1 3.1.1
倾斜角与斜率
1．倾斜角的相关概念
(1)两个前提：①直线l与x轴相交；
②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；
③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；
②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
思考：下图中标的倾斜角α对不对？
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．
(3)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°
斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0)
在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 33 1 3 －3 －1 －33
(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1x2－x1．
思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为( )
A．45° B．135° C．0° D．无法计算
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )A．0° B．45° C．60° D．90°
3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )A．5 B．8 C．132 D．7
4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )A．33 B．3 C．1 D．22
直线的倾斜角
【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，
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张喜林制
[
3. 1.1 直线的倾斜角与斜率
【学习目标 】
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3．能用公式和概念解决问题.
【教学重难点】
重点：倾斜角与斜率的概念
难点：直线的斜率与倾斜角的关系
【教学过程】
一、课前准备
（预习教材 82P~ 86P，找出疑惑之处）
复习 1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢?
复习 2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?
二、新课导学
探究点一：①倾斜角的概念
当直线l 与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角 叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）.
发现：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.
注意:当直线与轴x平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为 0 度..
思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？
②斜率与倾斜角的关系
一条直线的倾斜角 ( ) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为k= tan .
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为
（1）=0°时，则k
（2）0°<< 90°,则k
（3）= 90°，,则k
（4）90 °<< 180°，则k
③ 已知直线上两点1p(),11yx,),(222yxp(21xx)的直线的斜率公式：
1212xxyyk .
探究任务二：
1.已知直线上两点 ),(),,(2211baBbaA运用上述公式计算直线的斜率时，与 A B 两点
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坐标的顺序有关吗？
3.1.1倾斜角与斜率
【教学目标】：
1. 理解直线的倾斜角的定义，掌握直线倾斜角的范围。
2. 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式。
3. 掌握直线斜率和倾斜角之间的关系。
教学重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线的斜率，过两点的直线斜率的计算公式。
教学难点：直线的斜率和倾斜角的关系，
【复习回顾】：
问题1.在平面直角坐标系中， 一次函数y=kx+b的图象是什么？其中 k, 如何？
问题2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点 的位置是否能够确定？这些直线有什么联系？
【数学建构】
1. 直线的倾斜角：当直线 I与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线 间所成的角a叫做直线I的倾斜角.
问题3.下列各图中标出的角 a是直线的倾斜角吗？
特别：当直线I与x轴平行或重合时，规定 a =0. 问题4.直线倾斜角a的取值范围是什么？
问题5.在日常生活中，我们常说这个山坡很陡峭，有时也说坡度，这里的陡峭和坡度 说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢 ？
问题6.如何度量直线的倾斜程度?
2. 直线的斜率：倾斜角不是 90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用
表示，即 k=tan a.
问题7.我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾 斜角和斜率呢？如：已知 A(2 , 3)、B( — 1 , 4)，则直线AB的斜率是多少？
说明：(1)当X1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 a = 90°,直线与x
轴垂直；
(2) k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和X1、X2在公式中的前后次序可以同时交换， 但分子与分母不能交换；
(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4) 当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角 a = 0 °，直线与x轴平行或重合.
(5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到 .
数学必修二 第三章 直线与方程 青岛天龙中学高二数学备课组 数学必修二 第三章 直线与方程 青岛天龙中学高二数学备课组
第 1 页 共 2 页 第 2 页 共 2 页 §3.1.1倾斜角与斜率
一、学习目标：
1．正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.
二、学习重、难点
重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.
难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.
三、课前预习：1、阅读教材P82-86，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、不会的先绕过，做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值，斜率的计算公式必须牢记）
,四、知识衔接：
1：一次函数的图象的形状是
2：确定一次函数的图象的条件是
3：锐角正切函数的定义
五、新课学习;
1． 直线的倾斜角：
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准, 叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
②范围：倾斜角α的取值范围是 特别：当 时，称直线l与x轴垂直
2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k = .
①当直线l与x轴平行或重合时, α= , k
= ;②当直线l与x轴垂直时,α= ,
