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不等式及线性规划

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第 1 页 共 6 页 2022年高考数学总复习：不等式及线性规划

1．不等式的四个性质

注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如

(1)a>b，c>0⇒ac>bc，a>b，c<0⇒ac

(2)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.

(3)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．

(4)a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．

2．四类不等式的解法

(1)一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元

二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

(2)简单分式不等式的解法

fxgx>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).

fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

(3)简单指数不等式的解法

当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；

当0ag(x)⇔f(x)

(4)简单对数不等式的解法

当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0；

当0logag(x)⇔g(x)>f(x)>0.

3．基本不等式

(1)基本不等式的常用变形

①a＋b≥2ab(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．

②a2＋b2≥2ab，ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．

③ba＋ab≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立．

④a＋1a≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋1a≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立． 第 2 页 共 6 页 ⑤a>0，b>0，则a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b，当且仅当a＝b时取等号．

(2)利用基本不等式求最值

已知a，b∈R，则①若a＋b＝S(S为定值)，则ab≤(a＋b2)2＝S24，当且仅当a＝b时，ab取得最大值S24.

②若ab＝T(T为定值，且T>0)，则a＋b≥2ab＝2T，当且仅当a＝b时，a＋b取得最小值2T.

4．求目标函数的最优解问题

(1)“斜率型”目标函数z＝y－bx－a(a，b为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解．

(2)“两点间距离型”目标函数z＝x－a2＋y－b2(a，b为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点之间的距离取最值时的可行解．

5．线性规划中的参数问题的注意点

(1)当最值已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．

(2)当目标函数与最值都已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．

6．重要性质及结论

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 a>0，Δ<0.

(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 a<0，Δ<0.

Y易错警示i cuo jing shi

1．忽略条件

应用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，否则会导致结论错误．

2．忽视分母不等于零

求解分式不等式时应注意正确进行同解变形，不能把fxgx≥0直接转化为f(x)·g(x)≥0，而忽略g(x)≠0. 第 3 页 共 6 页 3．忽略等号成立的条件

在连续使用基本不等式求最值时，应特别注意检查等号是否同时成立．

1．(2018·天津卷，2)设变量x，y满足约束条件 x＋y≤5，2x－y≤4，－x＋y≤1，y≥0，则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( C )

A．6 B．19

C．21 D．45

[解析]

画出可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－35x＋z5.

设直线l0为y＝－35x，平移直线l0，当直线y＝－35x＋z5过点P(2,3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21.

故选C．

2．(2017·全国卷Ⅰ，7)设x，y满足约束条件 x＋3y≤3，x－y≥1，y≥0，则z＝x＋y的最大值为( D )

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.

作出直线y＝－x，并平移该直线，

当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取最大值．

由图知A(3,0)，

故zmax＝3＋0＝3.

故选D． 第 4 页 共 6 页 3．(2017·全国卷Ⅱ，5)设x，y满足约束条件 2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是( A )

A．－15 B．－9

C．1 D．9

[解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线，知当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.

故选A．

4．(2018·全国卷Ⅰ，13) 若x，y满足约束条件 x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为6.

[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．

由z＝3x＋2y得y＝－32x＋z2.

作直线l0：y＝－32x.平移直线l0，当直线y＝－32x＋z2

过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.

5．(2018·全国卷Ⅱ，14)若x，y满足约束条件 x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为9. 第 5 页 共 6 页 [解析] 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，

由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．

由 x＝5，x－2y＋3＝0得点C(5,4)，

∴ zmax＝5＋4＝9.

6．(2018·天津卷，13)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为14.

[解析]

∵

a－3b＋6＝0，∴ a－3b＝－6，∴ 2a＋18b＝2a＋2－3b≥22a·2－3b＝22a－3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当 a＝－3b，a－3b＋6＝0时等号成立，即 a＝－3，b＝1时取到等号．

7．(2018·江苏卷，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为9.

[解析]

方法一：如图(1)，

∵ S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，

∴ 12ac·sin120°＝12c×1×sin60°＋12a×1×sin60°，

∴ ac＝a＋c.

∴ 1a＋1c＝1.

∴ 4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝ca＋4ac＋5

≥2ca·4ac＋5＝9.

当且仅当ca＝4ac，即c＝2a时取等号．

方法二：如图(2)，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，则D(1,0)，

Ac2，－32c，Ca2，32a.

又A，D，C三点共线， 第 6 页 共 6 页 ∴ c2－1－32c＝a2－132a，

∴ ac＝a＋c.

以下同方法一．

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基本不等式与线性规划

基本不等式与线性规划

基本不等式与线性规划

不等式(二)

一.基本不等式(abba2一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定

三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等)

积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系)

1.设414,4xxyx的最小值为 ．

2.设41,4xxyx的最小值为 ．

3.1,1ba,则abbaloglog的最小为 ．

4.下列函数中，最小值为22的是 （ ）

A．xxy2 B．)0(sin2sinxxxy

C．xxeey2

D．2log2log2xxy

5.下列各函数中，最小值为2的是 ( )

A．y=x＋x1 B．y=

sinx＋xsin1,x(0,2)

C．y=2322xx

D．y=xx1 总结:常见倒数关系

xxaa与

abbaloglog与

6.若lgx＋lgy＝2，则x1＋y1的最小值为( )

A．201 B．51 C．21

D．2

7.(10.重庆)已知0t,则函数ttty142的最小值为 ．

8.若1x,则22222xxxy有( )

A.最小1 B.最大1 C.最大1 D.最小1

9.已知),0,0(1yxyx则yx21的最小 ．

(09.天津)设0,0ba,若3是a3与b3的等比中项,则ba11的最小值为( )

A．8 B．4 C．1

D．41

已知312,0,0yxyx,则yx11的最小 ．

基本不等式与线性规划 2

基本不等式与线性规划 2

不等式(二)

一.基本不等式(abba2一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定

三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等)

积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系)

1.设414,4xxyx的最小值为 ．

2.设41,4xxyx的最小值为 ．

3.1,1ba,则abbaloglog的最小为 ．

4.下列函数中，最小值为22的是 （ ）

A．xxy2 B．)0(sin2sinxxxy

C．xxeey2 D．2log2log2xxy

5.下列各函数中，最小值为2的是 ( )

A．y=x＋x1 B．y= sinx＋xsin1,x(0,2)

C．y=2322xx D．y=xx1

6.若lgx＋lgy＝2，则x1＋y1的最小值为( )

A．201 B．51 C．21 D．2

7.(10.重庆)已知0t,则函数ttty142的最小值为 ．

8.若1x,则22222xxxy有( )

A.最小1 B.最大1 C.最大1 D.最小1

9.已知),0,0(1yxyx则yx21的最小 ．

(09.天津)设0,0ba,若3是a3与b3的等比中项,则ba11的最小值为( )

A．8 B．4 C．1 D．41 总结:常见倒数关系

xxaa与

abbaloglog与

已知312,0,0yxyx,则yx11的最小 ．

第十章 线性规划与基本不等式

第十章 线性规划与基本不等式

第十章 线性规划与基本不等式

1.利用线性规划求目标函数的最值

【背一背基础知识】

1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式 表示区域

Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线

Ax＋By＋C≥0 包括边界直线

不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分

2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定：对于二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般来说方法：是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．(直线定界，点定区域)

3. 线性规划中的基本概念

名称 意义

约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)

线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)

目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等

线性目标函数 关于x，y的一次解析式

可行解 满足线性约束条件的解(x，y)

可行域 所有可行解组成的集合

最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

4.求目标函数的最值步骤：（1）.作图—画出约束条件表示的平面区域；（2）. 平移—利用线性平移的方法找点使目标函数取得最值；（3）.求值—求出目标函数的最值.

【讲一讲基本技能】

求目标函数最值对目标函数的处理主要有三种方法：（1）截距型byaxz：先令0z，作出0byax直线，在平面可行域中平移扫描。（2）斜率型axbyz：用直尺以),(ba为固定点，在可行域中旋转扫描。（3）距离型cbyyaxxz2222：以),(ba为固定点，像水波纹的形式四处扩散。

【典型例题】 例1变量,xy满足约束条件02200xyxymxy，若2zxy的最大值为2，则实数m等于（ ）A．2

常见不等式及线性规划

常见不等式及线性规划

第1页，共2页 常见不等式及线性规划

填空题

1 ．已知)(xf是定义在R上的奇函数.当0x时,xxxf4)(2,则不等式xxf)(的解集为______.

2 ．已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为____.

3 ．已知函数21,0()1,0xxfxx,则满足不等式2(1)(2)fxfx的x的范围是________

4 ．关于x的不等式0)1)(2(axax的解为ax1或ax2,则实数a的取值范围为__________.

5 ．已知关于x的不等式0)1)(1(xax的解集是),1()1,(a,则实数a的取值范围是____.

6 ．不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,-2)∪(-1,+∞),则a∶b∶c=__________.

7 ．若关于x的不等式22(21)xax≤的解集中的整数恰有2个,则实数a的取值范围是____

8 ．关于x的不等式x2ax+2a<0的解集为A,若集合A中恰有两个整数,则实数a的取值范围是_________.

9 ．已知关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是____.

10．若函数()fx为定义在R上的奇函数,当0x时,1()23xfx,则不等式()1fx的解集为_____.

11．已知,则的解集是________________.

12．已知正数满足:则的取值范围是____.

13．若变量,xy满足约束条件1133xyxyxy,则目标函数23zxy的最小值是______.

14．设满足的最小值是____.

15．已知实数x,y满足2,2,03,xyxyy≥≤≤≤则2zxy的最大值是________.

16．已知不等式组1010330xyxyxy表示的平面区域为D,若直线y=kx +1将区域D分成面积相等的两部分,2()()fxxaxbabR，[0)，()fxc(6)mm，x0bax(1,)x02axbxabc，，4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，，ba,xy241,22xyxyzxyxy则第2页，共2页 则实数k的值是________________________________.