课件13：3.1.5 空间向量运算的坐标表示

3.1.5空间向量运算的坐标表示

一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。

在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。

二、教学目标：

1、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．

2、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．

3、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。

三、教学重点：夹角公式、距离公式．

四、教学难点：夹角公式、距离公式的应用．

五、教学准备

1、课时安排：1课时

2、学情分析：

3、教具选择：

六、教学方法：

七、教学过程

1、自主导学：

2、合作探究

(一)、复习引入

1). 向量的直角坐标运算法则：设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则

⑴a＋b＝112233(,,)ababab； ⑵a－b＝112233(,,)ababab；

⑶λa＝123(,,)aaa()R； ⑷a·b＝112233ababab 上述运算法则怎样证明呢？（将a＝1ai＋2aj＋3ak和b＝1bi＋2bj＋3bk代入即可）

2). 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．）

(二)、新课讲授

1) 向量的模：设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，求这两个向量的模.

｜a｜＝222123aaa，｜b｜＝222123bbb．这两个式子我们称为向量的长度公式．

word

1 / 5 空间向量运算的坐标表示

学习目标：

1、 掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。

2、 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。

3、 掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。

学习重点：

1、 利用空间向量的坐标运算证明线线垂直或平行。

2、 利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。

学习难点：

利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角。

学习方法：

类比法和启发探究

学习过程：

一、复习回顾

平面向量坐标运算

a=(1x,1y)，b=(2x,2y)，写出以下向量的坐标表示

a+b=(1x+2x，1y+2y)

a-b=(1x-2x，1y-2y)

a=(1x，1y)

a•b=1212xxyy

a//b1221xyxy=0 word

2 / 5 a⊥b1212xxyy=0

设(,)xya，那么222||axy或22||axy

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221212||()()axxyy(平面内两点间的距离公式)

cos =||||abab222221212121yxyxyyxx〔0〕

二、新授：

我们知道，向量a在平面上可用有序实数对(x，y)表示，在空间那么可用有序实数组,,xyz表示。类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。

空间向量的直角坐标运算：

1．设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，那么

⑴a＋b＝112233(,,)ababab；

⑵a－b＝112233(,,)ababab；

⑶λa＝123(,,)aaa()R；

⑷a·b＝112233ababab.

上述运算法那么怎样证明呢？〔将a＝1ai＋2aj＋3ak和b＝1bi＋2bj＋3bk代入即可〕

第三章 3.1 第5课时

一、选择题

1．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC→＝23AB→，则C的坐标是( )

A．(2，－143，103) B．(－2，143，－103)

C．(2，－143，－103) D．(－2，－143，103)

[答案] B

[解析] ∵AB→＝(－3,7，－5)，

∴OC→＝23(－3,7，－5)＝－2，143，－103．

故选B．

2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

[答案] C

[解析] AB→＝(3,4，－8)，AC→＝(5,1，－7)，BC→＝(2，－3,1)，

∴|AB→|＝32＋42＋82＝89，

|AC→|＝52＋12＋72＝75，

|BC→|＝22＋32＋1＝14，

∴|AC→|2＋|BC→|2＝75＋14＝89＝|AB→|2．

∴△ABC为直角三角形．

3．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为( )

A．4 B．1

C．10 D．11

[答案] D

[解析] AB→＝(－2,2，－2)，AC→＝(－1,6，－8)，AD→＝(x－4，－2,0)，

∵A、B、C、D共面，∴AB→、AC→、AD→共面， ∴存在λ、μ，使AD→＝λAB→＋μAC→，

即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，

∴ x－4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.∴ λ＝－4，μ＝1，x＝11.

4．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )

A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝－4

C．x＝2，y＝－14 D．x＝1，y＝－1

第三章 3.1 第5课时

一、选择题

1．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC→＝23AB→，则C的坐标是( )

A．(2，－143，103) B．(－2，143，－103)

C．(2，－143，－103) D．(－2，－143，103)

[答案] B

[解析] ∵AB→＝(－3,7，－5)，

∴OC→＝23(－3,7，－5)＝－2，143，－103．

故选B．

2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

[答案] C

[解析] AB→＝(3,4，－8)，AC→＝(5,1，－7)，BC→＝(2，－3,1)，

∴|AB→|＝32＋42＋82＝89，

|AC→|＝52＋12＋72＝75，

|BC→|＝22＋32＋1＝14，

∴|AC→|2＋|BC→|2＝75＋14＝89＝|AB→|2．

∴△ABC为直角三角形．

3．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为( )

A．4 B．1

C．10 D．11

[答案] D

[解析] AB→＝(－2,2，－2)，AC→＝(－1,6，－8)，AD→＝(x－4，－2,0)，

∵A、B、C、D共面，∴AB→、AC→、AD→共面，

∴存在λ、μ，使AD→＝λAB→＋μAC→，

即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴ x－4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.∴ λ＝－4，μ＝1，x＝11.

4．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )

A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝－4

C．x＝2，y＝－14 D．x＝1，y＝－1