三角形梯形中位线定理教师版

初二数学春季班（教师版）梯形及中位线内容分析本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．知识结构模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形． 【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等． 等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等． 另外：等腰梯形是轴对称图形； 【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． 等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．【例1】 （1）在周长为30cm 的梯形ABCD 中，上底CD =5cm ，DE ∥BC 交AB 于点E ，则△ADE 的周长为___________cm ；（2）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACB =90°，且AC 平分∠BAD ，∠D =120°，CD =3cm ，则梯形的周长是_________cm ． 【难度】★【答案】（1）20 ； （2）15． 【解析】（1）∵DE //BC ，CD //EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴EB =CD =5，BC =DE ，∴ C △ADE = AD +DE +AE = AD +BC +AE = AD +BC +AB -EB = AD +BC +AB -CD =AD +BC +AB +CD -2CD = 30-10 = 20； （2）∵∠D =120°，∴∠DAB =60°， ∴∠DAC =∠CAB =30°，∴∠B =60°∴BC =AD =CD =3，AB =2BC =6∴C 梯形ABCD = AD +CD +CB +AB = 3+3+3+6 = 15． 【总结】本题考查利用等腰梯形的性质求梯形的周长．例题解析A BC DEDCB AEDCBA【例2】 直角梯形一腰长为12cm ，这条腰和一个底边所成的角为60°，则另一腰长为 ___________cm ，若上底为3cm ，则梯形的面积为__________． 【难度】★【答案】2cm ．【解析】设直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠C =60°，CD =12，作DE ⊥BC 于点E ，得矩形ABED ，则AD =BE =3，∵∠C =60°，∴∠CDE =30°，∴CE =12CD =6，DE =AB=，∴S =12（AD +BC ）×AB=2cm ． 【总结】本题考查梯形性质与面积公式的综合运用．【例3】 （1）等腰梯形的两底之差为12cm ，高为6cm ，则其锐角为________；（2）等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是_________． 【难度】★【答案】（1）45°；（2）120．【解析】（1）设等腰梯形ABCD ，AD =BC ，AB //CD ，AB ＜CD作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，在矩形ABFE 中，AB =EF∵CD -AB =12，∴CD -EF =DE +CF =12．∵等腰梯形ABCD ，∴DE =CF =6． 又∵AE =BF =6，∴等腰直角△ADE 中，∠D =45°； （2）如图所示，过点A 作AE ⊥BC 于点E ， 由题知，AD =10，BC =20，AC =17． 由等腰梯形性质结合全等性质，易得52BC ADBE -==， ∴CE =15，∴8AE ==，∴11()(1020)812022S AD BC AE =⨯+⨯=⨯+⨯=．【总结】本题考查梯形常见辅助线的添加及应用．【例4】 等腰梯形的高是腰长的一半，则其中的一个底角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【难度】★★ 【答案】A【解析】设等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，作AE ⊥CD∵12AE AD ，∴∠D =30°，故选A ．【总结】本题考查梯形性质与直角三角形性质的综合运用．【例5】 如右图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O ，有下列四个结论：（1）AC =BD ；（2）梯形ABCD 是轴对称图形；（3）∠ADB =∠DAC ； （4）△AOD ≌△ABO ．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】C【解析】（1）正确；（2）正确；（3）正确；（4）错误，故正确的有三个，选C ． 【总结】本题考查等腰梯形性质的运用．【例6】 下列图形中，两条对角线一定不相等的是（） A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．直角梯形【难度】★★ 【答案】D【解析】正方形，矩形，等腰梯形的对角线都相等． 【总结】本题考查几种特殊四边形对角线性质．【例7】 下列四边形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．梯形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．矩形【难度】★★ 【答案】D【解析】B 中等腰梯形是轴对称图形；C 中平行四边形是中心对称图形； D 中矩形既是轴对称图形又是中心对称．【总结】本题考查几何图形的对称性，要熟知每一个图形的性质．ABCDO【例8】 如右图，已知梯形ABCD 中，BC 是下底，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形周长是30cm ，求此梯形的面积． 【难度】★★【答案】2cm ．【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =30°． ∵AD //BC ，∴∠ADB =∠DBC =30°，∴AB =AD∵BD ⊥CD ，∴∠DCB =60°，∴∠ABC =∠DCB ， ∴AB =CD ． 设AB = CD = AD = x ，Rt △BCD 中，∵∠DBC =30°，∴BC = 2CD = 2x ， ∴30 = x +x +x +2x ，解得：x =6． 作AE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∵∠BAE =30°， ∴BE =3，AE= ∴S =12（AD +BC ）AE=2cm ． 【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．【例9】 如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AD =5，∠D =45°，CD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，求BF 的长． 【难度】★★ 【答案】5 【解析】联结CE∵EG 垂直平分CD ，∴EC =ED ，∠ECD =∠D =45°，∴∠CED =90°， ∵∠A =90°，AD ∥BC ， ∴四边形BAEC 是矩形， ∴BC = AE ．设BC =x =AE ，∴ED =EC =AB =5-x∵∠FEA =∠GED =45°，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF =AE =x∴BF =BA +AF =5-x +x =5．【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF 的长．ABCDOEABCEF G【例10】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC ，∠B =60°， （1） 求证：AB ⊥AC ；（2） 若DC =6，求梯形ABCD 的面积． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵AB =CD ，∴∠B =∠DCB =60°，∠BAD =∠D =120°∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30° ∴∠BAC =∠BAD -∠DAC =120°- 30°=90° ∴BA ⊥AC ；（2）∵AB =AD =DC ，DC =6， ∴CD =AD =AB =6 在直角三角形ABC 中，∵∠ACB =30°， ∴BC =2AB =12 作AE ⊥BC ，则AE=∴S 梯ABCD=1()2AD BC AE +=【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．【例11】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B =2∠E ． 求证：AB =DC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AC 平分∠BCD∴∠BCA =∠ACD =12∠DCB∵DE //AC ，∴∠E =∠ACB =12∠DCB ∵∠B =2∠E ，∴∠B =∠DCB ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB =CD【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用．ABDCEABDCE【例12】 如图，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，联结BE 、CD相交于点O ，∠1=∠2． 求证：梯形BDEC 是等腰梯形． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AB AC =， ∴∠DBC =∠ECB在△BCD 与△ECB 中，∠1=∠2，BC =BC ∴△BCD ≌△ECB ，∴BD =CE∵AB =AC ， ∴AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =1(180)2A ︒-∠=∠ABC =∠ACB∴DE //BC ， 又∵BD 与CE 不平行∴四边形BDEC 是梯形，且BD =CE ，∴梯形BDEC 是等腰梯形 【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．【例13】 如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x 秒，当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形? （2）四边形OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由． 【难度】★★【答案】（1）x =5； （2）不能．【解析】（1）由题可知：OC =5，BC =10，OA =14．∵BC //OA∴当Q 点在BC 上，且OP =CQ 时，四边形OPQC 是平行四边形 即2x -5= x ，解得：x = 5；（2）作点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点Q 作QF ⊥OP 与点F ∵AO //BC ，∴CE =QF当OE =PF =4时，△OCE ≌△PQF ，此时四边形OPQC 为等腰梯形， 即OP =OE +CQ +PF ，∴x =4+（2x -5）+4，解得：x =-3（舍）， ∴四边形OPQC 不能成为等腰梯形．【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．ABDCEO 12【例14】 如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米²，求S 与x 之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并求当S=时x 的值． 【难度】★★★【答案】（1）BC =40-2x ；（2）2S =+（020x <<），x =4．【解析】（1）等腰梯形ABCD 中，AB =CD =x ，∴BC =40-x -x =40-2x ；（2）作BE ⊥AD ，CF ⊥AD在Rt △ABE 中，∵∠ABE =30°， ∴AE =12x ．同理FD =AE =12x ， ∴BE =CF．∴EF =BC =40-2x ， ∴AD =40-x∴()1(4024022BC AD BE S x x +==-+-=（020x <<），当S =x =4或683x =（舍）∴当S=时x 的值为4．【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．【例15】 已知，一次函数144y x =-+的图像与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，梯形AOBC（O 是原点）的边AC =5，（1）求点C 的坐标；（2）如果一个一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图像经过A 、C 两点，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★【答案】（1）C （13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）46433y x =-+或46433y x =-．【解析】由题可知：A （16，0），B （0，4）．当OB ∥AC 时，点C 坐标为（16，5），当BC ∥AO 时，点C 坐标为（13，4）或（19，4）；（2）∵一次函数的图像经过A 、C 两点，∴C 点坐标不能为（16，5），当A （16，0），C （13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-+；当A （16，0），C （19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-． 【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．EA B DF【例16】 如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，线段AQ 的长度为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出这个函数的定义域； （2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）9(39)y x x =-+≤≤； （2）x =3时，PQ 平分梯形面积．【解析】（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则CD =AE =3，CE =4， 可得：BC =5，所以梯形ABCD 的周长是18．∵PQ 平分梯形ABCD 的周长， ∴x +y =9， ∵06y ≤≤， ∴39x ≤≤， ∴9(39)y x x =-+≤≤；（2）由题可知，梯形ABCD 的面积是18． 因为P 不在BC 上，所以37x ≤≤． 当3≤x ＜4时，P 在AD 上，此时12APQ S xy ∆=， ∵线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy =可得方程组918x y xy +=⎧⎨=⎩，解得：36x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩（舍）；可得方程组92217x y x y +=⎧⎨+=⎩，方程组无解，∴当x =3时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．QP DCBA解决梯形问题常用的方法① 作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直 的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高 等．【例17】 如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB AD CD ===，AE BC ⊥，垂足为E ，12AE =，则BC 边的长等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23 【难度】★★ 【答案】D【解析】∵AE BC ⊥，13AB =，12AE =， ∴BE = 5．∵梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，AE BC ⊥， ∴2132523BC AD BE =+=+⨯=， 故选D ． 【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．模块二：辅助线知识精讲例题解析 A BCDE【例18】 已知梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，2AD =，10BC =．求DC 的长． 【难度】★★ 【答案】CD = 8．【解析】作DE //AB ，则四边形ABED 是平行四边形．∴AD =BE =2，∠DEC =∠B =70°．在△DEC 中，∠C =40°，∴∠EDC =180°-40°-70°=70°，∴CD =CE =BC -BE =10-2=8． 【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．【例19】 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90A B ∠+∠=，AB b =，CD a =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 的长等于（ ）A ．2b a +B ．3b a +C ．2b a -D ．3b a -【难度】★★ 【答案】C【解析】分别过点F 做FG //AD ，FH //BC ，分别交BA 于点G ，H可得平行四边形DFGA 与平行四边形FCBH∴AG =FD =CF =BH =1122CD a =，∴GH =b -a∵∠A +∠B =90°， ∴可得直角△FGH ，E 是GH 中点∴EF =11()22GH b a =-， 故选C ．【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．【例20】 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =BC ，BD 交AC 于O ．求证：CO =CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∵AD //BC ，∴AF =DE ．在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴AF =12BC ．∵BC =BD ， ∴DE =12BD ．∴在Rt △BDE 中，∠DBC =30°，∴∠BCD =∠BDC =75°∴∠DOC =∠DBC +∠ACB =75°，∴∠CDO =∠COD =75°， ∴CD =CO ．【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．ABCDEG ABCDFHOABCDEF【例21】 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥，若两底长分别为a b 、，试列出这个梯形的面积S 用a b 、表示的等式．【难度】★★【答案】21()4a b +．【解析】过点D 作DE //AC 交BC 延长线于点E ， 则可得平行四边形ADEC ．∵等腰梯形ABCD 中，AC =BD ， ∴△BDE 是等腰三角形， ∴BE =BC +CE =BC +AD =a +b ．过D 作DF ⊥BC 于点F ，等腰直角△DBE 中，DF =11()22BE a b =+，∴BDE ABCD S S ∆=梯形=211()24BE DF a b ⋅=+．【总结】本题考查梯形辅助线的作法，通过平移对角线将等腰梯形转化为等腰三角形的问题．【例22】 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BOC =60°，AC =10cm ，求梯形的高DE 的长． 【难度】★★【答案】．【解析】等腰梯形ABCD 中，∵OB =OC ，∠BOC =60°，可得等边△OCB ， ∴∠DBC =∠ACB =60°∵AC =BD =10，∴在直角△BDE 中，BE =152BD =，∴DE =．【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．ABCDEO EF【例23】 如图，在梯形ABCD 中，()0//9012AD BC BC AD D BC CD >∠===，，，045ABE ∠=，若AE =10，则CE =__________．【难度】★★★ 【答案】4或6．【解析】过点B 作DA 的垂线交DA 延长线于M ，M 为垂足,延长DM 到G ，使得MG =CE ，联结BG ， 可得四边形BCDM 是正方形．∴BC =BM ，∠C =∠BMG =90°，EC =GM ， ∴△BEC ≌△BMG ， ∴∠MBG =∠CBE ∵∠ABE =45°，∴∠CBE +∠ABM =45°，∴∠GBM +∠ABM =45°， ∴∠ABE =∠ABG =45°，∴△ABE ≌△ABG ，AG =AE =10设CE =x ，则AM =10-x ，∴AD =12-（10-x ）=2+x ，DE =12-x ． 在Rt △ADE 中，由AE 2=AD 2+DE 2，解得：x =4或x =6． 故CE 的长为4或6．【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．三角形中位线的定义和性质：1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 3. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．模块三：中位线知识精讲A BCD E MG【例24】 （1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是； （3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是； （4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是； （5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是； （7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是． 【难度】★【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形； （6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形． 【解析】利用三角形中位线性质可证明．【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．【例25】 （1）点D 、E 、F 分别是ABC 三边的中点，DEF 的周长为10cm ，则ABC 的周长为；（2）ABC 三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，则ABC 的面积为． 【难度】★【答案】（1）20cm ；（2）242cm ．【解析】（1）2()20ABC C AB BC AC DE EF DF ∆=++=++=cm ．（2）∵三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ， 且2223+45=， ∴可知△ABC 是直角三角形，∴168242S =⨯⨯=2cm ．【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．例题解析【例26】 如图，ABC 中，B ∠，C ∠的平分线BE ，CF 相交于点O ，AG BE ⊥于点G ，AH CF ⊥于点H ．（1）求证：//GH BC ；（2）若9AB =厘米，14AC =厘米，18BC =厘米， 求GH 的长． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2.5cm ．【解析】（1）分别延长AH ，AG 交BC 于M ，N 两点∵CH 是角平分线，CH ⊥AM∴可得△ACM 是等腰三角形，同理△ABN 也是等腰三角形． ∴H 、G 分别是AM 、AN 边上的中点， ∴GH //BC ；（2）由（1）得CA =CM =14cm ，BA =BN =9cm∴MN =CM +BN -BC =14+9-18=5， ∴GH =1522MN =， 即GH =2.5cm ．【总结】本题考查了等腰三角形的性质，与三角形的中位线定理的综合运用，注意通过添加辅助线得到等腰三角形是本题的关键．【例27】 如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分BAC ∠，CE AE ⊥，点F 在边AB 上，EF //BC ．（1） 求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2） 线段BF 、AB 、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2BF +AC =AB ． 【解析】（1）延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CG ，AE 平分∠BAC∴△AEG 与△ACE 中，∠GAE =∠CAE ，AE =AE ，∠AEG =∠AEC∴△AGE ≌△ACE ∴AG =AC ，即△AGC 是等腰三角形，∴E 是GC 的中点． ∵D 是CB 的中点，∴DE //BA ， ∵EF //BD ， ∴四边形BDEF 是平行四边形； （2）∵ED 是△BCG 的中位线， ∴ED =12BG ．又∵平行四边形BDEF ，∴ED =BF ，∴BF =12BG ，即BG =2BF ．∵AG =AC ， ∴2BF +AC =BG +AG =BA ．【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．HGOF ECBA MNABC D EFG【例28】 如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥交于点O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，30DBC ∠=，求证：AC =MN ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AD //BC ， ∴∠ADO =∠DBC =30°．∴在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，OA =12AD ，OC =12BC ，∴AC =OA +OC =1()2AD BC +．∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN =1()2AD BC +， ∴AC =MN ．【总结】本题考查梯形中位线的性质和直角三角形中性质的综合运用．【例29】 如图所示，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，交OB 于点F ，求证：CE =2OF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】取AE 的中点G ，联结OG∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ， ∴OG //CE ，CE =2OG∴∠AOG =∠ACB =45°，∠GOB =∠OBC =45°． ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠CAE =22.5°，∴∠EGO =∠EAC +∠AOG =22.5°+45°=67.5°， ∴△OFG 中，∠OFG =180°-67.5°-45°=67.5°， ∴∠OFG =∠EGO ， ∴OG =OF ， ∴CE =2OF ．【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用，注意利用角度得到等腰三角形．ABCD MN OABCDEF OG【例30】 如图所示，在四边形ABCD 中，CD AB >，E 、F 分别是AC 、BD 的中点．求证：1()2EF CD AB ≥-． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】取AD 中点G ，联结EG ，FG∵E 、F 分别是AC 、BD 的中点，∴12EG CD =，12FG AB =．∵CD ＞AB ，∴EG ＞FG ．在△EFG 中，EF ＞EG -FG =1()2CD AB -，当AB //CD 时，F 、E 、G 三点共线，1()2EF CD AB =-，∴1()2EF CD AB ≥-．【总结】本题考查三角形中位线定理和三角形三边关系的综合运用．【例31】 如图1所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的外角平分线，过点A 作AF BD ⊥，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证1()2FG AB BC AC =++．（1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． 【难度】★★★【答案】（1）1()2FG AB AC BC =+-（2）1()2FG BC AC AB =+-．【解析】（1）图2中，分别延长AG 、AF 交BC 于H 、K ，易证△BAF 与△BKF 全等．∴AF =KF ，AB =KB ，同理可证AG =HG ，AC =HC ，∴FG =12HK又∵HK =BK -BH =AB +AC -BC ，∴1()2FG AB AC BC =+-；A BCDEFGC（2）图3中，分别延长AG 、AF 交BC 或延长线于H 、K易证△BAF 与△BKF 全等∴AF =KF ，AB =KB ，同理可证AG =HG ，AC =HC∴FG =12HK又∵HK =BH -BK =BC +AC -AB∴1()2FG BC AC AB =+-．【总结】本题考查直角三角形性质，等腰三角形性质，角平分线性质以及全等三角形的判定等知识点的综合运用．【例32】 如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )．A ．2S +6S =4SB ．1S +7S =4SC ．2S +3S =4SD ．1S +6S =4S【难度】★★★ 【答案】B【解析】过A 作AE ⊥DC 于点E ，过M 作MH ⊥DC 于H ， 过点B 作BQ ⊥CD 于Q ， 则AE //MH //BQ ．∵M 是AB 中点，∴H 是EQ 中点，即MH 是梯形AEQB 的中位线，∴2MH =AE +BQ∵34612MDC S S S S DC MH ∆++==⨯⨯，6712BNC S S S NC BQ ∆+==⨯⨯，1312ADN S S S DN AE ∆+==⨯⨯，又DN =CN∴76131122S S S S NC BQ ND AE +++=⨯⨯+⨯⨯1()2DN AE BQ =⨯+11222DN MH DN MH CD MH =⨯=⨯=⨯∴7613346S S S S S S S +++=++， ∴174S S S +=．【总结】本题考查面积与等积变换的应用，主要考查学生的计算和推理能力．【例33】 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E 、F 分别是CD 、AB 的中点，延长AD 、BC ，分别交FE 的延长线于点H 、G ；求证：AHF BGF ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】联结AC ，取AC 中点M ，联结EM 、FM∵E 是CD 的中点，M 是AC 中点∴EM =12AD ，EM //AD∵M 是AC 的中点，F 是AB 的中点∴MF //BC ，MF =12BC∵AD =BC ，∴EM =MF ， ∴∠MEF =∠MFE ∵EM //AH ，∴∠MEF =∠AHF ， ∵FM //BG ，∴∠MFE =∠BGF ． ∴∠AHF =∠BGF【总结】解题此题的关键是掌握分析题中的各种信息条件，此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．【习题1】 有两个角相等的梯形是（）A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．一般梯形D ．直角梯形或等腰梯形 【难度】★ 【答案】D【解析】如果两个相等的角是同一底上，则梯形是等腰梯形， 如果两个相等的角是同旁内角，则梯形是直角梯形． 【总结】本题考查等腰梯形判定方法和梯形性质．随堂检测M【习题2】下列命题中，真命题是（）A．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形D．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形【难度】★【答案】B【解析】等腰梯形两条对角线相等，可以用三角形中位线性质给予证明．【总结】本题考查中位线性质和菱形判定方法．【习题3】已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是( ) A．78°或120°B．102°或60°C．120°或78°D．60°或120°【难度】★【答案】B【解析】另外两个内角分别是180°-78°=102°，180°-120°=60°．【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题4】下列命题，错误命题的个数是( )①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】B【解析】③、④错误．【总结】本题考查等腰梯形性质，根据四边形以及梯形的性质举例得出是本题解题关键．【习题5】 如图，在ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，且AD AB ⊥，4AD =，6AB =．求AC 的长．【难度】★★【答案】AC =10． 【解析】∵D 、E 分别是中点，∴DE 是△ABC 的中位线∴DE //AB ，12DE AB ==3，∠ADE =90°， ∴AE =5， ∴AC =10．【总结】本题考查中位线性质的运用．【习题6】 等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数． 【难度】★★【答案】60°、60°或120°、120°．【解析】设四边形ABCD 是等腰梯形，其中AB //CD ，AD =BC ，DC -AB =AD ， 过点A 作AE //BC 交CD 于点E ，可得平行四边形ABCE ．∴AB =CE ，AE =BC ， ∴AD =BC =AE =CD -AB =DE ， ∴△ADE 是等边三角形， ∴∠D =60°， ∴梯形的底角度数为60°、60°或120°、120°．【总结】本题考查等腰梯形性质与等边三角形性质的综合运用．【习题7】 如图，四边形ABCD 中，AD 不平行BC ，现给出三个条件：①CAB DBA ∠=∠，②AC BD =，③AD BC =．请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出ABCD 是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）． 【难度】★★ 【答案】①②或②③．【解析】由①②或②③均可证明△ADB ≌△BCA ．过点D 作DE //BC 交AB 于点E∴∠DAB =∠CBA =∠DEA ，∴AD =DE =BC又DE //BC ，∴四边形DEBC 是平行四边形，∴CD //AB ∵AD 不平行BC ，∴四边形ABCD 是梯形 ∵AD =BC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形【总结】本题主要考查等腰梯形的判定方法，涉及等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰梯形的判定方法是解题关键．AB CD EBD CAE【习题8】 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 上的中点，5AB =，7CD =．求四边形EFGH 的周长． 【难度】★★ 【答案】12【解析】∵E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 上的中点， AB =5，CD =7， ∴EF //AB ，GH //AB ，EH //CD ，FG //CD∴EF =2.5，EH =3.5，∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴四边形EFGH 的周长=2（EF +EH ）=12．【总结】本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题9】 在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =4，AD =4，CD=B =60°，∠C =30°，E 为AB 上一个动点(与A 、B 不重合)，EF //CD ，交BC 于点F ，联结DE 、CE ． （1）求梯形ABCD 的面积；（2）设BE =x ，四边形CDEF 的面积为y ，求出y 与x 的函数解析式；（3）是否存在这样的点E ，使四边形CDEF 的面积为梯形ABCD 面积的三分之二． 【难度】★★★【答案】（1）；（2）y =++；（3）BE． 【解析】（1）分别过点A 、D 作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，可得：BG =2，GH =4，CH =6，AG =DH=CD=∴1()2ABCD S AD BC AG =+=梯形（2）∵EF //CD ， ∴∠EFB =∠DCB =30°，∵∠B =60°，∴∠BEF =90°． ∴BF =2x ，EF，BEFS ∆= △ADE 中，AE =4-x ，AD =4，作DK ⊥BA 交BA 延长线于K ， ∵∠BAD =120°，∴DK=∴ADE S ∆=， ∴y =ABCD ADEBEF S S S ∆∆--==+（3）由题意，得：23+=⨯解得：x（舍负）， ∴BE． 【总结】本题考查梯形的综合解题，考查知识点较多运用数形结合，分类讨论是解题关键．HFE DCBA GA BCDE F H【习题10】 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27?（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】（1）344y x =+； （2）167t =； （3）7(08)2244(818)8184(1823)55tt S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎩．【解析】（1）设BC 解析式为y =kx +b ，代入B （8，10），C （0，4），解得直线BC 的解析式为：344y x =+；（2）∵D 是线段BC 中点，∴D （4，7）．∵27OPDC COAB S S =四边形梯形， ∴1121744(104)82272t ⨯+⨯⨯=+⨯⨯，解得：167t =；（3）当P 点在OA 上时，S =17722tt ⨯⨯=(08)t <≤；当P 在AB 上时，OPA BPD OCD COAB S S S S S ∆∆∆=---梯形=1111(410)8448(8)(18)4244(818)2222t t t t +⨯-⨯⨯-⨯⨯---⨯=-+<≤； 当P 在BD 上时，S =OCD OPA ABP COAB S S S S ∆∆∆---梯形=818455t -+（18＜t ＜23）； 当P 在OD 上时，S =0，（舍） ∴7(08)2244(818)8184(1823)55tt S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎩．【总结】本题综合性较强，考查中位线性质与一次函数的综合运用，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．【作业1】能识别四边形ABCD是等腰梯形的条件是（）A．AD//BC，AB=CD B．∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：3:2C．AD//BC，AD≠BC，AB=CDD．∠A+∠B=180°，AD=BC【难度】★【答案】C【解析】只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形．【总结】本题考查等腰梯形判定方法．【作业2】（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，下底BC为8cm，上底AD为6cm，∠ADB=60°，那么AC的长为__________；（2）已知梯形的中位线长为9厘米，上底长是下底长的一半，那么下底的长是__________厘米．【难度】★【答案】（1）cm；（2）12．【解析】（1）在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴BA=在Rt△ABC中，AC（2）设上底为x，下底为y，则有9212x yx y+=⨯⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：y=12，∴下底为12厘米．【总结】本题考查梯形性质与中位线定理的综合运用．【作业3】若梯形中位线被它的两条对角线分成三等份，则梯形的两底之比为（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5【难度】★【答案】A【解析】设梯形ABCD中，AB//CD，AD和BC的中点分别是E、F，AC，BD分别交EF于点H，G，易证AB=2EG，CD=2GF．∵EG=GH=HF，∴GF=2EG，∴CD=2AB．【总结】本题考查梯形中位线的性质的运用．课后作业【作业4】 如图所示，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，垂直于底的腰AB 的长为b ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．abB ．12abC ．14ab D ．2ab【难度】★★ 【答案】B【解析】∵EF 是梯形中位线，∴E 是AB 中点，∴AE =BE =12b∴1111122222DEC DEF EFC S S S S a b a b ab ∆∆∆==+=⋅+⋅=阴．【总结】本题考查梯形中位线定义，性质及面积公式的综合运用．【作业5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【难度】★★ 【答案】B【解析】①③正确，②④错误，故选B ． 【总结】本题考查梯形中位线的运用．∵BC =BA ，∴∠BCA =∠BAC ，∴∠DCA =∠BCA 可证△ADC ≌△AEC ，∴CD =CE =4，BE =16， ∴AE =AD =12；（2）S =1()1442AD CD AB +=．【总结】本题考查全等三角形判定方法，勾股定理及梯形面积公式的综合运用．A BE A BCDEF。

等腰梯形 三角形中位线 梯形中位线一. 本周教学内容：等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线1. 等腰梯形：性质：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。

等腰梯形的两条对角线相等。

判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

2. 三角形的中位线定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

3. 梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。

【典型例题】例1. 已知等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，∠===B AD cm BC cm 601549°，，，求它的腰长。

A D分析：要求腰长，也就是求AB 的长，通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中，过A 作AE//CD 交BC 于E ，得到一个平行四边形AECD 和△ABE ，易知△ABE 是等边三角形，由BE=BC －AD ，这样问题就解决了。

解：过A 作AE//DC 交BC 于E∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴∠=∠=B C 60°又∵AD//BC ，AE//DC ∴四边形AECD 是平行四边形。

∴====∴=AD EC cm AE DCAB CD AB AE 15，，∴△ABE 是等边三角形。

又 BC cm =49∴=-=∴==BE cm AB BE cm49153434() A D例2. 已知：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC=BC+AD ，求∠DBC 的度数。

分析：由等腰梯形的性质得AC=BD ，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD 到AE 的位置，则∠=∠DBC E ，需求∠E ，猜想△ACE 是等边三角形。

解：过A 作AE//BD 交CB 的延长线于E ，则四边形AEBD 是平行四边形。

∴==∴=+=+=AE DB AD BE CE BC BE BC AD AC， ∵梯形ABCD 是等腰梯形。

三角形中的中线的用法模块一：三角形中位线 1．定义：连接三角形两边中点的线段． 2．定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．若DE 为ABC △的中位线，则DE//BC ，且12DE BC =．3．三角形中位线里隐含重要性质： ①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有：①AEG EBF CFG FGE △△△△≌≌≌②12EFG ABC C C =△△，14EFG ABC S S =△△②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一． 模块二：直角三角形斜边中线 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．若AD 为Rt ABC △斜边上的中线，则12AD BC =．相关结论：（1）AD BD DC ==； （2）ABD △，ACD △为等腰三角形 （3）2ADB C ∠=∠，2ADC B ∠=∠拓展：在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点．相关结论：（1）AM MD =；（2）2AMD ABD ∠=∠． 模块三：中点辅助线综合E DCB AMMABCDA BCDDCBAFA B CE G（1）如图1-1，在ABC△中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若ABC△的周长为20cm，则DEF△的周长为__________．（2）如图1-2，在Rt ABC△中，30A∠=︒，1BC=，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为__________．图1-1 图1-2（3）如图1-3，ABC△中，6AB AC==，8BC=，AE平分BAC∠交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则BDE△的周长是__________．（4）如图1-4，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．求证：1()2EF AC BD<+．图1-3 图1-4【解析】（1）10cm．（2）1．（3）10．（4）证明：取AD的中点M，连结EM和FM．∵E、F是AB、CD中点，∴12EM BD=，12FM AC=．又∵EF EM FM<+，∴1()2EF AC BD<+．【教师备课提示】考察中位线产生的线段长度关系．第（4）题利用中位线构造出长为12AC，12BD的线段并将线段集中；也可以求证1()2EF AD BC<+，方法是取AC 或BD的中点．FEDCBA模块一三角形中位线例题1MAB CDEF（1）如图2-1，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，18PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是__________度．（2）如图2-2，已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．（3）已知，如图2-3四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）18．（2）设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得：GE //BD ，12EG BD =，GF //AC ，12EF AC =，从而GF GE =，GEF GFE ∠=∠， ∴AMN BNM =∠∠．（构造中位线来利用对角线相等的条件，也可以取AC 或BD 的中点．） （3）连接AC ，取AC 中点H ，连接FH 、EH ．∵DF CF =，AH CH =，∴FH//AD ，12FH AD =，同理，12EH BC =，EH//BC ， ∵AD BC =，∴EH FH =，∴HFE HEF ∠=∠， ∵FH//AM ，EH//BC ， ∴AM E HFE ∠=∠，HEF BNE ∠=∠， ∴AME BNE ∠=∠．【教师备课提示】考察中位线的性质，学会通过构造中位线去利用已知的条件．CM FEND B AA CDM FE NB例题2CM FE G NDB AA H C D MF E NB如图，在ABC △中，D 、G 分别为AB 、AC 上的点，且BD CG =，M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP AQ =．【解析】连DG ，找DG 的中点E ，连ME 、NE ，∵M 、N 分别是BG 与CD 的中点．∴ME//AB ，12ME BD =，NE//AC ，12NE GC =．∴APQ EMN ∠=∠，AQP ENM ∠=∠．∵BD GC =，∴EM EN =， ∴EMN ENM ∠=∠，∴APQ AQP ∠=∠，∴AP AQ =． 【教师备课提示】还可以取BC 中点．总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线，学会构造出中位线去利用题目中给出的等量关系．已知：在ABC △中，90ABC ∠=︒，点E 在直线AB 上，ED 与直线AC 垂直，垂足为D ，且点M 为EC 中点，连接BM 、DM ．（1）如图4-1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及BM D ∠与BCD ∠所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图4-2，若点E 在BA 延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．图4-1 图4-2【解析】（1）BM DM =，2BMD BCD ∠=∠；（2）结论不变，由题意知MB MC MD ==，∴2BME BCM ∠=∠，2DME DCM ∠=∠，两式相减，得2BMD BCD ∠=∠．NM PQG D C BAEA BC DG Q PM N 图2图1BEM CDAMEDCBA例题3模块二直角三角形斜边中线例题4如图，90MON∠=︒，ABC△中，90BAC∠=︒，2AB=，1AC=，AB在MON∠上滑动，求OC的最大值．【解析】取AB的中点D，连结OD、DC，则1OD=，2DC=，可得12OC≤+，即OC的最大值为12+（O、D、C三点共线时）．在Rt ABC△中，90BAC∠=︒，AD BC⊥，E、F、G分别是AB、AC、BC的中点，M 是DG的中点，求证：ME MF=．【解析】连结DF、EG，可证DF GE=，MDF MGE∠=∠，MD MG=，则MDF MGE△≌△，得证．例题5模块三中点辅助线综合例题6如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．【解析】方法一：如图1，取AC 中点M ，取AD 中点N ，连BM ，MF ，NF ，EN ． ∵90ABC AED ∠=∠=︒，1122BM AC FN EN AD MF ====，，∴BMF FNE △≌△，∴BF EF =，方法二：如图2，延长CB 到M ，使得MB BC =， 延长DE 到N ，使得NE DE =， 连接AM ，AN ，MD ，CN ． 由90ABC AED ∠=∠=°，AMC △，ADN △是等腰三角形，F 是CD 中点，则BF //MD ，12BF MD =，EF//CN ，12EF CN =，MAD CAN △≌△，MD CN =，∴BF EF =，此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：图2图1MNN MACBDEF F EDB CA例题7FEDB C A（1）如图1-1，在ABC△中，点D是BC中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，延长BE 交AC于F．若AB=10厘米，AC=16厘米，则DE的长度为__________．（2）如图1-2，已知，在四边形ABCD中，AD BC=，P是对角线BD的中点，N是DC 的中点，M是AB的中点，30DBC∠=︒，70ADB∠=︒．求MNP∠度数．图1-1 图1-2【解析】（1）3厘米；（2）∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M、N分别是AB、CD的中点，∴NP，PM分别是CDB△与DAB△的中位线，∴12PN BC=，12PM AD=，PN//BC，PM//AD，∴30NPD DBC∠=∠=︒，70MPB ADB∠=∠=︒，∴110DPM∠=︒；∴140NPM∠=︒，∵AD BC=；∴PN PM=，故NMP△是等腰三角形．∵140NPM∠=︒，∴20PMN PNM∠=∠=︒．复习巩固模块一三角形中位线演练1（1）如图2-1,ABC △中，过点A 分别作ABC ∠、ACB ∠的外角平分线．．．．．的垂线．．AD 、AE ，垂足为D 、E ．求证：①//ED BC ；②1()2ED AB AC BC =++．（2）（四川省中考题）如图2-2,已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．图2-1 图2-2【解析】（1）①分别延长AD 、AE 与直线BC 交于点F 、G ，∵BD ⊥AD ，且BD 为ABF ∠的角平分线∴AD FD =，且AB BF =（等腰三角形的三线合一） 同理可得AE GE =，AC GC =， ∴DE 为AFG △的中位线，∴ED //BC ，且12DE FG =．②由（1）知12DE FG =，且AB BF =，AC GC =，∴111()()222ED FG=FB BC CG AB BC AC =++=++．（2）取AC 的中点F ，连结DF ，易得DF//AB ，12DF AB =，ADF BAD ∠=∠，而1122DE BD AB ==，故DF DE =．再证ADE ADF △≌△，∴AE AF =，∴2AC AE =．C ED BA演练2CF E D B A（1）如图3-1，四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，取AC 中点O ，BC 中点E ，连接OD 、OE 、DE ，20CAD CAB ∠=∠=︒，则DOE ∠=__________．（2）如图3-2所示，ABC △中，AH BC ⊥于H ，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，10cm HF =，则ED 的长度是__________．图3-1 图3-2【解析】（1）60︒．（2）10cm ．（1）如图4-1，在ABC △中，2B C ∠=∠，M 是BC 中点，AD BC ⊥于D ．求证：12DM AB =．（2）如图4-2，已知：ABD △和ACE △都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠．连接DE ，设M 为DE 的中点．求证：MB MC =．【解析】（1）法一：取AB 中点G ，连结GD 、GM ，则12GD AB =，GM AC ∥．则GMD C ∠=∠． 而GD GB B GDB GMD DGM =⇒∠=∠=∠+∠ C DGM =∠+∠，由于2B C ∠=∠，所以DGM C GMD ∠=∠=∠．∴12MD GD AB ==． OEDC B AMEDCBA模块二直角三角形斜边中线演练3模块三中点辅助线综合演练4CAB GNDMC AB D M法二：同理可以取AC的中点N，连接DN，MN．（2）如图，分别取AD、AE的中点P、Q，连接PB、PM、QC、QM，由P、M、Q分别是AD、DE、AE的中点，∴PM//AE，12PM AE=，QM//AD，12QM AD=，∵ABD△、ACE△是直角三角形，∴12PB AD=，12CQ AE=，∴PB QM=，PM QC=，∵BAD CAE∠=∠，∴ADB AEC∠=∠，∴DPB CQE∠=∠，由AD//QM，AE//PM，∴APM AQM∠=∠，∴BPM MQC∠=∠，∴BPM MQC△≌△，∴MB MC=．QPAB CDE M图3。

八年级数学下册22.6三角形梯形的中位线3教学设计沪教版五四制一. 教材分析《三角形梯形的中位线》是沪教版八年级数学下册第22章第6节的内容，本节课主要让学生掌握三角形和梯形的中位线定理，并能够运用该定理解决相关问题。

教材通过引入中位线的概念，引导学生探究中位线的性质，进而推导出中位线的长度等于它所对的边的长度，以及中位线平行于第三边。

这一内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平行线、三角形和梯形的基本知识，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但学生在学习过程中，可能对中位线的概念和性质理解不深，对中位线定理的应用还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要通过丰富的教学手段，帮助学生理解和掌握中位线定理，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.让学生理解三角形和梯形的中位线定理，掌握中位线的性质。

2.培养学生运用中位线定理解决实际问题的能力。

3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重难点：三角形和梯形的中位线定理的推导和应用。

2.难点：学生对中位线定理的理解和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究中位线的性质。

2.利用几何画板和实物模型，帮助学生直观地理解中位线定理。

3.通过例题和练习题，让学生巩固中位线定理的应用。

4.分组讨论和合作交流，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示中位线的性质。

2.准备相关的PPT和教学课件，用于辅助教学。

3.准备一系列的例题和练习题，用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习三角形和梯形的基本知识，引导学生思考中位线的作用和意义。

2.呈现（10分钟）利用几何画板和实物模型，呈现三角形和梯形的中位线，引导学生观察和思考中位线的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试找出三角形和梯形的中位线，并测量中位线的长度，验证中位线定理。