【数学】安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学文试题含解析
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安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测
数学文试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ）
A. B. C. -2 D. 1
【答案】D
【解析】由复数的运算法则可得：，
据此可得复数的虚部为1.
本题选择D选项.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意结合交集的定义可得：，表示为区间形式即.
本题选择A选项.
3. 已知圆，为坐标原点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：，则圆心坐标为：
圆的直径为：，
据此可得圆的方程为：，
即：.
本题选择C选项.
4. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由诱导公式可得：，，即：，
由三角函数的定义可得：，
则.
本题选择B选项.
5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）
A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤
【答案】B
【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴，
解得．
∴．选B．
6. 已知函数是奇函数，则的值等于（ ）
A. B. 3 C. 或3 D. 或3
【答案】C
【解析】函数为奇函数，则：，即：恒成立，
整理可得：，即恒成立，， 当时，函数的解析式为：，，
当时，函数的解析式为：，，
综上可得：的值等于或3.
本题选择C选项.
点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
7. 某公司一种型号的产品近期销售情况如下表
月份 2
3 4 5
6
销售额（万元） 15.1 16.3 17.0 17.2
18.4
根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（ ）
A. 19.5万元 B. 19.25万元 C. 19.15万元 D. 19.05万元
【答案】D
【解析】由题意可得：，，
回归方程过样本中心点，则：.
回归方程为：，该公司7月份这种型号产品的销售额为：
万元.
本题选择D选项.
8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输出的值是（ ）
A. 3或-2 B. 2或-2 C. 3或-1 D. 3或-1或-2
【答案】A
........................
当时，由，解得，符合题意．
当时，由，得，解得或（舍去）．
综上可得或．选A．
9. 已知函数相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数为偶函数
C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称
【答案】C
【解析】由题意可得，函数的周期为：，则，A说法错误；
当时，，
，故取可得：，函数的解析式为：， ，函数为奇函数，B说法错误；
当时，，故函数在上单调递增，C说法正确；
，则函数的图象不于点对称，D说法错误；
本题选择C选项.
10. 在正方体中，是棱的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
本题选择A选项.
11. 已知双曲线的焦点为，，点是双曲线上的一点，，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：
不妨设，
结合双曲线的定义有：，，
双曲线的离心率为：.
本题选择D选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
12. 已知函数是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解法1：令，则：原不等式等价于求解不等式，
，
由于，故，函数在定义域上单调递减，且，据此可得，不等式即：，
结合函数的单调性可得不等式的解集为 .
本题选择A选项.
解法2：构造函数，满足函数是定义在上的增函数，，，则不等式即：， ，即不等式的解集为.
本题选择A选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若命题，，则为__________．
【答案】，
【解析】全称命题的否定为特称命题，据此可得为，.
14. 已知两个单位向量，的夹角为，则__________．
【答案】
【解析】．
答案：
15. 已知四棱锥的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥的体积为__________．
【答案】6或54
【解析】由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为：，
棱锥的底面积为：，据此分类讨论：
当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：；
当球心位于棱锥外部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：；
综上可得：四棱锥的体积为6或54.
16. 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于__________．
【答案】
【解析】如图所示，轴表示快递员送货的试卷，轴表示小李到家的时间，图中的矩形区域为所有可能的时间组合，阴影部分为满足小李需要去快递柜收取商品的时间，结合几何概型公式可得小李需要去快递柜收取商品的概率：.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知正项等比数列满足，.
求数列的通项公式；
设，求数列的前项的和.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：
由题意列方程可得数列的公比，则数列的通项公式.
结合(1)的结论可得，错误相减可得其前n项和为.
试题解析：
设数列的公比为，由，得，即，解得或. 又，则，，.
，
，
，
，
.
18. 某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：
甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；
乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.
画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；
从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析：
(1)结合所给的数据画出茎叶图，观察可得甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，或者利用方差也可以说明甲组同学的成绩差异较大.
(2)由题意列出所有的事件，共有15中，其中满足题意的事件由9种，据此可得选出的2位同学不在同一个小组的概率.
试题解析：
由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以，甲组同学的成绩差异较大.
（也可通过计算方差说明：，，）
设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为；乙组数据在90分以上的三位同学为.从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：
，，，，；
，，，；
，，；
，，.
其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，
.
19. 在多面体中，平面平面，，，为正三角形，为中点，且，.
求证：平面平面；
求多面体的体积.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析：
由相似三角形的性质可得.由面面垂直的性质可得平面，则.据此可得平面，结合面面垂直的判断定理有平面平面.
取中点为，连接，.则该几何体分割为一个三棱柱与一个三棱锥，结合体积公式计算可得组合体的体积.
