三角形梯形中位线练习-

9.5 三角形的中位线基础题汇编（1）．．．2=．．．7+9.5 三角形的中位线基础题汇编（1）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•河北）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（）2．（2014•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）3．（2014•泸州）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（）4．（2014•宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）MN=MN=AB5．（2014•牡丹江一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C在弦AB上，且AC=6，过点C作CD⊥AB交OB 于点D，则CD的长为（）AB=4EO=1.5=47．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）AB8．（2013•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）BC EF=则新三角形的周长为AC BC EF=（∴等边三角形的中位线长是：12．（2013•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）EF=．C D．×（14．（2013•德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则△DEF15．（2013•潮安县模拟）如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（）DAB=4BC=216．（2013•南岗区三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是CB中点，P、N分别在AC、AB上，若△APN的面积与△ANM的面积相等，则AP长为（）DPG=ANAP=AC=17．（2012•台州）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）18．（2012•聊城）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（）D=BC=19．（2012•佛山）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图AC EF=AC EF=AC．cm ∴相似比是21．（2012•朝阳）如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为（）BC AC EF=AB BC EF=23．（2012•邵阳）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是（）ABAC24．（2012•德城区三模）如图，在△ABC中，BC=6，M、N分别是AB、AC的中点，则MN等于（）DMN=25．（2012•黄埔区一模）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的周长为（）AD=BD=AC BCAB=2AC=2BC=226．（2012•长宁区一模）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（）D．AD=，的周长为边长的．27．（2012•盐田区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC边的中点，OE=1．那么AB=（）．29．（2011•黔南州）如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）+2BE=CE=AB=3AC=330．（2011•义乌市）如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（）BC。

三角形中位线经典测试题1、已知三角形ABC，其中AC与BD交于点O，BC边中点为E，OE=1，求AB的长。

2、已知三角形ABC，其中DE是BC边的中位线，DE=2cm，求BC的长。

3、已知三角形ABC，要测量A、B两点间的距离，取OA的中点C，OB的中点D，测得CD=30米，求AB的长。

4、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形。

5、以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有4个。

6、已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。

7、已知三角形三边长分别为6、8、10，则它的中位线构成的三角形的面积为24.8、已知△ABC中，AD=11/44AB，AE=AC，BC=16，求DE的长。

9、已知四边形ABCD中，M、N、P、Q分别为AB、BD、CD、AC的中点，证明四边形MNPQ是平行四边形。

10、已知四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E、F分别是对角线AC、BD的中点，证明四边形ADEF是平行四边形。

11、已知四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA、EF的延长线交于点M，CD、EF的延长线交于点N，证明∠AME=∠XXX。

12、已知△ABC中，P是中线AD的中点，连接BP并延长交AC于E，F为BE的中点，证明AF∥DE。

13、已知四边形ABCD中，M是OB的中点，连接AM并延长至P，使MP=AM，连接DP交AC于N，证明（1）MN∥AD；（2）S四边形MPNQ=S△XXX。

14、已知△ABC中，AD是外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点，证明（1）DE∥AB；（2）DE=1/2(AB+AC)。

15、已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，对角线相交于点O，∠AOB=60°，且E、F、M分别是OD、OA、BC的中点，证明△EFM是等边三角形。

《三角形、梯形的中位线》基础练习姓名班级学号成绩【知识要点】1．三角形、梯形中位线的概念及其性质，并利用中位线的性质解决有关问题．2．三角形中位线定理：3．梯形中位线定理：4．梯形面积公式可用来表达．5．图形中出现多个中点时一些添加辅助线的基本思想和方法．一．填空题(3分×10 = 30分)1．若等腰梯形的腰长等于中位线的长，周长为48㎝，则中位线长为㎝．2．已知梯形的高是4，面积是32，上底长为4，则梯形的中位线长为．3．已知等腰梯形的上、下底长分别为2㎝和6㎝，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为．4．已知直角梯形的一条对角线把梯形分成一个直角三角形和一个边长为8㎝的等边三角形，则此梯形的中位线长为㎝．5．梯形的上、下底长分别为6、10，则由中位线分得的两个梯形的面积之比为．6．梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为．7．若等腰梯形的腰长是5cm，中位线是6cm，则它的周长是㎝．8．若梯形的一底长是14cm，中位线长是16cm，则另一底长为㎝．9．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是．10．梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位之比是．二．选择题(3分×6 = 18分)1．顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）以上都不对2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）以上都不对3．若顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原四边形的对角线（）（A）互相平分（B）互相垂直（C）相等（D）相等且互相平分4．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）（A）等腰梯形（B）矩形（C）平行四边形（D）菱形或对角线互相垂直的四边形5．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）（A）3cm （B）26cm （C）24cm （D）65cm6．已知直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（ ）（A ）a 43 （B ） （C ）a 45 （D ）都不对 三．解答题 (6分×6 + 8分×2 = 52分)1．如图，已知△ABC 中，D 是AB 上一点，AD =AC ，AE ⊥CD 于E ，F 是BC 的中点．求证：BD =2EF ．2．已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，AP 是∠BAC 的平分线，BP ⊥AP 于点P ．求证：AC -AB =2PM ．3．已知在△ABC 中，BC =15，D 、G 为BC 的三等分点，AD =13，AG =12，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．求四边形EFGD 的周长和面积．4．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？A BD H G FE o D C A P M CB A5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，AE 与BF 相交于点G ，DE 与CF 相交于点H ，试说明GH ∥AD 且GH=21AD ．6．如图，已知CD 是△ABC 的高，E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 上的中点．求证：FG =DE ．7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，EF 是中位线，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ， EF =12㎝．求梯形ABCD 的面积．8．对角线互相垂直且相等的四边形一定是菱形吗？试画出图形加以说明．如果取这样四边形各边中点并顺次联结起来，构成的四边形是什么四边形？FED C B A。

3.6三角形、梯形的中位线[趣题导学]按要求画图：分别画一个任意四边形、矩形、等腰梯形、对角线相等的四边形、菱形、对角线互相垂直的四边形，然后分别取这些图形各边的中点，再把每个图形四条边的中点分别顺次连结，你有什么发现？解答：容易发现（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是平行四边形； （2）顺次连结矩形各边中点所得图形是菱形； （3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是菱形；（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是菱形； （5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是矩形；（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是矩形. [双基锤炼] 一、选择题1、已知△ABC 的周长为50cm ，中位线DE =8cm ，EF =10cm ，则另一条中位线DF 的长是 （ ）A ．5cmB ．7cmC ．9cmD ．10cm2、梯形ABCD 中，CD AB //，cm 2=AB ，cm 8=CD ，M 、N 分别为对角线AB 、BD 中点，则MN 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm3、一个梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm 2，则这梯形的高是 （ ） A ．32cm B ．6cm C ．62cm D ．3cm4、等腰梯形的两腰延长后相交，所构成的三角形的中位线恰好是该梯形上底，则该三角形中位线与原梯形的中位线的比是（ ）A ．1：2B ．1：3C ．2：1D ．2：3 二、填空题5、如图3.6-1，在△ABC 中，若D 、E 、F 分别是CB 、AB 、AC 的中点，则有 （1）图中有 个平行四边形；（2）若DE =4，则AC = ；若DF =5，则AB = ；若EF =6，则CB = ．（3）若△DEF 的周长为15cm ，则△ABC 的周长为 cm ；若△ABC 的面积为40cm 2，则△DEF 的面积为 cm 2．30；FCED BAO A GH FEDCB图3.6-1 图3.6-26、如图3.6-2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，则（1）四边形EFGH 是 形；（2）若四边形EFGH 的周长为30cm ，则梯形ABCD 的周长为 cm ．7、等腰梯形中位线长为4cm ，腰长为6cm ，它的周长是__ ______．8、已知梯形上、下底之比为2∶3，中位线长20cm ，则梯形上底和下底分别是________． 9、如图3.6-3，梯形ABCD 中，BC ∥AD 对角线AC ⊥BD ，且AC =5cm ，BD =12cm,则该梯形的中位线的长是 cm ．DACBADNMCE B图3.6-3 图3.6-410、如图3.6-4，在Rt △ABC 中，AB 是斜边，DE ∥MN ∥BC ，且AE =EN =NC =5cm ，DE =4cm ．MN 的长是 cm ；BC 的长是 cm ；BCED S 梯形= cm 2． 三、解答题11、已知：如图3.6-5，E 、F 、G 、H 分别是CD 、BC 、AB 、DA 的中点，试说明：四边形EFGH 是平行四边形．HGADFCEB图3.6-512、如图3.6-6，在等腰梯形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 互相垂直，试说明：这个等腰梯形的中位线与高相等．[能力提升] 一、综合渗透1、如图3.6-7，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，E 、F 分别是OA 、OD 的中点，BC =8cm 。

源尚教育 数学学习内容一、 三角形与梯形的中位线 二、梯形讲 解知识回顾1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。

注意：三角形的中位线有3条。

2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。

3．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段注意：（1）不是连结两底中点，是连接两腰的中点；（2）梯形的中线是唯一的。

4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。

1．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm2．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m3．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A ．20081 B ．20091 C ．220081 D ．2200914．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF •的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．405. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为梯形的中位线， EF 交梯形的对角线BD 、AC 于M 、N ，图中有几条三角形的中位线（ ）ED NMFC B AA. 2条B. 3条C. 4条D. 5条6. 如图，梯形的一条对角线BD 将中位线EF 分成的两部分的比为1：2，则梯形上下两底的比为（ ）源尚教育 数学E D MF CBAA. 1：2B. 1：4C. 2：3D. 1：37. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形的一个内角是（ ）A. 90°B. 60°C. 45° D . 30°8. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10cm ，则梯形的高为（ ）D CBAA. 8cmB. 5cmC. 10cmD. 11cm9. 梯形的面积是242cm ，高为6cm ，那么它的中位线长为（ ）A. 8cmB. 30cmC. 4cmD. 18cm10．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是 cm 。

三角形、梯形中位线定理应用练习课一、复习题组1．知识要点A 1，三角形中位线性质定理的条件是，(1) 如图结论是；DE三角形中位线判定定理的条件是，CB结论是。

1）（图AD如图2，梯形中位线性质定理的条件是，(2)结论是；EF梯形中位线判定定理的条件是，CB 2 结论是。

（图）2．基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。

此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？全等三角形对应边相等；(1)(2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(3)角平分线上的点到角的两边距离相等；(4)(5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半；(6) 直角三角形中，(7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；(8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。

二、基本题组1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；2 ．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；3 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。

6 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。

8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。

1 / 8．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；9 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；10 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。

系统小结，深刻理解的周长比为，面积比为。

各边的中点，则△DEF与△ABCD、E、F是△ABC 12．已知，AC的四等分点，BC=28的四等分点，D'、E'、F' 是13．如图3，在△ABC中，D、E、F是AB FF' = EE' =，。

三角形、梯形中位线定理应用练习课、复习题组1知识要点(1)如图1，三角形中位线性质定理的条件是结论是三角形中位线判定定理的条件是结论是(2)如图2，梯形中位线性质定理的条件是_结论是_ 梯形中位线判定定理的条件是_结论是_2.基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。

此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？(1)全等三角形对应边相等；(2)等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；⑷ 角平分线上的点到角的两边距离相等；(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(6)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半;(7)平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)的性质；(8)等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。

二、基本题组1.__________________________________________________ 顺次连结四边形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ；2.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 _____________________3._________________________________________________ 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ；4._________________________________________________ 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ；5.__________________________________________________ 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ；6._________________________________________________ 顺次连结梯形各边中点所得的四边形是___________________________________________ 。

梯形及中位线（习题）➢ 例题示范 例 1：如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，且 AC ⊥ BD ，AF 是梯形的高．若梯形 ABCD 的面积为 49，则高 AF 的长为．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：由 AC ⊥BD ，考虑平移一条对角线，所以过点 D 作 DE ∥AC ，交BC 的延长线于点 E ，则四边形 ACED 是平行四边形． 因为△ABD 与△CDE 等底等高，所以S △ABD = S △CDE ， 则等腰梯形 ABCD 的面积可转为△BDE 的面积．在等腰梯形 ABCD 中，AC =BD ，所以 DE =BD ，即△BDE 是等腰 直角三角形．过点 D 作 DG ⊥BC 于点 G ，则 AF =DG ，所以S △BDE= 1 BE ⋅ DG = 1 ⨯ 2DG ⋅ DG = DG 2 = 49 ， 2 2则 AF =DG =7．例 2：如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形 BCED 的中位线， 若 DE =4cm ，则 FG 的长为．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：因为 DE 是△ABC 的中位线，DE =4 cm ，所以 BC =8 cm ．因为 FG 是梯形 BCED 的中位线，所以 FG = BC + DE= 6 cm ．2【过程书写】∵DE 是△ABC 的中位线，DE =4， ∴BC =8．∵FG 是梯形 BCED 的中位线，∴FG =BC + DE = 8 + 4 = 6 ，1例3：如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别为AD，BD，BC，AC 的中点．要使四边形EFGH 是菱形，则应满足的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BDC．AB=CD D．AD=BC【思路分析】题目中出现多个中点，考虑中点四边形．EF 是△ABD 的中位线，EF∥AB，EF =1AB ；2HG 是△ABC 的中位线，HG∥AB，HG =1AB ；2所以EF∥HG，EF=HG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形EFGH 是平行四边形.当AB=CD 时，EF=EH，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形EFGH 是菱形．故选C．➢巩固练习1.如图，在矩形ABCD 中，E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，AD 的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．6C．4 D．32.下列图形：①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④直角梯形；⑤角；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3.下列美丽的图案，是中心对称图形的是（）A.B ．C．D．4.下列正多边形：①正六边形；②正五边形；③正方形；④正三角形．其中能够铺满地面的正多边形有（）A．1 种B．2 种C．3 种D．4 种5.已知等腰梯形的上底为6cm，下底为8cm，高为腰长为．cm，则其6.若直角梯形的一腰长为18cm，这条腰和一个底所成的角是30°，则其另一条腰长为．7.在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AD⊥CD 于点D．若AB=1，AD=2，CD=4，则BC 的长为．8.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°．若AD=2，BC=5，则CD 的长为．第8 题图第9 题图9.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，若AC⊥BD，AC=6cm，BD=8cm，则该梯形的面积为．10.如图，A，B 两点被池塘隔开，在A，B 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC 和BC 的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B 两点间的距离为．311.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D，E 分别是AC，AB 的中点．若DE=3，CE=5，则AC 的长为．第11 题图第12 题图12.如图，在△ABC 中，AB=AC=9cm，AD⊥BC，M 为AD 的中点，直线CM 交AB 于点E，F 为CE 的中点，连接DF，则DF 的长为．13.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E，F 分别是AB，CD 的中点．若AD=BC=8，EF=7.6，则△PEF 的周长为．第13 题图第14 题图14.如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形BCED 的中位线，若BC=10cm，则FG 的长为．15.若梯形中位线的长是梯形高的2 倍，且梯形的面积为18cm2，则这个梯形的高为（）A．6 cm B．6cm C．3 cm D．3cm 2216.顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC=BD 时，四边形EFGH 是形；当AC⊥BD 时，四边形EFGH 是形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．➢思考小结1. 对于梯形，我们的处理方式往往是通过做辅助线，把它转化为平行四边形或者是特殊的三角形进行处理．请添加合适的辅助线，将以下梯形转化为平行四边形或特殊三角形．【参考答案】➢ 巩固练习1. C2. B3. B4. C5. 2 cm6. 9 cm7. 138. 39. 24 cm210. 40 m11. 812. 3 cm13. 15.614.15cm 215. D16.菱，矩，AC=BD 且AC⊥BD ➢思考小结1. 略。

备战中考数学专项练习（2022苏版）-三角形的中位线-卷一（含解析）一、单选题1.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，若△CEF的面积为12cm2 ，则S△DGF的值为（）A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.9cm22.某地需要开创一条隧道，隧道AB长度无法直截了当测量。

如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直截了当到达A、B两点，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A.3300mB.2200mC.1100mD.550m3.如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（）A.2cmB. 1.5cmC. 1.2cmD.1cm4.如图，在梯形中，，中位线与对角线交于两点，若cm, cm，则的长等于()A.10 cmB.13 cmC.20 cmD.26 cm5.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE= 6cm，则BC的长是（）A.3cmB.12cmC.18cmD.9cm6.如图所示，A ，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个能够直截了当到达A ，B的点C ，找到AC ，BC的中点D ，E ，同时测出DE的长为10m，则A ，B间的距离为（）A.15mB.25mC.30mD.20m7.如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F 分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐步增大B.线段EF的长逐步减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定8.如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐步增大B.线段EF的长逐步减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长先增大后变小二、填空题9.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则D E=________．10.如图，现需测量池塘边上A、B两点间的距离，小强在池塘外选取一个点C，连接AC与BC并找到它们中点E、F，测得EF长为45米，则池塘的宽AB为________米．11.如图,在△ABC中,AB=8,点D,E分别是BC,CA的中点,连接DE,则D E=________.12.已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD=________13.如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC、DC的中点，EF =2，则BD=________14.如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若B D=10，BO=8，则AO的长为________15.在△ABC中，已知D、E分别为边AB、AC的中点，若△ADE的周长为3cm，则△ABC的周长为________cm．16.如图，A，B，C三点在⊙O上，且AB是⊙O的直径，半径OD⊥A C，垂足为F，若∠A=30°，OF=3，则BC=________三、解答题17.如图，点O是△ABC内任意一点，G、D、E分别为AC、OA、OB 的中点，F为BC上一动点，问四边形GDEF能否为平行四边形？若能够，指出F点位置，并给予证明．18.如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若连接AO，且满足AO=BC，AO⊥BC．问现在四边形DGFE又是什么形状？并请说明理由．19.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H.求证：OG=OH.四、综合题20.在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决方法进行了认真摸索：课本研究三角形中位线性质的方法已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE△BC，DE= BC．证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE△△CFE．△…请你利用小亮的发觉解决下列问题：（1）如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．请你关心小亮写出辅助线作法并完成论证过程：（2）解决问题：如图⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF∥EG，分别交BC于点F，G，过点A作MN∥BC，分别与FD，GE的延长线交于点M，N，则四边形M FGN周长的最小值是________．21.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B．（1）试判定∠AED与∠ACB的大小关系，并说明你的理由．（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE =4（平方单位），求S△ABC ．22.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形（2）若AB=，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：如图，取CG的中点H，连接EH，∵E是AC的中点，∴EH是△ACG的中位线，∴EH∥AD，∴∠GDF=∠HEF，∵F是DE的中点，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，∴△DFG≌△EFH（ASA），∴FG=FH，S△EFH=S△DGF ，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△CEF=3S△EFH ，∴S△CEF=3S△DGF ，∴S△DGF=×12=4（cm2）．故选：A．【分析】取CG的中点H，连接EH，依照三角形的中位线定理可得EH∥A D，再依照两直线平行，内错角相等可得∠GDF=∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，依照全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH=S△DGF ，再求出FC=3FH，再依照等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．2.【答案】B【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：∵D,E分别是AC,BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，则DE＝AB，则AB=2DE=2200m，故选B。

八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形∴AE ＝EB＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝MEPE ∥AC ，PF ∥AB∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PNP NMP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝21AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180∠ ， ∠2=∠3∴NP ∥AC ∴MN ∥AD证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180∠CAD ＝21（180－∠FCG ） ∠CFG ＝21（180－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE交CB 的延长线于G 求证：FD ＝41CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21GC由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝41GC三、练习1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP<FH D.不确定4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .C5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27。

八年级数学三角形、梯形的中位线科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角形、梯形的中位线学习目的：1. 掌握三角形、梯形中位线的概念、性质.2. 会利用三角形中位线、梯形中位线的性质解决有关问题.3. 体会转化的数学思想方法.二. 重点、难点：三角形、梯形的中位线的概念、性质及其应用是本局部的重点；而灵敏的应用性质解决问题及转化的数学思想方法的体会是难点.三. 知识要点： 1. 三角形的中位线：〔1〕概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 〔2〕性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.如图，DE 是△ABC 的中位线，那么DE 与BC 有怎样的位置和数量关系?∵DE 是△ABC 的中位线∴DE ∥BC ，DE BC BC DE 221==或〔3〕三角形的中位线与三角形的中线的区别. 2. 梯形的中位线：〔1〕概念：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线. 〔2〕性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.如图，EF 是梯形ABCD 的中位线，且AD ∥BC ，那么EF 与AD 、BC 有怎样的位置和数量关系呢?∵EF 是梯形ABCD 的中位线 ∴EF ∥AD ∥BC ，()EF BC AD BC AD EF 221=++=或 3. 数学思想方法：〔1〕旋转变换思想：从三角形、梯形中位线性质的探究中可以得出利用旋转〔特别是中心对称〕可以把问题转化成以前的知识解决;〔2〕化归思想：梯形的中位线性质研究是转化为三角形的中位线知识解决问题，这是化归思想的详细表达.【典型例题】例1.〔1〕假如△ABC 的3条中位线分别为3cm 、4cm 、5cm ，那么△ABC 的周长为 cm ， △ABC 是 三角形.〔2〕梯形的一底长6cm ，中位线长10cm ，求另一底的长.〔3〕设梯形中位线长为l ，高为h ，那么梯形的面积可以表示为S = . 解： 〔1〕24cm ， 直角三角形.理由：根据三角形的中位线性质及勾股定理.〔2〕14cm ， 理由：根据梯形中位线的性质得到.〔3〕S =lh ， 理由：由梯形的中位线的性质得到：()b a l +=21，所以S=lh ，这是梯形面积公式的另一种表示形式.例2. 如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，且AD=AC ，AE ⊥CD ，垂足为E.F 是BC 的中点.BD=6cm.求EF 的长.分析：要求EF 的长，只要找出EF 与线段BD 的数量关系，因为F 是BC 的中点，可以想到EF 可能为△CBD 的中位线.为此，只要证明E 为CD 的中点即可.解：在△ACD 中， ∵AD=AC ，AE ⊥CD ，∴AE 为△ACD 的中线〔三线合一〕， 即E 为CD 的中点. 又∵F 是BC 的中点， ∴EF 为△BCD 的中位线， ∴362121=⨯==BD EF 〔cm 〕〔三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半〕例3. 如图，：在△ABC 中，∠ACB=900，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、BC 的中点，CE 与DF 相等吗?试说明理由.B分析：∠DCF=90°．只要再证四边形CDEF 为平行四边形．解：∵D 、E 分别为AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC. 同理，EF ∥AC ，∴四边形CDEF 为平行四边形. 又∵∠DCF=90°， ∴四边形CDEF 为矩形， ∴CE=DF例4. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且BC>AD ， ∠B+∠C=90°，E 、F 分别是AD 、BC 的中点.试说明：()AD BC EF -=21解：过点E 分别作EM ∥AB ，EN ∥DC ，交BC 于M 、N ，那么四边形ABME 为平行四边形，MCB∴AE=BM.同理，DE=CN ， ∴MN=BC-〔BM+CN 〕=BC-AD. 又∵∠B+∠C=90°，∴∠EMN+∠ENM=90°， ∴∠MEN=90° 而F 、E 为AD 、BC 的中点，BM=AE=DE=CN ． ∴F 为MN 中点，∴()AD BC MN EF -==2121 评注：问题的解决就是利用化归思想把条件利用平行进展转移，并集中在三角形中解决问题.例5. 如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AB=AD+BC. 〔1〕 当P 为AB 中点时，试说明：PC ⊥PD;〔2〕当P 为AB 上动点，是否存在异于AB 中点的一点，使PC ⊥PD?假设存在，请找出来，不存在，说明理由.分析：要证明PC ⊥PD ，只要证明∠1+∠2=90°，为此，可以取DC 的中点H. 解：〔1〕如图1，取DC 中点H ，连结PH ，那么(),2121CD BC AD PH =+=B?1图1即PH=DH=CH ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4. 而∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴∠3+∠4=90° ∴PC ⊥PD.〔2〕如图2，在AB 上取一点P ′，使P ′A=AD ，?2B图2由于AB=AD+BC ，且AD<BC ，故P ′不为AB 中点．且BP ′=BC ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵∠1+∠2+∠A+∠3+∠4+∠B= 360°，且∠A+∠B= 180° ∴∠1+∠2 +∠3+∠4 = 180°， ∴2∠2+2∠3= 180°，即∠2+∠3= 90° ∴∠D P ′C = 90°， ∴D P ′⊥C P ′.因此，存在这样的异于AB 中点的点P ，使PC ⊥PD .例6. 如图，是一个木梯子，DA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A ，CB 1=B 1B 2=B 2B 3=B 3B .假如最上端的横木CD 长为a ，最下端的横木AB 长为b ，且AB ∥CD ，试用含a 、b 的代数式表示中间每根横木的长.B3A分析：由图可知，四边形ABCD 是一个梯形，A 2B 2是它的中位线，利用中位线的性质可以求出它的长度，同时又可知A 1B 1、A 3B 3分别是梯形A 2B 2CD 、ABB 2A 2的中位线，也可表示出它们的长度.解：因为DA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A ，CB 1=B 1B 2=B 2B 3=B 3B ， 所以DA 2=AA 2，CB 2=B 2B ，即A 2、B 2分别是梯形ABCD 的腰 AD 、BC 的中点.根据梯形中位线的定义，得到A 2B 2是梯形ABCD 的中位线，根据梯形中位线的性质，可以得到A 2B 2分别平行于AB 、CD ，并且()22122b a CD AB B A +=+=同理可知A 1B 1、A 3B 3分别是梯形A 2B 2CD 、ABB 2A 2的中位线，所以()43221212211b a a b a CD B A B A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=()43221212233ab b b a AB B A B A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=【模拟试题】〔答题时间是：30分钟〕1. 假设等腰梯形的腰长等于中位线的长，周长为，那么中位线长为 cm ．2. 梯形的高是4，面积是32，上底长为4，那么梯形的中位线长为 ，下底长为 ．3. 等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，那么这个梯形的面积为 cm 2．4. 直角梯形的一条对角线把梯形分成一个直角三角形和一个边长为 8cm 的等边三角形，那么此梯形的中位线长为 cm ．5. 梯形的上底长为6，下底长为10，那么由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 ．6. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，那么下底长为 ．7. 假设等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，那么它的周长是＿＿＿cm ．8. 假设梯形的一底长是14cm ，中位线长是16cm ，那么另一底长为＿＿＿cm ．9. 梯形中位线长是5cm ，高是4cm ，那么梯形的面积是．10. 梯形上底与中位线之比是2：5，那么梯形下底与中位线之比是．11. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，那么〔 〕A. 1：4B. 1：3C. 1：2D. 3：412. 直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，那么梯形中位线长为〔 〕 A.a 43B. aC.a 45D. 都不对13. ：梯形ABCD 中，AD//BC 〔AD<BC 〕，M 、N 为两腰AB 、CD 的中点，ME//AN 交BC 于E ．求证：AM=NE ．14. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，说明：MN ∥DC 且MN ＝21〔DC －AB 〕．15. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点．〔1〕测量顶点A ，B 到点O 的间隔 ，并做出猜测； 〔2〕你的猜测正确吗？为什么？16. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=BD ，且AD ＝5cm ，BC ＝12cm ，求该梯形的中位线长．17. ：在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，D 、E 、F 、分别为AB 、BC 、CA 的中点．四边形EFDH 是等腰梯形吗？为什么？HFEDCBA18. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由．EDA试题答案1. 122. 8，123. 164. 65. 7：96. 227. 228. 189. 20 cm 2 10.8：511. D12. C13. 提示：证明△AMN ≌△BME ，得到AN=ME ，又AN ∥ME ，所以四边形ANEM 是平行四边形．14. 连结AM 并延长交CD 于点E ．证明△ABM ≌△EDM ，得到：AM=ME ，AB=DE 从而MN 是△AEC 的中位线NAB C D ME15. 猜测：OA=OB ，理由是：取AB 的中点E ，那么OE ⊥AB ，且AE=BE ，所以，OA=OBOA DCB E16. 过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于E ，并过点D 作DF ⊥BE ，垂足为F ，容易知道△BDE 为等腰直角三角形， 所以DF=8.5，而DF=BC+AD 的一半，故中位线的长为8.5．17. DHEF 为等腰梯形．提示：利用三角形的中位线的性质即可．18. CD=AD+BC．提示：利用梯形的中位线的性质即可．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

梯形中位线练习题1、如果梯形的两条对角线将两腰中点的连线分成三等份，并且它的较长的底边为8cm，求它较短的底。

2、已知EF为梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm2 ，则梯形ABCD的面积是（）3、若梯形的上底为5cm，下底为9cm，则这个梯形被其中位线所分成的两个梯形的面积的比是（）.4、如图，在梯形ABCD中，A D∥BC，AB=CD=4，对角线AC⊥BD与点O，∠ABC=60°，EF是梯形的中位线，求EF的长。

5、如图，已知点E为平行四边形ABCD的边DC的延长线上的点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G；连结AC交BD于点O；连结OF。

试猜想线段OF与AB的关系，并证明你的结论。

6、AD是△ABC的中点，E、G分别是AB、AC的中点，GF∥AD交ED得延长线于点F，(1)猜想：EF与AC有怎样的关系？（2）试证明你的猜想。

7、四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（）。

8、已知，E、F、G、H是四边形ABCD的中点，当四边形满足条件（）是，四边形EFGH为菱形。

9、在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF分别与BD、AC交于点G、H，若AD=6，BC=10，则GH的长度是（）10、梯形的中位线长为15cm，一条对角线把它分成3:2两部分，则梯形的上底为（）cm，下底为（）cm。

11、等腰梯形的对角线互相垂直，中位线的长为m，则梯形的面积为（）12、EF为梯形ABCD的中位线，AH平分∠BAD，交EF于M，交BC于点H，连结DM并延长交AB于点N，求证：△AND为等腰三角形。

13、一张矩形纸片，只用双手，你能将直角三等分吗？陈老师是按以下步骤折叠的。

第一步：先把矩形纸片对折，设折痕为MN。

第二步：再把B点叠在折痕MN上，折痕为AE。

点B在MN上的对应点为H，得Rt△AHE。

第三步：连结AH，如图，此时，陈老师告诉同学们，AE、AH就是直角∠BAD的三等分线。

ＨＡ ＢＣＭDＮ G3．6 三角形、梯形的中位线（二）一、基础训练 1．连接梯形叫做梯形的中位线．2．梯形的中位线平行于，并且等于．3．已知梯形上、下底长分别为3和5，则中位线长为_____． 4．若梯形的中位线为l ，高为h ，则梯形的面积S ＝_____．5．如果等腰梯形的周长为30cm ，腰长为6cm ，则它的中位线长为 cm ． 二、典型例题例1 如图，梯形ABCD 的中位线为MN ，分别交对角线AC 、BD 于点H 、G ， 求证：MG ＝HN ，GH ＝12(BC －AD )． 分析：由MN 为梯形ABCD 的中位线，得MN ∥BC ∥AD ，则点G 、H 也分别为BD 、AC 的中点，故可应用三角形、梯形中位线定理解决问题．例2如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 垂直相交于点O ，MN 是梯形的中位线，∠DBC =30°，求证：AC =MN ．分析：过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，将梯形的问题转化为Rt △BDE 的问题．三、拓展提升如图，ABC ∆和形外直线l ，中线AD 延长线交l 于D '，l A A ⊥'，l B B ⊥'，l C C ⊥'，A '，B '，C '为垂足，D D AD '=．求证：C C B B A A '+'='．分析：作l D D ⊥''于D ''，则DD ''既是△AA ′D ′的中位线，又是梯形BCC ′B ′的中位线．从而得出：C C B B A A '+'='．N MODCBAEM DBA四、课后作业1．如果梯形的上底长与下底长的比为2:1，中位线的长为24，那么梯形的下底长为_____． 2．如图，等腰梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠45B ，BC AE ⊥于点E ，cm AD AE 2==，则这个梯形的中位线长为_______cm ．）3． 如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，中位线EF 交对角线BD 于点O ，12=EF ，且2:1:=OF EO ，则=BC _______．4．如图，梯形ABCD 中，BC AD //，对角线BD AC ⊥，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，则该梯形的中位线的长等于______cm ．5．如图，等腰梯形ABCD 的周长是80cm ，如果它的中位线EF 与腰长相等，它们的高是30cm ． 求这个梯形的面积．6．如图，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，AC ，BD 与MN 交于F ，E ， AD ＝30cm ，BC ＝40cm ，求EF 的长．7．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为AD 的中点，CM 为∠BCD 的平分线，求证：BC = A B +CD ．（第2题图）（第4题图）（第3题图）3．6 三角形、梯形的中位线（二）答案一、基础训练 1．两腰中点的线段 2．上下底，上下底和的一半 3．44．12lh 5．2 二、典型例题例1∵MN 为梯形ABCD 的中位线，∴MN ∥BC ∥AD ．∴点G 、H 为BD 、AC 的中点．∴MG ＝12 BC ， NH ＝12 BC ， NG ＝12 AD ．∴MG ＝HN ，GH ＝NH －NG ＝12(BC －AD )．例2过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，∵AC ⊥BD ，∴DE ⊥BD ．∵AD ∥BC ，∴四边形ADEC 为平行四边形．∴AD ＝CE ，AC ＝DE ．∵∠DBC =30°，∴DE ＝12 BE ．∵MN 是梯形的中位线，∴MN ＝12(BC ＋AD )＝12(BC ＋CE )＝12 BE ．∴AC ＝MN ．三、拓展提升作l D D ⊥''于D ''，则DD AA BB C C '''''∥∥∥．∵D D AD '=，∴DD ''为△AA ′D ′的中位线（利用同一法或全等证明，过程略），∴2AA DD '''＝．同理DD ''又是梯形BCC ′B ′的中位线（理由同上，略），∴BB C C DD ''''+=．∴C C B B A A '+'='． 四、课后作业 1．322．43． 16 4．6．5 5．2600cm 6．EF ＝5cm7．取BC 中点N ，连结MN ，证MN =NC =12BC ．。

第13课时三角形、梯形中位线(1)【基础巩固】1．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝2 cm，则BC的长是( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是( )A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDAC．BC＝2AD D．BD⊥AC3．顺次连接矩形四边的中点所得的四边形是( )A．矩形B．菱形C．正方形C．以上都不对4．已知三角形的3条中位线分别为3 cm、4 cm、6 cm，则这个三角形的周长是( ) A．3 cm B．26 cm C．24 cm D．65 cm5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( )A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定6．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是_______．7．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8 cm，则原三角形的周长为_______cm．8．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD＝4 cm，则OE的长为_______ cm．9．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．求证：四边形DBEF 是平行四边形．10．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC的中点，求证：BD＝2EF．11．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，AE与BF相交于点G，DE与CF相交于点H．求证：GH∥AD且GH＝12 AD．【拓展提优】12．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接四边形中点所得的四边形是( ) A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对13．在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.514．如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5 cm，BC＝8 cm，DE＝4 cm，则图中阴影部分的面积为( ) A．1 cm2B．1.5cm2C．2cm2D．3 cm215．如图，点M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是_______．16．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为_______．17．如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向形外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD ＝∠ACE，M是BC的中点，求证：DM＝ME．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F．求证：∠BEN＝∠NFC．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．猜想四边形EHFG的形状并说明理由．参考答案【基础巩固】1．C2．C 3．B4．B 5．C 6．3 7．16 8．29～11．略【拓展提优】12．A 13．D14．B 15．25 16．917．略18．略19．菱形。

《梯形的中位线》专题班级 姓名【复习引入】____ __叫做三角形的中位线;三角形的中位线有___条. 三角形的中位线性质是:__ _____ 怎样将一张梯形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个三角形?BB【自主探究】如下图，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是腰AB 与CD 的中点， 线段EF 是梯形的什么线段？那么，我们继续研究：上图，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 与AD 、BC 有怎样位置关系？数量关系呢？已知：如图，在梯形ABCD 中，点E 、F 分别 是 AD 与BC 边 的中点， 求证：EF ∥BC ， EF=21（AD+BC ） 证明：B梯形ABCD中，EF是中位线，高为h,面积是()2hBCADS+=, 用中位线和高如何表示？例1.等腰梯形的一个底角为45°，高为5cm，中位线的长为10cm，求梯形上底的长。

例2.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且E•为AB中点，求证：AD+BC=DC．【当堂训练】1. 若梯形中位线长26cm，上、下底长度之比为1∶3，，则上底长 cm，下底长 cm。

2.梯形的一腰和上底所成的角为150°，若这腰的长为5cm，中位线为4cm，则这个梯形的面积为（）. A、10cm B、5cm C、20cm D、40cm3.一个等腰梯形的周长是80cm•，•如果它的中位线与腰长相等，•它的高是12cm ，这个梯形的面积_________。

4.如图5，梯形ABCD 中，AD//BC ，BD 为对角线，中位线EF 交BD 于O 点，若FO －EO=3，则BC －AD 等于（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．105. 如图6，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ） A ．9 B ．10.5 C ．12D ．156．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，如果中位线EF 的长为4cm ，且BC ＝3AD ，则梯形下底的长为( )A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm7．如图，△ABC 中，如果AB ＝30cm，BC ＝24cm ，AC ＝27cm ，AE ＝EF ＝FB ，EG ∥DF ∥BC ，FM ∥EN ∥AC ，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为( )A.70cmB.75cmC.80cmD.81mc8．如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，BF 的延长线交AC 于H ，则AH ∶HE 等于（ ）A ．1∶1B ．2∶1C ．1∶2D ．3∶29．在梯形ABCD 中AD∥BC，对角线AC⊥BD ，EF 为梯形的中位线,∠DBC=30°， 求证：EF=AC ． 图5BCA D E FA BCD E F P图610.如图，△ABC 中，D 为AC 的中点，E 、F 为AB 的三等分点，CF 交BD 于G ．求证：BG ＝G D ．11．如图，△ABC 中，BM 平分∠ABC ，AM ⊥BM ，垂足为M ，点N 为AC 的中点，设AB ＝10，BC ＝6，求MN 的长度.12．如图，梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ∥DE ，AE ∥BD ，AD 延长线交CE 于F.①求证：EF ＝FC ；②若S △CED ＝31S 梯形ABCD 时，求AD 与BC 的关系.13.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD,点E 与点F 分别是AC 与BD 的中点, 求证:EF=()CD -AB1。