A ⎛ ⎝⎭，13:00=-y y x x l ，()2,0F ，00232,3x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0023,22x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故()()()0000222220000020|23|||23||2321312344x MF NF x x y x x y -====-+--+-+． 【点评】本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，着重考查直线和圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数和方程思想，属于难题．（21）【2014年江西，理21，14分】随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成,A B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为2b ，最大数为1b ，记21a a ξ=-，12b b η=-．（1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ和η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ．（3）对（2）中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断()P C 和()P C 的大小关系，并说明理由． 解：（1）ξ的所有可能取值是2,3,4,5，()364155P C ξ===，()364125P C ξ===， ()3663310P C ξ===，()3663410P C ξ===．故ξ的分布列如右表所示， ξ的数学期望为()1331723455101052E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=． （2）事件ξ和η的取值恰好相等的基本事件共()()122242221123n n nnC C C P C n C --+++++=⋅≥L ． 当2n =时，()242223P C C =⋅=． （3）当2n =时，()241121232P C C +=⋅=>，此时()12P C <；即()()P C P C <；当3n ≥时，()()123224622211122n n n nC C C C P C C--++++++=⨯<L ，此时()12P C >；即()()P C P C >． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．ξ 23 4 5 P15 310 310 15。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}3,2ln A x =，{},B x y =，若{}0AB =，则2x y +的值是( )A. 1B. 2C. 0D.1e2.已知()sin cos f x x x =-，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是( )A. 2-B. 12C. 2-D. 23.已知2a =，3b =，19a b +=，则a b -=( )【答案】D【解析】试题分析：由19a b +=平方，得22219a b ab ++=，将2a =，3b =代入此式得3ab =，所以()22227a b a ba b ab -=-=+-=.考点：求平面向量的数量积、模. 4.设3,1sin 2a α⎛⎫=+⎪⎝⎭，11cos ,3b α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角α为( )A.30︒B.45︒C. 60︒D. 75︒5.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为( )A.12【答案】C 【解析】试题分析：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =. 又22a c ac bc -=-，∴222b c a bc +-=.在ABC 中，由余弦定理得：222co 1222s b c a bc bc b A c +-===，那么60A ︒∠=.由正弦定理得sin sin b A B a=，又因为2b ac =，60A ︒∠=，所以21sin sin 603sin 60c ac b B b ===︒︒.考点：1、等比数列的性质；2、正弦定理和余弦定理的应用.6.实数x 满足22log 4sin 1x θ=-，则182x x -+-的值为( ) A. 8.5 B. 8.5或7.5 C. 7.5 D. 不确定7.已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则36945a a a a a ++=+( )A. 2B. 3C. 5D. 78.已知公差不为零的等差数列{}n a 与公比为q 的等比数列{}n b 有相同的首项，同时满足1a ，4a ，3b 成等比，1b ，3a ，3b 成等差，则2q =( ) A.14 B. 16 C. 19 D. 189.已知正三角形OAB 中，点O 为原点，点B 的坐标是()3,4-，点A 在第一象限，向量()1,0m =-，记向量m 与向量OA 的夹角为α，则sin α的值为( )A. B. C. D.10.对正整数n ，有抛物线()2221y n x =-，过()2,0P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，设数列{}n a 中，14a =-，且()n 1,1n nn OA OB a n N n =>∈-其中，则数列{}n a 的前n 项和n T =( )A ．4nB ．4n -C ．()21n n +D ．()21n n -+ 【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程为2x ty n =+，代入抛物线方程得()()22214210y n ty n n ----=，设()()1122,,,n n n n n A x y B x y ，则()2212121212(1)24n n n n n n n n n n OA OB x x y y t y y nt y y n ⋅=+=++++①，由根与系数的关系得()12221n n y y n t +=-，()12421n n y y n n =--，代入①式得()22224(21)14(21)444n n OA OB n n t n n t n n n ⋅=--++-+=-， 故41n n OA OB n n ⋅=--（1,n n N >∈），故数列1n n OA OB n ⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和2(1)n n -+.考点：1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数()()f x x a x x R =-∈，且()20f =，则函数()f x 的单调递减区间为_____________.12.将一列有规律的正整数排成一个三角形矩阵(如图)：根据排列规律，数阵中第12行的从左至右的第4个数是_______.【答案】208【解析】试题分析：按数字出现的先后顺序可知，这个三角矩阵的数字是首项为1，公差为3的等差数列，其通项公式为：()13132n a n n =+-=-，前11行共有1112123411662⨯+++++==个数，因此第12行的从左至右的第4个数是全体正数中的第66470+=个，第70个正数是3702208⨯-=.考点：等差数列的前n 项和的应用.13.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()7sin 25αβ+=-，4sin 45πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值=________________.14.已知cos sin αβ+=sin cos αβ+的取值范围是D ，x D ∈，则函数19log y =的最小值为___________.15.已知()()()()()()123,2,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数为()f x '，设()()20n f a f '-=，则数列{}n a 自第2项到第n 项的和S =_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分12分)如图，在底角为60︒的等腰梯形ABCD 中，已知12DC AB =，,M N 分别为CD ，BC 的中点.设AB a =，AD b =.(1)试用a ，b 表示AM ，AN ； (2)若4a =，试求AM AN 的值.17.(本小题12分)已知向量()cos ,sin m x x =和()2sin ,cos n x x =-，(1)设()f x m n =⋅，写出函数()f x 的最小正周期，并指出该函数的图像可由()sin y x x R =∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (2)若[],2x ππ∈，求m n -的范围.（2）(cos sin cos )m n x x x x -=+--，所以m n -===，因为[],2x ππ∈，所以37,444x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则cos 14x π⎡⎛⎫∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦-，，即m n -的范围是.………………12分 考点：1、三角函数的最小正周期；2、三角函数图像的平移变换；3、三角函数在定区间上的值域；4、求平面向量的模；5、三角恒等变换.18.(本小题12分)已知()1f x a b =⋅-，其中向量()sin 2,2cos a x x =，()3,cos b x =，()x R ∈.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)如果三边a ，b ，c 依次成等比数列，试求角B 的取值范围及此时函数()f B 的值域；(2) 在ABC 中，若4A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，边a ，b ，c 依次成等差数列，且1AB CA ⋅=-，求b 的值.（2）由已知得2sin 426A A f π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 226A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ……………8分 所以623A ππ+=或2623A ππ+=，解得3A π=或A π=（舍去）， ………………10分 由1AB CA ⋅=-，得()cos 1bc A π-=-，解得2bc =，由三边a ，b ，c 依次成等差数列得2b a c =+，则222222(2)4448a b c b bc c b c =-=-+=+-，由余弦定理得222222cos 2a b c bc A b c =+-=+-, 解得b =…………12分考点：1、平面向量的数量积的运算；2、余弦定理；3、解三角形；4、等差数列的性质及应用；5、特殊角的三角函数值.19.(本小题满分12分)设()0,x ∈+∞，将函数()()2sin cos f x x x =+在区间()0,+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{}n a ()*n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）()()*211424n n a n n N πππ-=+-⋅=∈；（2）()23232n n T n π⎡⎤=-⋅+⎣⎦.所以()23232n n T n π⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………12分 考点：1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前n 项和；5、等比数列的前n 项和.20.(本小题满分13分)已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a R =+-+∈. (1)当2a =时，求函数()f x 的极值；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)是否存在实数()1a a <-，使函数()()ln f x a a a =--在[)0,+∞上有唯一的零点，若有，请求出a 的范围；若没有，请说明理由.【答案】（1）()f =0x 极小值，无极大值；（2）见解析；（3）存在，1a =或a e <-.（2）'(1)(),11a x x a f x x a x x ++=+-=++定义域()1,-+∞， ………5分 ①当11a --≤-，即0a ≥时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()0,+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()1,0-； ………6分 ②当110a -<--≤，即10a -≤<时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()1,1a ---和()0,+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()1,0a --； ……7分 ③当10a -->，即1a <-时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()1,0-和()1,a --+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()0,1a --； ……8分 综上，0a ≥时，()f x 的增区间为()0,+∞，减区间为()1,0-；10a -≤<时，()f x 的增区间为()1,1a ---和()0,+∞，减区间为()1,0a --；1a <-时，()f x 的增区间为()1,0-和()1,a --+∞，减区间为()0,1a --； ………9分(3)当1a <-时，由（2）知()f x 在[)0,+∞的极小值为21(1)ln()22a f a a a --=-+--，而极大值为(0)0f =；由题意，函数()y f x =的图象与ln()y a a a =--在[)0,+∞上有唯一的公共点， 所以，21(1)ln()ln()22a f a a a a a a --=-+--=--或()ln()f 0y a a a =-->，结合1a <-，解得1a =-或a e <-. ……13分考点：1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足112a =，()1121n n na a ++=-()*n N ∈. (1)求证：数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列；(2)设21n n b a =()*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ； (3)设12n n n n c a a +=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：13n T <(其中*n N ∈). 【答案】（1）见解析；（2）34623n n n ⋅-⋅++；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）首先由1a 求出2a ，然后2n ≥时，构造函数1111(1)2[-(1)]n n n n a a ----=--，即可证明在2n ≥条件下数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列，将1n =时的值代入也符合，即证；（2）先由（1）得到n a ，然后写出{}n b 的通项公式，根据等比数列前n 项和公式求出n S ；（3）求出数列{}n c 的通项公式，再由累加法求其前n 项和为n T ，再判断n T 与13的关系. 试题解析：（1）证明：由112a =，()1121n n n a a ++=-得215a =-， 当2n ≥时，1112(1)n n n a a --+=-，即1111(1)2[-(1)]n n n n a a ----=--， 所以1(1)n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是首项为221(1)-6a --=，公比为2-的等比数列，1n =时，也符合，所以数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列； ……….5分考点：1、函数的构造；2、等比数列的性质；3、等比数列的前n 项和；4、累加法求数列的前n 项和.。

2014年江西省抚州市某校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求）1. 若复数z 满足：z +|z|=1+2i ，则z 的虚部为( ) A 2i B 1 C 2 D i2. 设全集U 是实数集R ，M ={x||2x −3|≥4}，N ={x|log 13(x +2)≥0}，则M ∩N =()A {x|x ≤−32} B {x|−2<x ≤−12} C {x|−32≤x ≤−1} D {x|−2<x ≤−1} 3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果k =( )A 4B 5C 6D 74. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A 48B 32+8√17C 48+8√17D 805. 设S n 是公差为d(d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是（ ） A 若d <0，则数列{S n }有最大项 B 若数列{S n }有最大项，则d <0 C 若对任意n ∈N ∗，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 D 若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N ∗，均有S n >06. 下列四个命题中①设有一个回归方程y =2−3x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位；②命题P ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0“的否定￢P ：“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”； ③设随机变量X 服从正态分布N(0, 1)，若P(X >1)=p ，则P(−l <X <0)=12−p ； ④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有（ ） 附：本题可以参考独立性检验临界值表7. 已知锐角α，β满足：sinβ−cosβ=15，tanα+tanβ+√3tanα⋅tanβ=√3，则cosα=( ) A3√3−410 B 3√3+410 C 3+4√310 D 4√3−3108. 已知函数f(x)的定义域为D ，若对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2)，则称函数f(x)在D 上为非减函数．设函数f(x)在[0, 1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)=0；②f(x3)=12f(x)；③f(1−x)=2−f(x)．则f(13)+f(18)=( ) A 1 B 32 C 2 D 529. 已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1⋅e 2的取值范围是（ ） A (19, +∞) B (15, +∞) C (13, +∞) D (0, +∞)10. 图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S ＝S(a)(a ≥0)是图中阴影部分介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的相应位置上） 11. 在(1−x)(1+x)4的展开式中，含x 2项的系数是b ，若(2−bx)7=a 0+a 1x+...+a 7x 7，则a 1+a 2+...+a 7=________．12. 设π6是函数f(x)＝sin(2x +θ)的一个零点，则函数在区间(0, 2π)内所有极值点之和为________．13. 已知a >b ，且ab =1，则a 2+b 2+1a−b的最小值是________．14. 已知函数f(x)=|log a |1−x||(a >0, a ≠1)，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4=________．选做题（考生注意：请在15、16两题中任选一题作答，若多做，则按15题计分）（坐标系与参数方程选做题）15. （理）以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线{x =√2cosφy =√2sinφ(φ为参数，φ∈R)上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=4(ρ, θ∈R)的最短距离是________．（不等式选讲选做题）16. 若存在实数x 使|x −a|+|x −1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 在△ABC 中，已知AB →⋅AC →=9，AB →⋅BC →=−16．求： (1)AB 的值； (2)sin(A−B)sinC的值．18. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． （1）在正方形ABCD 内部随机取一点P ，求满足|PH|<√2的概率；（2）从A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．19. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=12，且满足2S n+1=4S n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）当1≤i ≤n ，1≤j ≤n （i ，j ，n 均为正整数）时，求a i 和a j 的所有可能的乘积a i a j 之和．20. 在如图的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB // CD ，AB =2BC ，∠ABC =60∘，AC ⊥FB ．(1)求证：AC ⊥平面FBC ；(2)求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．21.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >c >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，c 为半焦距，若以F 2为圆心，b −c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于√32(a −c)，（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为k(k >0)的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与圆F 2交于C ，D 两点，若O 在以AB 为直径的圆上，求|CD →|的最大值．22. 设函数f(x)=e x −ax +a(a ∈R)，其图象与x 轴交于A(x 1, 0)，B(x 2, 0)两点，且x 1<x 2．（1）求a 的取值范围；（2）证明：f′(√x 1x 2)<0（f′(x)为函数f(x)的导函数）；（3）设g(x)=3ax 2−ax +2+a ，若f(x)+e −x ≥g(x)对x ∈R 恒成立，求a 取值范围．2014年江西省抚州市某校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）答案1. C2. D3. B4. C5. D6. C7. C8. B9. C 10. C 11. −128 12.14π313. 2√3 14. 2 15. √2 16. [−2, 4]17. 解：(1)∵ AB →⋅AC →=9，AB →⋅BC →=−16，∴ AB →⋅AC →−AB →⋅BC →=AB →(CB →−CA →)=25， ∴ |AB →|2=25， ∴ AB =5； (2)sin(A−B)sinC =sinAcosB−cosAsinBsinC，∵ bccosA =9，accosB =16，c 2=25， ∴ 由正弦定理化简得：sin(A−B)sinC=acosB−bcosAc=accosB−bccosAc 2=725．18. 解：（1）如图所示，正方形的面积S 正方形ABCD =2×2=4．设“满足|PH|<√2的正方形内部的点P 的集合”为事件M ，则S(M)=S △DGH +S △AEH +S 扇形EGH =2×12×12+12×√2×π2×√2=1+π2． ∴ P(M)=1+π24=π8+14．故满足|PH|<√2的概率为π8+14．（2）从A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 这八个点中，随机选取两个点，共可得到C 82=28线段．其中长度等于1的有8条：AE 、EB 、BF 、FC 、CG 、GD 、DH 、HA ；长度等于√2的由4条：EF 、FG 、GH 、HE ；长度等于2的有6条：AB 、BC 、CD 、DA 、EG 、FH ；长度等于√5的有8条，AF 、AG 、BG 、BH 、CE 、CH 、DE 、DF ；长度等于2√2的由2条AC 、BD ．∴ ξ的所有可能的取值为1，√2，2，√5，2√2．则P(ξ=1)=828=27，P(ξ=√2)=428=17，P(ξ=2)=628=314，P(ξ=√5)=828=27，P(ξ=2√2)=228=114．随机变量ξ的分布列为Eξ=1×27+√2×17+2×314+√5×27+2√2×114=5+2√2+2√57． 19. 解：（1）∵ 2S n+1=4S n +1(n ∈N ∗)，∴ 2S n =4S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)， 两式相减得a n+1=2a n ，∴a n+1a n=2(n ≥2,n ∈N ∗)，由2S 2=4S 1+1得2(a 1+a 2)=4a 1+1，又a 1=12，∴ a 2=1，a 2a 1=2．∴ 数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，∴ a n =2n−2．（2）由a i 和a j 的所有可能乘积a i ⋅a j =2i+j−4(1≤i ≤n, 1≤j ≤n)可构成下表：21+1−4，21+2−4，21+3−4，…，21+n−4，22+1−4，22+2−4，…，22+n−4，2n+1−4，2n+2−4，2n+3，…，2n+n−4， 设上表第一行的和为T 1，则T 1=14(1−2n )1−2=14(2n −1)于是T n =T 1(1+2+22+...+2n−1)=14(2n −1)1−2n 1−2=14(2n −1)220. (1)证明：∵ AB =2BC ，∠ABC =60∘， 在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2=(2BC)2+BC 2−2×2BC ×BC ×cos60∘， 即AC =√3BC ，∴ AC 2+BC 2=AB 2, ∴ AC ⊥BC .∵ AC ⊥FB ，BF ∩BC =B ，BF ，BC ⊂平面FBC ， ∴ AC ⊥平面FBC .(2)解：∵ 由(1)知，AC ⊥平面FBC ，FC ⊂平面FBC ， ∴ AC ⊥FC ．∵ 平面CDEF 为正方形， ∴ CD ⊥FC ． ∵ AC ∩CD =C ， ∴ FC ⊥平面ABCD ，∴ CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，∵ 平面ABCD 是等腰梯形，且AB =2BC ，∠ABC =60∘， ∴ CB =CD =CF ．不妨设BC =1，则B(0, 1, 0)，F(0, 0, 1)，A(√3，0，0)， D(√32，−12，0)，E(√32，−12，1)，∴ BF →=(0,−1,1)，DA →=(√32,12,0)，DE →=(0,0,1)． 设平面ADE 的法向量为n →=(x, y, z)，则有{n →⋅DA →=0,n →⋅DE →=0,即{√32x+y2=0,z =0.取x =1，得n →=(1,−√3，0)是平面ADE 的一个法向量. 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ， 则sinθ=|cos <BF →，n →>|=|BF →⋅n→|BF →|⋅|n →||=√3√2×2=√64, ∴ 直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为√64．21. 解：（1）根据题意可设切线长|PT|=√|PF 2|2−(b −c)2，所以当且仅当|PF 2|取得最小值时取得最小值． 而|PF 2|min =a −c ，所以√(a −c)2−(b −c)2≥√32(a −c)，∴ 0<b−ca−c ≤12，∴ 0<√1−e 2−e 1−e≤12，从而解得35≤e <√22， ∴ 离心率的取值范围是{e|35≤e <√22}．… （2）依题意椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ， ∴ c −(b −c)=b =1，得点Q 的坐标为(1, 0)， 则得直线l 的方程为y =k(x −1)， 联立方程组{y =k(x −1)x 2a 2+y 2=1， 得(a 2k 2+1)x 2−2a 2k 2x +a 2k 2−a 2=0， 则有x 1+x 2=2a 2k 2a 2k 2+1，x 1x 2=a 2k 2−a 2a 2k 2+1，代入直线方程得y 1y 2=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=k 2(1−a 2)a 2k 2+1，x 1x 2+y 1y 2=k 2−a 2a 2k 2+1，由题意OA ⊥OB ，所以OA →⋅OB →=0， 所以x 1x 2+y 1y 2=0，k 2=a 2，解得k =a ，直线方程为ax −y −a =0，圆心F 2(c, 0)到直线l 的距离d =√a 2+1，|CD|2=4[(b −c)2−d 2]=4[(1−c)2−a 2(c−1)2a 2+1]=4(c−1)2a 2+1，|CD|=√a 2+1=2√c 2−2c+1a 2+1=2√c 2−2c+1c 2+2=2√1−2c+1c 2+2=2√1−42c+1+92c+1−2，又由（1）知35≤e <√22， 所以34≤c <1，52≤2c +1<3，所以|CD|∈(0,2√4141]， 所以当c =34时，|CD|max =2√4141，所以|CD →|的最大值为2√4141．… 22. （1）解：f ′(x)=e x −a ．若a ≤0，则f ′(x)>0，则函数f(x)是单调增函数，这与题设矛盾． ∴ a >0，令f ′(x)=0，则x =lna ．当x <lna 时，f ′(x)<0，f(x)是单调减函数；x >lna 时，f ′(x)>0，f(x)是单调增函数； 于是当x =lna 时，f(x)取得极小值．∵ 函数f(x)=e x −ax +a(a ∈R)的图象与x 轴交于两点A(x 1, 0)，B(x 2, 0)(x 1<x 2)， ∴ f(lna)=a(2−lna)<0，即a >e 2．此时，存在1<lna ，f(1)=e >0；存在3lna >lna ，f(3lna)=a 3−3alna +a >a 3−3a 2+a >0， 又f(x)在R 上连续，故a >e 2为所求取值范围．…（2）证明：∵ {e x 1−ax 1+a =0e x 2−ax 2+a =0两式相减得a =e x 2−e x 1x 2−x 1．记x 2−x 12=s(s >0)，则f′(x 1+x 22)=ex 1+x 22−e x 2−e x 1x 2−x 1=ex 1+x 222s[2s −(e s −e −s )]，设g(s)=2s −(e s −e −s )，则g′(s)=2−(e s +e −s )<0，∴ g(s)是单调减函数， 则有g(s)<g(0)=0，而ex 1+x 222s>0，∴ f′(x 1+x 22)<0．又f ′(x)=e x −a 是单调增函数，且x 1+x 22>√x 1x 2∴ f′(√x 1x 2)<0． …（3）解：设F(x)=f(x)+e −x −g(x)=e x +e −x −3ax 2−2 ∵ F(−x)=F(x)， ∴ F(x)是偶函数∴ f(x)+e −x ≥g(x)对x ∈R 恒成立⇔F(x)≥0对x ∈[0, +∞)恒成立． F′(x)=e x −e −x −6ax ，设ℎ(x)=（F′(x)）′=e x +e −x −6a ∴ ℎ′(x)=e x +e −x =e 2x −1e x≥0∴ ℎ(x)在x ∈[0, +∞)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=2−6a①当2−6a ≥0⇔a ≤13时，ℎ(x)≥ℎ(0)=2−6a ≥0⇒F′(x)在x ∈[0, +∞)上单调递增∴ F′(x)≥F′(0)=0，∴ F(x)在x ∈[0, +∞)上单调递增∴ F(x)≥F(0)=0对x ∈[0, +∞)恒成立 ②当2−6a <0⇔a >13时，ℎ(0)=2−6a <0 ∵ ℎ(x)在x ∈[0, +∞)上单调递增，又ℎ(ln6a)=16a >0故∃x 0∈(0, +∞)，使ℎ(x 0)=0当x ∈(0, x 0)时，ℎ(x)<0⇒F′(x)在(0, x 0)单调递减⇒F′(x)<F′(x)=0当x ∈(0, x 0)时，F(x)单调递减，此时，F(x)≥F(0)=0对x ∈[0, +∞)不恒成立 综上，当a ≤13时，F(x)≥0对x ∈[0, +∞)恒成立，即f(x)+e −x ≥g(x)对x ∈R 恒成立…。

2014年江西省十大名校联盟高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分，请将答案涂在答题卷上） 1. 已知集合M ={x|x >x 2}，N ={y|y =4x 2, x ∈M}，则M ∩N =( )A {x|0<x <12} B {x|12<x <1} C {x|0<x <1} D {x|1<x <2} 2. 已知复数z 1=m +2i ，z 2=2−i ，若z1z 2为实数，则实数m 的值为（ ）A 1B −1C 4D −43. 如图给出了计算12+14+16+⋯+160的值的程序框图，其中①②分别是（ ）A i <30，n ＝n +2B i ＝30，n ＝n +2C i >30，n ＝n +2D i >30，n ＝n +14. 如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A 20+3πB 24+3πC 20+4πD 24+4π5. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n =4(a 1+a 3+...+a 2n−1)，a 1a 2a 3=27，则a 6=( )A 27B 81C 243D 729 6. 以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ξ服从正态分布N(1, σ2)，P(ζ≤5)=0.81，则P(ζ≤−3)=0.19；④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为（ ）A 4B 3C 2D 17. 若a →，b →，c →均为单位向量，且a →⋅b →=0，则|a →+b →−c →|的最小值为（ ） A √2−1 B 1 C √2+1 D √2 8. 已知点F(−c, 0)(c >0)是双曲线x 2a2−y 2b 2=1的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2=c 2交于点P ，且点P 在抛物线y 2=4cx 上，则e 2=( ) A3+√52B √5 C√5−12 D 1+√529. 圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4，圆M 的方程为(x −2−5cosθ)2+(y −5sinθ)2=1(θ∈R)，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别是E ，F ，则PE →⋅PF →的最小值是（ ）A 12B 10C 6D 510. 如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90∘，∠B =45∘，底边AB =5，高AD =3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，ENAD 于N ，设BM =x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）11. (1x +x 2)3的展开式中的常数项为a ，则直线y =ax 与曲线y =x 2围成图形的面积为________．12. 方程x 2+3ax +3a +1=0(a >2)两根tanα、tanβ，且α，β∈(−π2, π2)，则α+β=________．13. 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有________种．14. 已知集合M ={(x, y)|y =f(x)}，若对于任意(x 1, y 1)∈M ，存在(x 2, y 2)∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M ={(x, y)|y =1x }； ②M ={(x, y)|y =sinx +1}； ③M ={(x, y)|y =log 2x}；④M ={(x, y)|y =e x −2}．其中是“垂直对点集”的序号是________．三、选做题：（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）（坐标系与参数方程选做题） 15. 在极坐标系中，已知圆C 经过点P(√2,π4)，圆心为直线ρsin(θ−π3)=−√32与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程是________．（不等式选做题）16. 已知关于x 的不等|x +2a|+2−x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．四、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 凸四边形PABQ 中，其中A 、B 为定点，AB =√3，P 、Q 为动点，满足AP ＝PQ ＝QB ＝1． （1）写出cosA 与cosQ 的关系式；（2）设△APB 和△PQB 的面积分别为S 和T ，求S 2+T 2的最大值，以及此时凸四边形PABQ 的面积．18. 某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区（如图），L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34，35．（1）求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（2）若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．19. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，AD =2，AB =1，∠ABC =60∘，PA ⊥面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上且PF =2FD ． （1）求证：BE // 平面ACF ；（2）设二面角A −CF −D 的大小为θ，若|cosθ|=√4214，求PA 的长． 20. 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=t ，点(S n , a n+1)在直线y =2x +1上，n ∈N ∗．（1）若数列{a n }是等比数列，求实数t 的值；（2）设b n=na n，在（1）的条件下，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设各项均不为0的数列{c n}中，所有满足c i⋅c i+1<0的整数i的个数称为这个数列{c n}的“积异号数”，令c n=b n−4b n(n∈N∗)，在（2）的条件下，求数列{c n}的“积异号数”．21. 如图，分别过椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右焦点F1, F2的动直线l1, l2相交于P点，与椭圆E分别交于A, B与C, D不同四点，直线OA, OB, OC, OD的斜率k1, k2, k3, k4满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2√3，|CD|=4√33．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M，N点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．22. 已知函数f(x)={−x 3+x2+bx+c，(x<1)alnx,(x≥1)的图象过坐标原点O，且在点（−1, f(−1)）处的切线的斜率是−5．（1）试确定实数b，c的值，并求f(x)在区间[−1, 2]上的最大值；（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．2014年江西省十大名校联盟高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. C4. A5. C6. C7. A8. D9. C10. A11. 9212. −3π413. 24 14. ②④ 15. ρ＝2cosθ 16. (−1, +∞)17. 在△PAB 中，由余弦定理得：PB 2＝PA 2+AB 2−2PA ⋅AB ⋅cosA ＝1+3−2√3cosA ＝4−2√3cosA ，在△PQB 中，由余弦定理得：PB 2＝PQ 2+QB 2−2PQ ⋅QB ⋅cosQ ＝2−2cosQ ， ∴ 4−2√3cosA ＝2−2cosQ ，即cosQ =√3cosA −1； 根据题意得：S =12PA ⋅AB ⋅sinA =√32sinA ，T =12PQ ⋅QB ⋅sinQ =12sinQ ，∴ S 2+T 2=34sin 2A +14sin 2Q =34(1−cos 2A)+14(1−cos 2Q)=−3cos 2A 2+√32cosA +34=−32(cosA −√36)2+78，当cosA =√36时，S 2+T 2有最大值78，此时S 四边形PABQ ＝S +T =√11+√34． 18. 解：（1）设”L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则P(A)=C 30×(12)3+C 31×12×(12)2=12（2）依题意，X 的可能取值为0，1，2P(X =0)=(1−34)×(1−35)=110P(X =1)=34×(1−35)+(1−34)×35=920P(X =2)=34×35=920所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×110+1×920+2×920=2720设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2，3， P(Y =0)=C 30×(12)3=18， P(Y =1)=C 31×12×(12)2=38， P(Y =2)=C 32×(12)2×12=38，P(Y =3)=C 33×(12)3=18，所以，随机变量Y 的分布列为：EY =0×18+1×38+2×38+3×18=32．因为EX <EY ，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．19.（1）证明：∵ 由AD =2，AB =1，ABCD 是平行四边形，∠ABC =60∘，∴ AC =√4+1−2×2×1×cos60∘=√3， ∴ AB ⊥AC ．又∵ PA ⊥面ABCD ，∴ 以AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立坐标系． 则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(0, √3, 0)，D(−1, √3, 0)， 设P(0, 0, c)，则E(0,√32，c 2)． 设F(x, y, z)，∵ PF =2FD ，∴ PF →=2FD →，即：(x,y,z −c)=2(−1−x,√3−y ，−z)． 解得：x =−23，y =2√33，z =c3，∴ F(−23，2√33，c3)．….. ∴ AF →=(−23,2√33,c3)，AC →=(0,√3,0)，BE →=(−1,√32,c2)． 设面ACF 的法向量为n →=(x,y,z)， 则{−23x +2√33y +c3z =0y =0，取n →=(c,0,2)．因为n →⋅BE →=−c +c =0，且BE ⊄面ACF ， ∴ BE // 平面ACF ． …..（2）设面PCD 法向量为m →=(x,y,z)， ∵ PC →=(0,√3,−c)，PD →=(−1,√3,−c)， ∴ {√3y −cz =0−x +√3y −cz =0，取m →=(0,c,√3)． …..由|cosθ|=||n →||m →|˙|=√4214，得2√3√c 2+4√c 2+3=√4214．整理，得c 4+7c 2−44=0，解得c =2， ∴ PA =2． …..20. 解：（1）由题意可得，当n ≥2时，有{a n+1=2S n +1a n =2S n−1+1，两式相减，得 a n+1−a n =2a n ，即a n+1=3a n (n ≥2)，所以，当n ≥2时，{a n }是等比数列，要使n ≥1时{a n }是等比数列， 则只需a 2a 1=2t+1t=3，从而得出t =1．（2）由（1）得，等比数列{a n }的首项为a 1=1，公比q =3，∴ a n =3n−1． ∴ b n =na n =n ⋅3n−1，∴ T n =1×30+2×31+3×32+⋯+(n −1)⋅3n−2+n ⋅3n−1，①上式两边乘以3得3T n =1×31+2×32+3×33+⋯+(n −1)⋅3n−1+n ⋅3n ②， ①-②得−2T n =30+31+32+⋯+3n−1−n ⋅3n ， ∴ T n =2n−14⋅3n +14．（3）由（2）知b n =n ⋅3n−1，∵ c n =1−4b n，∵ c 1=1−41=−3，c 2=1−42×3=13，∴ c 1c 2=−1<0． ∵ c n+1−c n =4b n−4b n+1=4(2n+3)n(n+1)⋅3n>0，∴ 数列{c n }递增．由c 2=13>0，得当n ≥2时，c n >0．∴ 数列{c n }的“积异号数”为1．21. 解：(1)当l 1与x 轴重合时，k 1+k 2=k 3+k 4=0， 即k 3=−k 4，∴ l 2垂直于x 轴，得|AB|=2a =2√3，|CD|=2b 2a=4√33， 解得a =√3，b =√2， ∴ 椭圆E 的方程为x 23+y 22=1．(2)焦点F 1、F 2坐标分别为(−1, 0)，(1, 0)，当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(−1, 0)或(1, 0)， 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{x 23+y 22=1,y =m 1(x +1),得(2+3m 12)x 2+6m 12x +3m 12−6=0，∴ x 1+x 2=−6m 122+3m 12，x 1x 2=3m 12−62+3m 12，k 1+k 2=y 1x 1+y 2x 2=m 1(x 1+1x 1+x 2+1x 2) =m 1(2+x 1+x 2x 1x 2)=−4m1m 12−2，同理k 3+k 4=−4m 2m 22−2，∵ k 1+k 2=k 3+k 4，∴ −4m 1m 12−2=−4m2m 22−2，即(m 1m 2+2)(m 2−m 1)=0，由题意知m 1≠m 2， ∴ m 1m 2+2=0， 设P(x, y)，则y x+1⋅yx−1+2=0，即y 22+x 2=1，x ≠±1，由当直线l 1或l 2斜率不存在时， P 点坐标为(−1, 0)或(1, 0)也满足， ∴ 点P(x, y)在椭圆y 22+x 2=1上，∴ 存在点M ，N 其坐标分别为(0, −1), (0, 1)，使得|PM|+|PN|为定值2√2． 22. 解：（1）当x <1时，f(x)=−x 3+x 2+bx +c ，则f ′(x)=−3x 2+2x +b ． 依题意得：{f(0)=0f′(−1)=−5，即{c =0−3−2+b =−5，∴ b =c =0∴ f(x)={−x 3+x 2，(x <1)alnx,(x ≥1)①当−1≤x <1时，f′(x)=−3x2+2x =−3x(x −23) 令f ′(x)=0得x =0或x =23当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：又f(−1)=2，f(23)=427，f(0)=0．∴ f(x)在[−1, 1)上的最大值为2．②当1≤x ≤2时，f(x)=alnx ．当a ≤0时，f(x)≤0，f(x)最大值为0； 当a >0时，f(x)在[1, 2]上单调递增．∴ f(x)在[1, 2]最大值为aln2． 综上，当aln2≤2时，即a ≤2ln2时，f(x)在区间[−1, 2]上的最大值为2； 当aln2>2时，即a >2ln2时，f(x)在区间[−1, 2]上的最大值为aln2．（2）假设曲线y =f(x)上存在两点P 、Q 满足题设要求，则点P 、Q 只能在y 轴两侧． 不妨设P （t, f(t)）(t >0)，则Q(−t, t 3+t 2)，显然t ≠1∵ △POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴ OP →⋅OQ →=0=0即−t 2+f(t)(t 3+t 2)=0(∗)若方程(∗)有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程(∗)无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0<t<1，则f(t)=−t3+t2代入(∗)式得：−t2+(−t3+t2)(t3+t2)=0即t4−t2+1=0，而此方程无解，因此t>1．此时f(t)=alnt，=(t+1)lnt(∗∗)代入(∗)式得：−t2+(alnt)(t3+t2)=0即1a+1>0令ℎ(x)=(x+1)lnx(x≥1)，则ℎ′(x)=lnx+1x∴ ℎ(x)在[1, +∞)上单调递增，∵ t>1，∴ ℎ(t)>ℎ(1)=0，∴ ℎ(t)的取值范围是(0, +∞)．∴ 对于a>0，方程(∗∗)总有解，即方程(∗)总有解．因此，对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．。

江西省高中2014届下学期毕业班4月联考诊断测试数 学（理科类） 2014.4.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。

考试时间120分钟。

第一部分 （选择题 共50分）注意事项：用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿纸、试题卷上。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数2)21(i +（其中i 为虚数单位）的虚部为A.i 4B.i 4-C.4D.-4 2. 函数)2lg(2x x y -∙+=的定义域为A.)0,2(-B.)2,0(C.)2,2(-D.[)2,2- 3. “α是第二象限角”是“0tan sin ＜αα”的A.充分不必要条件B.必要不充分C.充分条件D.既不充分也不必要 4. 设dx x )21(20-=⎰α，则二项式62)(xax +的常数项是A.-240B.240C.-160D.160 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323 B.322C.320D.3146. 已知定义域在R 上的函数)(x f 图像关于直线2-=x 对称且当2-≥x 时，43)(-=xx f ,若函数)(x f 在区间),1(k k -上有零点，则符合条件的k 的值是A.-8B.-7C.-6D.-5 7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为A.81-B.81C.161D.3218. 若X 是一个集合，集合υ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足： （1）υ∈X ，空集∅∈υ；（2）υ中任意多个元素的并集属于υ； （3）υ中任意多个元素的交集属于υ；称υ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{}c b a X ,,=，对于下列给出的四个集合υ：9. 如图正方体1111D C B A A B C D-的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11B A 上移动,θ=∠EAB ，)2,0(πθ∈，过直线AD AE ,的平面ADFE 将正方体分为两部分，记棱BC 所在部分的体积为)(θV ，则函数)(θV V =，)2,0(πθ∈的大致图像是10.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a b y a x C =+的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△21PF F 的重心为G ，内心为I ，且有21F F IG λ=（λ为实数），斜率为1的直线l 经过点1F ，且与圆122=+y x 相切，则椭圆的方程为A.16822=+y xB.14622=+y xC.17922=+y xD.181022=+y x第二部分 （非选择题 共100分）注意事项：必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。