离散数学之集合论

离散数学之集合论

69 第二篇集合与关系

集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。

随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。

现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。集合论可作为数学学科的通用语言，一切必要的数据结构都可以利用集合这个原始数据结构而构造出来，计算机科学家或许也可以利用这种方法。

本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合及其运算、性质、序偶、关系、映射、函数、基数等。

第2-1章集合及其运算

§2-1-1 集合的概念及其表示

一、集合的概念

“集合”是集合论中的一个原始的概念，因此它不能被精确地定义出来。一般地说，把具有某种共同性质的许多事物，汇集成一个整体，就形成一个集合。构成这个集合的每一个事物称为这个集合的一个成员（或一个元素），构成集合的这些成员可以是具体东西，也可以是抽象东西。例如：教室内的桌椅；图书馆的藏书；全国的高等学校；自然数的全体；程序设计语言C的基本字符的全体等均分别构成一个集合。通常用大写的英文字母表示集合的名称；用小写的英文字母表示元素。若元素a属于集合A记作 70 Aa，读作“a属于A”。否则，若a不属于A，就记为Aa，读作“a不属于A”。一个集合，若其组成集合的元素个数是有限的，则称作“有限集”，否则就称作“无限集”。

浅谈离散数学中数理逻辑与集合论的数学本质

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浅谈离散数学中数理逻辑与集合论的数学本质

作者：申华张胜元

来源：《大学教育》2013年第14期

[摘要]探讨离散数学中数理逻辑和集合论的数学本质以及它们之间的内在联系，结合笔者的教学体会，说明在离散数学的教学过程中把握其数学本质的重要性，在此基础上结合其应用性，能有效提高离散数学的教学效果。

[关键词]离散数学数理逻辑集合论数学本质

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）14-0148-02

离散数学本质上是一门数学课程，是学生数学知识结构和数学素质的重要组成部分。数学这门学科体系虽然很庞大，但大致可分为连续型、离散型和随机型这三大类。在大多数的理工科专业的课程设计中，数学类课程通常包括：高等数学、线性代数、离散数学、概率论与数理统计等。高等数学能提供处理连续型的数学问题需要的数学工具；线性代数与离散数学则提供处理离散型数学问题的数学工具；而概率与统计则提供处理随机型数学问题的数学工具。

正如徐洁磐在文中指出的：作为计算机学科工具，离散建模是离散数学区别高等数学的根本之处，也是离散数学与计算机紧密关联之处，也是使离散数学成为计算机专业核心课程的原因之一。从学生角度看，离散数学具有抽象、概念多、知识点零散等特点，在学习中容易遇到困难，极大地影响了他们学习的积极性。本文探讨离散数学中的数学本质，目的是理顺这些概念和知识点的关系，进而达到解决学生学习困难的目的。

离散数学的内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部分，其中集合论部分起着承前启后的作用。数理逻辑和集合论这两部分内容如果能处理得好，对整个课程的教学就会起到至关重要的作用。已有部分研究论文对数理逻辑和集合论的教学进行研讨，本文就数理逻辑与集合论的教学内容进行深入分析，弄清它们的数学本质和相互联系，理清教学思路。教学实践表明，这些教学分析能使教师在讲授过程中教学内容主线清晰、教学目标明确，进而有效提高教学质量和学生的数学素质。

电大离散数学作业3答案(集合论部分)

★形成性考核作业★1离散数学作业3

离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、

数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练

习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄

弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要

认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有

解答过程，要求2010年11月7日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。

一、填空题

1．设集合{1,2,3},{1,2}AB==，则P(A)-P(B)={{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}，A×B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}

．

2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024．

3．设集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，},,{BAyxByAxyxR∩∈∈∈><=且且

则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}．

4．设集合A={1,2,3,4}，B={6,8,12}，A到B的二元关系

R＝},,2,{ByAxxyyx∈∈=><

那么R－1＝{<6,3>,<8,4>}

5．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={,,,}，

则R具有的性质是反自反性．

6．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={,,,}，

若在R中再增加两个元素,，则新得到的关系就具有对称性．

7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系

有2个．

8．设A={1,2}上的二元关系为R={|x∈A，y∈A,x+y=10}，则R的自反

闭包为{<1,1>,<2,2>}．9．设R是集合A上的等价关系，且1,2,3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素．

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