第八章 方差分析与相关分析

【数理统计基础】06-相关分析和⽅差分析1. 相关分析1.1 相关系数 在⼀堆变量中，找到并分析它们之间的关系，是复杂环境和模型中的重要任务。

由于线性关系的特殊、常见和简单，数学上往往采⽤线性关系来逼近实际关系。

上篇的线性回归以及概率论中的线性回归，更关注的是线性函数的参数估计。

如果想单纯地度量随机变量的线性关系，直接讨论相关系数即可，请先复习斜⽅差的相关概念。

两个变量之间的线性关系，就是之前学过的协⽅差的概念\text{Cov}(X,Y)。

在得到n个样本(X_i,Y_i)后，容易得到式（1）的⽆偏估计，注意其中降低了⼀个⾃由度，继⽽还可以有式（2）的样本相关系数。

相关系数是线性关系的直接度量，它可以作为相关假设的检验条件，最常⽤的就是当|r|\leqslant C时认为X,Y是不相关的。

\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\approx\text{Cov}(X,Y)\tag{1}r=\dfrac{1}{S_XS_Y}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}),\;\;S_X^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\tag{2} 为了能找到关于r的枢轴变量，这⾥还是要做⼀些假设，即(X,Y)是⼀个⼆元正态分布。

回顾⼆元正态分布的知识（《初等概率论》第5篇公式（27）），可知X,Y完全符合⼀元线性回归的模型。

为此这⾥暂且取定X_i，⽽把Y_i看成随机变量，并对它们进⾏⼀元回归分析。

⽐较发现系数估计满⾜\alpha_1=r\cdot\dfrac{S_Y}{S_X}，在假设\rho=0（即系数a_1=0）的情况下，把这个等式代⼊上篇公式（12）右的枢轴变量，整理后得到式（3）。

由于该结论与X_i的取值⽆关，因此它对于变量X_i也成⽴，它就是我们要找的枢轴变量。

\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\sim t_{n-2}\tag{3}1.2 复相关系数 相关系数度量了两个随机变量之间的线性关系，当系统中的变量很多时，关系也会变得复杂，这时需要引⼊更多的关系分析。

入学等级期末成绩每周学习时间1 96 451 88 381 75 341 86 381 88 431 80 411 96 502 87 422 80 352 90 402 72 302 77 382 68 322 93 392 85 392 85 453 70 353 67 283 70 303 65 203 61 303 80 40研究期末成绩与每周学习时间和入学等级的相关程度？相关分析1，散点图从散点图中可以看出期末成绩与每周的学习时间是有较大的线性关系的，说明成绩的多少与每周的学习时间是有较大关联的。

2，相关系数（定距数据）从定距数据（期末成绩与每周学习时间）的相关系数看，从22个样本数据看相关系数很高大于0.8，呈高度相关，说明期末成绩与每周学习时间相关性较大，即每周学习时间对期末成绩的影响较大。

3，相关系数（定类数据）从定类数据（入学等级）与期末成绩看期末成绩与入学等级的相关性较差小于0.3，说明入学等级与期末成绩的相关性不大，即入学等级对期末成绩的影响不是很大。

df 0 19每周学习时间 Correlation .890 1.000Significance.000 .(2-tailed)df 19 0将入学等级作为偏相关系数看，将入学等级剔除后期末成绩与每周学习时间的相关性增强了，说明入学等级应作为偏相关系数将之剔除。

结论：根据相关性分析，期末成绩与每周学习时间的相关性较大，与入学等级的相关性不大，说明成绩的多少与学生学习的努力程度相关，而与入学等级（入学时的优良）关系不大。

单因素方差分析班级期末成绩1 87 1 80 1 80 1 80 1 88 1 701 672 72 2 70 2 75 2 77 2 68 2 652 613 93 3 88 3 86 3 85 3 85 3 96 3 90研究三个不同班级间的期末成绩是否有差异？方差齐性检验结果Levene的统计量=0.955，P值=0.601大于0.403，即说明方差无显著性差异，满足方差分析前提。

第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。

在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。

相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。

在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。

这种关系不能用完全确定的函数来表示。

相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。

回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。

其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。

单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。

复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。

正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。

负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。

线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。

非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。

相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。

取值在-1到1之间。

两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。

三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。

《统计学》实验五一、实验名称：方差分析二、实验日期：2010年12月3日三、实验地点：经济管理系实验室四、实验目的和要求目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握利用EXCEL 进行方差分析，对方差分析结果进行分析要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL S行方差分析五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL软件六、实验过程（一）问题与数据消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。

当分生纠纷后，消费者常常会向消费者协会投诉。

为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。

其中零售业抽取7家、旅游业抽取6家、航空公司抽取5家、家电制造业抽取5家。

具体数据如下：零售业旅游业航空公司家电制造业5768314466394951492921654045347734564058535144取显著性水平a =0.05,检验行业不同是否会导致消费者投诉的显著性差异?（二）实验步骤1、进行假设2、将数据拷贝到EXCEL表格中3、选择“工具一一数据分析一一单因素方差分析”，得到如下结果：方差分析’单因素方差分析SUMMARY观蒯数 求和 平均 方差方差分析（三）实验结果分析：由以上结果可知：F>F crit=3.4066 或P-value=0.0387657<0.05,拒绝原假设，表明行业对消费者投诉有着显著差异。

实验心得体会在这学习之前我们只学习了简单的方差计算，现在运用计算机进行方差分 析,可以做出更多的比较。

通过使用计算机可以很快的计算出组间和组内的各种 数值，便于我们进行比较分析。

《统计学》实验六一、 实验名称：相关分析与回归分析 二、 实验日期：2010年12月3日 三、 实验地点：经济管理系实验室 四、 实验目的和要求目的：培养学生利用EXCEL 进行数据处理的能力，熟练掌握 EXCEL 绘制 散点图，计算相关系数，拟合线性回归方程，拟合简单的非线性回归方程，利用 回归方程进行预测。

1. 知识与技能：使学生掌握方差分析的基本概念、原理和方法，能够运用方差分析解决实际问题。

2. 过程与方法：通过案例分析、小组讨论等方式，培养学生运用方差分析解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对统计学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和团队协作精神。

二、教学内容1. 方差分析的定义与作用2. 方差分析的基本原理3. 方差分析的操作步骤4. 方差分析的应用案例5. 方差分析的局限性与改进方法三、教学重点与难点1. 教学重点：方差分析的基本概念、原理、方法及应用。

2. 教学难点：方差分析的数学推导和实际操作。

四、教学方法1. 讲授法：讲解方差分析的基本概念、原理和方法。

2. 案例分析法：分析方差分析的应用案例，让学生体会方差分析在实际问题中的应用。

3. 小组讨论法：分组讨论方差分析的问题和解决方案，培养学生团队合作精神。

4. 实践操作法：让学生利用统计软件进行方差分析的实际操作，提高动手能力。

1. 第1课时：方差分析的定义与作用2. 第2课时：方差分析的基本原理3. 第3课时：方差分析的操作步骤4. 第4课时：方差分析的应用案例5. 第5课时：方差分析的局限性与改进方法六、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的实际问题引出方差分析的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解与演示：详细讲解方差分析的基本概念、原理和方法，并通过演示文稿或板书进行展示。

3. 案例分析：选取具有代表性的案例，让学生了解方差分析在实际问题中的应用，并引导学生思考如何运用方差分析解决问题。

4. 分组讨论：将学生分成小组，让他们针对案例展开讨论，提出自己的观点和解决方案。

5. 成果分享：各小组汇报讨论成果，其他小组成员进行评价和补充。

6. 实践操作：让学生利用统计软件进行方差分析的实际操作，巩固所学知识。

7. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，指出方差分析的优势和局限性，鼓励学生反思自己的学习过程。

七、作业布置1. 完成课后练习题，加深对方差分析的理解。

方差分析与相关性分析方差分析和相关性分析都是统计学中常用的数据分析方法，用于探究不同变量之间的关系以及其显著性。

它们在不同的研究领域和实际问题中具有广泛的应用。

本文将详细介绍方差分析和相关性分析的概念、原理以及应用。

一、方差分析：1.概念：方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种用于比较两个或多个组均值之间差异的统计方法。

它通过分析组间差异与组内差异的相对贡献，来判断不同因素对总体均值的影响是否显著。

2.原理：方差分析的原理基于样本均值之间的差异分解。

它将总体均值的差异分解为组间差异和组内差异两部分。

组间差异反映了不同因素对总体均值的影响，而组内差异则反映了个体间的随机误差。

3.应用：方差分析广泛应用于实验设计和质量管理等领域。

例如，在医学研究中，研究人员可以使用方差分析来比较不同治疗方法的疗效；在工程领域，可以利用方差分析来评估不同生产批次之间的差异性；在社会科学研究中，可以使用方差分析来分析不同教育水平对工资的影响等。

二、相关性分析：1.概念：2.原理：相关性分析的原理基于协方差和标准差的计算。

它衡量了两个变量之间的线性关系程度。

相关性系数的取值范围是-1到1，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关关系。

3.应用：相关性分析广泛应用于经济学、社会科学和自然科学等领域。

例如，在经济学中，研究人员可以使用相关性分析来分析不同经济指标之间的关系，如GDP与通货膨胀率的相关性；在社会科学研究中，可以使用相关性分析来分析不同个体之间的关系，如年龄与收入的相关性等。

总结：方差分析和相关性分析是统计学中常用的数据分析方法。

方差分析主要用于比较两个或多个组均值之间的差异，通过分析组间差异和组内差异的相对贡献，来判断不同因素对总体均值的影响是否显著。

相关性分析则用于研究变量之间的关系强度和方向，通过计算相关性系数来量化变量之间的相关程度。

这两种分析方法在不同领域和实际问题中都具有重要的应用价值，可以帮助研究人员深入探索数据背后的关系，并为决策提供科学依据。