不等式与线性规划 (2)
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1 第6练 处理好“线性规划问题”的规划
题型一 不等式组所确定的区域问题
例1 已知点M(x，y)的坐标满足不等式组 x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0，则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题
例2 若变量x，y满足约束条件 x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值与最小值的和为________．
题型三 利用线性规划求解实际应用题
例3 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元
题型四 简单线性规划与其他知识的综合性问题
例4 设变量x，y满足约束条件 y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8，则lg(y＋1)－lgx的取值范围为( )
A．[0,1－2lg 2] B．[1，52] C．[12，lg2] D．[－lg 2,1－2lg 2]
1．实数x，y满足 y≥|x－1|，y≤1，则不等式组所围成图形的面积为( )
A．4 B．2 C.12 D．1
2．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域 x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
2 3．(2014·广东)若变量x，y满足约束条件 y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．设m>1，在约束条件 y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为(
)
A．(1,1＋2) B．(1＋2，＋∞) C．(1,3) D．(3，＋∞)
5．若P是满足不等式组 y≤x，x＋y－2≤0，y>0表示的平面区域内的任意一点，点P到直线3x＋4y－12＝0的距离为d，则d的取值范围是(
)
A．[1，125] B．[1，125) C．(1，65) D．(34，1]
6．设关于x，y的不等式组 2x－y＋1>0，x＋m<0，y－m>0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是(
)
A．(－∞，－43) B．(－∞，13) C．(－∞，－23) D．(－∞，－53)
7．设变量x，y满足约束条件 x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值为________．
8．已知不等式组 x≤1，x＋y＋2≥0，kx－y≥0表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k的值为________．
9．4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要________元．
10．设x，y满足约束条件 2x－y＋2≥0，8x－y－4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为8，百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
3 则a＋b的最小值为________．
11．给定区域D： x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0.令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
12．已知t是正实数，如果不等式组 x＋y≤t，x－y≤0，x≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为________．
第6练 处理好“线性规划问题”的规划
题型一 不等式组所确定的区域问题
例1 已知点M(x，y)的坐标满足不等式组 x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0，则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是( )
A．1B．2
C．3D．4
破题切入点 先画出点M(x，y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积．
答案 A
解析 作出不等式组 x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0表示的平面区域，
如图所示，
则此平面区域为△ABC及其内部，
且点A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，
于是，S＝12×2×1＝1.故选A.
题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题
例2 若变量x，y满足约束条件 x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值与最小值的和为________． 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
4 破题切入点 先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z＝2x＋y的几何意义，即可求得最大值与最小值．
答案 6
解析 画出可行域，如图所示，由图象，
可得当y＝－2x＋z经过点B(2,0)时，zmax＝4；
当y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmin＝2.故填6.
题型三 利用线性规划求解实际应用题
例3 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31200元B．36000元
C．36800元D．38400元
破题切入点 设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，总租金为z元，可得目标函数z＝1600x＋2400y.结合题意，建立关于x，y的不等式组，计算A，B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．
答案 C
解析 设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，
所用的总租金为z元，则z＝1600x＋2400y，
其中x，y满足不等式组 36x＋60y≥900，y－x≤7，y＋x≤21.(x，y∈N)
画出可行域，可知在x＝5，y＝12时，
可载客36×5＋60×12＝900(人)，
符合要求且此时的总租金z＝1600×5＋2400×12＝36800，达到最小值．故选C.
题型四 简单线性规划与其他知识的综合性问题
例4 设变量x，y满足约束条件 y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8，则lg(y＋1)－lgx的取值范围为( )
A．[0,1－2lg 2]B．[1，52]
C．[12，lg2] D．[－lg 2,1－2lg 2] 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
5 破题切入点 先画出不等式组所确定的可行域，将目标函数化为lgy＋1x，利用数形结合的方法解t＝y＋1x的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范围．
答案 A
解析 如图所示，作出不等式组 y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8确定的可行域．
因为lg(y＋1)－lgx
＝lgy＋1x，设t＝y＋1x，
显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，－1)连线的斜率．
由图，可知点P在点B处时，t取得最小值；
点P在点C处时，t取得最大值．
由 x－2y＋1＝0，2x＋y＝8，解得 x＝3，y＝2，即B(3,2)；
由 y＝3x－2，2x＋y＝8，解得 x＝2，y＝4，即C(2,4)．
故t的最小值为kBE＝2－－13＝1，
t的最大值为kCE＝4－－12＝52，
所以t∈[1，52]．
又函数y＝lgx为(0，＋∞)上的增函数，
所以lgt∈[0，lg52]，
即lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0，lg52]．
而lg52＝lg5－lg2＝1－2lg2，
所以lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0,1－2lg 2]．
故选A.
总结提高 (1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础．
(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y＝kx，再平移此直线． 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
6 (3)求解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出线性约束条件；③建立目标函数；④求出最优解；⑤转化为实际问题．
1．实数x，y满足 y≥|x－1|，y≤1，则不等式组所围成图形的面积为( )
A．4B．2C.12D．1
答案 D
解析 实数x，y满足
它表示的可行域如图所示．
不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)，
所以所围成图形的面积为12×2×1＝1.故选D.
2．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域 x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是( )
A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]
答案 C
解析 作出可行域，如图所示，由题意OA→·OM→＝－x＋y.
设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z有最大值，zmax＝0＋2＝2，∴OA→·OM→的取值范围是[0,2]．
3．(2014·广东)若变量x，y满足约束条件 y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于( )
A．5B．6C．7D．8
答案 B
解析 画出可行域，如图阴影部分所示．
由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.
由 y＝x，y＝－1得 x＝－1，y＝－1，
∴A(－1，－1)．
