华南理工大学大学物理下册习题册习题详解

第七章 多元函数微分学

作业1 多元函数

1．填空题

（1）已知函数22,yfxyxyx，则,fxy22211xyy；

（2）49arcsin2222yxyxz的定义域是22,49xyxy；

（3）)]ln(ln[xyxz的定义域是

,,0,1,0,1xyxyxxyxxyx；

（4）函数0,0,sin),(xyxxxyyxf的连续范围是 全平面 ；

（5）函数2222yxzyx在22yx处间断.

2．求下列极限

（1）0039limxyxyxy；

解：000039391limlimlim639xttyxyttxytt

（2）22()lim(exyxyxy）. 解：3yx22()2()lim(elim(e2xyxyxyxxyyxyxyxeye））

由于1limelimlim0ttttttttee，2222limelimlimlim0ttttttttttteee，

故22()2()lim(elim(e20xyxyxyxxyyxyxyxeye））

3．讨论极限26300limyxyxyx是否存在.

解：沿着曲线3,,0,0ykxxy,有336626262000limlim1xxykxxykxkxyxkxk因k而异，从而极限26300limyxyxyx不存在

4．证明0,00,2),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(分别对于每个自变量x或y

都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.

1、试将三重积分,,fxyzdv化为三次积分，其中积分区域分别为：

1） 由双曲抛物面xyz及平面10,0xyz所围成的区域。

,,fxyzdv11000,,xxydxdyfxyzdz。

2） 由曲面2222,2zxyzx所围成的区域

,,fxyzdv22222112112,,xxxxydxdyfxyzdz。

2、计算下列三重积分

1）23xyzdv，其中是由曲面xyz与平面,1,0xyxz所围成的闭区域。

解：原式111235612000000111428364xxyxdxdyxyzdzdxxydyxdx

2）xzdxdydz，其中是由平面,1,0zyyz及抛物柱面2yx所围成的闭区域。

解：原式221111127101111026yxxdxdyxzdzdxxydyxxdx

3、利用柱面坐标计算22xydv，其中是由曲面222xyz及平面2z所围成

的区域。

解：原式22546222233000201622222123rrrrddrrdzrdr

4、利用球面坐标计算222xyzdv，其中是由球面2221xyz所围成的闭区域。

解：原式214000024sinsin55dddd

5、选用适当坐标计算222xyzdv，其中是由球面222xyzz所围成区域。

解：原式522cos3422000001cossin2cossin42510dddd

1、解微分方程：lnyxyyx

解：lnyyyxx，令yuyxux，原方程可化为

lnln1duduuxuuxuudxdx

变量分离两边积分得11lnln1lnln1dudxuxCuux

1ln1ln1CxyuCxCxyxex

2、求解初值问题2200,10yxydxxdyxy。

解：2221yxydyyydxxxx，令yuyxux，原方程可化为

2211duduuxuuxudxdx

变量分离两边积分得2211ln1ln1dudxuuxCxu

2ln1lnyyxCxx

由10y可得0C，所求函数为21yyxxx。

3、做适当的变量代换，求下列方程的通解。

1）2dyxydx

解：令uxy，则有1uy，原方程可化为

21uu

关于u这是一个变量可分离微分方程，变量分离两边积分得

21arctanarctan1dudxuxCxyxCu

tanyxCx

2）求微分方程15dyyxdxxy

解：解方程组： 1050yxxy得23xy 作变换： 23XxYy，则有

1,,5yxYXdxdXdydYxyXY

原方程化为： dYYXdXXY

令XYu，则有 11duuXudXu

变量分离： 2111ududXuX

两边积分： 2111ududXuX

解得： 21arctanln1ln2uuXC

院 系 班级 姓 名 作业编号

1 《高等数学》（下册）测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1．设有直线

3210:21030xyzLxyz

及平面:4220xyz，则直线L（ A ）

A．平行于平面； B．在平面上；

C．垂直于平面； D．与平面斜交.

2．二元函数22,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xyxyxyfxyxy在点(0,0)处（ C ）

A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；

C．不连续、偏导数存在； D．不连续、偏导数不存在.

3．设()fx为连续函数，1()d()dttyFtyfxx，则(2)F＝（ B ）

A．2(2)f； B．(2)f； C．(2)f D．0.

4．设是平面132zyx由0x，0y，0z所确定的三角形区域，则曲面积分

(326)dxyzS＝（ D ）

A．7； B．221； C．14； D．21.

5．微分方程e1xyy的一个特解应具有形式（ B ）

A．exab； B．exaxb； C．exabx； D．exaxbx.

《高等数学》同步作业册

2 二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1．设一平面经过原点及点(6,3,2)，且与平面428xyz垂直，则此平面方程为2230xyz；

2．设arctan1xyzxy，则(1,3)d|z＝24dxdy；