第 1 页 第3讲 专题 圆周运动的临界问题
竖直面内圆周运动的临界问题分析
对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件 由rvmmg2得grv临 由小球能运动即可得0临v
讨论分析 (1)过最高点时，grv，rvmmgFN2，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点grv，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当grv0时，rvmmgFN2，FN背向圆心，随v的增大而减小(3)当grv时，FN＝0(4)当grv时，rvmmgFN2，FN指向圆心并随v的增大而增大
在最高点的FN图线
取竖直向下为正向
取竖直向下为正向
第 2 页 ☆针对训练
1．如图4－3－1所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列答案中正确的是( )
A．L1＝L2 B．L1>L2
C．L1
2．如图4－3－2所示，汽车质量为1.5×104 kg，以不变的速度先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15 m，如果路面承受到最大压力不得超过2.0×105 N，汽车允许的最大速率是多少？(g＝10 m/s2)
典型例题
题型1
竖直平面内的圆周运动中的临界问题
【例1】长L＝0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体A。A的质量为m＝2 kg，当A通过最高点时，如图4－3－3所示，求在下列两种情况下杆对小球的力：
1 课
题 圆周运动典型例题
教 学 目 的 1．掌握描述圆周运动的物理量及相关计算公式；
2．学会应用牛顿第二定律解决圆周运动问题
3．掌握分析、解决圆周运动动力学问题的基本方法和基本技能
4. 会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题
重 难 点 会分析判断临界时的速度或受力特征；应用牛顿第二定律解决圆周运动的动力学问题
教 学 内 容
【基础知识网络总结】
1．变速圆周运动特点：
（1）速度大小变化——有切向加速度、速度方向改变——有向心加速度．
故合加速度不一定指向圆心．
（2）合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向圆心．
2．处理圆周运动动力学问题般步骤
（1）确定研究对象，进行受力分析，画出运动草图
（2）标出已知量和需求的物理量
（3）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合
（4）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解．
3．火车转弯问题
由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力和弹力的合力提供火车拐弯时所需的向心力．
铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H，两轨间距为L，火车总质量为M，则：
(1)火车在拐弯处运动的“规定速度”即内外轨均不受压的速度vP．
(2)若火车实际速度大于vP，则外轨将受到侧向压力．
(3)若火车实际速度小于vP，则内轨将受到侧向压力．
2
4．“水流星”问题
绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。
(1)杯子在最高点的最小速度vmin＝(gL)1/2
(2)当杯子在最高点速度为v1>vmin时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v2
若“水流星”问题中杯子中水的质量为m，当在最高点速度为v2>vmin时，水对杯底的压力为多大?
- 1 - 6.5 圆周运动
★新课标要求
（一）知识与技能
1、理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度、理解角速度和周期的概念，会用它们的公式进行计算。
2、理解线速度、角速度、周期之间的关系：v=rω=2πr／T
3、理解匀速圆周运动是变速运动。
（二）过程与方法
1、运用极限法理解线速度的瞬时性。
2、运用数学知识推导角速度的单位。
（三）情感、态度与价值观
1、通过极限思想和数学知识的应用，体会学科知识间的联系，建立普遍联系的观点。
2、体会应用知识的乐趣。
★教学重点
线速度、角速度的概念以及它们之间的联系。
★教学难点
理解线速度、角速度的物理意义。
★教学方法
教师启发、引导，学生归纳分析，讨论、交流学习成果。
★教学工具
投影仪等多媒体教学设备
★教学过程
（一）引入新课
上节课我们学习了抛体运动的规律，这节课开始我们再来学习一类常见的曲线运动――圆周运动。
（二）进行新课
教师活动：引导学生列举生活中常见的圆周运动的实例，增强学生的感性认识。
学生活动：学生纷纷举例。选出代表发言。
教师活动：待学生举例后，提出问题：
这些作圆周运动的物体，哪些运动得更快？我们应该如何比较它们运动的快慢呢？
引导学生讨论教材“思考与讨论”中的问题，选出代表发表见解。
学生活动：思考并讨论自行车的大齿轮、小齿轮、后轮上各点运动的快慢。
教师活动：听取学生的发言，针对学生的不同意见，引导学生过渡到对描述圆周运动快慢的物理量――线速度的学习上来。
点评：让学生的最大限度的发表自己的见解，教师不必急于纠正学生回答中可能出现的错误。要给学生创造发表见解的机会，创设问题情境，拓宽思考问题的空间。保护学生的学 - 2 - 习积极性。
1、线速度
教师活动：我们曾经用速度这个概念来描述物体作直线运动时的快慢，那么我们能否继续用这个概念来描述圆周运动的快慢呢？如果能，该怎样定义呢？
给出阅读提纲，学生先归纳，然后师生互动加深学习。
一、第六章 圆周运动易错题培优（难）
1．如图所示，两个啮合的齿轮，其中小齿轮半径为10cm，大齿轮半径为20cm，大齿轮中C点离圆心O2的距离为10cm，A、B两点分别为两个齿轮边缘上的点，则A、B、C三点的（ ）
A．线速度之比是1：1：2
B．角速度之比是1：2：2
C．向心加速度之比是4：2：1
D．转动周期之比是1：2：2
【答案】CD
【解析】
【分析】
【详解】
A．同缘传动时，边缘点的线速度相等
vA=vB①
同轴转动时，各点的角速度相等
ωB=ωC②
根据
v=ωr③
由②③联立代入数据，可得
BC2vv④
由①④联立可得
vA：vB：vC=2：2：1
A错误；
B．由①③联立代入数据，可得
AB:2:1⑤
再由②⑤联立可得
ABC::2:1:1⑥
B错误；
D．由于
2T⑦
由⑥⑦联立可得
ABC::1:2:2TTT
D正确；
C．根据
2ar ⑧
由⑥⑧联立代入数据得
ABC::4:2:1aaa
C正确。
故选CD。
2．如图所示，水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做圆心为O的匀速圆周运动，Oa水平，从最高点b沿顺时针方向运动到a点的过程中（ ）
A．B对A的支持力越来越大
B．B对A的支持力越来越小
C．B对A的摩擦力越来越小
D．B对A的摩擦力越来越大
【答案】AD
【解析】
【分析】
【详解】
由于始终做匀速圆周运动，合力指向圆心，合力大小不变，从最高点b沿顺时针方向运动到a点的过程中，合力的水平分量越来越大，竖直向下的分量越来越小，而合力由重力，支持力和摩擦力提供，因此对A进行受力分析可知，A受到的摩擦力越来越大，B对A的支持力越来越大，因此AD正确，BC错误。
故选AD。
3．如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
