江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题(四)
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1 n n
1 注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题~第 20 题，共第 20 题）．本卷满分为 160 分，考
试时间为 120 分钟。考试结束后，请将草稿纸和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 江苏省 2019 年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（四）
数 学 试 题
数学Ⅰ
（本部分满分 160 分，时间 120 分钟）
2 n 2 1 n
参考公式：1．样本数据 x1 , x2 ,, xn 的方差 s (xi x)
i 1 ，其中 x xi .
i 1
2.锥体的体积公式：V 1 Sh ，其中 S 是锥体的底面面积， h 是高．
3
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．把答案填在题中横线上．
1．已知集合 A x 1≤ x ≤1，则 A Z = ▲ ．
1 ai
2．已知复数 z 1 i 为纯虚数， i 为虚数单位，则实数a 的值为 ▲ ．
3．有一组样本数据 12，x，10，11，9，已知它们的平均数为 10
则这组数据的方差 s2＝ ▲ ．
4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果 S 为 ▲ ．
5．已知甲乙丙三人在 3 天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率为 ▲ ．
x ≥ 0,
第 4 题图
6．若实数 x, y 满足不等式组 y ≥ x,
x 2 y 2 ≥ 0 ，则 z x 2 y 的最大值为 ▲ ． S←1
I←1
While I 8
S←S＋3 I←I＋2
End While
Print S 2 3
1 7．已知双曲线y2－x2 ＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为 2x－y＝0，则该双曲线的离
a2 b2
心率为 ▲ ．
8．若直线 y 2x 与曲线 f x x m ln x 相切，则实数 m 的值为 ▲ ．
9．若关于 x 的方程 ax2 ax 1≥ 0 的解集为空集，则实数 a 的取值范围为 ▲ ． 10．将一个半径为 8cm、圆心角为 的扇形薄铁片，焊接成一个圆锥形容器，则这个圆锥 4
形容器的容积等于 ▲ cm3 ．
11．已知数列log2 an 为等差数列，若 a1 a10 8 ，则该数列前 10 项的和的最大值为 ▲ ．
12 ． 将函数 y sin 2x 的图象向右平移 0 个单位， 使得平移后的图象仍过点
( , ) ，则的最小值为 ▲ ． 6 2
13．已知向量a, b, c 满足a + b + c = 0 ，且a 与b 的夹角的正切值为 1 ， b 与c 的夹角
2
的正切值为 ， b 2 ，则ac 的值为 ▲ ． 3
14．若函数 f (x) 1 x3 ax2 bx c 在区间(1, 2) 上有三个零点，则 f (1) f (2) 的取 3
值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为单位圆上在第一象 y
限内的动点，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 x 轴，直线 y x 交于
点 M，N，设MOP , (0， ) ． 4
（1）若sin 1 ,求cos PON ；
N y x
P
5
（2）求OP ON 的最大值． O M x
第15 题图 3 D
B
发 16．（本小题满分 14 分）
如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 PDC．
P
(1)求证：平面 PAD⊥平面 ABCD；
(2)在棱 PD 上是否存在一点 E，使得 PB//平面 EAC？
如果存在，请找出点 E 并加以证明；如果不存在， C
请说明理由．
17．（本小题满分 14 分）
A
第16 题图
如图，某市市区有一条过市中心O 南北走向的北京路，为了连接开发区，市政府决定修建两条公路：延伸从市中心O 出发北偏西60 方向的深圳路至 B 点；在市中心正南方向北京路上选取 A 点，在 A, B 间修建天津路．
（1）如果在 A 点处看市中心O 和 B 点视角的 开 北
3 B 正弦值为 ，求在 B 点处看市中心O 和 A 5 区
点视角的余弦值；
（2）如果△ AOB 区域作为保护区，已知保护区
的面积为15 3 km2， A 点距市中心的距离为 3km，
4
求天津路的长度；
（3）如果设计要求市中心O 到天津路 AB 段的
深圳路
西
天津路
第17 题图
O 上 海路 东
A
南
距离为 4km，且天津路 AB 最短，请你确定 A, B 两点的位置． 北京路
北京路 4 18．（本小题满分 16 分）
已知圆 C 方程为 x2 y2 8mx (6m 2) y 6m 1 0(m R,m 0) ，椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上．
（1）证明圆C 恒过一定点 M ，并求此定点 M 的坐标；
（2）判断直线4x 3y 3 0 与圆C 的位置关系，并证明你的结论；
（3）当m 2 时，圆C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点 M ，求此时椭圆方程；在 x 轴上是否存在两定点 A, B, 使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线QA,QB 的斜率之积为定值？若存在，求出 A, B 坐标；若不存在，请说明理
由．
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x) x3 ax, g(x) ex , a R .
（1）当 a 0时，求函数h(x) f (x) 的极值。 g(x)
（2）若在区间(1,3)上存在不相等的实数m, n ，使 f (m) g(m) f (n) g(n)成立，求 a 的取值范围；
（3）设 1 f (x)的图象为C ， g(x)图象为C ，若直线 x t(t (0,1))与C ， C 分别交于
3 1 2 1 2
P,Q .问是否存在整数 a ，使C1 在 P 处的切线与C2 在Q处切线互相平行，若存在求出 a 的所有值，若不存在，说明理由？
20．（本小题满分 16 分）
给定数列 a1 , a2 ,, an ，对i 1, 2,, n 1，该数列前i 项的最大值记为 Ai ，后 n i 项的最小值记为 Bi ， di Ai Bi ．
（1）设 a 1 2n1 ，求 d ；
n 3 5
（ 2 ） 设 a1 , a2 ,, an (n ≥ 4) 是公比大于 1 的等比数列， 且 a1 0 时， 证明：
d1 , d2 ,, dn1 成等比数列；
（3）设 d1 , d2 ,, dn1 是公差大于 0 的等差数列，且 d1 0 ，证明： a1 , a2 ,, an1 成等差数列．
江苏省 2019 年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（四） 5 0 2 注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题～第 23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30
分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 数 学 试 题
数学Ⅱ 附加题部分
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，
若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A． [选修 4 2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
1 0 1 0
设 M＝ ，N＝ 2
0 1 ，试求曲线 y＝sinx 在矩阵 MN 变换下的曲线方程．
B．[选修 4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为ρ＝ 2cos(θ＋π)，以极点为原点，极轴为 x 轴的
4
x 1 4 t
正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 5 （t 为参数），求直线 l 3
被圆 C 所截得的弦长．
C．[选修 4 5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） y 1 t
5
设 x，y 均为正数，且 x＞y，求证： 2x 1
x2 2xy y2
≥ 2 y 3 ．
【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写
