导数解答题练习(含解析)

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导数解答题基础练习

1．已知函数()()(1)(1)fxxalnxax．

（1）当1a时，求()fx的单调区间；

（2）是否存在实数a，使得()fx在(0,)有极值点？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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2．设函数()(1)fxlnxax．

（Ⅰ）讨论：()fx的单调性；

（Ⅱ）当()fx有最大值，且最大值大于22a时，求a的取值范围．

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3．已知函数21()(1)2fxxaxalnx．

（1）若1a，求()fx的极值；

（2）讨论()fx的单调性．

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4．已知函数2()1baxfxx．

（Ⅰ）若函数()fx在1x处取得极值2，求a，b的值；

（Ⅱ）当221ba时，讨论函数()fx的单调性．

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5．已知函数32()2fxxaxb．

（1）讨论()fx的单调性；

（2）是否存在a，b，使得()fx在区间[0，1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．

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导数解答题基础练习

参考答案与试题解析

一．解答题（共5小题）

1．已知函数()()(1)(1)fxxalnxax．

（1）当1a时，求()fx的单调区间；

（2）是否存在实数a，使得()fx在(0,)有极值点？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当1a时，()(1)fxxlnx，(0)x，

11()1xfxlnxlnxxx，

()fx在(0,)递增且f（1）0，

故()fx在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增；

（2）令()()(0)agxfxlnxaxx，

则221()axagxxxx，

()i当0a时，()0gx，

故()()gxfx在(0,)单调递增，

f（1）0，

(0,1)x时，()0fx，()fx递减，

(1,)x时，()0fx，()fx单调递增，

则1x是函数()fx的极小值点；

()ii当0a时，令()0gx，解得：xa，

x，()gx，()gx的变化情况如下：

x (0,)a a (,)a

()gx  0 

()()gxfx 递减 f（a） 递增

①1a时，()fxf（1）0，（当且仅当1x时取等号），

故()fx在(0,)上单调递增，无极值点，

②当01a时，x，()fx，()fx在(,)a的变化如下：

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x (,1)a 1 (1,)

()fx  0 

()fx 递减 0 递增

故()fx在(,1)a递减，在(1,)递增，

则1x为函数()fx的极小值点，

③当1a时，x，()fx，()fx的变化如下：

x (0,1) 1 (1,)a

()fx  0 

()fx 递增 0 递减

故()fx在(0,1)递增，在(1,)a递减，

则1x为()fx的极大值点，

综上：存在实数a，a的取值范围是(，1)(1，)．

2．设函数()(1)fxlnxax．

（Ⅰ）讨论：()fx的单调性；

（Ⅱ）当()fx有最大值，且最大值大于22a时，求a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）()(1)fxlnxax的定义域为(0,)，

11()axfxaxx，

若0a，则()0fx，函数()fx在(0,)上单调递增，

若0a，则当1(0,)xa时，()0fx，当1(xa，)时，()0fx，所以()fx在1(0,)a上单调递增，在1(a，)上单调递减，

（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当0a时，()fx在(0,)上无最大值；当0a时，()fx在1xa取得最大值，最大值为1()1flnaaa，

1()22faa，

10lnaa，

令g（a）1lnaa，

g（a）在(0,)单调递增，g（1）0，

当01a时，g（a）0，

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当1a时，g（a）0，

a的取值范围为(0,1)．

3．已知函数21()(1)2fxxaxalnx．

（1）若1a，求()fx的极值；

（2）讨论()fx的单调性．

【解答】解：（1）若1a，则21()(0)2fxxlnxx，

又1()fxxx，令()0fx，解得1x（舍去）或1x，

当01x时，()0fx，所以()fx在(0,1)上为减函数；

当1x时，()0fx，所以()fx在(1,)上为增函数．

故()fx在1x处取得极小值为12，无极大值．

2(1)(1)()(2)()(1)axaxaxxafxxaxxx，

①当0a时，令()0fx得到01x；令()0fx得到1x，

此时()fx在(0,1)上为减函数，在(1,)上为增函数；

②当01a时，令()0fx得到1ax；令()0fx得到0xa或1x，

此时()fx在(,1)a上为减函数，在(0,)a或(1,)上为增函数；

③当1a时，显然()0fx恒成立，此时()fx在(0,)上为增函数；

④当1a时，令()0fx得到1xa，令()0fx得到01x或xa，

此时()fx在(1,)a上为减函数，在(0,1)或(,)a上为增函数；

综上：①当0a时，()fx在(0,1)上为减函数，在(1,)上为增函数；

②当01a时，()fx在(,1)a上为减函数，在(0,)a或(1,)上为增函数；

③当1a时，()fx在(0,)上为增函数；

④当1a时，()fx在(1,)a上为减函数，在(0,1)或(,)a上为增函数．

4．已知函数2()1baxfxx．

（Ⅰ）若函数()fx在1x处取得极值2，求a，b的值；

（Ⅱ）当221ba时，讨论函数()fx的单调性．

【解答】解：（Ⅰ）由于2()1baxfxx，则222222(1)2()2()(1)(1)axxbaxaxbxaxfxxx

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因为()fx在1x处有极值2，所以有(1)0(1)2ff，即2022ababa，

解得40ab，经检验4a，0b符合题意．

所以，当()fx在1x处有极值2时，4a，0b．

（Ⅱ）因221ba，所以222222(1)(1)()()(1)(1)axaxaxaxxafxxx

①当0a时，22()(1)xfxx，令()0fx，得0x，

则当(,0)x时，()0fx；当(0,)x时，()0fx．

所以()fx的增区间为(0,)，减区间为(,0)．

②当0a时，令()0fx，得xa，或1xa

)i当0a时，1aa，

则当1(,)xaa时，()0fx；当1(,)xa或(,)a时，()0fx．

所以()fx的增区间为1(,)a，(,)a，减区间为1(,)aa．

)ii当0a时，得1aa．

则当1(,)xaa时，()0fx；当(,)xa或1(a，)时，()0fx．

所以()fx的增区间为1(,)aa，减区间为(,)a，1(a，)．

综上所述，当0a时，()fx的增区间为(0,)，减区间为(,0)．

当0a时，()fx的增区间为1(,)a，(,)a，减区间为1(,)aa．

当0a时，()fx的增区间为1(,)aa，减区间为(,)a，1(a，)．

5．已知函数32()2fxxaxb．

（1）讨论()fx的单调性；

（2）是否存在a，b，使得()fx在区间[0，1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）2()626()3afxxaxxx．

令()6()03afxxx，解得0x，或3a．