高考数学一轮复习 第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布教

[课堂练通考点]

1．(2013·辽宁高考)使3x＋1xxn(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )

A．4 B．5

C．6 D．7

解析：选B 由二项式定理得，Tr＋1＝Crn(3x)n－r1xxr＝Crn3n－rx52nr－，令n－52r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小．

2．(2013·贵阳模拟)在二项式(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是( )

A．－25 B．－5

C．5 D．25

解析：选B ∵(x2＋x＋1)(x－1)＝x3－1，∴原式可化为(x3－1)(x－1)4.故展开式中，含x4项的系数为C34(－1)3－C04＝－4－1＝－5.

3．(2014·厦门质检)()2－x8的展开式中不含x4项的系数的和为( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

解析：选B ()2－x8展开式中各项的系数和为()2－18＝1，展开式的通项为Cr828－r(－x)r，则x4项的系数为C88×28－8＝1，则()2－x8展开式中不含x4项的系数的和为0.

4．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．

解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.

答案：10

5．(2014·荆州模拟)已知a＝40π2 cos2x＋π6dx，则二项式x2＋ax5的展开式中x的系数为________．

解析：依题意得a＝40π2cos2x＋π6dx＝2sin2x＋π620＝－2，即a＝－2，则Tr＋1＝Cr5(－2)rx10－3r，当r＝3时，T4＝－80x.故二项式x2＋ax5的展开式中x的系数为－80.

计数原理与概率统计 统计

概率

计数原理

随机变量及其分布

成对数据的统计分析 统计图表

样本数字特征 频率分布表、频率分布直方图、折线图、扇形图、条形图

第百分数一般地一组数据的第百分位数是这样一个值它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值且至少有的数据大于或等于这个值方差 随机抽样 简单随机抽样 分层随机抽样

标准差

随机事件与概率

事件的相互独立性 频率与概率 有限样本空间与随机事件

事件的关系和运算 古典概型

概率的基本性质 特性：有限性、等可能性公式：

互斥事件概率的加法公式：对立事件概率公式：概率的加法公式：

相互独立事件的概率：用频率估计概率

两个计数原理

排列与组合

二项式定理分类加法计数原理：完成某件事的方法数分步乘法计数原理：完成某件事的方法数

排列

组合 排列数公式 全排列 组合数公式 组合数性质且，规定且

定理 通项公式

二项式系数的性质，其中，， 对称性

增减性

最大值 二项式系数的和当时随的增加而增大当时随的增加而减小为偶数中间的一项的二项式系数最大为奇数中间的两项的二项式系数相等且同时取得最大值

条件概率与全概率公式

离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量的数字特征

二项分布与超几何分布 条件概率

全概率公式为在事件发生的条件下事件发生的条件概率是一组两两互斥的事件且则对任意的事件有

正态分布 分布列的性质 两点分布 数学期望

方差 二项分布

超几何分布重伯努利试验中用表示事件发生的次数则事件恰好发生次的概率

其中 抽签法 随机数法

正态分布的均值与方差若则随机变量服从正态分布记为

回归分析

独立性检验 样本相关系数

回归方程时两个变量正相关时两个变量负相关越接近线性相关性越强越接近则越弱

随机变量为样本容量为的临界值

第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．

2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．

[试一试]

1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )

A．30 B．20

C．10 D．6

解析：选D 从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．

2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )

A．30个 B．42个

C．36个 D．35个

解析：选C ∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．

1．应用两种原理解题

(1)分清要完成的事情是什么？ (2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；

(3)有无特殊条件的限制；

(4)检验是否有重漏．

2．混合问题一般是先分类再分步，分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．

[练一练]

1．(2013·郑州模拟)在2012年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种

第9章第9讲计数原理概率随机变量及其分布

计数原理是概率论中的基础概念之一，它描述了一系列事件发生的可能性，并给出了用于计算这些可能性的工具。概率是描述随机事件发生的可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。随机变量是将随机事件映射到实数的函数，它可以是离散型的，也可以是连续型的。随机变量的分布描述了随机变量的取值与其对应的概率之间的关系。

计数原理在概率论中扮演着非常重要的角色。它包括了加法法则和乘法法则两个基本原理。加法法则适用于两个事件的并集，它等于两个事件的概率之和减去两个事件的交集的概率。乘法法则适用于两个事件的交集，它等于第一个事件发生的概率乘以在第一个事件发生的条件下，第二个事件发生的概率。

概率是描述随机事件发生的可能性的数值。通常，概率可以通过实验或观察事件发生的频率来估算。概率的取值范围在0到1之间，概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件一定会发生。概率可以通过数学的方法来计算，例如，利用计数原理、排列组合等方法。

随机变量是将随机事件映射到实数的函数。它可以是离散型的，也可以是连续型的。离散型随机变量取有限或可数个值，并且每个值有一个对应的概率。离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述。连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布可以用概率密度函数来描述。概率密度函数是一个非负函数，它满足积分的性质。

随机变量的分布是描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。离散型随机变量的分布称为概率分布，而连续型随机变量的分布称为概率密度分布。常见的离散型随机变量有伯努利分布、二项分布、泊松分布等，常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布、指数分布等。这些分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。

总结起来，计数原理、概率、随机变量及其分布是概率论中的基本概念和工具。它们用于描述和计算随机事件的可能性，以及随机变量取值与概率之间的关系。理解和掌握这些概念和工具对于进一步研究概率论和统计学非常重要。